Các dạng phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ THÚY ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định HÀ NỘI - 2015 Mở đầu Lượng giác chuyên đề quan trọng chương trình toán phổ thông Các toán lượng giác thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thông, phần kiến thức phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thông, không nêu đầy đủ chi tiết tất dạng toán phương trình lượng giác Vì học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải toán nâng cao phương trình lượng giác đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình lượng giác cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với , tách rời Nhiều toán lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thông qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn “ Các dạng phương trình lượng giác” nhằm hệ thống kiến thức phương trình lượng giác, đồng thời kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương pháp giải phương trình xây dựng số lớp toán Luận văn chia làm chương Chương I Các dạng phương trình lượng giác - Hệ thống lại dạng phương trình lượng giác - Đưa số mẹo để giải phương trình lượng giác - Đưa cách giải số phương trình lượng giác không mẫu mực Chương II Ứng dụng - Trình bày số ứng dụng lượng giác số dạng toán đại số - Nêu ví dụ minh họa dạng toán - Nêu số tập ứng dụng Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Lê Đình Định, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Từ đáy lòng mình, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo thầy suốt thời gian thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô giáo khoa Toán – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tạo Trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt Thầy Cô giáo giảng dạy lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô truyền cho kiến thức giúp đỡ suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán PPTSC, khóa học 2013 - 2015 động viên, giúp có hội thảo luận trình bày số vấn đề luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình bạn bè ủng hộ nhiệt tình giúp đỡ thời gian vừa qua Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngô Thị Thúy Mục lục CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 Các phương trình lượng giác 1.1.1 Dạng phương trình 1.1.2 Cách giải biện luận 1.1.3 Các công thức lượng giác 1.1.4 Các ví dụ 1.1.5 Bài tập 1.2 Phương trình hạ bậc bậc 1.2.1 Dạng phương trình 1.2.2 Cách giải biện luận 1.2.3 Các ví dụ 1.2.4 Bài tập 1.3 Phương trình bậc dạng a cos x + b sin x = c 1.3.1 Dạng phương trình 1.3.2 Cách giải biện luận 1.3.3 Các ví dụ 1.3.4 Bài tập 1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c = 1.4.1 Dạng phương trình 1.4.2 Cách giải 1.4.3 Các ví dụ 1.4.4 Bài tập 1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x cos x 1.5.1 Dạng phương trình 1.5.2 Cách giải 1.5.3 Các ví dụ 1.5.4 Bài tập 1.6 Phương trình đối xứng theo sin x cos x 1.6.1 Cách giải 1.6.2 Các kiến thức cần nhớ 1.6.3 Các ví dụ 1.6.4 Bài tập 1.7 Một số mẹo lượng giác 1.7.1 Đổi biến cos 2x = t sin 2x = t 1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x x 1.7.3 Đổi biến t = tan 5 5 10 12 13 13 13 13 15 17 17 17 17 21 23 23 23 23 25 27 27 27 27 29 31 31 31 31 33 33 33 35 37 1.7.4 Bài tập b với ab > 0, f (x) hàm 1.7.5 Đổi biến t = af (x) ± f (x) lượng giác biểu thức lượng giác 1.7.6 Bài tập 1.8 Phương trình lượng giác bậc cao 1.8.1 Dạng phương trình 1.8.2 Cách giải 1.8.3 Các ví dụ 1.8.4 Bài tập 1.9 Phương trình tích 1.9.1 Dạng phương trình 1.9.2 Cách giải 1.9.3 Các ví dụ 1.9.4 Bài tập 1.10 Các dạng phương trình không tắc 1.10.1 Phương pháp ước lượng vế 1.10.2 Biến đổi vế trái phương trình f (x) = tổng hạng tử dấu 1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác 1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 2.1.1 Ví dụ 2.1.2 Bài tập 2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại 2.2.1 Ví dụ 2.2.2 Bài tập 2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình 2.3.1 Ví dụ 2.3.2 Bài tập 2.4 Ứng dụng lượng giác toán cực trị 2.4.1 Ví dụ 2.4.2 Bài tập 2.5 Nhận dạng tam giác 2.5.1 Ví dụ 2.5.2 Bài tập 2.6 Cực trị tam giác 2.6.1 Ví dụ 2.6.2 Bài tập 39 40 43 44 44 44 44 47 49 49 49 49 52 53 53 56 57 61 65 65 65 72 số 74 75 81 82 82 85 86 86 88 90 90 94 95 95 100 Kết luận 102 Tài liệu tham khảo 103 Chương CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 Các phương trình lượng giác 1.1.1 Dạng phương trình Về nguyên tắc, phương trình lượng giác giải phải dẫn ba dạng phương trình lượng giác sau: sin x = m; cos x = m; tan x = m Phương trình cot x = m ↔ tan x = (m = 0) Nhưng phương trình hay gặp nên ta m viết nghiệm để tiện sử dụng 1.1.2 Cách giải biện luận Phương trình sin x = m Nếu |m| > phương trình vô nghiệm Nếu |m| ≤ phương trình có nghiệm là: x = arcsin m + 2kπ (k ∈ Z) y = (π − arcsin m) + 2kπ Hay gộp nghiệm ta x = (−1)k arcsin m + kπ, k ∈ Z π π mà sin α = m Trong arcsin m cung α ∈ − ; 2 Đặc biệt: • Nếu m = x = kπ π • Nếu m = x = + 2kπ π • Nếu m = −1 x = − + 2kπ (k ∈ Z) Ví dụ Giải phương trình: sin 3x = Giải π Vì arcsin = nên ta có:  π 3x = + 2kπ π x = sin 3x = sin ⇔  ⇔  5π 3x = + 2kπ x=  π 2kπ + 18 5π 2kπ (k ∈ Z) + 18 Phương trình