Phương pháp giải một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên cho học sinh lớp 7

MỤC LỤC Tran g MỞ ĐẦU ………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………… 2.3.1 Các kiến thức lũy thừa ……………………………… 2.3.2 Các dạng toán lũy thừa …………………………………… 2.3.2.1 Dạng Tính giá trị lũy thừa……………………………………… 2.3.2.2 Dạng Viết kết phép tính dạng lũy thừa… 2.3.2.3 Dạng Tính giá trị biểu thức 2.3.2.4 Dạng Dạng tốn tìm x……………………………………………… 2.3.2.5.Dạng 5.Thu gọn biểu thức có dạng tổng lũy thừa có qui luật 10 2.3.2.6 Dạng So sánh hai lũy thừa…………………………………… 11 2.3.2.7 Dạng Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa………… 13 2.3.3 Một số tập tự luyện…………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với 15 thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………… KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………… 15 3.1 Kết luận …………………………………………………………… 15 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… ………… 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 17 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học tự nhiên lý thú Nó hút người từ cịn nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi mơn tốn nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy mơn tốn, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức bản, biết khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, nhanh nhạy giải tốn từ học mơn đại số lớp Đó tiền đề để em học tốt mơn đại số sau Trong tốn học, “Tốn luỹ thừa” mảng kiến thức rộng lớn, chứa đựng nhiều tốn hay khó Để làm tốn luỹ thừa khơng phải việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 7, em chưa có cơng cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phương pháp, kĩ tính tốn Qua q trình cơng tác giảng dạy mơn tốn lớp nhiều năm, tơi nhân thấy em “sợ” dạng tốn lũy thừa Đứng trước khó khăn học sinh không khỏi băn khoăn, trăn trở làm để em có phương pháp giải thành thạo giải dạng tốn lũy thừa Từ tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phương pháp giải số dạng toán lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7” với mong muốn giúp em học sinh giải toán lũy thừa nâng cao Bên cạnh đề tài cịn nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phương pháp giải toán luỹ thừa cho đối tượng học sinh, giúp em học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo say mê cho em học sinh u tốn nói chung tốn luỹ thừa nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề tài nhằm giúp học sinh nắm kiến thức lũy thừa - Giúp học sinh vận dụng phương pháp giải toán lũy thừa vào dạng cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng nhanh, sử dụng phương pháp thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích - Phát huy khả tư có tính logic cho học sinh Giúp em có kỹ tính tốn nhanh, xác - Tạo cho học sinh thấy thích thú học mơn tốn, đam mê tốn học - Giúp đồng nghiệp tham khảo để vận dụng tốt công tác giảng dạy phương pháp giải toán lũy thừa 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu mặt lý luận kiến thức liên quan đến lũy thừa học sinh lớp - Tìm hiểu thực trạng kĩ giải dạng toán lũy thừa học