IV.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ở THCS 1. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương trình lên luỹ thừa n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả vế của phương trình không âm. Rất nhiều bài toán phù hợp với kiểu nâng lên lũy thừa,khử bớt dấu căn để từ đó ta đưa ra cách giải phù hợp.Sau đây là một số dạng 1.1 Dạng 1: Phương pháp giải: Ví dụ 1 Giải phương trình: .a. Giải phương trình: x=27 1.b. Giải phương trình: (1) HD:ĐK: (1) (1) x=6(Thỏa mản ĐK) Vậy x=6 1.2 Dạng 2: Phương pháp giải Ví dụ 2. Giải phương trình: a. Giải phương trình: (1) (Đề thi HSG Huyện 20062007) Giải: (1) Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b. Giải phương trình: (1) Nhận xét: Trước hết ta chuyển vị trí các số hạng trong phương trình một cách hợp lý và tìm ra mối liên hệ giữa biểu thức ngoài căn và biểu thức trong căn, từ đó suy ra cách giải. Lời giải: ĐKXĐ: (1) Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 c Giải phương trình:. Nhận xét: Khi bình phương lên sẽ gặp phương trình bậc cao.Ta sẽ vận dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao để giải,chú y cách giải đoán nghiệm và phann tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng tích Giải:ĐK x 2 Bài tập tự giải 1. = x 2 2. = x+ 1 1.3Dạng 3: (1) Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình: f(x) > 0 g(x) > 0 (2) h (x) > 0 Với điều kiện V (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương vế của phương trình (1) rồi rút gọn ta được: (3) Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 2. Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận nghiệm. Ngoài ra một số phương trình tương tự như dạng 3(Có cách giải giống nhau): Phương trình Phương trình :
A.ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Vì vậy, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học, phải tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, liên tục có hệ thống qua tất lớp học, cấp học. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một những chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh .Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này Trong giáo viên dạy phương trình vô tỉ khai thác phân tích đề bài, mở rộng toán mới,hệ thống tập SGK nghèo nàn dẫn đến học sinh gặp toán giải phương trình vô tỉ lúng túng chưa biết cách giải giải chưa chặt chẽ. Thực ra, cũng là một những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì là một những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi cấp Huyện, cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ” khuôn khổ chương trình bậc THCS Nhằm góp phần đồng nghiệp để rèn luyện kỷ giải toán cho học sinh, phát triển tư sáng tạo tính linh hoạt trình giải tập toán.với mục đích: Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết. Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu quả. + Trang bị cho học sinh số kiến thức giải phương trình vô tỉ nhằm nâng cao lực học môn toán, giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phương trình vô tỉ. II.PHẠM VI-ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: a. Các tài liệu từ đồng nghiệp,từ mạng internet,các chuyên đề Phòng,trường, . b. Giáo viên, học sinh giỏi trường THCS Hợp Thành(Chủ yếu Khối 9) 2. Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp THCS. B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Trong chương trình môn toán lớp THCS kiến thức phương trình vô tỉ không nhiều song lại quan trọng .đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT. Trong đề tài đưa số phương trình vô tỉ phù hợp với trình độ học sinh THCS. Trang bị cho học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng để làm tập Khi giải toán phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức thức, phương trình, hệ phương trình, phộp biến đổi đại số . Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp. Rút số ý làm từngphương pháp Chọn lọc số tập hay gặp phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi. Vận dụng giải toán có liên quan đến phương trình vô tỉ “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán.Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. II.CƠ SỞ THỰC TIỄN: Phương trình vô tỉ loại toán mà học sinh THCS coi loại toán khó, nhiều học sinh giải phương trình vô tỉ nào? có phương pháp nào? Nhiều tài liệu viết chung chung, gộp nhiều phương pháp, khiến người đọc gặp khó khăn nghiên cứu Các toán phương trình vô tỉ dạng toán hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải phương trình vô tỉ giáo viên nghiên cứu. Vì việc nghiên cứu phương pháp giải phương trình vô tỉ thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, dặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS. III TÌNH HÌNH THỰC TẾ 1.Kết tình trạng chưa thực đề tài: Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 40 học sinh mức độ đề vừa phải thấy kết tiếp thu giải phương trình vô tỉ sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 20 50% 14 35% 12,5% 2,5% 2. Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tương đối lạ khó với học sinh, học sinh chưa trang bị phương pháp giải, nên việc suy luận hạn chế nhiều lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải quyết. IV.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ở THCS 1. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA Để làm bậc n ta nâng vế phương trình lên luỹ thừa n. Nếu n chẵn ta thực vế phương trình không âm. Rất nhiều toán phù hợp với kiểu nâng lên lũy thừa,khử bớt dấu để từ ta đưa cách giải phù hợp.Sau số dạng 1.1 Dạng 1: Phương pháp giải: f ( x) = g ( x) f ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x ) Ví dụ Giải phương trình: .a. Giải phương trình: x − − = ⇔ x − = ⇔ x=27 1.b. Giải phương trình: x − − x + = (1) 2 x − ≥ ⇔ x ≥ (1) x + ≥ HD:ĐK: (1) ⇔ x − = x + ⇔ x − = x + ⇔ x=6(Thỏa mản ĐK) Vậy x=6 1.2 Dạng 2: f (x) = g(x) g(x) ≥ Phương pháp giải f (x) = g(x) ⇔ f (x) = [g(x)] Ví dụ 2. Giải phương trình: a. Giải phương trình: x + = x − (1) (Đề thi HSG Huyện 2006-2007) x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x + = x − x − 3x = x = Giải: (1) ⇔ Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = b. Giải phương trình: x − x − − = (1) * Nhận xét: Trước hết ta chuyển vị trí số hạng phương trình cách hợp lý tìm mối liên hệ biểu thức biểu thức căn, từ suy cách giải. * Lời giải: ĐKXĐ: x − ≥ ⇔ x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2 ( x − 3) = x − x − x + 10 = (1) ⇔ ( x − 3) = x − ⇔ x ≥ x = 5, x = < 5(Loai) Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c Giải phương trình:. 2x + 16 = 2( x + 8) Nhận xét: Khi bình phương lên gặp phương trình bậc cao.Ta vận dụng phương pháp giải phương trình bậc cao để giải,chú y cách giải đoán nghiệm phann tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng tích Giải:ĐK x ≥ -2 2x3 + 16 = 2(x + 8) ⇔ 25(2x3 + 16) = 4(x + 8) ⇔ 4x + 64x − 50x3 − 144 = ⇔ (2x − 5x + 6)(x − 10x − 12) = 2x − 5x + = ( Vo nghiem ) ⇔ x − 10x − 12 = ⇔ x = ± 37 ( TM DK ) Bài tập tự giải 1. x − = x- 2x −1 = x − 2. + x x + = x+ 1.3Dạng 3: f (x) + g(x) = h(x) (1) Tìm điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) > g(x) > (2) h (x) > Với điều kiện V (2) hai vế phương trình (1) không âm nên bình phương vế phương trình (1) rút gọn ta được: f ( x).g ( x ) = [h( x)] − f ( x) − g ( x) (3) Phương trình (3) có