SKKNmột số kinh nghiệm dạy dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

cac bai toan chon loc ve chuyen de rut gon bieu thuc chua can thuc bac haiTrước tiên giáo viên đưa ra các kiến thức liên quan đến dạng toán , sau đó phân ra từng loại toán cụ thể, kèm theo cách giải, mỗi loại có một ví dụ điển hình.Để giải quyết tốt loại toán này cần phải nắm vững: a. Các công thức biến đổi căn thức.b. Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.c. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.d. Các phương pháp đưa biểu thức về dạng tích.đ. Điều kiện đế các biểu thức có nghĩa.e.Các bất đẳng thức cơ bản và điển hìnhThông thường bài toán rút gọn biểu thức thường đi kèm với các câu hỏi sau: Chứng minh bất đẳng thức. Giải phương trình hoặc bất phương trình. So sánh hai biểu thức. Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên. Tính giá trị cụ thể của biểu thức khi cho giá trị cụ thể của các chữ có trong biểu thức. Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức

A ĐẶT VẤN ĐÊ 1.Lí chọn SKKN Trong cơng tác nâng cao chất lượng nhà trường nói chung mơn Tốn nói riêng cơng tác dạy bồi dưỡng, dạy thêm, phụ đạo nội dung mang tính thực tiễn có hiệu cao Điều đặc biệt quan trọng học sinh lớp 9, kết học sinh giỏi tuyển sinh yếu tổ để đánh giá chất lượng giảng dạy trình từ lớp đến lớp Đây không đánh giá cấp mà cịn gây nhìn nhận học sinh, phụ huynh học sinh, cấp quyền nhà trường Thơng qua q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh vận dụng kiến thức để giải“bài toán rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa ” môn Đại số lớp 9, nhận thấy học sinh vận dụng kiến thức toán học phần nhiều hạn chế thiếu sót Trong thực tế qua kì thi, kiểm tra lớp 9, đặc biệt kì thi học sinh giỏi tốn kì thi vào THPT đa số có tốn liên quan đến phần Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Tốn lớp 9, thân tơi dạy phần “Giải toán rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa ” gặp nhiều khó khăn nghe thấy dạng tốn nhiều học sinh ngại khơng thích Bởi loại tốn loại tốn khó khơng học sinh trung bình mà học sinh khá,giỏi hay mắc lỗi trình rút gọn chứng minh Từ khó khăn nên thân thấy cần thiết viết sáng kiến để nâng cao hiệu dạy học phần giải “Bài toán rút gọn biểu thức chứa căn” mơn Đại số lớp 2.Mục đích nghiên cứu Ở kì thi học sinh giỏi, học kì I, học kì II, ơn thi vào lớp 10, vào trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức thực phép tính có chứa thức bậc hai.Đồng thời câu cuối đề thi thường có tập chứng minh bất đẳng thức liên quan đến thức Mà để giải tập dạng này, yêu cầu quan trọng, phải nắm kiến thức liên quan lớp Đó phép toán đa thức phân thức đại số, đẳng thức đáng nhớ, phương pháp đưa biểu thức dạng tích, điều kiện đế biểu thúc có nghĩa bất dẳng thức bản, đặc biệt bất đẳng thức cosin Nhưng đa số học sinh lên lớp 9, em quên nhiều kiến thức liên quan.Vậy cần hướng dẫn cho em để làm toán Muốn giải tập địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức học lớp phải biết vận dụng chúng vào loại tập Cái khó kiến thức em học lớp viết dạng biểu thức chứa chữ, khơng có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dạng thức bậc hai có liên quan đến kiến thức học lớp Chính vậy, số em cịn yếu khơng nhận thấy điểm nên không làm tập rút gọn Cho nên ta phải cho học sinh nhận thấy mối quan hệ qua lại kiến thức lớp lớp để em tự phát vận dụng vào việc giải tập Khó khăn học sinh bước tìm mẫu chung, quy