Dáng điệu tiệm cận của một số bất biến của lũy thừa các iđêan phủ tt

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HẰNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA LŨY THỪA CÁC IĐÊAN PHỦ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 Luận án hồn thành tại: Viện Tốn học-Viện Hàn lâm khoa học Công nghệ Việt Nam Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Trần Nam Trung GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại: Viện Toán học - Viện Hàn lâm khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi .giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Viện Toán học Mở đầu Trong Đại số, đặc biệt Đại số giao hốn, tính ổn định số bất biến vấn đề quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Nhìn lại lịch sử phát triển vấn đề này, ta thấy nghiên cứu từ lâu Thật vậy, năm 50 kỷ 20, kết kinh điển Hilbert - Samuel hàm độ dài (R/ms ), (R, m) vành Noether, địa phương, đa thức số mũ s đủ lớn, bậc đa thức chiều vành R Đến năm 1979, kết tiếng M Brodmann tập iđêan nguyên tố liên kết {Ass(R/I s )}s∈N dãy {depth(R/I s )}s∈N ổn định số mũ đủ lớn Cùng năm đó, S McAdam - P Eakin (xem S McAdam, P Eakin, 1979) chứng minh {Ass(R/I s )}s∈N tập ổn định s đủ lớn (trong I s bao đóng nguyên I s ) Cho đến nay, toán thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Bên cạnh đó, xuất thêm vài bất biến khác nghiên cứu cách tích cực như: số quy Castelnuovo-Mumford (S Cutkosky, 2000; S Cutkosky, J Herzog, N V Trung, 1999; H T Hà, 2011; V Kodiyalam, 2000; N V Trung, H Wang, 2005), số quy hàm Hilbert (L T Hoa , E Hyry, 2003; T N Trung, 2009), số mũ rút gọn (L T Hoa, 2002) Mục đích luận án nghiên cứu tính ổn định hai số bất biến kể trên, là: nghiên cứu tính ổn định hàm độ sâu tính tiệm cận tuyến tính số quy Castelnuovo - Mumford Ta biết lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương iđêan quen thuộc có nhiều ứng dụng Lớp iđêan có kết nối mạnh mẽ Đại số giao hoán với Tơpơ Tổ hợp Chính vậy, luận án tập trung nghiên cứu bất biến có liên quan đến lũy thừa lớp iđêan quan trọng Cho H = (V, E) siêu đồ thị đơn tập đỉnh V = {1, , n} tập cạnh E = {E1 , , Em } Iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H, iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, định nghĩa sau: xi | τ phủ tối tiểu H), J(H) := ( i∈τ Iđêan xác định phân tích nguyên sơ sau: J(H) = ∩ (xi | i ∈ E) E∈E Bài toán mà quan tâm nghiên cứu dáng điệu hàm độ sâu depth R/J(H)s , J(H) iđêan phủ siêu đồ thị cân Kết M Brodmann (1979) cho ta biết depth R/I s , I ⊆ R iđêan nhất, số số mũ s đủ lớn Hơn ông lim depth R/I s dim R − (I) s→∞ với (I) độ trải giải tích iđêan I J Herzog, A Rauf M Vladoiu (xem J Herzog, A Rauf, M Vladoiu, 2013) gọi vị trí nhỏ mà tính ổn định bắt đầu xảy số ổn định độ sâu hàm độ sâu, họ ký hiệu dstab(I) Tuy nhiên, giới hạn dãy depth R/I s hồn tồn rõ ràng với s < dstab(I), dáng điệu hàm độ sâu vấn đề phức tạp Chẳng hạn tác giả H T Hà, H D Nguyen, N V Trung, T N Trung I iđêan đơn thức vành đa thức hàm độ sâu hàm số học hội tụ Chính thế, chúng tơi tìm hiểu hai câu hỏi tự nhiên sau: Chính thế, chúng tơi tìm hiểu hai câu hỏi tự nhiên sau: 1) Dáng điệu hàm độ sâu iđêan I s < dstab(I)? 