dạng nên giải theo phương pháp dạng 2. Đối chiếu nghiệm tìm (3) với điều kiện kết luận nghiệm. Ngoài số phương trình tương tự dạng 3(Có cách giải giống nhau): - Phương trình f ( x ) + g ( x ) = h( x ) - Phương trình : f (x) + g(x) = h(x) + k(x) Ví dụ a. Giải phương trình: x + = + x + (Đề thi HSG huyện năm 2012-2013) Nhận xét: Hai vế số dương,ta bình phương vế x + = + x + ⇔ x + = + x + + x + ⇔ x + = ⇔ x = −1 b. Giải phương trình: x + − − x = − x Nhận xét:Cần biến đổi để đưa vế dương để áp dụng dạng toán Giải: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − 3x + −1 ≤x≤ −1 ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0 x2 + x = x = −7 c: Giải phương trình: x + + x + 10 = x + + x + (1) x + ≥ x + 10 ≥ ĐKXĐ: x + ≥ x + ≥ ⇔ x ≥ −1 x ≥ −10 x ≥ −2 x ≥ −5 ⇔ x = -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta được: x+1 + x+ 10 + ( x + 1)( x + 10) = x+2 + x+ + ( x + 2)( x + 5) ⇔ 2+ ( x + 1)( x + 10) = ( x + 2)( x + 5) (3) Với x ≥ -1 hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta ( x + 1)( x + 10) = 1- x Điều kiện x ≤ -1 (4) Ta việc kết hợp (2) (4) x ≥ −1 x ≤ −1 ⇔ x = nghiệm nhầt phương trình (1). Bài tập tự giải: Giải phương trình: 1− x + + x = (1) 2. 1− x − + x = 3. x + = − x − (2) .4. x − − 5x − = 3x − .5. x − − x + = 2x − − x + 1.4 Dạng :Phương trình chứa bậc Muốn để khử bậc ba, ta lập phương hai vế để phương trình tương đương,dựa vào cấu trúc toán để đưa phương pháp giải phù hợp f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) f ( x) + g( x) = h( x) ⇔ ( f ( x) + g( x) ) = h( x) Ví dụ .a Giải phương trình: x + + − x = (1) Giải:+ Lập phương hai vế ( ) x + + − x + 33 ( x + 1)(7 − x ) . x + + − x = (2) (đến thay x + + − x = vào phương trình) ta được: + 33 ( x + 1)(7 − x ) .2 = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ( 3) Giải ra: x1 = −1; x = ; Thay lại vào PT cho ta thấy nghiệm đúng, nên nghiệm x1 = −1; x = PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm b: Giải phương trình: 2x − + x − = 3x + Lời giải: Lập phương hai vế ta nhận phương trình tương đương sau: 2x - + x - + 3 ( 2x − 1) ( x − 1) ( ) 2x − + x − = 3x + ⇔ ( 2x − 1) ( x − 1) ( 2x − + x − ) = 1( 1) Do 2x − + x − = 2x − nên từ (1) dẫn đến phương trình sau: ⇔ ( 2x − 1) ( x − 1) 3x + = (1) (2) (2x2 - 3x +1) (3x + 1) = ⇔ 6x3 - 7x2 = ⇔ x = x = Vậy (2) có hai nghiệm x = x = Do phép biến đổi từ (1) sang (2) phép biến đổi hệ nên ta phải thử lại để tìm nghiệm phương trình. thoả mãn. Ta thấy x = không thoả (1) x = Vậy phương trình có nghiệm x = . Bài tập tương tự: Giải phương trình: 1) 2x + + 3 − 2x = 2) x − + x + = 10 x 3. x − + x − = x − 2.PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI -kiến thức: Sử dụng đẳng thức sau: A = A 2.1 Dạng 1:Đưa dạng g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x) f ( x ) = − g ( x) Ví dụ 5: a . Giải phương trình: x − 24 x + 16 = − x + (1) Nhận xét: dễ dàng thấy biểu thức đẳng thức Phương trình (1) ⇔ ĐKXĐ: x − = -x + (2) -x+4 ≥ 3 x − = − x + 3 x − = x − (2) ⇔ ⇔ x = x = Với x = x = nghiệm phương trình (đều thoả mãn x ≤ ). x2 + x − = − x (1) b. Giải phương trình: Nhận xét: nhân vào vế ta dễ dàng thấy biểu thức đẳng thức (1) ⇔ x + x − = 16 − x ⇔ x − + x − + = 16 − x ⇔ ( x − + 2) = 16 − x ⇔ x − + = 16 − x ⇔ x + x − − 14 = ( ) Đặt 2 x − = a.ĐK :a ≥ ⇒ x = a + (2) ⇔ 2a + + a − 14 = ⇔ 2a + a − = ⇔ a=-2 ta có (2) ⇔ 2x – =5 ⇔ x =5,5 (thoả mãn x > ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = 5,5 b. Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = x+3 (1) * Nhận xét: 10 4.1 Biến đổi tương đương Phân tích biểu thức phương trình,dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng tích Ví dụ 13 a. Giải phương trình: ( x + 1)( x − 3) + x + = ( x + 1)( x + 2) + x − (1) Giải Ta có (1) ⇔ x − x − + x + = x + 3x + + x − (4’) Với điều kiện: x ≥ ta có: (4’) ⇔ x + 1. x − + x + = x + 1. x + + x − ⇔ ( )( x +1 −1 ) x+2 − x−3 = x = < x + − = x + = ⇔ ⇔ ⇔ x + − x − = x + = x − 2 = ( Loai ) ( vo ly ) phương trình cho vô nghiệm b. Giải phương trình: x + 10x + 21 = x + + x + - (1) ĐKXĐ: x ≥ -3 Phương trình (1) có dạng: ( x + 3)( x + 7) - x + + x + +6 = ⇔ x + ( x + − 3) -2( x + − 3) ) =3 ⇔ ( x + − 3) ( x + − ) =0 x + − = x + = ⇔ ⇔ ⇔ x + − = x + = c: Giải phương trình: x = x = 2x + − x − = x + Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình: x + = (x + 3)( 2x + + x + − 1) = ⇔ ⇒ PT vô nghiệm 2x + + x − = 4.2 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình tich Ví dụ 14: a Giải phương trình:. − x + x + =1 ĐKXĐ: x ≥ -2 22 Đặt x + = t ≥ Khi − x = 3 − t ⇔ (1) ⇔ 3− t2 + t = 3 2 − t = 1- t ⇔ 3- t = (1-t) ⇔ t - 4t + 3t + =0 ⇔ (t-2) ( t -2t -1) = Từ phương trình ta tìm x =2 ; x= + 2 nghiệm phương trình (1) (4x-1) x + = 2(x2 + 1) + 2x - (1) b. Giải phương trình: Đặt x + =y ; y ≥ (1) ⇔ (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 ⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= ⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = ⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) = Giải phương trình ta tìm x = ; x = nghiệm phương trình (1) 4.3.Bài tập áp dụng: 1. x3 − 7x − = 2. x2 − x − - x2 − x + = 3. x + + 2(x + 1) = x − + − x + − x . x −1 4. x(x+5) = x + x − − 5. 2( x2 + 2x + 3) = x + 3x + 3x + 5.PHƯƠNG PHÁP 5: ĐƯA VỀ DẠNG: A2 - B2 = , A2 + B2 = 0, HOẶC A.B =0 phương pháp ta sử dụng A2 - B2 = ⇔ A2 =B2 ⇔ A= ± B A2 + B2 = ⇔ A = B = ; A.B =0 Khi A=0 B =0 Ví dụ15: a. Giải phương trình: x2 - 4x - = x + (1) Nhận xét: + Sử dụng phương pháp 1, 2, khó giải + Biến đổi đưa dạng A2-B2 = Điều kiện x > - (*) Với điều kiện trên: (1) x2 – 3x + =x +5+ x+5 + 2 1 ⇔ x − = x + + ⇔ x − = x + + (Vì x + + > ) 2 2 23 TH1: x - = x+5 + 2 TH2: x - = − x + − x= + 292 x = -1 Đối chiếu với điều kiện (*)nghiệm n (1) là: x = + 292 ; x = -1 b. Giải phương trình: x + x + 2006 = 2006 : Đưa vế bậc: 1 1 1 x + x + = x + 2006 − x + 2006 + ⇔ x + ÷ = x + 2006 − ÷ 4 2 2 1 x + = x + 2006 − 2 ⇔ x + = − x + 2006 2 Đến tiếp tục giải theo phơng pháp c Giải phương trình:. x − 2x + = 2x − (1) (Đề thi HSG Huyện năm 2012-2013) Nhận xét: + Sử dụng phương pháp 1, 2, khó giải + Biến đổi đưa dạng A2 + B2 = Giải: Điều kiện:x ≥ (1) ⇔ x − 4x + + 2x − − 2x − + = ⇔ (x − 2) + ( 2x − − 1) = 2x − − = ⇒ ⇔ x =1 x − = d. Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ − x + 4x + = 2x + 24 x + 4x + − 2x + = ⇔ ( x − x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = x + = 2x + −1 = Giải x =-1 e. Giải phương trình: x + x + − − x = −3 HD: Tìm mối quan hệ biểu thức: x + = 4( x + 1) − (1 − x) ; PT trở thành: (2 x + 1) − ( − x ) + x + + − x = ⇔ (2 x + 1) − − x + = ⇔ ( x + 1) (5 x + − 1) = Giải ra: x=-24/25 (TMĐKT) HD: Nhận xét x + = ( x + 1) − ( 3x − ) Từ biến đổi đưa dạng:A.B =0 Bài tập tương tự: Giải phương trình 1. x + x + = x + 2. x − x + 26 = x + 3. x + y + z + = x − + y − + z − 4. x + − 3x − = x+3 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 6.1 Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm + Biến đổi pt dạng f (x)=g(x) mà f (x) > a;g(x) < a với a số phương trình vô nghiệm Ví dụ 16. a. Giải phương trình x − − 5x − = 3x − . điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm b. Giải phương trình x − x + 11 + x − x + 13 + x − 4x + = + 25 ⇔ Mà ( x − 3) + + ( x − 3) + + ( x − 3) + + ( x − 3) + + (x − 2) + = + (*) (x − 2) + ≥ + 4+1=3+ ⇒ Vế phải phơng trình cho lớn vế trái . Vậy phơng trình cho vô nghiệm . 