đồng mẫu, rút gọn số hạng đồng dạng mà khơng nhầm lẫn dấu Vì giáo viên phải hướng dẫn thật tỉ mỉ bước làm để kết rút gọn ln câu hỏi liên quan làm tiếp Xuất phát từ thực tế đó, tơi thấy cần phải tạo cho em niềm u thích, say mê học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời mơn Tốn nói chung dạng toán: “Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa ” nói riêng Trước hết, thấy phải hướng dẫn học sinh tìm phương pháp chung để giải câu rút gọn, sau phân dạng tập liên quan, dạng tìm đặc trưng riêng, tìm cách giải dạng Tuy nhiên thực tế, nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng làm tập lại không giải Vì vậy, tơi ý phần giải tốn thơng qua ví dụ điển hình, sau đưa tập tương tự em làm Tôi nhận thấy sau học ôn tập với khắc sâu phương pháp giải câu rút gọn cách giải câu kèm theo thông qua tốn điển hình làm nhiều tập tương tự khơng học sinh giỏi mà học sinh có lực học trung bình đạt kết hẳn Chủ đề "Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " xây dựng dựa kiến thức sách giáo khoa phát triển dần theo mức độ có đầy đủ dạng phù hợp với đối tượng học sinh Các ví dụ tập đưa bám sát vào đề thi học sinh giỏi toán đề thi vào lớp 10THPH Sở Giáo dục & Đào tạo Nghệ An năm gần Đối tượng , phạm vi , kế hoạch, thời gian nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: a Sách giáo khoa toán 9, tài liệu từ đồng nghiệp, từ mạng internet, chuyên đề Phòng, trường, đề thi đề thi học sinh giỏi toán đề thi vào PTTH mơn tốn năm tỉnh Nghệ An b Giáo viên, học sinh khối trường THCS Hợp Thành năm học trước năm học 2015-2016 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Học sinh khối Trường THCS Hợp Thành – Yên Thành- Nghệ An Học sinh khối Trường THCS Vĩnh Thành – Yên Thành- Nghệ An Học sinh khối Trường THCS Phan Đăng Lưu – Yên Thành- Nghệ An 3 Thời gian thực : Năm học 2015- 2016, bồi dưỡng, luyện tập, phụ đạo, học thêm, ôn thi vào lớp 10 trường chuyên Đóng góp lý luận thực tiễn: a Cơ sở lí luận Đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động học tập học sinh nhằm giúp em tiếp cận kiến thức địi hỏi phải đổi tồn nhiều khâu Để dạy học sinh hiểu phần" Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " làm tập dạng khơng phải giáo viên trình bày lại lí thuyết lời giải, học sinh chép lại mà giáo viên phải người tổ chức hướng dẫn em thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, thông qua tập thực hành , thông qua phương pháp giải để em bước hiểu lí thuyết, hiểu chất tốn, tìm phương pháp giải toán b Cơ sở thực tiễn Trong môn đại số lớp 9, phần “Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " , dạy học, giáo viên học sinh gặp nhiều khó khăn Qua giảng dạy học sinh khối nhiều năm liên tục thân thấy có khó khăn sau sau: -Một HS không hiểu cách tường tận nhớ phép toán đa thức phân thức đại số, đẳng thức đáng nhớ, phương pháp đưa biểu thức dạng tích, điều kiện đế biểu thức có nghĩa bất đẳng thức bản, đặc biệt bất đẳng thức cosin - Hai phần chứng minh bất đẳng thức học lớp 8, sách giáo khoa nêu số bất đẳng thức làm tập lại phải sử dụng nhiều bất đẳng thức khác khơng có sách giáo khoa bất đẳng thức Cosin, Bunhiacoxki nên muốn làm đòi hỏi học sinh phải tự học, tự nghiên cứu sách nâng cao,sách tham khảo Trong đó, sách giáo khoa lớp đưa số tốn cụ thể đơn giản cịn đề thi lại yêu cầu học sinh vận dụng để làm tập khó, tổng quát, khiến giáo viên học sinh gặp khó khăn dạy học Vì việc rút kinh nghiệm để dạy