sinh lớp Từ rút kinh nghiệm, phân loại dạng toán lũy thừa hợp lí, khoa học để học sinh dễ vận dụng phút huy khả tư logic học sinh - Nghiên cứu đối tượng giáo viên giảng dạy học sinh lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để hồn thành đề tài tơi sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là: * Phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu mặt lý luận kiến thức lũy thừa * Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế trường THCS, đặc biệt lớp nơi cơng tác - Qua việc đánh giá kết học tập học sinh lớp * Phương pháp thống kê, xử lí số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Khi dạy mơn tốn 7, phần “Lũy thừa”, sách giáo khoa giới thiệu tập tương đối đơn giản, hầu hết vận dụng công thức cách đơn Nhưng thực tế, toán lũy thừa phong phú, đa dạng loại tốn khó học sinh lớp Để giải toán lũy thừa, học sinh phải biết nhận dạng toán chọn phương pháp giải phù hợp Muốn học sinh phải nắm kiến thức lũy thừa Vì để phân dạng tốn lũy thừa, tơi dựa sở: - Định nghĩa lũy thừa - Các phép toán lũy thừa - Các tính chất thứ tự so sánh hai lũy thừa 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2018 - 2019 nhà trường phân công giảng dạy mơn Tốn lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giáo viên trường, thông qua kiểm tra, thân nhận thấy em học sinh chưa thành thạo làm dạng tập lũy thừa Các em thường gặp phải khó khăn: khơng nắm kiến thức lũy thừa, chưa nhận dạng toán lũy thừa, hay nhầm lẫn cơng thức, kĩ tính tốn, biến đổi yếu, chưa biết chọn cách giải phù hợp với dạng toán Từ thực trạng với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá từ có biện pháp giảng dạy có hiệu đã tham khảo nhiều tài liệu, tham gia giải học sinh toán cho 44 em học sinh khối làm kiểm tra khảo sát trước thực chuyên đề này, kết cho thấy:  8  10 Tổng số Dưới Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số luọng Tỉ lệ % 44 22 50 18 40,9 9,1 Từ bảng ta thấy tỉ lệ học sinh làm đạt điểm giỏi thấp, số học sinh đạt điểm yếu, tương đối cao Nguyên nhân dẫn đến kết có nhiều, song theo quan điểm tơi tập trung vào nguyên nhân chủ yếu sau đây: +Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức theo phân phối chương trình cịn + Do em chưa nắm vững kiến thức luỹ thừa, chưa nắm vững phương pháp giải tốn lũy thừa chưa có kỹ giải tập phần + Kĩ trình bày học sinh dạng toán chưa rèn luyện nhiều + Giáo viên chưa tìm giải pháp hữu hiệu dạy phần kiến thức luỹ thừa Để khắc phục tồn giúp cho học sinh có kĩ giải toán lũy thừa cách linh hoạt, sáng tạo đồng thời giúp em thêm yêu thích mơn học, tơi xin trình bày số dạng tốn lũy thừa cho học sinh lớp mà tổng hợp trình giảng dạy để bạn đồng nghiệp tham khảo góp ý 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Các kiến thức lũy thừa 2.3.1.1 Định nghĩa: Lũy thừa bậc n số hữu tỉ a tích n thừa số a (n số tự nhiên lớn 1) a.a .a an =     (a∈ Q, n ∈ N, n >1) n thừa số a gọi số, n gọi số mũ - Qui ước: a1 = a a0 = ( a ≠ ) - Chú ý: 0n = ; 1n = 2.3.1.2 Các phép toán lũy thừa Nhân hai lũy thừa số a m a n = a m + n Chia hai lũy thừa số a m : a n = a m−n ( m ≥ n ; a ≠ ) Lũy thừa