cos x = m • Nếu |m| > phương trình vô nghiệm • Nếu |m| ≤ phương trình có nghiệm x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z) Trong arccos m cung α ∈ [0; π] mà cos α = m Đặc biệt: • Nếu m = x = π + kπ • Nếu m = x = 2kπ (k ∈ Z) • Nếu m = −1 x = π + 2kπ √ Ví dụ Giải phương trình: cos x = Giải π cos π π Vì arccos = nên ta có: cos x = ⇔ x = ± + 2kπ (k ∈ Z) 4 √ Phương trình tan x = m (cos x = 0) π π Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ Trong arctan m cung α ∈ (− ; ) 2 mà tan α = m Ví dụ Giải phương trình tan 5x = √ Giải √ π Vì arctan = nên ta có: π π π kπ tan 5x = tan ⇔ 5x = + kπ ⇔ x = + , (k ∈ Z) 3 15 Phương trình cot x = m (sin x = 0) Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ Trong arccot m cung α ∈ (0; π) mà cot α = m Ví dụ Giải phương trình: cot 4x = Vì arccot = Giải π nên ta có: cot 4x = cot π π π kπ ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + (k ∈ Z) 4 16 Chú ý: • Nếu sin x = sin a nghiệm x = a + k2π x = (π − a) + k2π (k ∈ Z) • Nếu cos x = cos a nghiệm x = ±a + k2π (k ∈ Z) • Nếu tan x = tan a nghiệm x = a + kπ (k ∈ Z) • Nếu cot x = cot a nghiệm x = a + kπ (k ∈ Z) Ví dụ Giải phương trình cos 2x = sin 3x Giải Ta có: π cos 2x = cos( − 3x)  π 2x = − 3x + k2π ⇔ π 2x = 3x − + k2π 2π π ⇔x= +k 10 π ⇔ x = − 2kπ (k ∈ Z) 1.1.3 Các công thức lượng giác Giải phương trình lượng giác dùng công thức lượng giác để biến đổi tương đương phương trình dạng phương trình Chú ý lượng giác có công thức sau: (1) sin2 x + cos2 x = 1∀x (2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b (3) tan x = sin x (cos x = 0) cos x Các công thức khác suy từ công thức Chẳng hạn nên lưu ý công thức sau: (4) Công thức góc nhân đôi Trong (2) cho a = b = x ta được: sin 2x = sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x Lại lưu ý (1) (3) ta được: cos 2x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x sin x cos x tan x tan 2x = = − sin2 x = cos 2x cos x − tan2 x (chia tử số mẫu số cho cos2 x) (5) Công thức chia đôi x ta được: x x sin x = sin cos 2 x x x x cos x = cos2 − sin2 = cos2 − = − sin2 2 2 x tan = 2t t = tan x tan x = x − t2 − tan2 Trong (4) thay x = (6) Công thức hạ bậc Trong (4) giải cos2 x, sin2 x theo cos x ta được: + cos 2x − cos 2x sin2 x = cos2 x = (7) Công thức nhân ba Trong (2), cho a = 2x, b = x dùng công thức (4) ta được: sin 3x = −4 sin3 x + sin x cos 3x = cos3 x − cos x (8) Biến đổi tổng thành tích Trong (2) đặt a + b = x; a − b = y, a = x+y x−y ;b = ta được: 2 x+y x−y cos 2 x+y x−y sin x − sin y = cos sin 2 x−y x+y cos cos x + cos y = cos 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin 2 sin x + sin y = sin (9) Biến đổi tích thành tổng Từ công thức (2) suy được: sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] (10) Từ công thức (2) suy công thức lệch pha sau: π − x) = cos x π cos( − x) = sin x π tan( − x) = cot x π cot( − x) = tan x π sin( + x) = cos x π cos( + x) = − sin x π tan( + x) = − cot x π cot( + x) = − tan x sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x tan(x + π) = tan x cot(x + π) = cot x sin[x + (2k + 1)π] = − sin x cos[x + (2k + 1)π] = − cos x tan[x + (2k + 1)π] = tan x cot[x + (2k + 1)π] = cot x sin( Kết luận Mục tiêu luận văn “các dạng phương trình lượng giác“ nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, kết hợp kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương pháp giải phương trình lượng giác Luận văn đạt số kết sau: - Hệ thống dạng phương trình lượng giác nêu phương pháp giải - Đưa phương pháp giải số phương trình lượng giác không mẫu mực - Đưa số ứng dụng lượng giác việc giải số toán đa thức bậc cao, phương trình vô tỉ, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phần cuối luận văn, tác giả đưa số dạng toán đại số giải tích giải phương pháp lượng giác hóa minh họa ví dụ cụ thể chọn lọc đề thi, tạp chí toán học 102 Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Thịnh-Lê Đình Định (2011), Ôn luyện Toán sơ cấp Tập hai: Lượng giác, hình học, tích phân, tổ hợp, xác suất số phức, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên),Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn (2008)), Chuyên đề chọn lọc: Lượng giác áp dụng, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Phan Huy Khải (2009), Lượng giác, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ 103 [...]... luận văn “các dạng phương trình lượng giác“ nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản của lượng giác về phương trình, kết hợp kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải phương trình lượng giác Luận văn đã đạt được một số kết quả chính như sau: - Hệ thống các dạng phương trình lượng giác cơ bản và nêu phương pháp giải - Đưa ra phương pháp giải một số phương trình lượng... trình lượng giác không mẫu mực - Đưa ra một số ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết một số bài toán về đa thức bậc cao, phương trình vô tỉ, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phần cuối của luận văn, tác giả đưa một số dạng toán của đại số và giải tích được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và được minh họa bởi các ví dụ cụ thể được chọn lọc trên các đề thi, tạp chí toán học 102 Tài liệu tham