phần" Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " làm tập dạng thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, dặc biệt chất lượng học sinh khối giáo viên giỏi trường THCS Với khó khăn nêu nên trình giảng dạy, thân thấy rút số kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt cách giải sau II NỘI DUNG Thực trang vấn đề : Trường THCS Hợp Thành có truyền thống hiếu học, trường có đội ngũ giáo viên có ý thức trách nhiệm cao, tay nghề đồng đều, vững vàng Nhà trường xác định hướng trọng tâm là: Phát huy yếu tố nội lực động lực thúc đẩy, phát triển, xây dựng nề nếpgiáo dục toàn diện Từ nhiều năm đội ngũ CBGV nhà trường phấn đấu, nỗ lực nâng cao trình độ mặt nhằm phù hợp với yêu cầu giáo dục giai đoạn Đến đội ngũ giáo viên trường đủ điều kiện tiếp cận đổi ngành Một phận giáo viên trường chọn phận cốt cán Phòng.Nhà trường nhiều năm liên tục đơn vị tiên tến Về học sinh trường THCS Hợp Thành học sinh nơi khác, khả học mơn tốn, khả liên kết kiến thức lớp với lớp trên,đặc biệt khả tự học, khả vận dụng kiến thức bất đẳng thức để giải tập non yếu nên kết học tập thấp Thơng qua q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời qua q trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh, vận dụng kiến thức học để “Giải toán rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa căn” môn Đại số 9, chúng tơi nhận thấy học sinh cịn nhiều hạn chế thiếu sót, đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để rút gọn biểu thức chứa có chứa biến tốn liên quan Đây phần khó học sinh lớp 9, lẽ từ trước đến em quen giải dạng toán rút gọn biểu thức không chứa thức Mặt khác khả tư em cịn hạn chế nên gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, vận dụng kiến thức liên quan lớp để giải Các em học sinh, lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào trường chuyên, trường công lập để định hướng cho tương lai cuả sau Mà kỳ thi đó, nội dung đề thi câu thường rơi vào kiến thức khơng thể thiếu chương thức bậc hai cho dạng rút gọn biểu thức chứa tốn kèm theo Với khó khăn nêu nên trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thân thấy cần có chuyên đề, hệ thống tập có chọn lọc để giúp học sinh học tốt cách giải sau 2.Một số tồn nguyên nhân Qua giảng dạy môn đại số phần" Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " nhận thấy việc định hướng giải tập định lượng em yếu mặt sau : - Học sinh lười học, lười suy nghĩ, không nắm phương pháp - Học sinh học thụ động , thiếu phương pháp - Kĩ rút gọn phân thức em còn yếu - Kĩ vận dụng kiến thức bất đẳng thức học vào chứng minh hạn chế - Đặc biệt không liên hệ kiến thức học trước với học Thơng qua q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh, vận dụng kiến thức học để “Giải toán rút gọn biểu thức chứa căn” môn Đại số 9, nhận thấy học sinh cịn nhiều hạn chế thiếu sót, đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để rút gọn biểu thức chứa có chứa biến tốn liên quan Đây phần khó học sinh lớp 9, lẽ từ trước đến em quen giải dạng toán rút gọn biểu thức không chứa thức Mặt khác khả tư em hạn chế nên gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, vận dụng kiến thức liên quan lớp để giải Các em học sinh, lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào trường chuyên, trường công lập để định hướng cho tương lai cuả sau Mà kỳ thi đó, nội dung đề thi câu thường rơi vào kiến thức thiếu chương thức bậc hai cho dạng rút gọn biểu thức chứa toán kèm theo