SKKN rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực HĐ ghi): Tên sáng kiến: Rèn kĩ giải toán lũy thừa cho học sinh THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chun mơn mơn Tốn THCS Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Qua nhiều năm giảng dạy môn tốn THCS, chúng tơi nhận thấy hầu hết học sinh gặp toán liên quan đến luỹ thừa e sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát Khi học sinh lớp 6, lớp tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khó khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nào? chưa cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến: a Mục đích giải pháp: Để nâng cao mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tòi, học hỏi thầy cô giáo đồng nghiệp, muốn trình bày số ý kiến “Rèn kĩ giải toán lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phương pháp giải toán luỹ thừa cho đối tượng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn u tốn nói chung tốn luỹ thừa nói riêng b Nội dung giải pháp: b.1 Tính giải pháp: Trong toán học, “Toán luỹ thừa’’ mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều tốn hay khó Để làm tốn luỹ thừa khơng phải việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em làm quen với môn đại số tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có cơng cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phương pháp, kĩ tính tốn Để học tốt mơn tốn nói chung “Tốn luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đứng trước tốn khó, chưa tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang bỏ qua tốn đó, có giúp đỡ, gợi mở em khơng sợ mà thích thú làm toán b.2 Sự khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ: Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần tốn luỹ thừa, giúp em khơng thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập b.3 Cách thức thực sáng kiến Ngay từ đầu năm học, tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo sau phối hợp với thầy đồng nghiệp thực chuyên đề Chúng thường xuyên trao đổi khả tiếp thu, hứng thú học tập học sinh thông qua buổi họp tổ chuyên môn, tổ chức thao giảng, hội giảng, chuyên đề tổ b.4 Các bước thực sáng kiến Sau xin trình bày số dạng tốn phương pháp giải từ đến nâng cao vài ví dụ cụ thể Dạng 1: Tìm số chưa biết 1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài tập 1: Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = - c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp Giải a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = -8 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 2x – = - Vậy x = - x= Vậy x = −1 −1 c) (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 Vậy x = x = d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 x–2=4 x = -2 x=6 Vậy x = -2 x = Bài tập Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số- chưa biết, số mũ- biếtlại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh “ tìm mò’’ x = x = 1, cách khơng thuyết phục số x thỏa mãn đề ? Giáo viên gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = x = =>   x − = x = =>  x = =>  x = x = Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài tập Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 x10 = x20 Hướng dẫn : Đặt 3y – = x Khi (*) trở thành :  x 10 = Giải tương tự ta :  10  x − = (*) x = x =  =>  10 =>  x = −1 x =  x = Rất học sinh dừng lại đây, tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta có : 3y -1 = => 3y = => y = +) Với x = ta có : 3y -1 = => 3y = => y = +) Với x = -1 ta có : 3y – = -1 => 3y = => y = Vậy y= ; y= ; y=0 3 Bài tập : Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ (*) Với toán này, số số mũ hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu “ ≤ ’’ thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề: so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với Giải ∀ x∈ Ta thấy: (3x - 5)100 ≥ Q ∀ x∈ Q (2y +1)200 ≥ => Biểu thức (*) 0, khơng thể nhỏ Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = y= −1 Bài tập 6: Tìm số nguyên x y cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo 3, học sinh nhận ngay: (x + 2)2 ≥ 2(y – 3)2 ≥ ∀ x∈ Z ∀ x∈ Z (1) (2) Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ” , học