Phần 1. Phần mở đầuTrang 3A – Đặt vấn đề ……………………………………Trang 3B – Lí do chọn đề tài ……………………………Trang 3C Phạm vi, đối tượng nghiên cứu……………..Trang 4Phần 2. Nội dung ……………………………..I.Cơ sở lí luận và thực tiễn ………………………1.Cơ sở lí luận ……………………………2.Cơ sở thực tiễn …………………………II.Vận dụng lí luận vào thực tiễn ………………Trang 4Trang 4Trang 4Trang 5Trang 5Ví dụ 1…………………………………………………….Trang 6Bài toán 1 …………………………………………...Trang 6Bài toán 2……………………………………………Trang 7Bài toán 3……………………………………………Trang 8Bài toán 4……………………………………………Trang 10Bài toán 5……………………………………………Trang 11Bài toán 6……………………………………………Trang 13Bài toán 7………………..…………………………Trang 14Bài toán 8………………..…………………………Trang 15Bài toán 9………………..…………………………Trang 16Bài toán 10……………….…………………………Trang 17Bài toán 11……………….…………………………Trang 18Bài toán 12……………….…………………………Trang 20Ví dụ 2…………………...…………………………Trang 20Bài toán 1 ………………..…………………………Trang 22Bài toán 2………………..…………………………Trang 22Bài toán 3………………..…………………………Trang 18Bài toán 4………………..…………………………Trang 23Bài toán 5………………..…………………………Trang 24Bài toán 6………………..…………………………Trang 25Bài toán 7………………..…………………………Trang 26Bài toán 8………………..…………………………Trang 27Bài toán 9………………..…………………………Trang 27Bài toán 10……………….…………………………Trang 28Bài toán 11 …………….…………………………Trang 29III.Kết quả thực hiện …………………………IV.Bài học kinh nghiệm…………………………Phần 3. Kết luận Trang 31 Trang 33 Trang 34Tài liệu tham khảo ………Trang 36
MỤC LỤC Phần Phần mở đầu A – Đặt vấn đề …………………………………… B – Lí chọn đề tài …………………………… C - Phạm vi, đối tượng nghiên cứu…………… Phần Nội dung …………………………… Trang Trang Trang Trang Trang I Cơ sở lí luận thực tiễn ……………………… Trang Cơ sở lí luận …………………………… Trang Cơ sở thực tiễn ………………………… Trang II Vận dụng lí luận vào thực tiễn ……………… Ví dụ Trang Trang 1…………………………………………………… Bài tốn ………………………………………… Bài toán 2…………………………………………… Bài toán 3…………………………………………… Bài toán 4…………………………………………… Bài toán 5…………………………………………… Bài toán 6…………………………………………… Bài toán 7……………… ………………………… Bài toán 8……………… ………………………… Bài toán 9……………… ………………………… Bài tốn 10……………….………………………… Bài tốn 11……………….………………………… Bài tốn 12……………….………………………… Ví dụ 2………………… ………………………… Bài toán ……………… ………………………… Bài toán 2……………… ………………………… Bài toán 3……………… ………………………… Bài toán 4……………… ………………………… Bài toán 5……………… ………………………… Bài toán 6……………… ………………………… Bài toán 7……………… ………………………… Bài toán 8……………… ………………………… Bài toán 9……………… ………………………… Bài toán 10……………….………………………… Bài toán 11 …………….………………………… III Kết thực ………………………… Trang Trang Trang Trang 10 Trang 11 Trang 13 Trang 14 Trang 15 Trang 16 Trang 17 Trang 18 Trang 20 Trang 20 Trang 22 Trang 22 Trang 18 Trang 23 Trang 24 Trang 25 Trang 26 Trang 27 Trang 27 Trang 28 Trang 29 Trang 31 IV Bài học kinh nghiệm………………………… Phần Kết luận Tài liệu tham khảo ……… PHẦN I Trang 33 Trang 34 Trang 36 PHẦN MỞ ĐẦU A Đặt vấn đề Thời đại sống thời đại diễn chạy đua liệt khoa học - công nghệ quốc gia Trong bối cảnh đó, quốc gia khơng phát triển lực khoa học – cơng nghệ quốc gia khó tránh tụt hậu, chậm phát triển Do vậy, giáo dục tiên tiến tạo nguồn nhân lực chất lượng có khả đóng góp cho phát triển lực khoa học – công nghệ quốc gia, thúc đẩy phát triển kinh tế bền vững mà tất quốc gia nhằm tới Mục tiêu giáo dục mang đến cho học sinh niềm say mê học tập, khát khao vươn tới chân trời tri thức với niềm tin mãnh liệt thực khát khao Nói cách khác giáo dục phải đặt trọng tâm vào việc khơi dậy say mê học tập, kích thích tị mò sáng tạo học sinh để em có khả kiến tạo kiến thức từ nhà trường mang đến cho họ, để họ thực thấy ngày đến trường ngày có ích Vai trò người thầy phải tạo hội tốt để học sinh thỏa sức sáng tạo Tơi cho hoạt động giải tốn hội tốt để phát triển tư sáng tạo cho em Vậy dạy học giải toán để học sinh phát triển tư sáng tạo câu hỏi mà tơi phải trăn trở B Lí chọn đề tài Để thực mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo giai đoạn Nhiệm vụ người giáo viên phải nâng cao chất lượng dạy học Việc nghiên cứu đổi phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu cao việc làm quan trọng giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động, hỗ trợ em tự tìm tịi, nghiên cứu kiến thức từ SGK, STK từ thực tiễn cách xác, khoa học, đồng thời không ngừng phát triển tư kỹ học sinh cách linh hoạt Nhằm khơi dậy say mê học tập mơn Tốn, kích thích tị mị sáng tạo học sinh Trong q trình giảng dạy học sinh giải Tốn thấy rằng, để phát triển tư sáng tạo cho học sinh người dạy phải biết tận dụng triệt để hội sau để rèn luyện cho học sinh: - Giải toán theo nhiều cách - Đề xuất tốn tương tự - Tìm tốn tổng quát - Đề xuất toán Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ bồi dưỡng lực học toán cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học tốn cho học sinh muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn Tơi xin đưa trao đổi quý vị đồng nghiệp đề tài: “Phát triển tư sáng tạo cho học sinh thơng qua việc tìm nhiều cách giải khai thác toán” C Phạm vi, đối tượng nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình tốn lớp 8, lớp - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trường THCS Bạch Liêu PHẦN II I NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lí luận Trong luyện tập hay ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi việc tìm nhiều cách giải khác nhau, phân tích để xem xét toán suy từ toán nào, hay từ tốn suy tốn nhằm giúp cho học sinh khám phá, tìm tòi sáng tạo để suy nghĩ, tranh luận, thảo luận nhóm, đề xuất giải vấn đề ….Nhằm phát triển tư sáng tạo học sinh Bên cạnh giáo viên luôn “Lấy học sinh làm trung tâm”, tạo hội để học sinh tự giác xung phong giải tập, học sinh thảo luận, đánh giá cách giải bạn rút cách giải hay nhất, độc đáo Qua học sinh nắm kiến thức khắc sâu kiến thức để vận dụng vào giải tập, rèn luyện kỹ giải toán Cơ sở thực tiễn Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán, học sinh chủ thể hoạt động cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo Thơng qua học sinh tự khám phá điều chưa biết khơng phải thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Muốn giáo viên cần truyền thụ cho học sinh tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tơi thấy cách học học sinh cịn q thụ động, lười tìm tịi sáng tạo, chưa biết vận dụng khai thác toán học vào giải tập chính, giải xong tốn coi xong việc, sớm thõa mãn cơng việc khơng chủ động tìm tịi thêm mối liên hệ toán với toán khác, chưa biết xâu chuỗi tốn, mà đề tài tơi chọn nhằm nâng cao chất lượng học sinh II VẬN DỤNG LÍ LUẬN VÀO THỰC TIỄN