2) Tìm chặn cho dstab(I)? Với I ⊆ R = k[x1 , , xn ] iđêan đơn thức Hàm độ sâu I gọi hàm giảm depth R/I s depth R/I s+1 , với s Năm 2005, J Herzog T Hibi đưa câu hỏi rằng: I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương hàm độ sâu có phải hàm giảm hay khơng Tuy nhiên, có phản ví dụ T Kaiser, M Stehl´ik, ˇ R Skrekovski đưa vào năm 2014 cho giả thuyết J Herzog T Hibi Cho đến nay, người ta biết đến vài lớp iđêan đơn thức mà hàm độ sâu có tính giảm, chẳng hạn: iđêan đơn thức mà tất lũy thừa có thương tuyến tính (J Herzog, T Hibi, 2005), iđêan phủ đồ thị hai phần (A Constantinescu, M R Pournaki, S A Seyed Fakhari, N Terai, S.Yassemi, 2015), lũy thừa hình thức iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (L T Hoa , K Kimura, N.Terai, T N Trung, 2017) số lớp khác Trong luận án này, nghiên cứu câu hỏi 1) cho iđêan phủ lớp siêu đồ thị cân Chúng chứng minh depth R/J(H)s với J(H) iđêan phủ siêu đồ thị cân H hàm giảm (xem Định lý 2.2) Sau đó, chúng tơi suy hệ dáng điệu hàm depth R/J(H)s với J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị unimodular (xem Hệ 2.5), Mệnh đề 1.14 cho thấy siêu đồ thị unimodular cân Hạn chế hai siêu đồ thị xuống trường hợp đồ thị ta thu đồ thị hai phần Do thu lại kết dáng điệu hàm độ sâu iđêan phủ đồ thị hai phần giống kết (A Constantinescu, M R Pournaki, S A Seyed Fakhari, N Terai, S Yassemi (2015), “Cohen-Macaulayness and limit behavior of depth for powers of cover ideals”, Communications in Algebra, 43, pp 143–157) Đối với câu hỏi thứ 2), vào năm 2005, J Herzog - A Qureshi đưa giả thuyết dstab(I) < (I), I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (I) := dim R(I)/mR(I) độ trải giải tích iđêan I Giả thuyết vài lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, chẳng hạn: iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Veronese (J Herzog, T Hibi, 2005), iđêan polymatroidal (J Herzog, A A Qureshi, 2015), iđêan cạnh đồ thị (T N Trung, 2016), Chúng nghiên cứu câu hỏi này, nhiên hai lớp siêu đồ thị mà nghiên cứu, dstab(J(H)) n (xem Định lý 2.3 Hệ 2.5), n chiều vành đa thức R Tuy chưa đạt đến giả thuyết J Herzog A Qureshi, chặn mà đạt hợp lý (theo nghĩa dstab(J(H)) bị chặn hàm tuyến tính theo số biến vành R) Hơn nữa, đồ thị hai phần đạt chặn cho số ổn định độ sâu giả thiết mà J Herzog A Qureshi đưa Bài toán mà chúng tơi quan tâm tính tiệm cận tuyến tính số quy Castelnuovo - Mumford lũy thừa iđêan phủ liên kết siêu đồ thị unimodular, ký hiệu reg J(H)s Ta biết số quy Castelnuovo - Mumford bất biến quan trọng Đại số giao hốn Hình học Đại số Bất biến cung cấp nhiều thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số mơđun phân bậc Nếu định nghĩa số quy Castelnuovo - Mumford môđun phân bậc hữu hạn sinh M đại số phân bậc chuẩn R theo bậc triệt tiêu nhỏ môđun đối đồng điều địa phương, số quy Castelnuovo - Mumford chặn bậc cực đại hệ sinh tối tiểu M Mặt khác, R vành đa thức trường k với phân bậc chuẩn M R−mơđun, ta biết giải tự tối tiểu M có độ dài hữu hạn số quy Castelnuovo - Mumford M chặn cho tất bậc sinh môđun xoắn M Việc tính tốn hay tìm chặn cho số quy vấn đề khó, số quy luỹ thừa iđêan có dáng điệu đẹp Với R vành đa thức I ⊆ R iđêan Năm 1999, D Cutkosky-J Herzog-N V Trung độc lập với V Kodiyalam chứng minh rằng: tồn số nguyên không âm d, e s0 cho reg(I s ) = ds + e với s s0 Hơn nữa, chặn hệ số d qua bậc lớn phần tử sinh I Nếu I sinh phần tử bậc d bậc phần tử sinh Tuy nhiên, việc xác định xác số e vị trí mà tính tuyến