Giải vấn đề: Trước tiên giáo viên đưa kiến thức liên quan đến dạng tốn , sau phân loại toán cụ thể, kèm theo cách giải, loại có ví dụ điển hình Để giải tốt loại tốn cần phải nắm vững: a Các cơng thức biến đổi thức b Các phép toán đa thức phân thức đại số c Các đẳng thức đáng nhớ d Các phương pháp đưa biểu thức dạng tích đ Điều kiện đế biểu thức có nghĩa e.Các bất đẳng thức điển hình Thơng thường tốn rút gọn biểu thức thường kèm với câu hỏi sau: - Chứng minh bất đẳng thức - Giải phương trình bất phương trình - So sánh hai biểu thức - Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên - Tính giá trị cụ thể biểu thức cho giá trị cụ thể chữ có biểu thức - Tìm GTNN GTLN biểu thức 3.1 Kiến thức lý thuyết cụ thể cần ý: 3.1.1 Các công thức biến đổi thức: 1) Nếu a = 0, x = 0, 2) Để a = x ⇔ x2 = a A có nghĩa A = 3) A2 = A 4) AB = 5) A = B 6) A B = A B (với B ≥ ) A B (với A ≥ B ≥ ) A B (với A ≥ B > ) 7) A B = A B (với A ≥ B ≥ ) 8) A B = − A B (với A ≥ B 9) 10) A = B A B ≥ 0) AB (với AB ≥ B ≠ ) B = A B (với B > ) B 11) C C ( A mB) = (Với A ≥ A ≠ B2 ) A− B A±B 12) C C( A m B ) = (với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B ) A− B A± B 3.1 Các phép toán đa thức phân thức đại số Sử dụng tính chất phân thức ta nhân với biểu thức liên hợp tử (hoặc mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn 3.1.3 Những đẳng thức đáng nhớ: Biết vận dụng để đưa đẳng thức đáng nhớ lớp (theo thứ tự ) viết dạng có dấu : ( a ± b ) = a ± ab + b a − b = ( a − b)( a + b) a a + b b = ( a )3 + ( b )3 = ( a + b)(a − ab + b) a a − b b = ( a )3 − ( b )3 = ( a − b)(a + ab + b) Chú ý : + a ; b ≥ 0, tổng hiệu đẳng thức chưa nêu ra, ta viết tương tự,chỉ thay đổi dấu + Hằng đẳng thức số 4, lớp sử dụng lớp nên không đưa vào phần ghi nhớ lớp 3.1.4 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, sử dụng đẳng thức, kết hợp nhiều phương pháp Bằng cách phân tích thành nhân tử ta rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức 1.5 Điều kiện đế biểu thức có nghĩa Phải kết hợp điều kiện : - Tất biểu thức nằm bậc hai ≥ - Tất mẫu thức ≠ - Số chia ≠ 3.2 DẠNG TỐN 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHƠNG CHỨA BIẾN *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai đưa đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… 3.2.1/Rút gọn nhờ sử dụng đẳng thức A2 = A Ví dụ 1: Rút gọn: a) (−3) + (−8) ; b) (3 − ) c) (1 − ) − (1 + ) d) ( − 3) + (2 − ) Giải: a) (−3) + (−8)2 = −3 + −8 = + = 11 b) (3 − 5) = − = − (vì 3> ) c) (1 − 2) − (1 + 2)2 = − − + = ( −1 + ) − ( + ) = −1 + − − = −2 d) ( − 3) + (2 − 5) = − + − = − + − + = (vì < 3; < 5) Ví dụ 2: Rút gọn: a) A= − b) B = 14 +8 (2 − ) ; c) C = − + + d) D = − − Giải: a) A = − + = ( − 1) = − = − b)B= 14 +8 ( 2 − ) = = + + ( − ) = ( + ) ( − ) = ( + )( − ) = − = c) C = − + + = − 2.2 + − 2.2 = (2 − ) + (2 + ) = 2- +2+ =4 d) D = − − = − − + = − ( − 1) = − 2( − 1) = − = ( − 1) = − Ví dụ 3: Rút gọn A = − + + Giải: Cách1: A = − + + = − + + + + = = ( ) −1 + ( ) +1 −1 + +1 = −1 + +1 = Suy A = Cách 2: Ta có: A2 = − + − + + = Do A > nên A = Bài tập tương tự: Bài 1: Tính: a) (1− 3) Bài 2: Tính: a) − Bài 3: Rút gọn A = − b) ( − 3) b) + 4− − 4+ ( 1+ 3) c) 3− + 3+ − − 21 − 12 Bài 4: Rút gọn A = + + 2 + 3.2.2/ Rút gọn vận dụng quy tắc khai phương, nhân chia bậc hai: Ví dụ 1: Tính a) 14 56 a) 14 56 = b) 12 c) − + Giải: 14.56 = 14.14.4 = 14 2.4 = 14 = 14.2 = 28 7 24 12 = b) 12 = c) − + = 24 12 = 12 = 12 ( 4− 7) ( 4+ 7) = 