Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Lĩnh vực/mơn : Tốn Cấp học : Trung học sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa Chức vụ: Hiệu trưởng NĂM HỌC 2019 - 2020 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa MỤC LỤC Trang ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lí chọn đề tài 1.2.Nhiệm vụ mục đích đề tài 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1.Bài toán rút gọn biểu thức chứa 2.2 Các câu hỏi phụ tốn rút gọn 2.2.1 Dạng 1:Tính giá trị biểu thức biết giá trị x: 2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết giá trị biểu thức 2.2.3 Dạng 3: Tìm x biết P  a; P  a; P  a; P  a 2.2.4 Dạng 4: So sánh giá trị biểu thức với số a 10 2.2.5 Dạng 5: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên 11 2.2.6 Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 12 2.2.7 Dạng 7: Tìm giá trị tham số m để P thoả mãn đẳng thức, 13 bất đẳng thức: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC Trang 2/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Từ năm học 2006 – 2007 đến năm học 2018-2019, Sở GD&ĐT Hà Nội thực phương án thi vào lớp 10 theo hình thức kết hợp thi tuyển với xét tuyển Từ năm học 2019 – 2020, phương án thi vào lớp 10 thi tuyển bốn mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh mơn thứ tư Với hai phương án, kết thi mơn Tốn Văn nhân hệ số 2, đóng vai trị quan trọng việc định tổng điểm học sinh Chính vậy, giáo viên ln trăn trở việc làm để ôn luyện cho học sinh ơn tập cách có hệ thống, hồn thiện kiến thức Trung học sở mơn Tốn, ngày u thích mơn học đồng thời đạt điểm cao thi vào lớp 10 Cấu trúc đề thi vào lớp 10 mơn Tốn Hà Nội ổn định với dạng bài: Rút gọn biểu thức; Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình; Phương trình, hàm số, đồ thị; Hình học; Cực trị Với học sinh có lực học chưa tốt, toán rút gọn thử thách quan trọng Hồn thành tốn học sinh có điểm tạo tâm lí tốt cho việc thực tập Tuy vậy, câu hỏi phụ toán ngày đa dạng khó Chính vậy, tơi định viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” 1.2 Nhiệm vụ mục đích đề tài Đề tài “Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” với nhiệm vụ giúp học sinh ôn tập củng cố kiến thức toán rút gọn biểu thức chứa biến, hình thành phương pháp giải câu hỏi phụ điển hình, từ giúp em làm tốt thi vào lớp 10 mơn Tốn, đạt kết cao Đề tài “Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” thực việc thuật tốn hóa dạng tốn thường gặp liên quan tới biểu thức chứa thức từ giúp học sinh có nhìn tổng qt, hình thành kỹ phương pháp làm đúng, đủ yêu cầu Trang 3/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Số liệu khảo sát trước thực đề tài (kiểm tra 01 đề rút gọn theo cấu trúc đề thi vào lớp 10) cho 50 học sinh lớp 9B, năm học 2017 – 2018 52 học sinh lớp 9G năm học 2018 – 2019: Điểm 1-3 3-5 5-8 8-10 Tỉ lệ 30% 40% 30% 0% Qua khảo sát, học sinh thường mắc nhiều lỗi dạng từ đơn giản đến dạng tốn mở rộng, đặc biệt nhiều học sinh khơng biết phương pháp giải toán mong muốn biết nguyên nhân giải sai phương pháp giải câu hỏi 