tích ( a.b ) n = a n b n Lũy thừa thương ( a : b) n = a n : bn ( b ≠ 0) Lũy thừa lũy thừa (a ) m n = a m.n Lũy thừa tầng n am = a (m ) n 2.3.1.3 Tính chất thứ tự 1.Nếu a n = b n thì: a = b a = −b n chẵn Nếu a n = b n a = b n lẻ Nếu a = b a n = bn Nếu a m = a n m = n Nếu a > b a m > b m ( m ≠ ) Nếu m > n ; a > a m > a n Nếu a m < b n b n < c k a m < c k 2.3.2 Các dạng tốn lũy thừa: 2.3.2.1 Dạng 1: Tính giá trị lũy thừa: a Phương pháp: Đây dạng toán vận dụng định nghĩa lũy thừa để tính giá trị lũy thừa Cơng thức để khai triển tính lũy thừa : Lũy thừa bậc n số hữu tỉ a tích n thừa số a (n số tự nhiên lớn 1) a.a .a an =     (a∈ Q, n ∈ N, n >1) n thừa số b Ví dụ: 22 = 2.2 = 32 = 3.3 = 52 = 5.5 = 25 23 = 2.2.2 = 33 = 3.3.3 = 27 53 = 5.5.5 = 125 24 = 2.2.2.2 = 16 34 = 3.3.3.3 = 81 54 = 5.5.5.5 = 625 * Một số lỗi thường gặp - Vì tốn đơn giản nên học sinh chủ quan có nhầm lẫn nên dẫn đến học sinh tính giá trị lũy thừa lại lấy số nhân với số mũ Ví dụ: 22=2.2=4 (trường hợp đặc biết nên đúng) 23=2.3=6=>Kết sai 2.3.2.2 Dạng 2: Viết kết phép tính dạng lũy thừa Đây dạng toán mà ta thường gặp tập lũy thừa Học sinh nắm vững dạng tốn có nhiều lợi cho tập Có thể nói dạng tập sở cho dạng toán phức tạp lũy thừa a Phương pháp Để viết kết phép tính dạng lũy thừa ta thường biến đổi theo cách: - Cách 1: Viết lũy thừa lũy thừa số, áp dụng công thức: a m a n = a m+ n a m : a n = a m− n - Cách 2: Viết lũy thừa lũy thừa có số mũ áp dụng cơng thức: a n b n = ( a.b ) n a n : bn = ( a : b ) n b Ví dụ Ví dụ 1: Viết tích sau dạng lũy thừa a A = 42.325 b B = 813.93.27 Giải: a Nhận xét: số 32 đưa số nên ta có: ( ) ( ) A = 82.32 = = 26.220 = 226 b Nhận xét: số 81;27; đưa số nên ta có: ( ) ( ) B = 273.94.243 = 3 = 39.38.35 = 322 Ví dụ 2: Thực phép tính viết kết dạng lũy thừa a A = 126 : 66 b B = 27 : 81 Giải: n a Áp dụng công thức a n : b n = ( a : b ) , ta có: A = 126 : 66 = ( 12 : ) = 26 b Nhận xét: Các số 27, 81 đưa số nên ta có: B = 275 : 813 = ( ) : ( ) = 315 : 312 = 33 Ví dụ 3: Viết tích sau dạng lũy thừa A = 323.275 Giải: Nhận xét: Các số 32, 27 đưa số, nên ta đưa chúng số mũ sau: ( ) ( ) A = 323.275 = = 215.315 = ( 2.3) 15 = 615 2.3.2.3 Dạng Tính giá trị biểu thức: a Phương pháp: Dạng toán có phần phức tạp dạng viết kết phép tính dạng lũy thừa biểu thức khơng đơn phép tính nhân chia lũy thừa mà cịn kết hợp phép tốn cộng, trừ dấu ngoặc Vì dạng tốn học sinh phải nắm vững thứ tự thực phép tính đặc biệt tính chất phép tốn Do tính giá trị biểu thức ta giải theo cách: - Cách 1: Thực theo thứ tự phép tính - Cách 2: Áp dụng phép tốn lũy thừa tính chất để thực Đối với biểu thức tính tốn có chứa lũy thừa, thực theo thứ tự phép tính số thường q lớn, tính tốn vất vả chí khơng thể tính máy tính bỏ túi thơng thường Vì vậy, giáo viên nên hướng dẫn học sinh trình bày theo cách 2, ngồi ưu điểm khơng phải tính tốn với số lớn phát huy tính sáng tạo phát triển tư tốn học cho học sinh b Ví dụ Ví dụ 1: Tính a 183 : 93 b 1253 : 254 c 244 : 34 − 3212 :1612 5 5 d ( 10 + 15 − ) : Giải: * Nhận xét: Ở tốn ta áp dụng cơng thức: a n : bn = ( a : b ) n a n : a m = a n−m a 183 : 93 = ( 