SKKNmột số kinh nghiệm dạy dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

cac bai toan chon loc ve chuyen de rut gon bieu thuc chua can thuc bac haiTrước tiên giáo viên đưa ra các kiến thức liên quan đến dạng toán , sau đó phân ra từng loại toán cụ thể, kèm theo cách giải, mỗi loại có một ví dụ điển hình.Để giải quyết tốt loại toán này cần phải nắm vững: a. Các công thức biến đổi căn thức.b. Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.c. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.d. Các phương pháp đưa biểu thức về dạng tích.đ. Điều kiện đế các biểu thức có nghĩa.e.Các bất đẳng thức cơ bản và điển hìnhThông thường bài toán rút gọn biểu thức thường đi kèm với các câu hỏi sau: Chứng minh bất đẳng thức. Giải phương trình hoặc bất phương trình. So sánh hai biểu thức. Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên. Tính giá trị cụ thể của biểu thức khi cho giá trị cụ thể của các chữ có trong biểu thức. Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức

A ĐẶT VẤN ĐÊ 1.Lí do chọn SKKN

Trong cơng tác nâng cao chất lượng của nhà trường nĩi chung và của mơn Tốnnĩi riêng thì cơng tác dạy bồi dưỡng, dạy thêm, phụ đạo là một nội dung mang tính thựctiễn và cĩ hiệu quả cao nhất.

Điều này đặc biệt quan trọng đối với học sinh lớp 9, kết quả học sinh giỏi vàtuyển sinh là một yếu tổ để đánh giá chất lượng giảng dạy cả một quá trình từ lớp 6 đếnlớp 9 Đây khơng chỉ đánh giá của cấp trên mà nĩ cịn gây được sự nhìn nhận của họcsinh, phụ huynh học sinh, các cấp chính quyền đối với nhà trường

Thơng qua quá trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời qua quá trìnhkiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải“bài tốn rútgọn biểu thức chứa căn và chứng minh các bất đẳng thức chứa căn ” của bộ mơn Đạisố lớp 9, tơi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức tốn học trong phần này cịnnhiều hạn chế và thiếu sĩt Trong thực tế qua các kì thi, các bài kiểm tra ở lớp 9, đặcbiệt là kì thi học sinh giỏi tốn 9 và kì thi vào THPT đa số đều cĩ một bài tốn liênquan đến phần này Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 9, bản thân tơi khidạy phần “Giải bài tốn rút gọn biểu thức chứa căn và chứng minh các bất đẳng thứcchứa căn ” cũng gặp nhiều khĩ khăn vì khi nghe thấy dạng tốn này nhiềuhọc sinh đã ngại và khơng thích Bởi vì loại bài tốn này là loại bài tốn khĩ khơng chỉđối với học sinh trung bình mà ngay cả học sinh khá,giỏi cũng hay mắc lỗi trong quátrình rút gọn và chứng minh.

Từ những khĩ khăn trên nên bản thân thấy sự cần thiết viết sáng kiến này để nâng caohiệu quả dạy và học phần giải “Bài tốn rút gọn biểu thức chứa căn” trong mơn Đại sốlớp 9

.2.Mục đích nghiên cứu.

Ở các kì thi học sinh giỏi, học kì I, học kì II, ơn thi vào lớp 10, vào các trườngchuyên, học sinh thường gặp đề thi cĩ nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tínhcĩ chứa căn thức bậc hai.Đồng thời ở câu cuối cùng trong đề thi thường cĩ một bài tậpchứng minh các bất đẳng thức liên quan đến căn thức Mà để giải được các bài tập dạngnày, một yêu cầu quan trọng, đó là phải nắm được các kiến thứcliên quan ở lớp dưới Đĩ là các phép tốn của đa thức và phân thức đại số, các hằngđẳng thức đáng nhớ, các phương pháp đưa biểu thức về dạng tích, điều kiện đế các biểuthúc cĩ nghĩa và các bất dẳng thức cơ bản, đặc biệt là bất đẳng thức cosin Nhưng đa sốhọc sinh khi lên lớp 9, các em đã quên nhiều kiến thức liên quan.Vậy cần hướng dẫn chocác em như thế nào để làm tốn Muốn giải được bài tập đĩ địi hỏi học sinh phải nắmvững kiến thức đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Cái khĩở đây là kiến thức các em học ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, khơng cĩ chứa

quan đến kiến thức đã học ở lớp 8 Chính vì vậy, một số em còn yếu không nhận thấyđược ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn Cho nên ta phải làm sao cho họcsinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa kiến thức ở lớp 8 và lớp 9 để các em cóthể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập Khó khăn nhất đối với họcsinh là bước tìm mẫu chung, quy đồng mẫu, rút gọn những số hạng đồng dạng mà khôngnhầm lẫn về dấu Vì vậy giáo viên phải hướng dẫn thật tỉ mỉ các bước làm để kết quả rútgọn luôn đúng thì những câu hỏi liên quan mới làm tiếp được.

