Dáng điệu tiệm cận của một số bất biến của lũy thừa các iđêan phủ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HẰNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA LŨY THỪA CÁC IĐÊAN PHỦ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HẰNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA LŨY THỪA CÁC IĐÊAN PHỦ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: TS Trần Nam Trung GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Hà Nội - 2019 ii Tóm tắt Cho R = k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k H = (V, E) siêu đồ thị tập đỉnh V = {1, , n} với tập cạnh E Ta liên kết với H iđêan đơn thức khơng chứa bình phương J(H) = ∩ (xi | i ∈ E) ⊂ R E∈E J(H) gọi iđêan phủ siêu đồ thị H Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định hai bất biến quan trọng độ sâu số quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt số quy) lũy thừa iđêan phủ liên kết với hai lớp siêu đồ thị unimodular cân bằng, lũy thừa đủ lớn Dựa việc nghiên cứu đỉnh nguyên đa diện lồi, luận án đạt kết tính giảm hàm độ sâu tính tiệm cận tuyến tính số quy Bên cạnh đó, luận án đưa chặn hợp lý cho tính ổn định hai bất biến nghiên cứu Luận án chia làm chương Trong Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết mối quan hệ iđêan đơn thức không chứa bình phương siêu đồ thị; trình bày lại cơng thức Takayama; nghiên cứu tính chất quan trọng của đa diện lồi có liên quan đến phức bậc; nhắc lại tốn quy hoạch tuyến tính Trong Chương 2, chúng tơi tập trung nghiên cứu tính giảm hàm độ sâu chặn số ổn định hàm độ sâu lũy thừa iđêan phủ Trong Chương 3, tập trung nghiên cứu tính tiệm cận tuyến tính số quy lũy thừa iđêan phủ iii Abstract Let R = k[x1 , , xn ] be a polynomial ring in n variables over a field k, and H = (V, E) be a hypergraph with vertex set V, edge set E We consider a square-free monomial ideal corresponding to H as follows: J(H) := ∩ (xi | i ∈ E) ⊆ R E∈E J(H) is called cover ideal of H The main aim of this thesis focuses on studying the stability of two important invariants in commutative algbra, which are depth and Castelnuovo-Mumford regularity (regularity for short) We investigate these invariants for large enough powers of cover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs It is based on investigating polytopes with integral vertices We obtain some main resutls for non-increasing property of depth functions and the asymptotic behavior of regularity of cover ideals In addition, this thesis also gives a suitable upper bound for the index of depth stabbility, and a reasonable bound for the stable position of regularity This thesis is divided into three chapters Chapter 1, we introduce some basic notation, and resutls about the relations between square-free monomial ideals and hypergraphs; recall Takayama’s formula; study some useful properties of polytopes Chapter 2, we consider the non-increasing property of depth functions and show a suitable upper bound for the index of depth stabbility Chapter 3, we investigate the asymptotic behavior of regularity of powers of cover ideals iv Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hồn thành hướng dẫn TS Trần Nam Trung GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thu Hằng v Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn, bảo vô tận tâm sâu sát Thầy, Cô tôi: TS Trần Nam Trung GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thầy Cô bỏ nhiều công sức để không dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn, mà ln bảo cho tơi cách thức nhìn nhận người làm Tốn sống Thầy, Cô không ngừng kiên nhẫn, hết lòng lo lắng cho học trò có vơ vàn khó khăn kiến thức sức khỏe tơi Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Thầy, Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vơ sâu sắc đến GS.TSKH Lê Tuấn Hoa Thầy quan tâm sát đường học tập Thầy tạo điều kiện thuận lợi để tơi có hội tham gia hội thảo quan trọng, buổi học vấn đề Với lòng mình, tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy Tơi trân trọng cảm ơn Viện Tốn học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phòng chức Viện Toán học, tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Viện Tôi trân trọng cảm ơn GS.TSKH Ngô Việt Trung, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS TS Nguyễn Công Minh tạo điều kiện thuận lợi để tham gia sinh hoạt khoa học phòng Đại số, Viện Tốn học, seminar Viện nghiên cứu cao cấp Toán seminar Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Đoàn Trung Cường Tiến sĩ tận tâm, nhiệt thành giảng dạy kiến thức tảng Đại số giao hốn cho tơi năm đầu làm nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu - trường Đại học Khoa học; Ban chủ nhiệm Khoa Toán Tin - trường Đại học Khoa học; Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp để tơi vừa hồn vi thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Trường Tơi xin cảm ơn anh, chị nghiên cứu sinh