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Đề tài nghiên cứu áp dụng với đối tượng học sinh lớp Thời điểm áp dụng: Giai đoạn ôn tập hết chương I – Đại số giai đoạn ôn tập thi vào lớp 10 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để học sinh hiểu giải tốt dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, tơi thực việc hệ thống hóa theo mức độ nhận thức từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao 2.1.Bài toán rút gọn biểu thức chứa Ở dạng toán nên thuật tốn hóa bước thực cho học sinh *) Các bước thực - Phân tích mẫu thành nhân tử - Đổi dấu (nếu cần) - Qui đồng mẫu thức phân thức - Thực phép tính tử thu gọn tử - Phân tích tử thành nhân tử (và nhân nghịch đảo với phân thức chia có) - Rút gọn tiếp - Tìm điều kiện xác định (đkxđ) *) Một số đẳng thức hay dùng: Trang 4/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa x −1 = ( )( ) x −1 x +1 ; ( )( x x +1= x−4= ) x +1 x − x +1 ; x−4 x +4= *) Qui tắc đổi dấu: ( ) x − ;x + ( x −2 ( x + = ( x + 3) x x −1 = )( x +2 )( ) ) x −1 x + x +1 A A A −A = =− B −B B −B *) Một số giải mẫu:  x −1   x + x −1  + −  :   x x −   x −2 x −x  Bài Rút gọn biểu thức P =  Bài giải Đkxđ: x  0; x  Bình luận: Ta nhận thấy toán  x −1   x + x −1  P =  + −  :   x x −   x −2 x −x    x −1   x + x −1   P= − :  −   x −2 x x −  x x −2     việc phân tích mẫu thành nhân tử ( P= x − x +1 x P= x P= x P= ( ( ( x −2 x +1 x −2 x +1 x −2 ) : ) ) mẫu chung hợp lí (dịng thứ 2: ) ( x +2 )( ) x −2 − x x : đơn giản phải đổi dấu để ( x −2 ) ( x −1 vừa kết hợp đổi dấu mẫu đồng thời đổi ) dấu phân thức phân tích thành nhân tử, có lẽ nên tách làm bước) x−4− x+ x x x ( ( x −2 x −2 ) ) x −4 x +1 x −4  x+2   x −4 x  Bài 2.Rút gọn biểu thức P =  − x  :  −  x +   x +1   1− x Bài giải Trang 5/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa x   x+2   x −4 P= − x  :  −  x +   x +1   1− x  x+ 2− x x +1    4− x x  : P= −    x +1 x +1 x +1 x −1     ( P= P= ) ( )( ( ) x + − x − x − x − x x −1 : x +1 x +1 x −1 ( )( 2− x 4− x −x+ x : x +1 x +1 x −1 ( )( 2− x P= : x +1 ) ) Bình luận: tốn việc phân tích mẫu dựa vào đẳng thức x − = ) ( )( x −1 việc đổi mẫu ngoặc thứ hai tiến hành đổi dấu mẫu đồng 4−x ( x + 1)( x − 1) − x ( x + 1)( x − 1) P= x + ( − x )( + x ) thời đổi dấu tử x −1 x +2 P= Đkxđ: x  0; x  1; x   x x 3x − x   x −  + + − 1 Bài Rút gọn biểu thức P =  : − x x + x − x −     Bài giải  P=    P=   P= P= P= P= P= x x +2 x x +2 x ( 3x − x   x −  − 1 :  − x   x − x −2    x −1 − x +  x 3x − x − :  x − ( x − 2)( x + 2)   x −2  x + + + ) ( x + ) − 3x + ( x − )( x + ) x −2 + x 3x − x + x + x − 3x + x ( ( )( x+ x x −2 x ( x −2 ( x −2 )( x +2 ) x +2 ) : ) x +1 )( x +2 ) x + ) : x : x +1 x −2 x +1 x −2 x +1 x −2 x −2 x +1 x x +2 Đkxđ: x  0; x  Trang 6/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa  x +3 x +2 x +2   x  Bài Rút gọn biểu thức P =  + +  :  −  x +   x − 3− x x −5 x +6   Bài giải  P =    P =   P= x +3 x +2 x +2   x  + +  :  −  x −2 3− x x −5 x +6   x +    x +1− x  x +3 x +2 x +2 − + :  x −2 x − ( x − 3).( x − 2)   x +  ( x + 3)( x − 3) − ( x + 2)( x − 2) + x + : ( x − 3).