sinh khơng biết làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy trường hợp sau : (x + 2)2 = +) Trường hợp 1: => x = -2 => +) Trường hợp : => (x + 2)2 = +) Trường hợp : (y – 3)2 = y=3 (y – 3)2 = y = x = -2 =>  y = (x + 2)2 = x + = =>   x + = −1 => (y – 3)2 = y=3  x = −1 =>   x = −3 +) Trường hợp : (x + 2)2 =  x = −1 =>   x = −3 (y – 3)2 = y = =>  y = Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật toán phức tạp! Nếu không cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề 1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp: Đưa hai lũy thừa có số Bài tập 1: Tìm n ∈ N biết: a) 2008n = b) 5n + 5n+2 = 650 c) 32-n 16n = 1024 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a a) 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n (1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Theo hướng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c) 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – = n=4 Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên m, n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực thấy khó gặp này, khơng biết phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý: 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m (2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1) (2n - 1) = Vì 2m ≥ , 2n ≥ 2 m − = Nên từ (*) =>  n 2 − = ∀ (*) m, n ∈ N 2 m = =>  n 2 = m = n = =>  Vậy: m = n = Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n ≤ 234 b) 8.16 ≥ 2n ≥ Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số a) < 3n ≤ 234 31 < 3n ≤ 35 => n ∈ { 2;3;4;5} b) 8.16 ≥ 2n ≥ 23.24 ≥ 2n ≥ 22 27 ≥ 2n ≥ 22 => n ∈ { 2;3;4;5;6;7} Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét số mũ lũy thừa tích học sinh nghĩ hướng giải toán: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Bây giờ, học sinh khơng biết làm tốn tương tự mà tự tốn dạng tương tự Tìm số nguyên n cho: a) 27n = 35 b) (23 : 4) 2n = c) 3-2 34 3n = 37 d) 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho: a) 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25 b) (n54)2 = n c) 243 ≥ 3n ≥ 9.27 d) 2n+3 2n =144 Tìm số tự nhiên x, y biết : a) 2x+1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biết : 411 2511 ≤ 2n 5n ≤ 2012.512 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài tập 1: Tìm chữ số tận số : 2000 2008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án: 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài tập 2: Tìm chữ số tận số sau: 20072008 , 1358 20072007 , 10231024 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , 67 Hướng dẫn: Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5; +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501 = ( )501 = = => 20072007 có chữ số tận +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = => 5235 có chữ số tận +) 10231024 = (10234)256 = ( )256 = =>10231024 có chữ số tận +) 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 => 20032005 có chữ số tận +) 204208 =( 2042)104 = ( )104 = => 204208 có chữ số tận 67 +) Ta thấy số lẻ nên có chữ số tận +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 81975 có chữ số tận +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 có chữ số tận +) Ta thấy 99 số lẻ nên 9 có chữ số tận Bài tập 3: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận tổng số hạng, cộng chữ số tận lại Hướng dẫn: Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = Vậy A có chữ số tận Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ : M  10 Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 17 = 244 =(242)2 = 5762 = .6 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = 13 = Vậy M = + .6 - = => M  10 Đến đây, sau làm 2, 3, giáo viên cho học sinh làm tốn tổng qt sau: Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: (n ∈ N, n ≥ 1) a A = 24n – (n ∈ N) b B = 24n + 2+ (n ∈ N) c C = 74n – Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận => 24n – có chữ số tận (n ∈ N) b) B = 24n + 2+ Ta có 24n + = 22 24n = 16n có chữ số tận => B = 24n + 2+ có chữ số tận c) C = 74n – Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận Vậy 74n – có chữ số tận Bài 6: Chứng tỏ rằng, số có dạng: a) chia hết cho (n ∈ N, n ≥ 2) A = 22 −1 n b) B = + chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1) c) chia hết cho (n ∈ N, n ≥ 1) n H = 92 + n Với dạng này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 2 , , , học sinh phải tính nào, học sinh nhầm: n n n a = 2n , = 4n , = 2n n n n Khi giáo viên hướng dẫn sau: a) Với n ∈ N, n ≥ 2, ta có : 2 = 2 n n−2 ( ) = 24 2n − = 16 n−2 có chữ số tận => A = 2 − có chữ số tận n Vậy A  b) Với n ∈ N, n ≥ 1, ta có : n ( ) n −1 = 4 = 24 n −1 = 16 n −1 có chữ số tận => B = + có chữ số tận n Vậy B  10 c) Với n ∈ N, n ≥ 1, ta có : = 2 n ( ) n −1 = 92 n −1 = 812 n −1 có chữ số tận => H = + có tận n Vậy H  2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau: +) Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận +) Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 +) số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 +) số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 +) Số 26n (n ∈ N, n >1) Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm này: 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bài tập 2: Tìm hai chữ số tận của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 16101 Hướng dẫn: Đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 a) 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 => 5151 có chữ số tận 51 Tương tự: b) 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c) 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d) 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76 224 = 24 10 Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh, lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n có tận 376 => 23n 47n có tận 376 b) 23n+3 47n+2 Dù làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn: 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có: 376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672 Bài tập3: Chứng tỏ rằng: a + 375  1000 ( n∈ N, n ≥ 1) b - 25  100 ( n∈ N, n ≥ 2) n n c 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 Nếu học sinh làm tốt phần trước gặp khơng gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi a Ta có: = 4.4 n n −1 = 625 n −1 ( n∈ N, n ≥ 1) tận 625 => + 375 có tận 000 n Vậy: + 375  1000 n b Ta có = 2 = ( ) = 625 n n−2 n−2 n −2 ( n∈ N, n ≥ 2) Vậy - 25 có chữ số tận 00 n Do : - 25  100 n c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thấy : 2001n có tận 001 23n 47n = (8 47 )n = 376n có tận 376 252n = (252)n = 625n có tận 625 Vậy: 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa 12 * Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý số tính chất sau : Với a, b, m, n ∈ N , ta có: a > b  an > bn ∀ n∈ m > n  am > an N* (a > 1) a = a = am = an ( m.n ≠ 0) Với A, B biểu thức ta có: An > Bn  A > B > Am > An => m > n A > m < n < A < Bài tập 1: So sánh : a) 33317 33323 b) 200710 200810 c) (2008-2007)2009 (1998 - 1997)1999 Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ a) Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 (2008-2007)2009 = 12009 = c) Ta có : (1998 - 1997)1999 = 11999 = (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Vậy Bài tập 2: So sánh a) 2300 3200 e) 9920 999910 b) 3500 7300 f) 111979 371320 c) 85 3.47 g) 1010 48.505 d) 202303 303202 h) 199010 + 1990 199110 Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ Hướng dẫn : a) Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 13 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = d) Ta có : (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Từ (1) (2) suy : 111979 < 371320 g) Ta có : 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) (**) => 1010 < 48 505 h) Có : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 Bài tập Chứng tỏ : 527 < 263 < 528 Với nà , học sinh lớp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 Từ (1) (2) => 527 < 263 < 52 Bài tập So sánh : a) 10750 7375 b) 291 535 Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán.Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (1) (2) Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 14 10750 < 7375 Vậy b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 291 > 535 Vậy Bài tập So sánh: a) (-32)9 (-16)13 b) (-5)30 (-3)50 c) (-32)9 (-18)13 d) ( − 100 −1 ) ( )500 16 Hướng dẫn: Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 d) Ta có : ( − 100 1 − 1100 ) = = 100 = 400 100 16 16 16 Vì 2400 < 2500 nên Vậy ( 400 > ( − 500 (−1) 500 ) = = 500 500 2 2 500 − 100 −1 ) > ( )500 16 Bài So sánh A B biết : 2008 2008 + A= 2008 2009 + ; 2008 2007 + B= 2008 2008 + Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau: * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh được: +) Nếu a > b a a+c > b b+c 15 +) Nếu a < b a a+c < b b+c Ap dụng tính chất vào , ta có : 2008 2008 + Vì A = < nên 2008 2009 + 2008.(2008 2007 + 1) 2008 + 2008 2008 2008 + 2008 2008 + + 2007 A= < = = 2009 + 2008 2008.( 2008 2009 + 1) 2008 2009 + 2008 2009 + + 2007 2008 = 2008 2007 + =B 2008 2007 + Vậy A < B Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta có : 2008.A = 2007 (2008 2008 + 1).2008 2008 2009 + + 2007 = =1+ 2009 2009 2008 2009 + 2008 +1 2008 +1 2007 2008 2007 + 1).2008 2008 2008 + + 2007 = 2008.B = =1+ 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 2008 + 2007 2007 < 2009 2008 + 2008 2008 + Vì 20082009+1 >20082008+1 nên => 2008.A < 2008 B => A < B Cách 2: 2008 2009 + 2008 2009 + 2008 − 2007 2008.(2008 2008 + 1) − 2007 = = = A 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 2008 + = 2008 - 2007 2008 2008 + 1 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 − 2007 2008.(2008 2007 + 1) − 2007 = = = B 2008 2007 + 2008 2007 + 2008 2007 + = 2008 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên => 2008 Vậy 1 > A B 2007 2008 2007 + 2007 2007 < 2008 2008 + 2008 2007 + 2007 2007 > 2008 2008 2008 +1 2008 2007 + => A < B (vì A,B > 0) Bài So sánh M N biết: M= 100100 + 100 99 + ; N= 100101 + 100100 + Hướng dẫn: 16 Cách : N = 100101 + >1 100100 + 100 100101 + 100101 + + 99 100101 + 100 (100 + 1).100 100100 + => N = 100 > 100 = 100 = = =M 99 100 + 100 + + 99 100 + 100 (100 + 1).100 100 99 + Vậy M < N Cách 2: 99 100100 + 100100 + 100 − 99 (100 99 + 1).100 − 99 M= = = = 100 99 99 99 100 99 + 100 + 100 + 100 + 99 100101 + 100101 + 100 − 99 (100100 + 1).100 − 99 N= = = = 100 100100 + 100100 + 100100 + 100100 + Vì 10099 + < 100100 + nên 99 100100 + 99 99 99 > => 100 < 100 99 100 100 + 100 + 100 99 + Vậy M < N Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau: So sánh: a, 528 2614 b, 521 12410 c, 3111 1714 d, 421 647 e, 291 535 g, 544 2112 h, 230 + 330 + 430 2410 So sánh: a) 300 b) 200  1 1 c)  −     4 8 199 1 d)    10  15 300 3    10  20 So sánh: a) A = 1315 + 1316 + 19991999 + b) A = 19991998 + 100100 + c) A = 100 99 + và B = 1316 + 1317 + 1999 2000 + B = 19991999 + 100 69 + B = 100 68 + Dạng 4: Tính tốn lũy thừa *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt cơng thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hòa số phương pháp tính tốn biến đổi 17 Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức sau với x=7 a) b) 30.5 + 213.5 27 A = 27 10 27 + M = ( x − ) ( x −5) ( x −6 )( x +6 ) ( x +5 ) với x = Hướng dẫn: Với này, học sinh khơng nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm khó đưa đáp án Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung đưa ngồi ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết tốn nhanh đến bất ngờ a) 213.5 (217 + 20 ) 30.5 + 213.5 27 A = 27 10 27 = 10 17 20 = 23 = (2 + ) + b) M = ( x − ) ( x −5 ) ( x −6)( x +6) ( x+5) Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng thay giá trị x vào M lại tìm cách dễ dàng M = ( x − ) ( x −5 ) 12 113 M = 32 ( x −6)( x +6) ( x+5) = ( − ) ( −5) ( −6 )( + ) (7+5) = = 32 = Bài tập 2: Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 125  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 c) M = 88 + 220  17 d) H = 3135 299 – 3136 36  Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a  m, a  n, (m;n) = a m.n (a, m, n ∈ N*) a) A = 102008 + 125  45 Ta có: 102008 + 125 = 100 + 125 = 100 0125 2008 số 2005 số A có tận => A  Tổng chữ số A là: 1+1+2+5 = => A  Mà (5;9) = => A  5.9 hay A  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 18 Ta khơng thể tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép chia Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 31  31 c) M = 88 + 220  17 Cách làm tương tự câu b, trước tiên phải đưa hai