18 : ) = 23 = b 1253 : 254 = ( 53 ) : ( 52 ) = 59 : 58 = c 244 : 34 − 3212 :1612 = ( 24 : 3) − ( 32 :16 ) = 84 − 212 = ( 23 ) − 212 = 212 − 212 = 12 d ( 10 + 15 − ) : = 105 : 55 + 155 : 55 − 55 : 55 = 25 + 35 − = 32 + 243 − = 274 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 5 A= 5 4510.520 7515 Nhận xét: Ở tập tính tốn theo thứ tự phép tính số lớn Vì vậy, giáo viên nên hướng dẫn học sinh nhận xét có lũy thừa có số số ngun tố, cịn lũy thừa có số khác đưa lũy thừa có số số nguyên tố Do đó, ta giải cách: viết tất lũy thừa lũy thừa với số số nguyên tố, rút gọn lũy thừa có số Giải: 20 32.5 ) 520 320.510.520 320.530 ( 4510.520 ( ) = A= = = 15 30 = 15 30 = 35 = 243 15 15 15 75 5 ( 3.5 ) ( 3.5 ) 10 10 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: B= 11.322.37 − 915 ( 2.3 ) 14 Nhận xét tương tự ví dụ ta giải cách đưa tất lũy thừa lũy thừa có số số nguyên tố Rồi áp dụng tính chất phép toán để thực Giải: B= 11.322.37 − 915 ( 2.3 ) 14 Nhận xét: Hầu hết lũy thừa có số số nguyên tố, 915 = ( 32 ) = 330 Nên ta có: 15 B= 11.322.37 − 330 11.329 − 329.3 329 ( 11 − 3) 329.8 329.23 = 3.2 = = = = = 22.328 22.328 22.328 22.328 22.328 2.3.2.4 Dạng Bài tốn tìm x a Phương pháp: Để giải tốn tìm x có chứa lũy thừa ta thường đưa dạng sau: - Dạng 1: Số x phải tìm thuộc số lũy thừa Để tìm x trường hợp ta biến đổi hai vế thành lũy thừa có số mũ Sau áp dụng tính chất: Nếu a m = b m a = ±b m chẵn a = b m lẻ - Dạng 2: Số x phải tìm thuộc số mũ lũy thừa Để tìm x trường hợp ta biến đổi vế thành lũy thừa có số Sau áp dụng tính chất: Nếu a m = a n m = n Ngồi hai dạng trên, cịn số tốn tìm x đặc biệt khơng thể đưa số số mũ Tùy thuộc vào tốn cụ thể mà có cách giải riêng b Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm x biết: a ( x − 1) = 27 b ( x − 3) = 25 Nhận xét: số x phải tìm thuộc số lũy thừa, lũy thừa biết số mũ Do để tìm x ta viết vế phải dạng lũy thừa có số mũ với vế trái Sau áp dụng tính chất a m = b m a = ±b m chẵn a = b m lẻ Giải a ( x − 1) = 27 ( x − 1) = 33 ⇒ x − = hay x = 2 b ( x − 3) = 25 ( x − 3) = 52 ⇒ x − = x − = −5 Trường hợp 1: Trường hợp 2: 2x − = 2x = + 2x = x=4 x − = −5 x = −5 + x = −2 x = −1 Vậy x = x = −1 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên x, biết: a x = 32 b x.3x = 4.9 Nhận xét: Số x phải tìm thuộc số mũ lũy thừa Do để tìm x , ta phải viết vế phải dạng lũy thừa có số với lũy thừa vế trái Sau áp dụng tính chất: Nếu a m = a n m = n Giải: a x = 32 x = 25 ⇒ x = b x.3x = 4.9 Giải: x.3x = 4.9 ( 2.3) = 22.32 x ( 2.3) = ( 2.3) x x = 62 ⇒ x = Ví dụ 3: Tìm x ∈ N biết: x + 3x = x Nhận xét: Bài tốn khơng thể đưa hai dạng Bằng phương pháp nhẩm ta thấy x = giá trị cần tìm Ta cần chứng minh x ≠ không thỏa mãn đề Giải: - Nếu x = 20 + 30 ≠ 50 ⇒ x = không thỏa mãn đề - Nếu x = 21 + 31 = 51 ⇒ x = thỏa mãn đề - Nếu x > ta có: x x  2 3  ÷ + ÷ =1  5 5 x x 2 3 Vì x > nên  ÷ <  ÷ < 5 5 x x  2 3 Suy  ÷ +  ÷ < + = 5 5 5 ⇒ x > không thỏa mãn đề Vậy x = 2.3.2.5 Dạng Thu gọn biểu thức có dạng tổng lũy thừa có qui luật a Phương pháp: Với biểu thức có dạng tổng lũy thừa có quy luật, ta thường khơng thể tính tốn theo thứ tự phép