( x − 2) x +1 x − − ( x − 4) + x + P= : ( x − 3).( x − 2) x +1 P= x−9− x+4+ x +2 : ( x − 3).( x − 2) x +1 P= x −3 ( x + 1) ( x − 3).( x − 2) P= Bình luận: Bài tốn sử dụng kỹ thuật việc tách mẫu thành nhân tử kèm theo đổi dấu mẫu, bên cạnh trình rút gọn tử sử dụng đẳng thức quen thuộc x +1 x −2 ĐKxđ: x  0; x  4; x  Bài Rút gọn biểu thức P= Bình luận: x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x +1 x +1 x+2 x +1 P= − − ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x + x + P= x+2 − x − ( x − 1)( x + x + 1) − x + x +1 x + x + − ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x + x + 1) P= x + x + − x − − ( x − 1) ( x − 1)( x + x + 1) P= x −1− x +1 ( x − 1)( x + x + 1) P= x −x ( x − 1)( x + x + 1) P= P= − x ( kỹ thuật: - Phân tích mẫu thành nhân tử x +1 P= Ở tốn nhận thấy rút gọn phân thức (phân thức đầu tiên) - Sử dụng đẳng thức x x −1 = ) x −1 ( x − 1)( x + x + 1) − x x + x +1 Trang 7/17 ( )( ) x −1 x + x +1 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Đkxđ: x  0; x  2.2 Các câu hỏi phụ tốn rút gọn 2.2.1 Dạng 1:Tính giá trị P biết giá trị x: Ở dạng toán này, nên hướng dẫn cho học sinh số biến đổi giá trị x ban đầu: x =4−2 = x= 2+ ( ) −1 ;x = + = ( 2− = ) ( + )( − ) = − −  −1  x= = =     ( ) ( +1 ;x = − = − 4−2 =4−2 = 4−3 ( ) −1 ) 2 Lưu ý: Câu hỏi cho điểm tối đa kết P khử mẫu trục thức x +1 với x  0;x  16 biết x = − x −4 Bài Tính giá trị P = Bài giải x =4−2 = ( ) − (thỏa mãn điều kiện) Thay vào P ta có: P= P= ( ( ) − 1) −1 2 +1 ( 3 +5 −1+1 = = − 25 −1− −5 = −4 ) + −3 − = −22 22 Bài 2.Tính giá trị x P= x −1 với x  0;x  biết x = 2+ Bài giải x= P= P= =4−2 = 2+ 4−2 ( ) −1 = −1 ( ) −1 4−2 3 −1−1 = (thỏa mãn đk) thay vào P ta có: 4−2 3 −2 = ( − )( + ) ( − )( + ) +8−6−4 = = −2 3− −1 Trang 8/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Bài Tính giá trị x +1 P= x −2 với x  0;x  biết x= 3− Bài giải − −  −1  x= = =     (tmđk) thay vào Bình luận: Đơi cách viết biểu thức quan P ta có trọng khơng ta thấy x  P=     P=   có dạng phân thức Chính nên viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức không cồng kềnh +1 − 5 +1 : = 2 −5 P= +1 P= P= 2     −1   −1     + : −                   −1   −1 −1 + −1 − + 1 :  − 2 = :    2    −5 = ( ( )( − 5)( +1 ) = 5+ 5 + +5 − 25 + 5) 5+5 10 + −5 − = −20 10 2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a giá trị thực) Bản chất câu hỏi giải phương trình (chứa căn) Vậy phải ý: - Qui đồng bỏ mẫu - Đặt x =t đừng quên đặt điều kiện cho t - Tìm t thoả mãn điều kiện đắt - Tìm x thơng qua t Bài Cho P = x −1 với x  0; x  1; x  Tìm x biết P = − x x +2 Bài giải P=− x  x −1 = − x  x + x −1 = x +2 Đặt ( t  0; t  1; t  ) x =t  t + 3t − = Trang 9/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa  −3 + 13 t = =13>0, Phương trình có hai nghiệm phân biệt:   −3 − 13 (loai) t =  Với  t = Vậy x = −3 + 13 −3 + 13 11 − 13  x= x= (tmdk ) 2 11 − 13 Bài Cho P = x +1 với x  0; x  Tìm x biết: P x −4 ( ) x − = 2x Bài giải P ( Đặt ) x − = 2x  x =t x +1 x −4 ( ) x − = 2x  x + = 2x  2x − x − = t = ( t  