16 − = = *)Ví dụ 2: Rút gọn: a) + 20 − 80 b) + 12 + 24 Giải: a ) + 20 − 80 = + − = (1 + − 4) = − b) + 12 + 24 = + + 3.2.2 = (1 + + 12) = 15 Bài tập tương tự: Bài 1: Tính: a) b) 12 75 24 36 25 25 c) 0,04.25; d ) 90.6,4 e) − 17 + 17 Bài 2: Rút gọn: a) 12 + − 48 c) 32 + − 18 e) b) 5 + 20 − 45 d) f) 12 + 75 − 27 12 − 27 + 48 18 − + 162 3.2.3/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai mẫu vận dụng trục thức mẫu phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 1: Trục mẫu biểu thức sau a) 3− b) 2+ c) 1− d) 1− − 1+ Giải: 10 3) Tìm x để A < x x −4 + − x −1 x −1 x +1 Bài 17 Cho biểu thức: P = a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P <  x  A= − Bài 18 Cho biểu thức ÷:  x −1 x − x  x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A <    − + 1÷ với a > a ≠ Bài 19 Cho biểu thức: P =  ÷  − a + a  a  a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị a P > Bài 20 Cho biểu thức : A = x 2x − x − (với x > x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức x = + 2 Bài 21 Cho biểu thức  P =   x + x  x :  x+ x x +1 a) Rút gọn P b) Tính GT P x = c) Tìm GT x để P = 13 25 Bài 22 Cho biểu thức : A = x +1− x x + x + x −1 x +1 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị x A < -1 Bài 23 Cho biểu thức : A = (1 + x+ x x− x )(1 − ) x +1 x −1 (Với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bài 24 Cho biểu thức : B = x −2 − x +2 + x 1− x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B với x = c) Tính giá trị x để A = Bài 25 Cho biểu thức : P=P= x +1 x −2 + x x +2 + 2+5 x 4− x a) Tìm TXĐ rút gọn P b) Tìm x để P = Bài 26 Cho biểu thức : Q = ( 1 a +1 a +2 − ):( − ) a −1 a a −2 a −1 a) Tìm TXĐ rút gọn Q b) Tìm a để Q dương c) Tính giá trị biểu thức a = -  a  a − a a + a    − − Bài 27 Cho biểu thức : M =      2 a  a + a −1  a) Tìm TXĐ rút gọn M 26 b) Tìm giá trị a để M = - 3.4 Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức chứa thường gặp Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng.Trong q trình giải tập,năng lức suy nghĩ, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng phong phú tập bất đẳng thức thường có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu cả.Tuy nhiên lớp 9, đề thi học sinh giỏi, thi vào PTTH thường có tập vận dụng bất đẳng thức Cosi Bài (Câu 5- đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Cho ba số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ Chứng minh rằng: x + y + 2x + y ≥ Đẳng thức xảy ? giải: *Phân tích: Vế trái chứa x, y > nghịch đảo chúng, ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức cosi Ta có: x+y+ 1 1 1 2 + =  x + ÷+  y + ÷+ (x + y) 2x y  x 2 y 1 ≥ x + 2 x =1+2+ = 2 y + y (BĐT côsi x + y ≥ )  x = x  x = 1 Dấu xẩy  y = ⇔  y y = 2 x + y =   Vậy x + y + 2x + y ≥ ⇔ x= y = (đpcm) Bài (Câu 5- đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z 1 27 2 Chứng minh rằng: ( x + y + z )( + + ) ≥ x y z giải Ap dụng bất đẳng thức cosi, ta có: 27 1 x2 y x2 z2 y2 z2 ( x + y + z )( + + ) = + ( + ) + ( + )+( + ) x y z y x z 16 x z 16 y 2 2 15 z 1 x2 y x2 z2 y2 z2 15 z + ( + ) ≥ 3+ 2 + 2 +2 + 16 x y y x z 16 x z 16 y 1 x2 y2 1 15 z (1) ⇒ ( x + y + z )( + + ) ≥ + x y z xy Mặt khác theo bất đẳng thức cosi ta có: xy ≤ x + y ⇒ < xy ≤ ( x + y ) 15 z 15 z 15 x 15 ⇒ ≥ = ( ) ≥ (2) xy 2( x + y ) 2 x + y z ) ≥1 (VÌ 0 nghịch đảo tổng hai số, ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp Ap dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương a2 a+b ta có: a+b a2 a+b a ( a + b) + ≥2 =a a+b 4(a + b) 28 tương tự b2 c+b b (c + b ) + ≥2 =b c+b 4(c + b) c2 c+a c (c + a ) + ≥2 =c c+a 4(c + a ) cộng vế lại với ta a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ = a+b b+c c+a 2 Bài Cho a, b, c > Chứng minh ( a + b + c)   1 1 + + ÷ ≥ a b c  *Phân tích: Vế trái chứa a, b, c > nghịch đảo chúng, ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức cosi Lời giải: 1 Cách 1:dùng bất dẳng thức cosi cho số a; b; c ; ; a b c ta có: a + b + c ≥ 3 abc 1 1 + + ≥ 33 a b c abc Nhân vế hai bất đẳng thức ta có ( a + b + c)   1 1 + + ÷≥ a b c  (đpcm) Cách ( a + b + c)   1 1 b a c a b c + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + + = a b c a b a c c b Dấu xảy ⇔a=b=c Bài 4.1:Cho a, b, c > Chứng minh a a b c + + ≥ (a, b, c > 0) b c a 29 b a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 4.2 Chứng minh a x2 + x +1 ≥ ∀x ∈ R dùng bất dẳng thức cosi cho số x2 +1 b x+8 ≥ ∀x > x −1 dùng bất dẳng thức cosi cho số x - c ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab ∀a , b ≥ dùng bất dẳng thức cosi cho số a;b ab;1 ta có: a + b ≥ ab ab + ≥ ab Nhân vế bất đẳng thức ta đpcm Bài 4.3 Chứng minh a ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ∀a, b, c ≥ 2 2 2 b a ( + b ) + b ( + c ) + c ( + a ) ≥ 6abc dùng bất dẳng thức cosi cho số a , a 2b , b , b 2c , c , c a Bài Chứng minh bất đẳng thức Netbit a b c ∀a, b, c > + + ≥ b+c a+c a+b Giải Dặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi x, y, z > y+z−x x+z− y x+ y−z a= ,b = ,c = 2 Ta có: a b c 1 y + z − x x+ z − y x+ y − z  + + =  + + ÷ b + c a +c a +b 2 2   1 x y x z y z =  + + + + + − ÷≥ ( + + − 3) = 2 y x z x z x  Dấu = xảy x= y= z Cách khác: 30  a b c 1 x+ y + z x+ y + z x+ y + z + + =  + + − 6÷ b + c a + c a +b 2 x y z  1 1  1 = ( x + y + z )  + + ÷ −  ≥ ( − ) = 2 x y z  Khai thác toán: Bằng cách tương tự chứng minh bất đẳng thức sau; Với a;b;c dương ta có : 2 + + ≥ b+c c+a a+b a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 1 Bài 5.1 Chứng minh bất đẳng thức : + ≥ (1)(với x,y dương) x y x+ y Phân tích: Do x, y > nên bất đẳng thức (1) suy từ bất đẳng thức cosi xét hiệu Gi¶i Cách 1: dùng bất đẳng thức cosi cho số dương x;y x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy x+ y ⇔ ≥ xy x+ y 1 ⇔ + ≥ x y x+ y Cách 2: Xét hiệu hai vế (1) ⇔ + − ≥ ⇔ y( x + y ) + x( x + y ) − xy ≥ ⇔ ( x − y ) ≥ (2) x y x+ y xy( x + y ) xy ( x + y ) Do x > 0, y > nên bất đẳng thức (2) ln Vậy (1) ln Khai thác tốn Ta thấy bất đẳng thức có liên quan đến việc cộng mẫu nên dùng để chứng minh toán sau: Bài 5.2 Cho a, b, c cạnh tam giác, chứng minh rằng: 31 1  1 1 + + ≥ 2 + +  p− a p−b p−c a b c p = a+b+c Bài tương tự: Bài 5.3 chứng minh rằng:  a2 + b2 + c2 a2 + b2 b2 + c2 a2 + c2 + + ≤ 3  a+b+c a+b c+b a+c      Bài 5.4 chứng minh rằng:( Với a;b;c dương) a4 b4 c4 d2 a+ b+ c+ d + + + ≥ ( a + b) a + b ( b + c ) b + c ( c + d ) c + d ( d + a ) d + a ( ) ( ) ( ) ( ) Bài 5.5 Cho ≤ a, b, c ≤ chứng minh rng: a + b + c ≤ + a 2b + b c + c a Bài 5.6 Cho a > 0, b > 0, c > chứng minh rằng: a b c 1 1 + + ≥ 2 + −  bc ac ab a b c Bài 5.7 Cho x, y, z > chứng minh rằng: x2 y+z + ≥x y+z Bài 5.8Cho a, b > chøng minh r»ng: a b − a≥ b− b a Bài : Cho a,b,c cạnh tam giác chøng minh rằng: a b c + + ≥ b+c −a a +c−b a +b−c Giải Nhận xét: Do a;b,c cạnh tam giác nên a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > Aps dụng bất đẳng thức cosi cho số dương