lũy thừa có số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17  17 d) H = 3135 299 – 3136 36  Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 313 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn: H = 3135 299 – 3136 36 H = 3135 299 – 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 – 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (3135 – 3136 )  Bài tập Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 Chứng tỏ rằng: A 3 , A 7 , A 5 Với này, giáo viên hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm / / / ….lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+… +257+259) = 3.( 2+23+25+… +257+259) => A 3 Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+…….+258) = 7.(2+24+27+…….+258) 19 => A 7 A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258) = (2+22+25+26+…….+257+258 => A 5 Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: a) D = + 32 + 33 + 34 +…… + 32007  13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n  400 Hướng dẫn: a) Ta thấy : 13 = + + nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau : D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007) =3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) +…….+ 32005.(1 + + 32) = 13 + 34 13 + …… + 32005 13 = (3 + 34 + ……+ 32005) 13 => D  13 b, Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74 ) = (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4)  400 => E  400 Bài tập 5: a) Tính tổng : Sn = + a + a2 + + an b) áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n a) Đây tốn tổng qt , giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm: Để thu gọn tổng lũy thừa nà, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa 20 * Xét a = ta có: * Xét a ≠ ta có : Sn = + + 12 + + 1n =( n +1).1 = n +1 Sn = + a + a2 + + an a Sn = a + a2 + + an+1 a Sn - Sn = an+1 – => Sn = a n +1 − a −1 b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B , C nhờ công thức Sn A = + + 32+ … + 32008 = 2009 − B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 = 21983 - 1 C = + + + +… + Bài tập 6: Thu gọn tổng sau : n-1 n +1 − +7 = n M = - + 22- 23 + … + 22008 Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh không tránh khỏi lúng túng với dấu “+”, “-“ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống nhau; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng: M = - + 22- 23 + … + 22008 2M= - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + 2009 + => M = Bài tập Tính a, A = 1 1 + + + + 100 2 2 b, B = 1+ 1 1 + + + + 500 5 5 Hướng dẫn: làm tương tự a) A = 1 1 + + + + 99 + 100 2 2 2 2A = 1+ + 1 + + + 99 2 2 21 1 1 1 + + + 99 ) – ( + + + + 100 ) 2 2 2 2 => 2A – A =(1+ + 2 A = 1+ − + 1 1 1 − + − + + 99 − 99 − 100 2 2 2 2 2100 A= b) B = 1+ 1 1 + + + + 500 5 5 5B = 5+1+ 1 1 + + + + 499 5 5 1 1 1 1 + + + + 499 ) – (1+ + + + + 499 ) 5 5 5 5 => 5B – B = (5+1+ 1 1 1 1 − + − + − + + 499 − 499 − 500 5 5 5 5 = 5+1-1+ 4B = B = (5 Bài tập 8.Tính : 500 500 ):4 B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 100 2, 982 , …, 22 thành nhóm số lại thành nhóm Ta có: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+…… +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+…….+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bài tập9: Chứng tỏ a, H = b, K = 1 1 + + + + + Mà H= , 1 < 2.3 , 1 < , …… , 3.4 1 < 2007.2008 2008 1 1 1 1 + + + + + < + + + 2 1.2 2.3 2007.2008 2007 2008 (*) 1 1 1 1 1 + + + = − + − + − + + − = 1− H < Qua tốn trên, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Bài tập 10 Chứng tỏ : a) H = 1 1 + + + + + + < 2 2003 n b) K = 1 1 1 1 + + + + + + 2< 2 10 12 14 (n∈ N * , n ≠ 1) Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 − = 1− < a) H < 1.2 + 2.3 + + (n − 1).n = − + − + − + + 2 3 n −1 n n Nên H < b) K = 1 1 1 1 1 + + + + + + ) < (1+1) = 2 = ( 2 2 (Vì theo câu a, Vậy K < 1 1 1 + + + + + < 1) 2 Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau: 1.Chứng tỏ biểu thức sau viết dạng số phương: M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53 N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63 P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73 Tính A B hai cách trở lên: A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n ∈ N*) B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 (n ∈ N) Viết tổng sau dạng lũy thừa 2; T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 So sánh: a) A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 B = 22009 – 23 b) P = + + 32+ … + 3200 Q = 3201 c) E = + x + x2+ … + x2008 F = x2009 (x ∈ N*) Chứng tỏ rằng: a, 13+33+53+73 23 (n ∈ N*) b) 3+33+35+37+……+32n+1 30 c) 1+5+ 52 + 53 +…….