tính xảy câu hỏi phức tạp Một cách tự nhiên, D Eisenbud B Ulrich đặt câu hỏi sau: Số e xác định chặn s0 hợp lý? Hai vấn đề nêu thu hút quan tâm nhiều tác giả Chúng ta biết đến số chặn phù hợp cho s0 chẳng hạn I iđêan cạnh đồ thị rừng đồ thị unicyclic, hay I iđêan m−nguyên sơ Mặt khác, từ định nghĩa reg I s = + reg R/I s = + max{ai (R/I s ) + i | i = 0, , dim R/I}, ta đặt câu hỏi tương tự dáng điệu tiệm cận reg I s : liệu (R/I s ) có phải hàm tuyến tính s đủ lớn hay khơng? reg I s Tuy nhiên, S Cutkosky đưa ví dụ lims→∞ s số vơ tỷ, nên (R/I s ) hàm tuyến tính n đủ lớn Đối với iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, năm 2010, L T Hoa T N Trung (R/I s ) hàm tựa tuyến tính với s đủ lớn với hệ số đầu không đổi Nhưng bất biến (R/I s ) có tiệm cận đến hàm tuyến tính s đủ lớn hay khơng câu hỏi mở Như nói trên, iđêan đơn thức khơng chứa bình phương iđêan quan trọng có ý nghĩa lớn kết nối nhánh quan trọng tốn học với Vì vậy, tập trung nghiên cứu số quy lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương đặc biệt Đó iđêan phủ siêu đồ thị unimodular Khi J(H) iđêan phủ siêu đồ thị unimodular Chúng tơi chứng minh tính tiệm cận tuyến tính bất biến (R/J(H)s ) (xem Định lý 3.10) Từ suy tính tiệm cận đến hàm tuyến tính reg J(H)s (xem Định lý 3.11) Chúng chặn số e s0 thông qua hạng siêu đồ thị, bậc sinh cực đại iđêan phủ J(H) Công cụ mà sử dụng để nghiên cứu hai tốn kể cơng thức Takayama (xem Y.Takayama, 2005), mở rộng công thức Hochster cho việc tính mơđun đối đồng điều địa phương cho iđêan đơn thức Bằng việc sử dụng công thức Takayama, chúng tơi chuyển việc nghiên cứu tốn đại số sang nghiên cứu vấn đề tổ hợp, cụ thể nghiên cứu phức bậc (xem Định nghĩa 1.11), sau từ phức bậc chuyển qua nghiên cứu đỉnh nguyên đa diện lồi Rn Vì nói, chúng tơi sử dụng lý thuyết đa diện lồi chìa khóa quan trọng để đạt kết luận án Ngồi chúng tơi sử dụng số tính chất tốn quy hoạch tuyến tính cho q trình chứng minh kết Tiếp theo chúng tơi giới thiệu cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, bảng ký hiệu, danh mục hình vẽ, luận án chia làm ba chương Chương giới thiệu kiến thức cần thiết cho toàn luận án Chương bao gồm sáu mục Mục 1.1 giới thiệu lại định nghĩa số tính chất môđun đối đồng điều địa phương, độ sâu, số quy Castelnuovo - Mumford, bất biến Mục 1.2 trình bày lại khái niệm hai lớp siêu đồ thị dùng luận án: siêu đồ thị unimodular siêu đồ thị cân Mục 1.3, giới thiệu lại ba lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương liên kết với hai đối tượng tổ hợp là: iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình iđêan phủ iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị Trong Mục 1.4, chúng tơi trình bày đồng điều rút gọn phức đơn hình, cơng thức Takayama Trong Mục 1.5, chúng tơi dành để nói tập lồi đa diện tốn quy hoạch tuyến tính Mục 1.6 chúng tơi chứng minh chi tiết tính chất đỉnh nguyên đa diện lồi, tính chất dùng nhiều lần chương sau Trong Chương 2, chúng tơi chứng minh tính ổn định hàm độ sâu iđêan phủ Trong Mục 2.1, chúng tơi trình bày số vấn đề chung tính giảm hàm độ sâu chặn cho số ổn định độ sâu iđêan vành đa thức Mục 2.2, nghiên cứu tính giảm dãy {depth R/J(H)s }s∈N chặn cho số ổn định độ sâu với J(H) iđêan phủ siêu đồ thị cân (xem Định lý 2.2), từ suy tính giảm depth R/J(H)s , với J(H) iđêan phủ siêu đồ thị