ta có 32 ( a + b − c )( a + c − b ) ≤ a + b − c + a + c − b = a ( a + c − b )( b + c − a ) ≤ c ( b + c − a ) (a + b − c) ≤ b Nhận thấy vế bất đẳng thức số dương bất đẳng thức chiều, nhân vế ( a + b − c )( a + c − b )( b + c − a ) ≤ abc Ta có: a b c abc + + ≥ 33 ( b + c − a )( a + c − b )( a + b − c ) b+c −a a+c−b a+b−c ≥ 33 abc =3 abc Bài 6.1 Cho a,b,c cạnh tam giác thõa mãn a ≤ b ≤ c Chứng minh rằng: ( a + b + c ) ≤ 9bc (*) Giải: a ≤ b ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( b + b + c ) = ( 2b + c ) 2 để chứng minh ( a + b + c ) ≤ 9bc ta cần chứng minh : ( 2b + c ) ≤ 9bc (1) Thật vậy: ( 2b + c ) ≤ 9bc ⇔ 4b + 4bc + c ≤ 9bc ⇔ 4b − 4bc + c ≤ bc ⇔ ( 2b − c ) ≤ bc Ta có < 2b − c ≤ 2b − b = b  ⇒ ( 2b − c ) ≤ bc (đpcm) < 2b − c ≤ 2c − c = c  Bài 6.2 Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b +c 2 + b c +a 2 + c a +b 2 < 2.3 (*) Giải 33 Ta có ( b + c) b3 + c3 ≥ Thật (1) ⇔ 4(b + c ) ≥ b + c + 3b c + 3bc ⇔ b + c − b c − bc ≥ ⇔ b (b − c) − c (b − c) ≥ ⇔ ( b − c ) (b − c ) ≥ ⇔ (b − c) (b + c) ≥ Luôn suy (1) Tương tự a + b3 ≥ ( a + b) Do đó: a b2 + c2 +3 b c2 + a2 +3 b c   a < 4 + + (3) 2 b+c a+c a+b a +b c Mà b c  2a 2b 2c  a + + + + <  =  b + c a + c a + b  2(b + c) 2(a + c) 2(a + b) (4) 2a 2b 2c < + + =2 b+a+c a+b+c a+b+c Do: a + b > c  b + c > a a + c > b  Từ(3) (4) suy đpcm - 3.5/Các nội dung, biện pháp thực hiện: Mỗi dạng tốn đưa ví dụ điển hình,GV hướng dẫn HS làm thật chi tiết tốn đó, sau đưa tập tương tự cho HS làm, GV kiểm tra kết cụ thể sau: 34 1/ giáo viên phải soạn thật tốt, chuẩn bị hệ thống tập đầy đủ dạng câu hỏi liên quan, chuản bị hệ thống câu hỏi phù hợp để gợi ý 2/ Phân tích tập “mẫu” cho học sinh qua phụ đạo, buổi học thêm , học bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường tổ chức học mơn tự chọn mơn tốn 3/ Chia học sinh thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng (Học sinh có học lực khá, có uy tín với bạn).Tổ chức nhóm thảo luận tập “mẫu”mà giáo viên giải giấy photo từ áp dụng giải số tập mà giáo viên đưa Sau cho nhóm lên bảng trình bày giải (có thuyết trình) Các thành viên cịn lại lớp đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải 4/ Giáo viên phải chuẩn bị số tập tương tự cho em nhà thực hiện, sau GV kiểm tra kết sửa chữa chỗ sai Kết áp dụng SKKN Trên số kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy khối 9, Trường trung học sở Hợp Thành ,Vỉnh Thành, Phan Đăng Lưu a/ ĐỐI VỚI HỌC SINH : 1.Kết chưa thực đề tài: -Lúc chưa áp dụng đề tài , học sinh cịn bở ngỡ khơng biết phải xuất phát từ đâu gặp số mà trình bày Ngun nhân em chưa nắm kiến thức liên quan lớp dưới, cách vận dụng chúng để giải tập dạng nêu Chính phần lớn em rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai thực phép tính có chứa dấu khơng đến kết cuối cùng,những câu hỏi kèm theo em giải Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 40 học sinh mức độ đề vừa phải thấy kết tiếp thu “ Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " nhận thấy việc định hướng giải tập sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 20 50% 14 35% 12,5% 2,5% Kết sau thực đề tài: Sau áp dụng đề tài thấy chất lượng qua kiểm tra nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng HS trung bình chất lượng nâng lên rõ rệt với đề kiểm tra có mức độ khó so với lúc đầu 40 HS thực nghiệm cũ ,kết quả: 35 Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 10 25 10 25 15 37.5 12.5 Qua bảng số liệu