tính Do đó, để thu gọn chúng, người ta thường giải cách làm xuất biểu thức khác chứa lũy thừa có số với lũy thừa tổng cho trừ hai biểu thức cho để triệt tiêu số hạng giống Nhờ cách thu gọn tốn mà ta giải toán khác so sánh, chứng minh… b Ví dụ: Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức sau: a S1 = + + 22 + 23 + L + 263 b S3 = + 53 + 56 + 59 + L + 599 Giải: a S1 = + + 22 + 23 + L + 263 Nhận xét: Ta thấy tổng lũy thừa với số mũ đơn vị, ta nhân hai vế với 21 = Ta có: 2.S1 = + 22 + 23 + + L + 264 ⇒ 2.S1 − S1 = ( + 22 + 23 + L + 264 ) − ( + + 22 + 23 + L + 263 ) ⇒ S1 = 264 − S3 = + 53 + 56 + 59 + L + 599 b Nhận xét: Ta thấy tổng lũy thừa 5, với số mũ đơn vị, ta nhân hai vế với 53 Ta có: 53.S3 = 53 + 56 + 59 + 512 + L + 5102 Ví dụ 2: Chứng minh A lũy thừa với: A = + 22 + 23 + 24 + L + 2100 Nhận xét: Để chứng minh A lũy thừa 2, trước hết ta phải thu gọn A Như toán trở thu gọn biểu thức ví dụ Giải: Ta có: A = + 22 + 23 + 24 + L + 2100 ⇒ A = + 23 + + 25 + L + 2101 ⇒ A − A = ( + 23 + 24 + 25 + L + 2101 ) − ( + 22 + 23 + 24 + L + 2100 ) ⇒ A = + 2101 − − 22 ⇒ A = 2101 Vậy A lũy thừa 2.3.2.6 Dạng So sánh hai lũy thừa a Phương pháp: Để so sánh hai lũy thừa, ta thường sử dụng cách sau: - Cách 1: Đưa số áp dụng tính chất: Nếu m > n a m > a n ( a > 1) - Cách 2: Đưa số mũ áp dụng tính chất: Nếu a > b a n > b n ( n > ) - Cách 3: So sánh qua số trung gian cách sử dụng tính chất bắc cầu - Cách 4: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân b Ví dụ: Ví dụ 1: So sánh 425 815 Giải: Nhận xét: Ta thấy số khác lũy thừa 2, nên ta tìm cách đưa 425 815 lũy thừa số 25 Ta có: 425 = ( 22 ) = 250 815 = ( 23 ) = 245 15 Vì 250 > 45 nên 425 > 815 Ví dụ 2: So sánh: 528 2614 Giải: Nhận xét: Ta thấy lũy thừa đưa số, lại có UCLN (28; 14)= 14 Nên ta đưa 528 2614 hai lũy thừa số mũ sau: 528 = ( 52 ) = 2514 14 Vì 2514 < 2614 nên 528 < 2614 Ví dụ 3: So sánh a 637 1612 b 5299 3501 Giải: a 637 1612 Nhận xét: Hai lũy thừa đưa số số mũ Do ta phải tìm số trung gian để so sánh Ta nhận thấy 16 = ; mà số gần với 63 lại viết dạng lũy thừa 64 Nên ta chọn 64 số trung gian giải sau: 10 637 < 647 = ( 26 ) = 42 1612 = ( ) 12 = 248 Vì 637 < 242 < 248 = 1612 nên 637 < 1612 b 5299 3501 Nhận xét tương tự câu a ta thấy 299 < 300 501 > 500 ; nên ta giải sau: 5299 < 5300 = ( 53 ) 3501 > 3500 = ( 35 ) 100 = 125100 100 = 243100 Vì 5299 < 125100 < 243100 < 3501 nên 5299 < 3501 Ví dụ 4: So sánh hai số sau: 1031 2100 Nhận xét: Đối với luỹ thừa không đưa số hay số mũ, khơng tìm số trung gian ta áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu phép nhân Giải: Ta có: 55 > 3.45 (vì 55 = 3125; 3.45 = 3072 Vì 3125 > 3072 nên 55 > 3.45 ⇒ 530 > 36.430 ⇒ 531 > 36.431 Lại có 32 > 23 ⇒ 36 > 29 ⇒ 531 > 29.431 ⇒ 531.231 > 29.262.231 = 2102 Hay 1031 > 2102 > 2100 Vậy 1031 > 2100 Chú ý: Bài tốn ví dụ tốn nâng cao địi hỏi học sinh phải có tư suy luận lơ gíc Để giải toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm khẳng định ban đầu từ áp dụng tính chất bất đẳng thức tính chất khác để giải tốn 2.3.2.7 Dạng Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 2.3.2.7.1 Tìm chữ số tận a Phương pháp - Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) có chữ số tận số - Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số - Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận - Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096 b.Ví dụ Ví dụ Tìm chữ số tận số: 20002008; 11112008; 987654321; 204681012 Giải: 11 Nhận xét: Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án: • 20002008 có chữ số tận chữ số • 11112008 có chữ số tận chữ số • 987654321 có chữ số tận chữ số • 204681012 có chữ số tận chữ số Ví dụ Tìm chữ số tận số: 20072008; 1358 2008; 20072007 Giải Nhận xét: Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5; • 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận • 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận • 20072007 = 20072004 20073 = (20074)501 = ( )501 = => 20072007 có chữ số tận Ví dụ Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Nhận xét: Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận số hạng, cộng chữ số tận lại Giải : Ta có: A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = Vậy A có chữ số tận 2.3.2.7.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa a Phương pháp Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau: - Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận - Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 - Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 - Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 - Số 26n (n ∈ N, n >1) b.Ví dụ : Ví dụ Tìm hai chữ số tận của: 2100 ; 3100 Giải Nhận xét: Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm : 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Ví dụ Tìm hai chữ số tận của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101 Giải Nhận xét: Đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 12 a) 5151 = (512)25.51 = ( 01 )25.51 = 01 51 = 51 => 5151 có chữ số tận 51 Tương tự: b) 9999 = (992)49.99 = ( 01 )49.99 = 01 99 = 99 c) 6666 = (65)133.6 = ( 76 )133.6 = 76 = 56 d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224 = ( 76 )50.224 = 76 224 = 24 2.3.2.7.3 Tìm chữ số tận trở lên a Phương pháp Chú ý số điểm sau: - Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận số - Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625 b.Ví dụ Ví dụ Tìm chữ số tận cùng, chữ số tận 52000 Giải Nhận xét: Học sinh làm phần khơng khó khăn nhờ kĩ có từ phần trước 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy: 52000 có ba chữ số tận 625 có bốn chữ số tận 0625 Ví dụ Tìm ba chữ số tận của: a) 23n 47n (n ∈ N*) b) 23n+3 47n+2 (n ∈ N) Giải Nhận xét: Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh, lại u cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n có tận 376 => 23n 47n có tận 376 b) 23n+3 47n+2 Dù làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn: 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có: 376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376 n+1 có chữ số tận 672 2.3.3 Một số tập tự luyện Bài Viết tích, thương sau dạng lũy thừa a) A = 86.164 b) B = 93.813.273 c) C = 256 :1253 13 Bài Tính giá trị biểu thức a ( 7.12 + 9.8 ) : b ( 5.9 − 2.27 ) : 11 c ( 15.3 + 4.27 ) : d ( 34 ) : 37 + 43 : 24 + 62 e ( 5.213.411 − 169 ) : ( 3.217 ) Bài Tính giá trị biểu thức: ( 35) ( 25.7 ) A= ( 3.5.7 ) a 2 b B = 95.13 + 39.52 38.258 Bài Tìm x , biết: a ( x − 1) = 81 b ( x − 1) = 32 c x + x+3 = 144 d 3x −1 + 5.3x −1 = 162 e 3x + x = x 2 f (x - 5) = (1 – 3x) g ( x + 1) = −27 Bài Thu gọn biểu thức sau: a A = + + 42 + 43 + L + 499 b B = + 52 + 53 + L + 5100 1 1 + + + 99 3 3 c C = + Bài Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ rằng: M  10 Bài Chứng minh rằng: A + lũy thừa với A = + 32 + 33 + L + 3100 Bài So sánh hai số sau: a 810 326; b 912 274 ; c 1255 257 d 275 2433 ; e 530 12410 f 19920 200315 Bài 9: Tìm chữ số tận số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005 Bài 10: Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n a) 34n + + chia hết cho b) 24n + + chia hết cho c) 92n + + chia hết cho 10 Bài 11: Tìm hai chữ số tận của: a) 72003 b) 9 c) 742003 d) 182004 Bài 12: Tìm hai chữ số tận của: 14 a) 492n ; 492n+1 (n∈ N) b) 24n 38n (n∈ N) c) 23n 3n; 23n+3 3n+1 (n∈ N) d) 742n ; 742n+1 (n ∈ N) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Với hoạt động giáo dục: Trong trình thực thu kết chung: - Ý thức: đa số em có ý thức cao học tập - Khả tiếp thu: phần lớn em tiếp nhận kiến thức tốt - Khả vận dụng: học sinh có khả vận dụng tri thức thu nhận vào thực tế - Kết thu được: nhiều học sinh vận dụng tốt dạng tập mà đưa Với cách làm nâng cao chất lượng học sinh, học sinh giỏi Toán học sinh khối học sinh làm nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán năm học tới Qua thời gian nghiên cứu, tìm tịi để có đề tài, đưa vào thực tế giảng dạy lớp trường cơng tác Năm học 2019- 2020 nghiên cứu thực đề tài với đối tượng học sinh lớp với tổng số 30 em Kết thu đáng mừng, nhận thấy học sinh tự tin học toán phần lũy thừa, sai lầm khó khăn thường gặp em giảm hẳn, số tập phần lũy thừa em làm hầu hết, mà khơng gặp trở ngại lớn Điều chứng minh kết bước đầu đề tài có hiệu Để khẳng định tính hiệu giải pháp áp dụng khảo sát 30 học sinh lớp trường cơng tác năm học 2019- 2020 Kết thu sau:  8  10 Tổng số Dưới Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % 44 9,1 24 54,5 16 36,4 So sánh kết trước sau áp dụng đề tài: - Học sinh đạt  10 điểm tăng cao từ 9,1% tăng lên 36,4% - Học sinh điểm giảm rõ rệt từ 50% giảm 9,1% 2.4.2 Với thân giảng dạy toán lũy thừa: Trong trình nghiên cứu áp dụng đề tài với học sinh thu nhiều kết khả quan, nâng cao ý thức tự giác cho học sinh, giúp em tự tin làm tập lũy thừa, từ đưa cách giải tối ưu 2.4.3 Với đồng nghiệp nhà trường: Đề tài đồng nghiệp tham khảo, ứng dụng lồng ghép vào việc giảng dạy học sinh trường tơi cơng tác Từ với đồng nghiệp góp phần đưa chất lượng học sinh trường ngày tốt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 3.1 Kết luận Sau tìm phương pháp giải cho toán lũy thừa, học sinh tích cực học tập hơn, chủ động tìm tịi linh hoạt việc giải số tốn lũy thừa, từ có kĩ giải tốt tập loại Học sinh biết đưa tập từ dạng phức tạp dạng đơn giản cách nhanh chóng từ củng cố lại kiến thức