học tập, nghiên cứu Phòng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ học tập sống Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ anh chị em gia đình tơi Đặc biệt Chồng hai nhỏ, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày, tháng Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương Tác giả Nguyễn Thu Hằng vii Bảng ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Q tập số hữu tỷ R tập số thực depth hàm độ sâu H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V tập cạnh E J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H I(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H (I) độ trải giải tích iđêan I dstab(I) số ổn định độ sâu iđêan I reg(I) số quy Castelnuovo-Mumford iđêan I Γm (M ) môđun xoắn M Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá m G(I) tập sinh đơn thức tối tiểu iđêan I ∆ phức đơn hình I∆ iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner phức đơn hình ∆ F(∆) tập mặt cực đại phức đơn hình ∆ ∆(I) phức đơn hình liên kết với iđêan I A(H) ma trận liên thuộc siêu đồ thị H C• (∆, k) phức rút gọn ∆ k Hi (∆, k) đồng điều đơn hình rút gọn thứ i ∆ k viii CSα đối giá véctơ α ∆α (I) phức bậc st∆ F phức đơn hình F ∆ Im lũy thừa thông thường thứ m iđêan I I (m) lũy thừa hình thức thứ m iđêan I R(I) vành Rees iđêan I G = (V (G), E(G)) đồ thị với tập đỉnh V (G) tập cạnh E(G) M ghép cặp đồ thị ν0 (G) số ghép cặp có thứ tự (M ) bậc không triệt tiêu lớn Hmi (M ) ix Danh sách hình vẽ 1.1 Siêu đồ thị 14 1.2 Siêu đồ thị cân 16 1.3 Siêu đồ thị cân không unimodular 17 1.4 Phức đơn hình 2.1 Đồ thị H4 36 2.2 Đồ thị C5 45 2.3 Một ghép cặp C5 45 19 67 = dimk Hp−|CSβ |−1 (∆β (J(H)s ); k) = Nói cách khác, Hmp (R/J(H)t )α = ap (R/J(H)t ) |α | = |α| − (n − m) = dt − (f + n − m) = dt − e, với e := f + n − m Chú ý d f m2 + (n − m) e n2 Lập luận β = (β1 , , βm , −1, , −1) |β| = δ(Ps ) Do đó, s r n + |β| = δ(Ps ) = ds − f ap (R/J(H)s ) = |β | = |β| − (n − m) = ds − (f + n − m) = ds − e Ta suy điều phải chứng minh Định lý sau kết thứ mà chúng tơi đạt Nó dáng điệu tiệm cận (R/J(H)s ) theo biến s Định lý 3.10 Cho H siêu đồ thị unimodular i số nguyên không âm Khi (R/J(H)s ) = −∞ với s số nguyên dương d e, với d s 1, tồn e, cho (R/J(H)s ) = ds − e với n2 Chứng minh Nếu n = R = k[x1 ] J(H) = (x1 ) Do định lý trường hợp Vì vậy, giả sử n (R/J(H)k ) = −∞ với k Theo Bổ đề 3.9 ta có (R/J(H)t ) = −∞ với t n2 Ta ý r Giả sử s0 số nguyên cho s0 n r n n +1 + n2 2, (R/J(H)s0 ) = −∞ Từ Bổ đề 3.9, tồn số nguyên d e với d n2 cho e (a) (R/J(H)s0 ) = ds0 − e; (b) (R/J(H)t ) dt − e với t r n + Chúng ta chứng minh (R/J(H)s ) = ds − e với s Thật vậy, với s b với a b n2 n2 , lại theo Bổ đề 3.9, tồn số nguyên dương a n2 cho 68 (c) (R/J(H)s ) = as − b; (d) (R/J(H)t ) at − b với t Từ (b) (c) ta có as − b r b, e + ds − e, đương tương (a − d)s Ta có n b − e (3.18) n2 , |b − e| = max{b − e, e − b} với Bất đẳng thức (3.18), ta có a n2 − < s Cùng d Một cách tương tự, từ (a) (d) ta có d (d − a)s0 a e − b, (3.19) a = d Kết hợp đẳng thức với Bất đẳng thức (3.18) Bất đẳng thức (3.19), ta nhận e b b e Do ta có b = e Khi ta có (R/J(H)s ) = as − b = ds − e Ta suy điều cần phải chứng minh Cuối cùng, thu kết thứ hai, kết quan trọng chương tính tiệm cận tuyến tính số quy luỹ thừa iđêan phủ J(H) Định lý 3.11 Cho H siêu đồ thị unimodular với n đỉnh có hạng r Khi tồn số ngun khơng âm e cho reg J(H)s = d(J(H))s + e với s dim R/J(H) − d(J(H)) + r n + Chứng minh Nếu n = r = 1, J(H) iđêan định lý trường hợp Vì vậy, giả sử n r Đặt δ := dim R/J(H), rõ ràng δ < n J(H) = Do reg R/J(H)t ) = max{ai (R/J(H)t ) + i | i = 0, , δ} với t 69 Theo Định lý 3.10 ta suy rằng, tồn số nguyên t0 , d e với δ − d cho e reg R/J(H)t = dt + e với t t0 (3.20) Theo Công thức (1.5) ta có reg J(H)t = reg R/J(H)t + 1, so sánh với [46, Theorem 5] ta suy d = d(J(H)) e δ − d(J(H)) có e max{t0 , 2n2 } Ta giả sử Gọi k số nguyên cho k reg R/J(H)k = (R/J(H)k ) + i, với số nguyên không âm a b với a (R/J(H)t ) b i δ Từ Bổ đề 3.9, tồn n2 , cho (R/J(H)k ) = ak − b b at − b với t Đặt b := −b + i, −n2 −1 Do ta r n + i−a δ − a, reg R/J(H)k = ak + b n + (3.21) Do reg R/J(H)k = ak + b = dk + e, nên ta có (d − a)k = b − e Cùng reg R/J(H)t với bất đẳng thức |b − e| at + b với t |b| + e r n2 + δ + n2 + n < 2n2 k, ta suy d = a b = e Do ta thấy Bất đẳng thức (3.21) trở thành n + (3.22) Mục đích ta bất đẳng thức kể thực reg R/J(H)t dt + e với t r chất đẳng thức định lý thỏa đáng reg J(H)t = reg R/J(H)t + với t Thật vậy, để chứng minh điều đó, ta gọi s số nguyên cho s r f với f n + Từ lập luận trên, ta có tồn số nguyên c δ − c, cho reg R/J(H)s = cs + f and reg R/J(H)t ct + f với t r n + Theo Bất đẳng thức (3.20) (3.23) ta nhận c (3.23) d 70 Vì reg R/J(H)s = cs+f , theo Bất đẳng thức (3.22) ta có cs+f Vì (d − c)s biệt f f − e Mặt khác c −1 Rõ ràng n f −e Kết hợp với (d − c)s s r (δ − c) + f − e c d, nên ta suy f ds+e e, đặc 2, ta có δ