Xuất phát từ thực tế đó, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em niềm yêu thích, say mê họctập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời trong môn Toán nói chung và

trong dạng toán: “Rút gọn biểu thức chứa căn và chứng minh các bất đẳng thứcchứa căn ” nói riêng Trước hết, tôi thấy rằng phải hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp

chung để giải câu rút gọn, sau đó phân ra từng dạng bài tập liên quan, mỗi dạng đó tìm ra mộtđặc trưng riêng, tìm ra cách giải của dạng đó Tuy nhiên trong thực tế, nhiều em nắm được lýthuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng làm bài tập lại không giải được Vì vậy, tôi rất chú ýphần giải bài toán thông qua một ví dụ điển hình, sau đó mới đưa ra bài tập tương tự để cho cácem làm.

Tôi nhận thấy rằng sau khi học ôn tập với khắc sâu phương pháp giải câu rút gọn và cáchgiải các câu kèm theo thông qua bài toán điển hình và làm rất nhiều bài tập tương tự thì khôngnhững học sinh khá giỏi mà các học sinh có lực học trung bình cũng đạt được những kết quảhơn hẳn.

Chủ đề "Rút gọn biểu thức chứa căn và chứng minh các bất đẳng thức chứacăn " được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản của sách giáo khoa và phát triển dần

theo mức độ có đầy đủ các dạng bài phù hợp với từng đối tượng học sinh Các ví dụ vàbài tập đưa ra đều bám sát vào các đề thi học sinh giỏi toán 9 và đề thi vào lớp 10-THPH của Sở Giáo dục & Đào tạo Nghệ An trong những năm gần đây.

3 Đối tượng , phạm vi , kế hoạch, thời gian nghiên cứu.

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

a Sách giáo khoa toán 9, các tài liệu từ đồng nghiệp, từ mạng internet, các chuyên đề củaPhòng, trường, đề thi đề thi học sinh giỏi toán 9 và đề thi vào PTTH môn toán các nămcủa tỉnh Nghệ An

b Giáo viên, học sinh khối 9 trường THCS Hợp Thành trong các năm học trước vànăm học 2015-2016

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh khối 9 Trường THCS Hợp Thành – Yên Thành- Nghệ An Học sinh khối 9 Trường THCS Vĩnh Thành – Yên Thành- Nghệ An Học sinh khối 9 Trường THCS Phan Đăng Lưu – Yên Thành- Nghệ An.

Năm học 2015- 2016, trong các giờ bồi dưỡng, luyện tập, phụ đạo, học thêm, ônthi vào lớp 10 và các trường chuyên.

4 Đóng góp mới về lý luận thực tiễn:

- Hai là phần chứng minh bất đẳng thức được học ở lớp 8, trong sách giáo khoa chỉnêu một số bất đẳng thức cơ bản nhưng khi làm bài tập lại phải sử dụng nhiều bất đẳngthức khác không có trong sách giáo khoa như bất đẳng thức Cosin, Bunhiacoxki nênmuốn làm được đòi hỏi học sinh phải tự học, tự nghiên cứu ở sách nâng cao,sách thamkhảo

Trong khi đó, sách giáo khoa lớp 9 chỉ đưa ra một số bài toán cụ thể và đơn giản còn cácđề thi lại yêu cầu học sinh vận dụng để làm các bài tập khó, tổng quát, khiến giáo viên vàhọc sinh gặp khó khăn khi dạy và học

Vì vậy việc rút ra những kinh nghiệm để dạy phần" Rút gọn biểu thức chứa cănvà chứng minh các bất đẳng thức chứa căn " và làm được bài tập dạng này là rất

thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy đạthiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh khối 9 vàgiáo viên giỏi ở các trường THCS.

Với những khó khăn đã nêu trên nên trong quá trình giảng dạy, bản thân thấy đã rútra một số kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt và cách giải quyết như sau

II NỘI DUNG.