+ 5403+5404 31 d) 1+4+ 42 + 43 +44+……+ 499 B = 4100 Tìm số dư chia A cho 7, biết rằng: A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002 Tính: a) 3S – 22003 biết S = – + 22 - 23 +……+ 22002 b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - – H = + 3+ 32 + 33 +……+ 320 c) H – K biết: K = 321 : 8.Tìm : a) Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100 b) Chữ số tận M biết : M = 2+ 22 + 23 +… + 220 Chứng tỏ : a) 87 – 218 14 h, 122n+1 + 11n+2 133 c) 817 – 279 - 913 405 b) 106 – 57 59 i, 70+71+72+73+… +7101 8 k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 5 d) 1099+23 9 l, 2000+20002+20003 + ……+20002008 2001 e) 1028 + 72 m, 3+ 35 + 37 +……+ 31991 13 41 10 Chứng tỏ rằng: a) 1 1 + + + + < 2 2 100 b) 1 1 1 < + + + + < 6 100 Dạng 5: Tốn có lời văn với lũy thừa Dạng tốn đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương Số phương bình phương số tự nhiên *Phương pháp: Cần nắm số kiến thức sau: +) Số phương tận 0, , 4, 5, 6, tận 2, 3, 7, +) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ 24 +) Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương Bài tập 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để phép tính MÙI MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn trả lời giúp Phân tích đề bài: Đề hay, tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) MÙI số có chữ số Theo (*) (MÙI)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi MÙI = a Ta có: a2 = 1000 TÂN + a hay a2 – a = 1000 TÂN => a.(a-1) 1000 Ta thấy a-1 a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; ) = Vậy xảy : +) a 125 a – 8 => a = 625 +) a 8 a-1 125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 376 376 = 141376 (thỏa mãn) (khơng thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N) Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI 625 625 = 390625 Bài tập 2: Đố bạn: số phương có chữ số viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2 Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận Số tận 86 chia hết cho 2, không chia hết số phương Vậy n2 có tận 36 Do số phương cần tìm 8836 Bài tập Bạn tìm số phương có chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống 25 Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = aabb = 11 a0b => a0b = 11k2 (k ∈ N ) Ta có 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => ≤ k ≤ Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 3.3 Khả áp dụng giải pháp Các giải pháp áp dụng cho tất học sinh khối lớp, tùy theo đối tượng học sinh giáo viên chọn dạng tập cho phù hợp Đặt biệt giải pháp đem lại hiệu cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh giỏi,tôi hướng dẫn em học sinh khối học chuyên đề , Kết cho thấy em khơng giải tốt tốn lũy thừa mà hào hứng với chuyên đề này, giúp em cảm thấy u thích mơn tốn nói chung phần tốn lũy thừa nói riêng Các em học sinh sau học chuyên đề nắm vững dạng tập lũy thừa để tìm phương pháp giải hợp lý cho tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt số em đội tuyển học sinh giỏi em giải vận dụng linh hoạt, nhanh chọn phương pháp tối ưu giải toán 3.5 Tàỉ liệu kèm theo gồm : khơng có Chợ Lách, ngày 15 tháng năm 2019 26 ... phần tốn lũy thừa nói riêng Các em học sinh sau học chuyên đề nắm vững dạng tập lũy thừa để tìm phương pháp giải hợp lý cho tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt số em đội tuyển học sinh. .. dụng giải pháp: Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh giỏi,tôi hướng dẫn em học sinh khối học chuyên đề , Kết cho thấy em khơng giải tốt tốn lũy thừa mà... áp dụng giải pháp Các giải pháp áp dụng cho tất học sinh khối lớp, tùy theo đối tượng học sinh giáo viên chọn dạng tập cho phù hợp Đặt biệt giải pháp đem lại hiệu cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi