SKKN phương pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên I Lời giới thiệu Trong trường phổ thơng, Tốn học mơn quan trọng H ọc sinh nắm vững tri thức toán học có kĩ th ực hành mơn tốn học tốt mơn học khác Mơn tốn đóng góp tích c ực vào vi ệc giáo dục cho học sinh đức tính quý báu người lao đ ộng: c ần cù, nhẫn nại, làm sở hình thành, phát triển tư khoa học, tư logic, cho học sinh Một yếu tố quan trọng định chất lượng dạy học tốn việc tổ chức có hiệu hoạt động giải tập toán cho phù h ợp v ới đối tượng học sinh lớp Muốn vậy, người th ầy ph ải ch ọn l ọc, phân loại tập theo dạng cho phù h ợp v ới t ừng đ ối t ượng h ọc sinh để em tự tìm cách để làm nh ất tốn mà thầy cho Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh bắt đầu học luỹ th ừa từ lớp Sau đó, kiến thức luỹ thừa dùng phổ biến rộng rãi Đây nội dung hay có nhiều tốn khó, đòi h ỏi học sinh ph ải v ận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu h ọc sinh có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Tuy nhiên, sách giáo khoa giới thiệu công th ức luỹ th ừa, d ạng tốn đưa vào chương trình đơn điệu, chưa có đủ dạng tập, tập khó, tập sâu phát tri ển ki ến th ức nâng cao qua dạng tốn luỹ thừa Vì mà học sinh nhầm lẫn biến đổi tốn có liên quan đến lũy thừa, chí nhiều em nghĩ tốn có lũy thừa thường khó nên có tốn lũy th ừa th ường bỏ qua Trong đó, tốn luỹ thừa với số mũ t ự nhiên sách tham khảo mơn tốn, tạp chí tốn học th vi ện ện t r ất đa dạng phong phú Do đó, đòi hỏi người thầy phải biết tổng h ợp, phân loại dạng toán thường gặp phương pháp để giải chúng để h ướng dẫn học sinh tìm tòi, định hướng cách giải đúc rút kinh nghi ệm cho thân Chính thế, thân tơi thấy cần phải có đề tài v ề d ạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên phương pháp gi ải chúng đ ể giúp học sinh vận dụng linh hoạt kiến th ức nh phát tri ển cho h ọc sinh tính tư duy, sáng tạo học giải toán luỹ th ừa Đó lý tơi viết sáng kiến: “ Phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên ” II Nội dung Cơ sở lí luận Nghiên cứu chương trình mơn tốn THCS, tơi thấy kiến thức luỹ thừa trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu Tuy nhiên, qua trình dạy học phần luỹ thừa thấy nhiều học sinh làm đựơc toán mức độ đơn giản áp dụng trực tiếp kiến th ức SGK ch ứ ch ưa biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Khi gặp tốn khó nh so sánh luỹ thừa, tốn chứng minh, tốn chia hết, …thì em lúng túng cách giải, khơng có cách giải chặt chẽ, vận dụng ki ến th ức ch ưa sáng tạo Trước thực trạng trên, dạy phần GV cần cung cấp cơng thức nâng cao luỹ thừa cho học sinh cách vững chắc, từ toán biết khai thác nhiều dạng toán nâng cao; t xây dựng phương pháp giải phù hợp cho dạng Cụ th ể, giáo viên c ần yêu cầu học sinh nắm kiến thức sau: a Định nghĩa: Luỹ thừa bậc n a tích n thừa số nhau, thừa số a an = a.a… .a (n thừa số a) b Các công thức luỹ thừa: ( với n, m ỴN*; x, y Ỵ R; x, y 1, xn = x.x…x 2, xn xm = xn + m 3, xn : xm = xn - m ( n thừa số x) (n >m ) 0) 4, (xn)m = xn m 5, (x y)n = xn yn 6, (x : y)n = xn : yn * Quy ước: xo =1; x1 = x Một số dạng toán lũy thừa với số mũ tự nhiên ph ương pháp gi ải Qua thực tế giảng dạy, phân loại tổng hợp lại ph ương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên nh sau: Tính giá trị biểu thức * Phương pháp giải: - Áp dụng công thức lũy thừa - Biến đổi luỹ thừa biểu thức luỹ thừa c s ố nguyên tố - Có thể sử dụng tính chất ab ± ac = a (b ± c), đưa tử mẫu dạng tích - Rút gọn phân số Ví dụ 1: Viết kết phép tính sau dạng luỹ th ừa: a, 420 810 b, 2715 : 910 c, 920 : (0,375)40 Giải: a, 420 810 = (22)20 (23)10 = 240 230 = 270 b, 2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325 c, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: A= B= Giải: A= = = B= = = 23 = = = = = * Những sai lầm (hạn chế học sinh) giải dạng tốn trên: Khi làm ví dụ 1, học sinh th ường mắc sai lầm tính tốn sai, nh ầm lẫn phép nâng lên luỹ thừa phép nhân (có th ể h ọc sinh l c s ố nhân với số mũ), học sinh áp dụng sai công thức v ề luỹ thừa Do đó, q trình giảng dạy, giáo viên cần h ướng d ẫn h ọc sinh thật chi tiết cách vận dụng công thức luỹ th ừa Khi làm ví dụ 2, học sinh thường sai lầm ch ưa đ ưa tử m ẫu v ề d ạng tích rút gọn hay chưa