1 Thực trang vấn đề.

Trường THCS Hợp Thành có truyền thống hiếu học, trường có đội ngũ giáo viên

đi trọng tâm là: Phát huy yếu tố nội lực là động lực thúc đẩy, phát triển, xây dựng nềnếpgiáo dục toàn diện Từ nhiều năm nay đội ngũ CBGV nhà trường đã phấn đấu, nỗlực nâng cao trình độ về mọi mặt nhằm phù hợp với yêu cầu giáo dục trong giai đoạnmới Đến nay đội ngũ giáo viên của trường đã đủ điều kiện tiếp cận những đổi mới củangành Một bộ phận giáo viên của trường được chọn là bộ phận cốt cán của Phòng.Nhàtrường trong nhiều năm liên tục là đơn vị tiên tến

Về học sinh của trường THCS Hợp Thành cũng như học sinh ở nơi khác, khả năng họcmôn toán, khả năng liên kết các kiến thức ở lớp dưới với lớp trên,đặc biệt là khả năngtự học, khả năng vận dụng kiến thức bất đẳng thức để giải bài tập còn non yếu nên kếtquả học tập thấp.

Thông qua quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánhgiá sự tiếp thu của học sinh, sự vận dụng kiến thức đã học để “Giải bài toán rút gọnbiểu thức chứa căn và chứng minh bất đẳng thức chứa căn” của bộ môn Đại số 9, chúngtôi nhận thấy học sinh còn nhiều hạn chế và thiếu sót, đặc biệt các em rất lúng túng khivận dụng các kiến thức đã học để rút gọn biểu thức chứa căn có chứa biến và các bàitoán liên quan Đây là một phần rất khó đối với học sinh lớp 9, bởi lẽ từ trước đến naycác em chỉ quen giải những dạng toán về rút gọn của biểu thức không chứa căn thức.Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế nên gặp khó khăn trong việc phântích đề toán, suy luận, vận dụng các kiến thức liên quan ở lớp dưới để giải Các em họcsinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên,trường công lập để định hướng cho tương lai cuả mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nộidung đề thi câu đầu tiên thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chươngcăn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán kèm theo Với những khó khăn đã nêu trên nên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi bản thân thấy cần có một chuyên đề, một hệ thống bài tập có chọn lọc để giúp họcsinh học tốt và cách giải quyết như sau.

2.Một số tồn tại và nguyên nhân

Qua giảng dạy môn đại số 9 phần" Rút gọn biểu thức chứa căn và chứng minhcác bất đẳng thức chứa căn " tôi nhận thấy việc định hướng giải bài tập định lượng

của các em còn yếu ở các mặt sau :

- Học sinh lười học, lười suy nghĩ, không nắm được phương pháp.

- Học sinh học thụ động , thiếu phương pháp.

- Kĩ năng rút gọn phân thức của các em còn còn yếu.

- Kĩ năng vận dụng kiến thức bất đẳng thức đã học vào chứng minh còn hạn chế.

- Đặc biệt không liên hệ được những kiến thức đã học trước đó với bài học hiện tại

Thông qua quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánhgiá sự tiếp thu của học sinh, sự vận dụng kiến thức đã học để “Giải bài toán rút gọnbiểu thức chứa căn” của bộ môn Đại số 9, chúng tôi nhận thấy học sinh còn nhiều hạnchế và thiếu sót, đặc biệt các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để rútgọn biểu thức chứa căn có chứa biến và các bài toán liên quan Đây là một phần rất khóđối với học sinh lớp 9, bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về

thức liên quan ở lớp dưới để giải Các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lựctrong việc thi cử vào các trường chuyên, trường công lập để định hướng cho tương laicuả mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi câu đầu tiên thường rơi vào kiếnthức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểuthức chứa căn và các bài toán kèm theo

e.Các bất đẳng thức cơ bản và điển hình

Thông thường bài toán rút gọn biểu thức thường đi kèm với các câu hỏi sau: - Chứng minh bất đẳng thức.

- Giải phương trình hoặc bất phương trình - So sánh hai biểu thức.

- Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.

- Tính giá trị cụ thể của biểu thức khi cho giá trị cụ thể của các chữ có trong biểuthức.

- Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức

3.1 Kiến thức lý thuyết cụ thể cần chú ý: 

3.1.1. Các công thức biến đổi căn thức:

1) Nếu a = 0, x = 0, = x  x2 = a 2) Để có nghĩa thì A = 0

3)

4) (với A 0 và B 0 ) 5) (với A 0 và B > 0 ) 6) (với B 0 )

7) (với A 0 và B 0 ) 8) (với A 0 và B 0 ) 9) (với AB 0 và B 0 )

10) (với B > 0 )

11) (Với A 0 và A B2 )

12) (với A 0, B 0 và A B )

3.1 2 Các phép toán của đa thức và phân thức đại số

Sử dụng các tính chất cơ bản của một phân thức ta có thể nhân với biểu thức liênhợp của tử (hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấuphân thức, đưa phân thức về dạng rút gọn.

3.1.3.   Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

  Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự )viết dưới dạng có dấu căn :

3.1.4 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

Đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức, kết hợp nhiềuphương pháp Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cảtử và mẫu của một phân thức.

  3 1.5 Điều kiện đế các biểu thức có nghĩa.

Phải kết hợp các điều kiện : - Tất cả các biểu thức nằm trong căn bậc hai 0 - Tất cả các mẫu thức 0

+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.

+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức

+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưathừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu… 

3.2.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức

Ví dụ 1 : Rút gọn:

a) ; b) c) d)

Giải:

Cách 2: Ta có: A2 =Do A > 0 nên A =

Bài tập tương tự:Bài 1: Tính: Bài 2: Tính:

Bài 3: Rút gọn A = Bài 4: Rút gọn A =

3.2.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

a) b)

c) d)

3.3 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán kèm theo3.3.1/CÁC BƯỚC THỰC HIỆN PHẦN RÚT GỌN:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (nếu bài toán chưa cho)

Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0và số chia khác 0

Bước 2:Phân tích mẫu thành nhân tử(rồi rút gọn nếu được).Bước 3:Quy đồng gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích của nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bước 4: Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức,khi thực hiện

nhớ chú ý dấu – trước ngoặc

và mẫu để giải cỏc bất phương trỡnh,nhớ kết hợp ĐKXĐ để kết luận nghiệm3-So sỏnh hai biểu thức.

4-Tỡm điều kiện để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn.:

phõn thức nguyờn khi tử chia hết cho mẫu,hay mẫu là ước của tử nờn ta chia tửcho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú ý điềukiện xác định.

5-Tớnh giỏ trị cụ thể của biểu thức khi cho giỏ trị cụ thể của cỏc chữ cú trongbiểu thức:

thay giỏ trị đó cho vào cỏc chữ ở biểu thức sau khi rỳt gọn để tớnh

6-Tỡm GTNN (hoặc GTLN ) của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức:

sử dụng cỏc hằng đẳng thức (a+b) 0, (a-b) 0, Bất đẳng thức cosi cho 2 số dương, 3số dương……

Do vậy ta phải ỏp dụng cỏc phương phỏp giải tương ứng, thớch hợp cho từng loại toỏn.

*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2 

Bước 1: Điều kiện để biểu thức cú nghĩa (căn thức xỏc định, mẫu khỏc khụng… nếu bài

toỏn chưa cho)

Bước 2 : Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn

  + Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình.

  + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận

3.3.2/ Các ví dụ về bài tập rút gọn biểu thức chứa biến và các bài toán kèm theo Ví dụ 1: (đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2011-2012)

a) Điều kiện

Với điều kiện đó, ta có:

Vậy thì A =

c) Ta có P = A - 9 =

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:

Suy ra: Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức khi

Ví dụ 2: (đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2012-2013)

b) Ta có :

Kết hợp với ĐKXĐ ta có c)

Để B là một số nguyên thì Ư(14) hoặc (với k )

Nhận xét : Do có GTNN lớn hơn 6 và Ư(14) nên :

có giá trị nào của k.

P = (thỏa mãn*

Ví dụ 4: Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b) Tìm a để A = 5 c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm a để A < 1

giải:

ĐKXĐ: Ta có:

Vậy A = b) Tìm a để A = 5

(TMĐK)

Vậy với a = thì A = 5.c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2

Suy ra Do đó thay vào biểu thức A ta được: A =

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên Ta có: A = = 1 +

Để A nguyên thì nguyên, suy ra là ước của 2

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên.e) Tìm a để A < 1

< 1 - 1 < 0 < 0 < 0 < 0 a <1 Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0 a < 1.

Ví dụ 5 : Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn Ab) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 Rút gọn

Ta có AT = (BĐT Côsi cho hai số dương)

(TMĐK)Vậy Amin = 2

Ví dụ 6 : (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2005-2006)

Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A b) Tìm giá trị của x để