Trong tiết luyện tập, ôn tập tiết bồi dưỡng học sinh giỏi lồng kiến thức vào tiết dạy nhằm phát triển tư sáng tạo học sinh tạo hứng thú, không nhàm chán học tập em giỏi Từ toán học sinh lớp gặp thấy q trình làm tập, giải toán giáo viên biết dẫn dắt “biến tấu” học sinh giải tốn phức tạp em sáng tác toán dựa toán gốc Sau số ví dụ cụ thể: VÍ DỤ Bài tốn µ Cho tam giác ABC, A = 900 , M ∈ BC Kẻ MP // AB, MQ // AC (P ∈ AB, Q ∈ AC) Tìm vị trí M để tứ giác APMQ có diện tích lớn Hình Thơng qua tốn phát triển cho học sinh kỹ tìm nhiều cách giải cho tốn Hướng dẫn giải (Hình 1) Cách 1: Ta có: SAPMQ = AP.AQ SABC = AB.AC 2 SAPMQ AP AQ CM BM ( BM + CM ) = = ≤ ≤ SABC AB AC BC BC 2BC ⇒ SAPMQ ≤ SABC SAPMQ lớn diện tích tam giác ABC Dấu xảy ⇔ MB = MC Cách 2: Đặt AB = c; AC = b, AP = x Theo định lí Talet ta có: PM BP AQ c − x b( c − x) = = ⇒ ⇒ AQ = AC AB b c c c bc b ( c − x ) −b(x − xc) −b x − ÷ + bc SAPMQ = AP.AQ = x = = 2 ≤ c c c SAPMQ lớn bc c Dấu xảy ⇔ x = Khi M trung điểm BC Cách 3: Tứ giác APMQ có diện tích lớn ⇔ SBPM + SCQM nhỏ Đặt S1 = SBPM, S2 = SCQM 2 S1 BM S2 CM = = ÷; ÷ S BC S BC S1 + S2 BM + CM ( BM + CM ) = = ⇒ ≥ S BC2 2BC2 2 ⇒ S1 + S2 đạt giá trị nhỏ ⇔ BM = CM, tức M trung điểm cạnh huyền BC Thơng qua tốn phát triển cho học sinh kỹ phát toán tương tự cách thay đổi vị trí điểm M cạch huyền sang cạnh góc vng µ Bài tốn 2: Cho tam giác ABC, A = 900 , M ∈ AC Qua M kẻ tia Mx // AB cắt BC P, kẻ My // BC cắt AB Q Tìm vị trí M để tứ giác BPMQ có diện tích lớn Hình Hướng dẫn giải (Hình 2) Cả cách giải tốn áp dụng để giải tốn Thơng qua tốn phát triển cho học sinh kỹ tìm tốn tổng qt, từ tam giác vng sang tam giác thường Bài toán Cho tam giác ABC, M ∈ BC Kẻ MP // AC, MQ // AC (P ∈ AB, Q ∈ AC) Tìm vị trí M để tứ giác APMQ có diện tích lớn Hình Hướng dẫn giải (Hình 3) Cách 1: Kí hiệu S = SABC, S1 = SBMP, S2 = SCMQ SAPMQ lớn ⇔ S1 + S2 nhỏ S BM ∆BPM ∽∆BAC ⇒ = ÷ S BC S2 MC = ÷ S BC S1 + S2 BM + MC BM + MC = = ≥ ⇒ S BC2 ( BM + MC ) S1 + S2 đạt giá trị nhỏ S Dấu xảy ⇔ BM = CM, tức M trung điểm cạnh BC Cách 2: Kẻ BI ⊥ A cắt MP H Ta có SADME = HI PM SABC = AC.BI SADME PM HI = SABC AC BI Đặt MB = x, MC = y, ta có: PM BM x = = AC BC x + y HI y = BI x + y Do đó: SAPMQ 2xy = Dấu xảy ⇔ x = y ≤ SABC ( x + y ) Như maxSAPMQ = SABC , M trung điểm BC Cách 3: Xét trường hợp TH1: M trung điểm BC Khi P Q trung điểm AC AB Ta có: SAMP = SAMQ = SBMQ = SPMC ⇒ SABC = 2SAPMQ hay SAPMQ = SABC TH2: Khi M không trung điểm BC Giả sử MB < MC AP < PC Trên AC lấy điểm K, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC H cắt QM kéo dài G Khi MQ = MG ⇒ ∆QBM = ∆GHM (g – c – g) ⇒ 2SAPMQ = SAKGQ = SABHK < SABC Xét tương tự với trường hợp MB > MC Vậy SAPMQ ≤ SABC Dấu "=" xảy ⇔ M trung điểm BC Thơng qua tốn phát triển cho học sinh kỹ đề xuất toán cách thay đổi giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề… Nhận xét : Dựa toán ∆ABC ⇒ ∆MBP MCQ tam giác Bằng cách đặc biệt hóa tốn ta có tốn sau: Bài tốn (Bài toán 1) Cho đoạn thẳng AB, lấy M ∈ AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hai tam giác AMC BMD Gọi E giao điểm AC BD Tìm vị trí M để tổng diện tích hai tam giác AMC BMD nhỏ Hướng dẫn giải (Hình 4) Kí hiệu S = SABE, S1 = SAMC, S2 = SBMD SMDEC lớn ⇔ S1 + S2 nhỏ S AM ∆AMC ∽∆ABE ⇒ = ÷ S AB 10 Hình Hướng dẫn giải (Hình 2) Gọi O’ trung điểm AO⇒ O’H đường trung bình ∆AOC ⇒ O’H = 1 CO = R 2 ⇒ H nằm đường trịn tâm O’ bán kính R Nhận xét: Trong tốn 2, H khơng trung điểm AC có giải tốn hay khơng? Bài tốn 3: Cho đường trịn (O; R), lấy điểm A cố định nằm đường tròn Kẻ cát tuyến BC, tia AC lấy điểm H cho AH = AC Chứng minh cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A điểm H nằm đường tròn Hướng dẫn giải (Hình 3) Qua H kẻ đường thẳng song song với OC cắt AO O’ Áp dụng định lí Talet ta có: AH AO' O'H = = = AC AO OC ⇒ O’H = 1 OC = R khơng đổi 3 Hình 22 AO’ = AO không đổi Mà A O cố định ⇒ O’ cố định ⇒ H thuộc đường tròn tâm O’ bán kính R Bài tốn tổng qt tốn Bài tốn 4: Cho đường trịn (O; R), lấy điểm A cố định nằm đường tròn Kẻ cát tuyến BC, tia AC lấy điểm H cho AH = n AC (n, m ∈ N, m ≠ 0) Chứng m minh cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A điểm H nằm đường tròn Hướng dẫn giải Qua H kẻ đường thẳng song song với OC cắt AO O’ Áp dụng định lí Talet ta có: AH AO' O'H n = = = AC AO OC m ⇒ O’H = AO’ = n n OC = R không đổi m m Hình n AO khơng đổi m Mà A O cố định ⇒ O’ cố định ⇒ H thuộc đường trịn tâm O’ bán kính n R m Các toán tập trung vào xét thay đổi điểm H, theo tốn điểm A cố định nằm đường trịn Nếu ta đặc biệt hóa vị trí khác điểm A, điểm A khơng nằm đường trịn mà nằm đường trịn nằm ngồi đường 23 trịn tốn có giải khơng Hướng suy nghĩ cho toán xuất phát từ toán sau: Bài toán 5: Cho đường tròn tâm (O;R) Trên đường tròn (O) lấy điểm cố định A, điểm B di chuyển (O) Gọi H trung điểm AB Chứng minh H nằm đường trịn Hướng dẫn giải (Hình 5) Hình Bài tốn có cách giải đơn giản sau: Cách Nếu ba điểm A, O, B thẳng hàng H trùng với O Nếu ba điểm A, O, B không thẳng hàng Do H t rung điểm dây cung AB không qua tâm ⇒ OH ⊥ AB Mà hai điểm A O cố định điểm O nằm đường tròn tâm O’ đường kính AO Cách Nếu ba điểm A, O, B thẳng hàng H trùng với O Nếu ba điểm A, O, B không thẳng hàng Gọi O’ trung điểm AO ⇒ O’ cố định 24 Trong tam giác AOB có O’H đường trung bình O’H = không đổi ⇒ H nằm đường trịn tâm O’ bán kính OB ⇒ O’H R Nhận xét: Nếu điểm A nằm ngồi đường trịn ta có tốn Bài tốn Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A cố định nằm ngồi đường trịn Kẻ cát tuyến BC, gọi H trung điểm AC Chứng minh cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A điểm H nằm cung trịn Hướng dẫn giải (Hình 6) O’H đường trung bình ∆AOC ⇒ O’H = 1 CO = R 2 ⇒ H nằm đường trịn tâm O’ bán kính R Hình Giới hạn H chạy cung trịn MN (O’) với cung MN có phần nằm (O) Trong AP, AQ tiếp tuyến kẻ từ A với (O) M N trung điểm AP AQ Như từ toán người giáo viên biết hướng dẫn học sinh biết thay đổi đối tượng hình học, điểm hình … thao tác tư 25 đặc biệt hóa, tương tự hóa, thay đổi giải thiết tốn khai thác nhiều khía cạnh khác thơng qua phát huy quan sát học sinh trước vấn đề Giáo viên gợi ý cho học sinh phát thêm toán tương tự sau: Bài toán (Tương tự toán 5) Cho đường tròn (O; R), điểm A cố định (O), điểm B thay đổi (O) Trên tia đối tia BA lấy điểm H cho BH = AB Chứng minh điểm H nằm đường tròn B di chuyển (O) Hướng dẫn giải (Hình 7) Gọi AM đường kính (O) · ⇒ ABM = 900 Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt AM N ⇒ BM // HN Do BH = 1 AB ⇒ MN = AM = R 2 Hình ⇒ N cố định ⇒ H thuộc đường trịn đường kính AN Nếu B trùng M H trùng N Nếu B trùng A H trùng A Bài tốn (Tương tự tốn 5) Cho đường trịn (O; R), điểm A cố định (O), điểm B thay đổi (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AB Chứng minh điểm H nằm đường tròn B di chuyển (O) 26 Hình Hướng dẫn giải (Hình 8) Qua điểm H kẻ đường thẳng vng góc với HB cắt MB N ⇒ NM = MB ⇒ H nằm đường trịn đường kính NB Bài tốn (Tương tự tốn 6) Cho đường trịn (O; R), lấy điểm A cố định nằm đường tròn (O) Kẻ cát tuyến BC, gọi H trung điểm AC Chứng minh cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A điểm H nằm cung trịn Hướng dẫn giải (Hình 9) Vì H trung điểm dây cung BC OH ⊥ BC ⇒ H nằm đường tròn tâm O’ trung điểm AO bán kính AO 27 Hình Giới hạn H chạy cung MON (O’) Khi H trùng với M B C trùng với M Khi H trùng với N B C trùng với N Nhận xét: Các tốn có cách thay đổi vị trí điểm A hay điểm H Vấn đề đặt đặc biệt hóa tốn, để khai thác toán xung quanh điểm B hay khơng Bài tốn trường hợp đặc biệt hóa tốn 1, ta tiếp tục đặc biệt hóa tốn để tam giác AHB tam giác vng cân ta thấy tốn Bài tốn 10: Cho đường trịn (O) A điểm cố định H điểm chuyển động (O) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho BH = HC Chứng minh B chạy cung tròn H chuyển động (O) M1 B H C A M2 O Hình 10 Hướng dẫn giải (Hình 10) 28 · Ta có ABC = 450 ⇒ B thuộc cung chứa góc 450 dựng AC Giới hạn: Khi H trùng với A ⇒ B trùng với M1 M2 cho M1A = M2A = AC Điểm B gồm hai cung chứa góc 450 dựng AB Bài tốn 11: Cho đường trịn (O) A điểm cố định H điểm chuyển động (O) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho BH = HC Chứng minh B chạy cung tròn H chuyển động (O) Giải Hướng dẫn giải (Hình 11) tốn nhiều cách Cách Bài · Do AHB = 1300 điểm H nằm cung Cách chứa góc 1350 dựng AB ¼ ¼ Gồm hai cung BAM1 BAM Trong M1M2 tiếp tuyến (O) tương tự Đề xuất toán Bài toán gốc Bài Đề xuất toán tổng quát Bài 2&3 Bài Hình 11 Bài Bài Đề xuất toán mới, tương tự Bài Bài SƠ ĐỒ VÍ DỤ Bài Bài 10 Bài 11 29 III KẾT QUẢ THỰC HIỆN 30 Để kiểm tra đánh giá khả tiếp thu học sinh, hiệu đề tài tiến hành kiểm tra học sinh trước áp dụng đề tài sau thời gian áp dụng đề tài Bài kiểm tra trước áp dụng đề tài : µ Bài Cho tam giác ABC, A = 900 , M ∈ BC Kẻ MP // AB, MQ // AC (P ∈ AB, Q ∈ AC).Tìm vị trí M để tứ giác APMQ có diện tích lớn a) Giải tốn nhiều cách b) Tìm tốn tương tự giải tốn c) Tìm tốn tổng quát Bài Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A (khác O) cố định nằm đường tròn Một đường thẳng d thay đổi, qua A, cắt đường tròn cho hai điểm B C Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng BC a) Giải tốn cách b) Tìm tốn tương tự giải tốn c) Tìm tốn tổng qt Bài kiểm tra sau áp dụng đề tài Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm M Gọi H I hình chiếu M AB AC Vẽ đường cao BK a) Chứng minh MH + MI = BK b) Ta nên xét thêm vị trí điểm M Từ tìm thêm tốn khác xung quanh tốn giải tốn đó.(Giao cho HS nhà tìm tịi) Bài Chứng minh 4n + 15n – 10 M9 (n ∈ N) a) Chứng minh toán nhiều cách b) Nêu toán tổng quát 31 c) Em nêu số toán khác tương tự toán (Giao học sinh nhà thực Kết đạt Kết trước áp dụng đề tài Số học sinh tham gia : 37 Mức điểm (đ) Số HS Tỉ lệ % Khối : đ< 15 40% 5≤ đ