6.2 Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế + Biến đổi pt dạng h (x) =m (m sốm) mà ta có h (x) ≥ m h(x) ≤ m nghiệm pt giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Biến đổi pt dạng f (x)=g(x) mà f ( x) ≥ a; g ( x) ≤ a với a số. Nghiệm pt giá trị x thoả mãn đồng thời f (x)= a g(x) = a Ví dụ 17. a. Giải phương trình 4x + 8x + 20 = − 2x − x (1) (Đề thi HSG Huyện năm 2012-2013) Nhận xét: Ta nhận thấy VT có giá trị nhỏ nhât,vế phải có giá trị lớn nhất.Kiểm tra xem giá trị có trùng không? Giải (1) ⇔ (x + 1) + = −(x + 1) + Ta có VT ≥ 4, VP ≤ 4.Vậy dấu xảy ⇔x=-1 b: Giải phương trình x−4 + − x = x2 -10x + 27 (1) Nhận xét:Ta nhận thấy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho VT ta tìm đuọc giá trị lớn nhât,còn VP có giá trị nhỏ nhất,liệu giá trị có trùng không? ĐKXĐ: ≤ x ≤ Xét vế phải (1) ta có: x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + ≥ với x vế trái (1) ( x − + − x )2 ≤ ( (x − 1) + ( − x ) =1 hay x − + − x ≤ Vì phơng trình (1) có nghiệm dấu”=’’ xãy ,hay x=5 x − 10 x + 27 = 2(*) x − + − x = 2(**) 26 Giải phơng trình (*) ta dợc x = giá trị thoả mãn (**) Vậy x =5 nghiệm phơng trình (1) c.Giải phương trình Giải: điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − Áp dụng bất đẳng thức côsy: Với điều kiện x > ⇒ x 4x − > . Nên: x 4x − + ≥ . Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = x 4x − ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± Bài tập vận dụng d. Giải phương trình 2x − 6x + = (x − 2x + 2)(x − 4x + 5) (*) Nhận xét:Ta thấy: x2 - 2x + > ; x2 - 4x + > (x2 - 2x + 2) + (x2 - 4x + 5) = 2x2 - 6x + 7.Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho VP thử xem có toán có đưa dạng đơn giản không? Giải ĐKXĐ: x ≥ + x ≤ - Ta có: x2 - 2x + > ; x2 - 4x + > Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (x − 2x + 2) + (x − 4x + 5) 2x − 6x + (x − 2x + 2) (x − 4x + 5) ≤ = (**) 2 Dấu “=” xẩy x2 - 2x + = x2 - 4x + ⇔ x = Do vế trái = vế phải = => x = nghiệm phương trình (1) Nếu x > x −1 > Nếu x < x −1 > 2x −1 < => vế trái > = vế phải (loại => vế trái < = vế phải (loại) x −1 < Vậy x = nghiệm phương trình (1) b. Giải phương trình: x − 5x + + x − 5x + = * Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta thấy x = nghiệm phương trình nghiệm nhất. Thật vậy: - Nếu x > x2 > 5x ⇒ x > 5x ⇒ x2 > 5x ⇒ x2 - 5x > ⇒ x2 - 5x + > 28 ⇒ Mặt khác x > ⇒ x − 5x + > (*) x > ⇒ 5x > ⇒ 5x > 15 ( ) x2 - 5x + = x − 5x + 5x + > 5x + > 16 ⇒ x − 5x + > Từ (*) (**) suy (**) x − 5x + + x − 5x + > - Nếu x < 5, tương tự có: x − 5x + < ⇒ ; x − 5x + < x − 5x + + x − 5x + < Vậy x = nghiệm phương trình. c. Giải phương trình: x+7 + = 2x + 2x − x +1 Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = + + < + . Mà: VP > + x +1 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x − > 2.22 + = + . VT < + x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Bài tập vận dụng + =6 3− x 2−x x + x + 12 + x − 10 x + = 3-4x -2x 29 ( x + ) ( 2x − 1) − x+6 =4− ( x + ) ( 2x − 1) + x+2 7.PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm Ví dụ 19: Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) ĐK x ≤ −2; x ≥ ( 1) ⇔ ⇔ x − x − x2 − x =2x x ( x − 1) − x ( x + ) −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) =2x ( 2) −3 −3 x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = x + Nếu x ≥ ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 3) Giải (3) ta tìm x x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = −2 x + Nếu x ≤ -2 ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = −2 x Giải (4) ta tìm x b.Giải phương trình sau: ( 4) x + 12 + = x + x + HD: Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x + 12 − = x − + x + − ⇔ x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + + x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : 2 x + 12 + x +5 +3 Bài tập vận dụng: 30 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) 3) 3x x + 10 = 3x + − 8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ CHỨA ẨN Ví dụ 20. Giải phương trình: x + = 2x + 2x + (4x - 1) Lời giải: Đặt t = 2 x + ≥ t = x + 1, phương trình cho biến đổi dạng: (4x - 1) x + = 2(x + 1) + 2x - ⇔ (4x - 1) t = 2t2 + 2x - ⇔ 2t2 - (4x - 1)t + 2x - = Đây phương trình bậc hai với ẩn t hệ số chứa x. ∆ = (4x - 1)2 - (2x - 1) = (4x -3)2 Phương trình ẩn t có nghiệm: 2x − 4x − ± ( 4x − 3) = t= < lo¹i 2 Với t = 2x -1 ⇒ x + = 2x − 2x − ≥ x ≥ ⇔ 2 ⇔ x + = ( 2x − 1) 3x − 4x = Vậy phương trình có nghiệm x = ⇔x= . Ví dụ 21 Giải phương trình: 2(1 - x) x + 2x − = x - 2x -1 (1) Lời giải: 31 ĐKXĐ: x2 + 2x - ≥ ⇔ x ≥ -1 + Đặt t = x ≤ - - 2 x + 2x − t = x + 2x - (1) ⇔ 2(1- x) ( ) x − 2x − = x + 2x − − 4x ⇔ 2(1 - x)t = t2 - 4x ⇔ t2 - 2(1- x)t - 4x = Ta có ∆' = (1- x)2 + x = (x + 1)2 1 − x + x + = Phương trình ẩn t có nghiệm t = 1 − x − ( x + 1) = −2x * Với t = ⇒ * Với t = - 2x ⇒ x + 2x − = ⇔ x + 2x - = ⇔ x = - ± x + 2x − = −2x −2x ≥ ⇔ 2 x + 2x − = 4x x ≤ ⇔ 3x − 2x + = Hệ vô nghiệm phương trình 3x2 - 2x +1 = vô nghiệm Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1,2 = - ± 8.3. Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: a, x2 + 3x + = (x + 3) x + b) + x − 1= 3x + − x + − x c) x2 + x + 12 x + = 36 d) + x - 2x2 = 4x − − 2x + 32 V. KẾT QUẢ. 1. NHẬN XÉT: Trên giới thiệu với bạn số phương pháp giải phương trình vô tỉ, kết thu rõ ràng vận nhiều dạng toán, ứng dụng toán ít. Nếu rèn luyện cho học sinh dạng toán trang bị cho em lượng kiến thức nhỏ. Trong chương trình toán phổ thông nhiều phương pháp nữa. Trên trình bày số phương pháp thông dụng chương trình trung học sở. Tuy nhiên với dạng toán đối tượng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh. Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần. Dạng toán có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề mới. II. KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Sau áp dụng đề tài thấy chất lượng qua kiểm tra nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng HS trung bình chất lượng nâng lên rõ rệt với đề kiểm tra có mức độ khó so với lúc đầu 40 HS thực nghiệm cũ ,kết quả: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 10 25 10 25 15 37.5 12.5 Qua bảng số liệu trên, nhận thấy chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt. Không phạm vi đề tài nêu mà có tác dụng cho chuyên đề khác vận dụng vào tập cá em sử dụng khả hiệu quả. Đối với giáo viên trường số giáo viên đơn vị bạn cụm số trường khác có đánh giá tích cực cách tổ chức hoạt động dạy học này. Qua thăm dò ý kiến cho thấy : giáo viên mạnh dạn vấn đề thể đề tài khác tích cực việc tiếp cận bước ứng dụng cách dạy C. KẾT LUẬN I-Bµi häc kinh nghiÖm: Phương trình vô tỷ dạng toán thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa 33 đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề này. *Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô tỷ thân giáo viên phải hiểu nắm vững phương trình vvô tỷ: dạng phương trình vô tỷ, phân biệt khác phương trình vô tỷ với dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững phương pháp giải phương trình vô tỷ. *Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng caokiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học mình. II MỘT SỐ ĐỀ XUẤT: Để góp phần "“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ”" thực có hiệu bổ ích, đề nghị giáo viên học sinh: - Đối với giáo viên: Khi áp dụng phương pháp giải phương trình vô tỷ để hướng dẫn học sinh giải tập cần nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau. Có thể tự chọn ví dụ cho phù hợp với trình độ nhận thức học sinh. tạo cho em có niềm say mê học tập, tự tin học toán, tăng niềm hứng thú, sáng tạo em. Kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán bậc học của mình, phải là người ham mê giải toán, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nghĩa là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán. Cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực, phương pháp giảng dạy phù hợp. Đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao. - Đối với học sinh Để gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Phải nắm kiến thức bản, có cách nhìn bao quát, vận dụng linh hoạt kiến thức học trình giải toán say mê học toán. III-KẾT LUẬN CHUNG: Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu. Trong trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo . rút số kinh nghiệm nêu trên. hy vọng đề tài ‘”Một số 34 phương pháp giải phương trình vô tỷ” làm kinh nghiệm để giúp học sinhtiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải phương trình vô tỷ cho học sinh. Trong trình nghiên cứu khôngh thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rrất mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp. Trên là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khuôn khổ chương trình lớp bậc THCS. Ngoài những phương pháp mà chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân chưa tìm ra, nên đề có nhiều sơ suất. Chính vì vậy, rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn. Đề tài có sử dụng số tài liệu tham khảo số cá nhân có tài liệu liên quan mà chưa xin phép trích ghi chú.Rất mong tác giả thông cảm Tôi xin chân thành cảm ơn! Người thực hiện: 35 D. tài liệu tham khảo - SGK Toán 7-Nhà xuất GD 2003 - SGK Đại số 9-Nhà xuất GD - Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 - Toán bồi dưỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002 - Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 - Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999 - Phương trình hệ phương trình không mẫu mực - Nhà xuất GD 2002. - 23 chuyên đề toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000. - Những đề thi tài liệu khác có liên quan . \ 36 MỤC LỤC A . MỞ ĐẦU .I. Lí chọn đề tài II. Phạm vi nghiên cứu B NỘI DUNG I . sở lý luận 1I. Tình hình thực tiễn ………………… III.Tình hình thực tê………………. 1. Kết tình trạng chưa thực đề tài: 2. Nguyên nhân thực tế trên:…… IV. số phương pháp giải phương trình vô tỷ thcs … 1. phương pháp 1: nâng luỹ thừa 2.phương pháp 2: đưa phương trình trị tuyệt đối . 3. Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ . 4. Phương pháp4: Phương pháp đưa phương trình tích 5.phương pháp 5: đưa dạng: a2 - b2 = , a2 + b2 = 0, a.b =0 6. phương pháp sử dụng bất đẳng thức . 7.Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp … 7. phương pháp đưa phương trình có hệ số chứa ẩn…. v. Kết quả……… I.Nhận xét……… II Kết sau áp dụng đề tài C . kết luận . I. Bài học kinh nghiệm II.Một số đề xuất… III.Kết luận chung Tài liệu tham khảo Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 12 Trang 21 Trang 18 trang 25 Trang 30 Trang 21 trang 33 Trang 33 Trang 33 Trang 33 Trang 34 Trang 34 Trang 34 37 [...]