trên, nhận thấy chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt Không phạm vi đề tài nêu mà cịn có tác dụng cho chun đề khác vận dụng vào tập cá em sử dụng khả hiệu Đối với giáo viên trường số giáo viên đơn vị bạn cụm số trường khác có đánh giá tích cực cách tổ chức hoạt động dạy học Qua thăm dò ý kiến cho thấy : giáo viên mạnh dạn vấn đề thể đề tài khác tích cực việc tiếp cận bước ứng dụng cách dạy b./ ĐỐI VỚI BẢN THÂN : Qua việc áp dụng SKKN nhận thấy giáo viên đỡ vất vả nhiều khâu phải giải tập cho học sinh(phần lớn em giải không )mà kết đem lại không nhiều , giáo viên phải làm việc nhiều học sinh , học sinh biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng SKKN thấy học sinh có ý thức học tập , biết tự phát kiến thức biết áp dụng chúng , với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi phương pháp dạy học C/ KẾT LUẬN : 1.ý nghĩa,bài học kinh nghiệm “ Rút gọn biểu thức chứa chứng minh bất đẳng thức chứa " dạng tốn khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, ơn tập định kì ơn thi vào PTTH Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xun bổ xung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề *Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Khi áp dụng SKKN vào trình giảng dạy , tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập , giảng huy động nhiều học sinh tham gia , học sinh yếu kém làm tập đơn giản Bên cạnh giáo viên đỡ phải vất vã thuyết trình mà gợi ý cho em tự suy nghĩ tự phát kiến thức sau vận dụng 36 Trước nhu cầu đáng muốn vươn lên học tốt học sinh hòa vào khơng khí thi đua đổi phương pháp dạy học , tơi xin góp số kinh nghiệm để trao đổi với đồng nghiệp , mục đích nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Trên nội dung biện pháp mà thực giảng dạy khối 9, trường trung học sở Hợp Thành năm qua Chúng nghĩ kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đúc kết qua sách vỡ, thầy cô giáo trước đồng nghiệp Vì chúng tơi mong góp ý, xây dựng quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp, nhằm giúp chúng tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy 2.Để việc áp dụng SKKN có hiệu chúng tơi xin có số ý kiến đề xuất sau + Vì thời lượng làm lớp nên yêu cầu em học sinh cần ý mặt lí thuyết Học cho hiểu hiểu thực sự, tránh lối thuộc câu chữ Cần tăng cường đọc thêm tài liệu để học tập, rèn luyện thêm Nên tổ chức nhóm học để thảo luận, em đội tuyển, hình thức trì kết hợp với hỗ trợ thầy cô giáo có hiệu lớn + Ban giám hiệu nhà trường có kế hoạch bồi dưỡng thường xuyên, tổ chức thi HSG cấp trường hàng kỳ, hàng năm, thi thử vào THPT… để học sinh củng cố, nâng cao kiến thức + Đối với ngành cần tổ chức trì kì thi Ơlimpic mơn Tốn, buổi tập huấn để giáo viên giao lưu, trao đổi kinh nghiệm tìm giải pháp cho khó khăn giảng dạy Đặc biệt, cần có thêm hướng dẫn cho tập sách tập Toán, tập khó để học sinh đại trà có sở trình bày Tơi xin chân thành cảm ơn! Hợp Thành, ngày 20 tháng năm 2016 Người thực Giáo viên : Phạm Thị Hằng Người tham gia thực cùng: 1.Phạm Đức Cường giáo viên trường THCS Vỉnh Thành 2.Nguyễn Thị Nhung giáo viên trường THCS Phan Đăng Lưu 37 D TµI LIƯU THAM khao : -Sách giáo khoa, sách tập toán -Sách ôn thi vào lớp 10 Trung học phổ thông môn Toán năm tỉnh Nghệ An -Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông năm tỉnh Nghệ An -Đề thi học sinh giỏi toán lớp năm huyện Yên Thành - Một số tài liệu đồng nghiệp trang web violet.vn 38 MỤC LỤC 39