unimodular (xem Hệ 2.4) Trong Mục 2.3, chúng tơi nghiên cứu tính giảm dãy {depth R/J(G)s }s∈N , với J(G) iđêan phủ lớp đồ thị hai phần (xem Định lý 2.15) Chương chúng tơi dành để nghiên cứu tính tiệm cận tuyến tính số quy Castelnuovo - Mumford, bất biến Cụ thể Mục 3.1, chúng tơi giới thiệu chung tốn số quy iđêan đơn thức vành đa thức, động dẫn đến vấn đề nghiên cứu Mục 3.2, chứng minh tính tiệm cận bất biến (R/J(H)s ) (xem Định lý 3.10), với J(H) iđêan phủ siêu đồ thị unimodular, kết bất biến Từ dáng điệu (R/J(H)s ), chứng minh kết quan trọng tính tiệm cận tuyến tính số quy luỹ thừa iđêan phủ reg J(H)s = d(J(H))s + e (xem Định lý 3.11), e dim R/J(H) − d(J(H)) + s r n + 9 Chương Một số vấn đề chuẩn bị Chương nhằm mục đích nhắc lại số khái niệm kết biết Đại số giao hốn như: mơđun đối đồng điều địa phương, độ sâu, số quy giúp cho việc trình bày chương sau rõ ràng có hệ thống Chúng tơi giới thiệu kết hữu dụng để tính chiều mơđun đối đồng điều địa phương iđêan đơn thức bất kỳ, gọi công thức Takayama Công thức công cụ chủ yếu mà dùng cho chương sau Chúng nhắc lại số khái niệm đa diện lồi toán quy hoạch tuyến tính mà chúng tơi cần dùng để chứng minh kết luận án 1.1 Về độ sâu số quy Chúng tơi trình bày lại định nghĩa số tính chất triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương, định nghĩa độ sâu thơng qua tính triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương, định nghĩa số quy Castelnouvo-Mumford 10 1.2 Siêu đồ thị cân siêu đồ thị unimodular Mục trình bày khái niệm siêu đồ thị, siêu đồ thị cân bằng, siêu đồ thị unimodular mối quan hệ hai lớp siêu đồ thị 1.3 Một số cách mô tả iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Chúng tơi miêu tả số lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương thường gặp: Iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình, iđêan phủ iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị 1.4 Công thức Takayama Cho I iđêan đơn thức, ta biết Hmi (R/I) Zn -môđun phân bậc R/I Với α = (α1 , , αn ) ∈ Zn , ta có Hmi (R/I)α thành phần phân bậc α Hmi (R/I) Chú ý Hmi (R/I)α k-không gian véctơ Để tính chiều khơng gian véctơ này, luận án sử dụng công thức đưa Takayama Trước hết xét phức bậc sau: ∆α (I) := {F \CSα | CSα ⊆ F ⊆ V, với xb ∈ G(I), tồn i ∈ / F cho αi < bi }, Công thức Takayama phát biểu sau: Định lý 1.26 ([Takayama, Định lý 1]) dimk Hmi (R/I)α = dimk Hi−|CSα |−1 (∆α (I); k) 11 Khi I iđêan đơn thức bất kỳ, việc mô tả ∆α (I m ) với m tương đối khó Tuy nhiên, với I = J(H) iđêan phủ siêu đồ thị cân bằng, luận án đưa miêu tả rõ ràng sau: Bổ đề 1.30 Cho H = (V, E) siêu đồ thị cân tập đỉnh V = {1, , n} α = (α1 , , αn ) ∈ Nn Khi với m ta có ∆α (J(H)m ) = V \ E | E ∈ E and αi m−1 i∈E 1.5 Tập lồi đa diện toán quy hoạch tuyến tính Chúng tơi trình bày lại số định nghĩa, tính chất số kết quan trọng tập lồi đa diện toán quy hoạch tuyến tính mà chúng tơi cần dùng chương sau 1.6 Phức bậc đa diện lồi Cho H = (V, E) siêu đồ thị tập đỉnh V = {1, , n} tập cạnh E = {E1 , , Em } với m 1, J(H) iđêan phủ H Khi ta có ∆(J(H)) = V \ E1 , , V \ Em phức đơn hình nhận J(H) làm iđêan Stanley - Reisner Giả sử p 0, s 1, α = (α1 , , αn ) ∈ Nn cho ∆α (J(H)s ) = V \ E1 , , V \ Er , với r m (1.1) 12 Để tìm hiểu véctơ α thoả mãn Đẳng thức (1.1) luận án xét tập nghiệm Rn hệ bất phương trình tuyến tính sau:    x