... thụng cm Tụi xin chõn thnh cm n! Ngi thc hin: 35 D ti liu tham kho - SGK Toỏn 7-Nh xut bn GD 2003 - SGK i s 9- Nh xut bn GD - Mt s vn phỏt trin i s 9- Nh xut bn GD 2001 - Toỏn bi dng i s 9 - Nh xut bn GD 2002 - Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn i s 9- Nh xut bn GD 199 5 - hc tt i s 9 - Nh xut bn GD 199 9 - Phng trỡnh v h phng trỡnh khụng mu mc - Nh xut bn GD 2002 - 23 chuyờn bi toỏn s cp - Nh xut bn tr 2000... phng trỡnh: x 2 5 5x + 9 + x 2 2 5x + 1 = 7 * Li gii: KX: x 0 Ta thy x = 5 l nghim ca phng trỡnh v l nghim duy nht Tht vy: - Nu x > 5 thỡ x2 > 5x x > 5x x2 > 5 5x x2 - 5 5x > 0 x2 - 5 5x + 9 > 9 28 Mt khỏc x > 5 x 2 5 5x + 9 > 3 (*) x > 5 5x > 5 3 5x > 15 ( ) 2 x2 - 2 5x + 1 = x 5 5x + 3 5x + 1 > 3 5x + 1 > 16 x 2 2 5x + 1 > 4 T (*) v (**) suy ra (**) x 2 5 5x + 9 + x 2 2 5x + 1 > 7... 2 6x 7 +5=4 x + 11 x + 11 x 2 6x 7 0, t 0 khi ú ta cú: t2 + 4t - 5 = 0 t = 1 x + 11 t t = Vi t = 1 x 2 6x 7 = 1 x2 - 6x - 7 = x + 11 x + 11 x2 - 7x - 18 = 0 (x - 9) (x + 2) = 0 x = 9 hoc x = 2 i chiu KX, thỡ x = 9 v x = -2 l hai nghim ca phng trỡnh 3.1.3Bin i n chớnh qua n ph,a v phng trỡnh tớch vi n ph Vớ d 10 a.Tr li Vớ d 6 b : Gii phng trỡnh: x 2 x 1 + x + 2 x 1 = x+3 ta cú 2 cỏch... x 2 10 x + 9 = 3-4x -2x 29 ( x + 2 ) ( 2x 1) 3 x+6 =4 ( x + 6 ) ( 2x 1) + 3 x+2 7.PHNG PHP: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = 0 ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = 0 hoc chng minh A ( x ) = 0 vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = 0 vụ nghim Vớ d 19: Gii phng... 2, 3 u khú gii + Bin i a v dng A2-B2 = 0 iu kin x > - 5 (*) Vi iu kin trờn: (1) x2 3x + 9 =x +5+ 4 x+5 + 1 4 2 2 3 1 1 x 3 = x+5 + 1 x = x+5 + (Vỡ x + 5 + > 0 ) 2 2 2 2 2 23 TH1: x - 3 1 = x+5 + 2 2 3 2 TH2: x - = x + 5 x= 1 2 5 + 292 2 x = -1 i chiu vi iu kin (*)nghim ca n (1) l: x = 5 + 292 ; x = -1 2 b Gii phng trỡnh: x 2 + x + 2006 = 2006 : a 2 v v cựng bc: 2 2 1 1 1 1 x + x... 2 x2 1 2 3x 2 12 x + 16 + 5 y 2 4 y + 13 = 3 2 3 x 2 + 6 x + 12 + 5 x 2 10 x + 9 = 3-4x -2x 4 x 2 3x + 3,5 = ( x 2 2 x + 2)( x 2 4 x + 4) 5 x2 + 6 = x - 2 x2 1 27 x + 2 = x2 - 6x +13 6 6 x + 7 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 2x x 2 8 11 x x + 1 + 3 x = 2 x 2 + 1 x 2 6 x + 15 = x 2 6 x + 18 2 x 6 x + 11 9 10 x x + 1 + 3 x = 2 x 2 + 1 3xy 2 13 2 7 x3 11x 2 + 25 x 12 = x 2 + 6 x 1 1... trỡnh: 17 1 x 2 x 2 1 + 16 x = 2 6 x 2 + x + 2006 = 2006 2 8 x + 2 = x 2 + 5x + 2 7 2 x 2 + 8 x + 6 = 3 4 x + 4 = x2 + 7x + 8 4 x + 1 = - x2+ 2x + 5 5 2 x = 2 x 2 x+4 2 8 2(3x + 5) x 2 + 9 = 3x 2 + 2 x + 30 9 2 3 x 2 + x +1 = 3 3.2 T 2 N PH: dng ny ta t 2 n ph a v h phng trỡnh 2 n ph, gii h tỡm giỏ tr ca n ph, t ú t mi quan h gia n chớnh v n ph t lỳc u a v phng trỡnh n gin 3.2.1 t n ph a v phng... 5 3 5x > 15 ( ) 2 x2 - 2 5x + 1 = x 5 5x + 3 5x + 1 > 3 5x + 1 > 16 x 2 2 5x + 1 > 4 T (*) v (**) suy ra (**) x 2 5 5x + 9 + x 2 2 5x + 1 > 7 - Nu x < 5, tng t cú: x 2 5 5x + 9 < 3 ; x 2 2 5x + 1 < 4 x 2 5 5x + 9 + x 2 2 5x + 1 < 7 Vy x = 5 l nghim duy nht ca phng trỡnh c Gii phng trỡnh: x+7 + 8 = 2x 2 + 2x 1 x +1 1 2 Giai: iờu kiờn x Dờ thõy x = 2 la mụt nghiờm cua phng trinh Nờu 1 6... vo tho món phng trỡnh ó cho, Vy phng trỡnh cú nghim x =-2 (Phng phỏp ny tụi thy hay v c ỏo P, t ú GV cú th t nhiu toỏn p) Bi tp vn dng 1 x + 2 x =2 2 4x 2 + 5x + 1 + 3 = 2 x 2 x + 1 + 9x 3 x + 17 x 2 + x 17 x 2 = 9 4 3 x 2 + x +1 = 3 5 3 1 1 +x+ x =1 2 2 6 3 2 x + 13 3 2 x 13 = 2 7 8 3 x + 34 3 x 3 = 1 2006x 2 2005 + 2005x 2 x 2004 = 2006x 2 + 2x 2003 + 2005x 2 + x 2002 4 PHNG PHP 4 :... nghim b.3 Bi tp ỏp dng : 1 x4 x +4 =3 2 x 2 4 x + 4 + 2 x = 10 3 x 2 x + 1 x 4 x + 4 = 10 4 x 2 6 x + 9 + 2 x 2 + 8 x + 8 = x 2 2 x + 1 5 x + 6 2 x + 2 + x + 11 6 x + 2 = 1 6 x 2 + 2 x 5 + x + 2 + 3 2 x 5 = 7 2 7 8 x+ x+ 1 1 + x+ = 2 2 4 x + 2 + 2 x + 1 + x + 10 6 x + 1 = 2 x + 2 2 x + 1 9 x + 2 x 1 + x 2 x 1 = x+3 2 3.PHNG PHP 3 PHNG PHP T N PH Phng phỏp t n ph giỳp chỳng ta a phng trỡnh