biến đổi luỹ thừa biểu th ức luỹ thừa với số số nguyên tố *Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức: A = ; B= 2 Tìm số số mũ luỹ thừa Ví dụ 1: Tìm x Ỵ N biết: a, b, c, d, =9 Giải: a, 2x 23 = 27 b, =9 = 32 = (-3)2 2x = 27 : 23 2x = x=4 c, Trường hợp 1: Nếu x – = x = (vì 06 = 07 = 0) Trường hợp2: Nếu x – ¹ 0, chia vế cho (x – 3) ta hay x – = d, Cách 1: Cách 2: x=4 x = x = (vì 0100 = 1100 = 1) Qua q trình giảng dạy mơn Tốn THCS, tổng h ợp kinh nghiệm thân học hỏi bạn bè, đồng nghiệp để viết đề tài Đ ối v ới khối, lớp trình bày theo cách khác cho phù h ợp v ới đối tượng học sinh Chẳng hạn, ví dụ d, đối v ới h ọc sinh l ớp 6, l ớp trình bày cách sau: Tích Vậy = = * Nhận xét: Ở câu a ta biến đổi vế đẳng thức luỹ thừa c số, đẳng thức xảy số mũ vế Ở câu b ta biến đổi vế luỹ thừa số mũ, đẳng thức xảy số vế Ở câu c, d ta sử dụng cơng thức 0n = 1n = (nỴN*) đưa dạng tích(câu d) Ví dụ 2: Cho A= + 32 + 33 +…+ 32008 Tìm x biết: 2A + = 3x Giải : Ta có 3A = 3( + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009 A = + 32 + 33 +…+ 32008 trừ vế cho vế hai đẳng thức trên, ta được: 3A – A = 32009- 2A = 32009- 2A + = 32009- + 2A + = 32009 lại có: 2A + = 3x Suy ra: 32009 = 3x x = 2009 * Nhận xét: Từ ví dụ ta rút tốn tổng quát: A = n + n2 + n3 +…+ nk nA – A = nk+1- n A= ( n, k Î N; n >1, k ³ 1) Mở rộng toán ẩn x, y sau:(dùng bồi dưỡng học sinh giỏi) Ví dụ 3: Tìm x, y biết: a, + b, 2x + 2x+3 = 136 Giải: a, Vì (x-3)2 ³ "x (y+2)2 ³ "y =0 Để + =0 b, Vì 136 = 2.4 + 27 Nên 2x + 2x+3 = 2.4 + 27 x=4 * Nhận xét: Câu a, b hạng tử lớn nên t c chúng hạng tử Câu c ta biến đổi vế phải dạng tổng thích h ợp v ới v ế trái, đ ẳng thức xảy ta đồng hạng tử thích hợp vế Bài tốn sở để phát triển tốn cao khó sau: Ví dụ 4*: Tìm số tự nhiên x, y biết: a, 2x+1 3y = 12x b, 23x 7y = 562x 5x-1 d, 5x + 5y = 3250 (x < y) Giải a, 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = (2.3)x 2x+1 3y = 22x 3x x = y =1 b, 23x = 562x 5x-1 23 23x = (23.7)2x 5x-1 = 26x 72x 5x-1 c, 5x + 5y = 3250 (x < y) 5x(1 + * Nhận xét: ) = 53.26 Ta biến đổi vế luỹ thừa số nguyên tố, đẳng thức xảy số mũ luỹ thừa số vế (câu a) Đồng thời triệt tiêu số mũ luỹ thừa không số(câu b) so sánh hai luỹ thừa số(câu c) Qua số ví dụ trên, rút phương pháp giải dạng 2: Biến đổi hai vế phương trình để đưa so sánh luỹ thừa số số mũ Hoặc biến đổi số cho dạng luỹ thừa với số số mũ thích hợp, sau đưa phương trình tích đồng hạng t thích hợp hai vế Áp dụng tính chất: Luỹ thừa bậc chẵn số ln khơng âm để đưa phương trình tổng hai số khơng âm khơng tất số hạng khơng *Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm x biết: a, (2x + 3)4 = 2401 b, 32x 27 = 2187 Bài 2*: Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn: a, 2x 3y+2 = 122y b, 2x + 3x = 5x Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối với giáo viên: Trong trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình SGK, soạn giáo án cụ thể, chi ti ết; thiết k ế giảng sinh động để thu hút học sinh tham gia vào gi ảng Bên c ạnh đó, giáo viên cần đầu tư thời gian tìm tòi, lựa chọn xây dựng hệ thống toán theo dạng tập để rèn kĩ vận dụng, trình bày giải, phát triển tư cho học sinh, qua giúp em tự tin h ứng thú h ọc tập Đối với học sinh: Các em cần có đầy đủ SGK, SBT nh d ụng c ụ h ọc tập Các em cần nắm kiến thức bản, hiểu chất c đ ể vận dụng vào làm đúng, thành thạo tập SGK, sách tập Từ đó, khai thác để làm số tập nâng cao n ắm đ ược số phương pháp giải phù hợp cho dạng Đối với nhà trường: Cần trang bị sở vật chất đầy đủ như: phòng học đạt chuẩn, thiết bị dạy học, thư viện , … đảm bảo tốt cho điều kiện dạy học giáo viên học sinh  ... vế luỹ thừa số nguyên tố, đẳng thức xảy số mũ luỹ thừa số vế (câu a) Đồng thời triệt tiêu số mũ luỹ thừa không số( câu b) so sánh hai luỹ thừa số( câu c) Qua số ví dụ trên, rút phương pháp giải dạng. .. hợp lại ph ương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên nh sau: Tính giá trị biểu thức * Phương pháp giải: - Áp dụng công thức lũy thừa - Biến đổi luỹ thừa biểu thức luỹ thừa c s ố ngun... hai vế phương trình để đưa so sánh luỹ thừa số số mũ Hoặc biến đổi số cho dạng luỹ thừa với số số mũ thích hợp, sau đưa phương trình tích đồng hạng t thích hợp hai vế Áp dụng tính chất: Luỹ thừa