0; t  ) Pt  2t − t − =   t = − (loai )  Với t =  x =  x = 1(tmdk ) 2.2.3 Dạng 3: Tìm x biết P  a; P  a; P  a; P  a (a giá trị thực) Bản chất câu hỏi giải bất phương trình (chứa căn) Vậy phải ý: - Khi giải bất phương trình phép bỏ mẫu xác định dấu mẫu chiều bất phương trình - Nghiệm tìm phải kết hợp với điều kiện đặt Bài 1.Cho P = x −3 với x  0; x  1; x  Tìm x biết P>1 x −2 Bài giải P 1  x −3 1 x −2 x −3 −1   x −2 x −3− ( x −2 x −2 ) 0 −1 0  x −20  x   x 4 x −2 0  x  x  Kết hợp điều kiện xác định ta có:  Bài 2.Cho P = x +1 với x  0; x  1; x  Tìm x biết P  P x −3 Trang 10/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Để có giá trị x thoả mãn (*): 0,25 m −1  =1  m = m −1  m   Vậy m ta có: x  P  ( ) x − + 2m   + 4x  0,25 Trang 33/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa ( ) x − + 2m   + 4x  x.( + 2m )  + 4x   x   ( 2m − 1) x    2m − 2m −  Để x  x  P   m   − 9m  9 0 5 − 9m       2m −   m  2m − 2m −    m  2m −  2m −    Trang 34/17 0,25 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa x Bài 10 (2 điểm) Cho biểu thức P = x +3 x −1 − 3− x 2x − x − x−9 − 1)Rút gọn P 2)Tính P biết x(4x + 3) = 3)Tìm x để P  P Đáp án biểu điểm đkxđ : x  0; x  P= = = x 0,5 x −1 + − ( x ( x − 3) + (2 x − 1)( ( x − 3)( x +3 x −3 x+3 x ( )( x −3 ) x +3 = 2x − x − )( x + 3) x + 3) − x + x + x + 3) 0,5 x −3 x x −3  x = −1(l ) +) x(4 x + 3) =  x + 3x − =    x = (tm)  +) Với x =  P = = − 1 −3 2 0,25 0,25 x  P PP0 0 x9  x −3 Bài 11 (2 điểm): Với x  0, x  1;4 ,cho hai biểu thức sau: x +1 A= x −2 + x +3 − x −3 x x +1 x −1 B = x+ x −6 0,5 1) Rút gọn biểu thức A B 2) Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: x − 20 x + 64 = 3) Chứng minh A  B  Đáp án biểu điểm A= = ( )( x +1 ) ( ( x − 2)( ) ( x + 3) x + x +3+ x − 4−9 x +3 ( x − 2)( x + 3) ( x − 1)( x − 2) = x − = ( x − 2)( x + 3) x + B= x x +1 = x −1 ) x +3 +2 x −2 − x −3 ( )( )( x +1 ( x−3 x +2 x −2 )( 0,25 ) x +3 0,25 )= x− x +1 x − x +1 ( = 0,5 ) x −1 x +1 x −1 Trang 35/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa  x = (l )  x = 16 (tm ) 0,25 0,25 +) x − 20 x + 64 =   +) Với x = 16  A = +)Vì A   x −1   x −  (Vì x +3 +) Với x > 1: B = −1 = 4+3 x − x +1 x −1 = ( ) x −1 + x +  0)  x  1 x −1 0,25 +  (Theo BĐT Côsi) 0,25 (đpcm) Bài 12.(2,0 điểm) Với x  0; x  1; x  Cho biểu thức A =  x −4  x + x  3x + − − B =   :  x -1 x − x − x x x −    1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Với A, B biểu thức nói trên, tìm x để A.B = ( ) x + +1 Đáp án biểu điểm với x  0; x  1; x  Thay x = 16 ( tmđk) vào biểu thức A Tính A = 49   x −4  − :  x −2 x x −2    B=  ( = = x -5 x + x ( x -2 ) ) x( ( )( x − 2) − x x ( x − 2) ( 0,25 x +2 x -2 ) x-4- x −4 x + = x −1 −4 A.B = 0,25 0,25 0,25 0,25 ) x + +1  3x + ( x − 1) − x + − = x -1 0,25  3x + − x + − =  ( x + ) − x + − 15 = Đặt x + = t ( t  0) ( đk t  1; t  ) Phương trình trở thành: 3t − 4t − 15 = Giải phương trình được: t1 = (thỏa mãn) ; t2 = − (loại) Khi đó: x + =  x = (thỏa mãn điều kiện) Trang 36/17 0,25 0,25 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Vậy với x = A.B = ( ) x + +1 Trang 37/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa  x 8x   x −  + − Bài 13 (2 điểm) Cho biểu thức: P =  :  x  2+ x 4−x   x −2 x 1)Rút gọn P 2)Tìm P biết x = 19 − + 3)Tìm giá trị nhỏ P Đáp án biểu điểm Rút gọn P ĐK: x > 0; x  4; x  x P= = ( ( ( ) x − − 8x x −2 )( x +2 4x − x − 8x x −2 )( x +2 ) x −1 − : x x ) ( ( x −2 ( x −2 x −2 ) 0,25 0,25 x −1 − x + 0,25 = −4x − x x x + 3− x = ) ) 0,25 4x x −3 x = 19 − + Biến đổi x = → x = Tính P = -16 Vậy x = 19 − + P = -16 Tìm P : * P= 4x 36 = x + 12 + x −3 x −3 Tính được: P =  x − +  0,25 0,25 0,25  + 6 x −3  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với x > Tìm P =  x = 36 Trang 38/17 0,25 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Bài 14 (2 điểm) Cho biểu thức P = ( x  1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P x = + 3) Tìm giá trị x để P   x +x x +2  − ):  với x  x x −1 x −1  x + x +1  + 7−4 Đáp án biểu điểm Với x  0, x  Xét = x +x x +x − = − x x −1 x − ( x − 1)(x + x + 1) x −1 x +x x + x +1 − = ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) x + x + Vậy P = ( =   x + x +1 x +x x +2  − ): =   x x −1 x −1  x + x +1  x + x +1 x +2  x +2 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính giá trị P x = 7+4 + 7−4 x = 7+4 + 7−4 = 4+4 +3 + 4−4 +3 = (2 + 3) + (2 − 3) = 2+ +2− = (thỏa mãn điều kiện x  0, x  1) Khi x =4 P = (chú ý: học sinh tính x = 16  x = ) Tìm giá trị x để P  0,25 0,25 0,25 0,25 1  x4 Với x  0, x  1, P   x +2 0  x  x  Kết hợp điều kiện ta có  0,25 0,25 Trang 39/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Bài 15 (2 điểm) Cho biểu thức A = kiện x  0; x  a) Tính giá trị B x = 1 x + − B = x −2 x +2 4− x x −2 với điều x +3 b) Rút gọn biểu thức P = A.B Chứng minh P  c) Tìm giá trị x để x − − A.( x − 2) = x − Đáp án biểu điểm Tính giá trị B x = Với x = (TMĐK) thay vào biểu thức B = −2 +3 0,25 Tính B = − 0,25 Rút gọn biểu thức P = A.B Chứng minh P  Ta có + x −2 A= = = ( ( = x +2 x +2 x +2 x −2 )( x −2 + ) ( x −2 x +2 )( x −2 + ) ( x x +2 )( x −2 ) 0,5 ) x x −2 P= )( x+2 x P = A.B = Ta có x + x +2 x−4 x x −2 = x −2 x+3 x = x +3 x x +3 0,25 x +3−3 = 1− 1 x+3 x +3 Tìm giá trị x để x − − A.( x − 2) = x − Trang 40/17 0,25 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Điều kiện x  ; x  Ta có: x − − A ( ) x − = 2x −  2x − − x = 2x −  x −3 = ( x − 3) 2x − + x 0,25   − 2 =  2x − + x  ( x − 3)   x = 3(TM ) x − =      x − + x = ( *) −2=0  x − + x  3  nên PT (*) vơ nghiệm Vì x   x − + x  + 2 Vậy x = Trang 41/17 0,25 ... 25 49 0,25 0,25 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa Trang 31/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa  x − x  x 1+ x   : 1 −  − Cho biểu thức P = 1 − ... −m   m 1 4 Trang 17/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Đề tài ? ?Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn? ?? sử dụng giảng dạy ôn... biểu thức P = Trang 21/17 Phương pháp giải số dạng toán rút gọn biểu thức chứa PHỤ LỤC THAM KHẢO Một số tập tự luyện kèm đáp án biểu điểm Theo biểu điểm đề thi vào lớp 10 Hà Nội, rút gọn có số