cách chắn lôgic Biết phân tích tốn lũy thừa ứng dụng vào giải tốn tạo cho học sinh có tư linh hoạt, sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh, góc độ khác Đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: đề tài “Phương pháp giải số dạng toán lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7” góp phần khơng nhỏ vào thành cơng giảng dạy thân Mặc dù kết chưa cao, song động viên, khích lệ tơi nhiều việc nghiên cứu tìm tịi, hệ thống dạng tốn, phương pháp giải tốn Giúp tơi vững tin kiến thức, phương pháp giảng dạy mình, tạo nên động lực, niềm đam mê nghề lớn tôi, để tiếp tục thành công nghiệp "trồng người", để tơi đóng góp phần sức lực trí tuệ nghiệp giáo dục trường cơng tác nghiệp giáo dục nước nói chung Mặc dù có nhiều ưu điểm điều kiện dạy học, đề tài tơi khơng tránh khỏi hạn chế là: Đối với số học sinh trung bình, yếu kém, phương pháp chưa phù hợp với đối tượng nên việc tiếp thu vận dụng chưa có kết cao Thấy ưu, nhược điểm đó, cho phép tơi lần khẳng định đề tài “Phương pháp giải số dạng toán lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7” phát huy tối đa tác dụng việc nâng cao chất lượng đại trà việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi 3.2 Kiến nghị: Đối với nhà trường: Nên thường xuyên tổ chức chuyên đề nhóm luỹ thừa, để trao đổi kiến thức chuyên môn, để thống phương pháp giảng dạy, cách thức tổ chức bồi dưỡng, tìm thêm tốn hay luỹ thừa Đối với phòng giáo dục: Trong năm học thường xuyên tổ chức chuyên đề, hội thảo, chuyên đề, hội thảo sâu vào chủ đề kiến thức trọng tâm chương trình hiệu cao hơn, tổ chức liên trường để tập trung phát huy trí tuệ, kinh nghiệm nhiều người Đối với sở giáo dục: Với sáng kiến có chất lượng cao đóng thành tập san gửi phịng giáo dục, để triển khai tới nhà trường Trong trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao xã hội Tôi xin chân thành cảm ơn! Thọ Xuân, ngày 20 tháng năm 2021 16 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết TÀI LIỆU THAM KHẢO Ôn tập đại số – Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy Nâng cao phát triển toán 6, – Tác giả Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Tác giả Bùi Văn Tuyên Toán nâng cao chuyên đề – Tác giả Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm Toán bồi dưỡng học sinh khiếu THCS – Tác giả: Đặng Phương Trang, Phan Tuấn Kiệt, Phan Văn Đức Toán bồi dưỡng học sinh lớp – Tác giả Vũ Hữu Bình, Tơn Thân, Đỗ Quang Thiều Tốn nâng cao THCS – Tác giả Vũ Thế Hựu 17 18 ... mạnh dạn nghiên cứu đề tài ? ?Phương pháp giải số dạng toán lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7? ?? với mong muốn giúp em học sinh giải toán lũy thừa nâng cao Bên cạnh đề tài cịn nhằm cung... tế, toán lũy thừa phong phú, đa dạng loại tốn khó học sinh lớp Để giải toán lũy thừa, học sinh phải biết nhận dạng toán chọn phương pháp giải phù hợp Muốn học sinh phải nắm kiến thức lũy thừa. .. 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8. 47) n+1 47 = 47 376 n+1 Ta có: 376 n+1 có chữ số tận 376 => 47 376 n+1 có chữ số tận 672 2.3.3 Một số tập tự luyện Bài Viết tích, thương sau dạng lũy thừa