Phương trình vô tỷ nâng cao

NGUYỄN NGỌC NHÂN TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ( DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ) QUẢNG BÌNH , THÁNG NĂM 2012 Bài Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ ( x ) x + + x ( x + ) + x ( x + ) + ( x + ) f ( x ) = ( x ) x + + x ( x + ) + x ( x + ) + ( x + ) (1) ⇔ x + Đặt x + x + = x + 80 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 3 3 3 (1) = x + 80 Ta thấy f ( x ) đồng biến khoảng [ 0; +∞ ) f ( 1) = 80  x > x ⇒ x + f ( x ) > x + f ( 1) = x + 80 (Vô lý ) x > * Nếu   f ( x ) > f ( 1)  x < x x + f ( x ) < x + f ( 1) = x + 80 (Vô lý ) ≤ x < * Nếu   f ( x ) < f ( 1) Vậy x = Thử lại ta thấy thoă mãn phương trình cho , nghiệm Bài Giải phương trình : x + + 3x + = x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI (2) Điều kiện : x ≥ (2) ⇔ x + − x = x + − x + ⇒ x + − x ( x + 3) = x + − 2 ( x + 1) ( x + 1) ⇔ x ( x + 3) = ( x + 1) ( x + 1) ⇔ x ( x + 3) = ( x + 1) ( x + 1) ⇔ x − x + = ⇔ x = Thử lại ta thấy x = thoả mãn phương trình cho Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , ta biến đổi phương trình dạng f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương , giải phương trình hệ Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến đổi f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ −1 x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 HƯỚNG DẪN GIẢI (3) x3 + x3 + − x + = x − x +1 − x +1 ⇒ + x + = x2 − x + 1+ x + x+3 x+3 x +1 ⇔ = x − x − ⇔ x3 + = ( x + 3) ( x − x − 1) ⇔ x − x − = x+3 ∆ ' = ⇒ x1 = + ∨ x2 = − (TMĐK) (3) ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± Bài Giải phương trình : ( x − 1) x + = x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x + ( t ≥ 1) ⇒ t = x + , phương trình cho trở thành : ( x −1) t = 2t + x −1  t= (loại t = ) ⇔ 2t − 4t ( x − 1) + ( x − 1) = ⇔  ⇔ x2 + = 2x −  t = x −  x≥  1    x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔  x = ⇔ x = 2 x +1 = x − x +1 3 x − x =     x =  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài Giải phương trình : + Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt x − x2 = x + 1− x HƯỚNG DẪN GIẢI ( ) 2 x + − x = t , < t ≤ ⇒ t = + x ( − x ) ⇒ x − x = t −1 t = t −1 = t ⇔ t − 3t + = ⇔  (loại t = 2) t = x = ⇔ x + − x = ⇔ + x (1 − x) = ⇔  (TMĐK) x = Phương trình cho trở thành : + ( ) 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + HƯỚNG DẪN GIẢI t = Đặt t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔  t = x − * t =3⇔ x2 + = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x ≥  x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ * t = x −1 ⇔  (VN)  x + = x −  x + = x − x +  x = − Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± Bài Giải phương trình : x − = x + 3x − HƯỚNG DẪN GIẢI 2   2a + b = x + x − Đặt x − = a ( a > ) x + x + = b ( b > ) ⇒   ab = x + x − 2 Do : 2a + b = ab ⇔ 2a − ab + b = ∆ = −7b < ( ∀b ∈ ¡ Vậy phương trình cho vô nghiệm + ) Bài Giải phương trình : 12 − 12 12 + x2 − = x2 x x (8) HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : − 12 ≤ x ≤ 12 12 12 12 12 12 (8) ⇔ x − = x − 12 − ⇔ x − = x + 12 − − x 12 − x x x x x ⇔ x − x + 12 = x 12 − 12 ⇔ x ( x − 1) − x 12 ( x − 1) + 12 = x Đặt x x − = t , phương trình trở thành : t − 12t + 12 = ⇔ t = 12 ⇔ x x − = 12 ⇔ x − x − 12 = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ±2 Bài Giải phương trình : x + x − = x − HƯỚNG DẪN GIẢI x ≥ Điều kiện : ( ) (9) ⇔ ( x − 1) + x + x + = (9) ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔  v = u  Giải ta : x = ± Bài 10 Giải phương trình : x3 − 3x + ( x + 2) − 6x = HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt y = x + ta biến phương trình phương trình bậc x y : x = y x3 − 3x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔   x = −2 y Giải ta có nghiệm : x = 2, x = 2−2 Bài 11 Giải phương trình : x + x − = x − x + HƯỚNG DẪN GIẢI u = x x ≥ Điều kiện:  Ta đặt :  phương trình trở thành : u + 3v = u − v x ≤ −  v = x − v = ⇔ ( u + 3v ) = u − v ⇔ v ( 5v + 3u ) = ⇔  (loại v = − u ) ⇔ x = ±1 v = − u 5  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ± Bài 12 Giải phương trình : x + x + 12 x + = 36 (12) HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Điều kiện : x ≥ −1 (12) ⇔ x + x + = x + − 12 x + + 36 ⇔ ( x + 1) = ( x +1 − t − t + = t = ⇔ t = x +1 ≥ ⇔  ⇔t=2⇔ x=3  t = −3 t + t − = ( ) ) x +1 = x +1 − ⇔  x + = − x + (TMĐK) Bài 13 Giải phương trình : x − x + = x x − x + HƯỚNG DẪN GIẢI Ta thấy : x − x + > ( ∀x ∈ R ) , Điều kiện : x > ( ) (14) ⇔ x − x x − x + + x − x + + x − x + = ⇔ x − x − x + + ( x − 1) = 2  x = x − x +1 ⇔ ⇔ x = (TMĐK) x − = ( )   Bài 14 Giải phương trình : x − + x − + x + + x = 12 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x ≥ VT ≥ + 5.2 = 12 ⇒ x = nghiệm Bài 15 Giải phương trình : x − x + = x x − HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x ≥ *Cách Đặt (15)   2 x − = t ( t ≥ ) (15) ⇔ x − t = xt ⇔ ( x − t ) ( x + t ) = ⇒ x = t  t ≥ 0, x ≥ 1 ÷⇒ x = 2 *Cách ( ) (15) ⇔ x − x + + x x − 2 x − = ⇔ ( x − 1) + x ( ( x − 1) =   2x −1 −1 = ⇔  x ≥  x x − − =  ) Bài 16 Giải phương trình : ( x − x + ) = ( x − x + ) ( ) (16) HƯỚNG DẪN GIẢI x ≥ Điều kiện :   −3 ≤ x ≤ (16) ⇔ ( x − x + ) + ( x + ) = ( x − x + ) ( x + ) Đặt ( x − x + ) = a; x + = b ( a, b ≥ ) Phương trình trở thành : 2b + a = 3ab  ( x − 3x + ) = x + 2 x − x + = a = b ⇔ ( a − b ) ( a − 2b ) = ⇔  ⇔ ⇔   a = 2b  x − 5x − =  ( x − 3x + ) = x + 1 ÷ ⇔ x = 2 ± 41 ± 41 ;x = Bài 17 Giải phương trình : x − x − = − 13 − x HƯỚNG DẪN GIẢI ⇒x= Điều kiện : (17) 101 13 ≤ x ≤ Đặt a = x − 3; b = 13 − 3x ; c = − 13 − 3x ; ( a > 0, b ≥ 0, c ≥ ) 27 a = − 3c  ⇒ b = 13 − x = − ( x − 3) = − 3a; c = − 3b (17) ⇔ − a = 3c ⇒ b = − 3a ( a > 0, b ≥ 0, c ≥ ) c = − 3b  a ≥ b, a ≥ c ⇒ a = b = c ⇒ a = b = c = ⇒ x = Vậy phương trình dã cho có nghiệm x = Bài 18 Giải phương trình : x − x + x + = x − HƯỚNG DẪN GIẢI (18) ĐK x ≥ (18) ⇔ x3 − x + x + x − − x − + = ⇔ x ( x − 1) + ( x −1 − ) =0  x − − =  1 ⇔  x ≥ ÷⇔ x = 5  x ( x − 1) =  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 19 Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ (19) ⇔ (19) x + 3x − + x − x − = x HƯỚNG DẪN GIẢI x + 3x − x2 − x − 2  +2 = ⇔ t + + t − = 2;  t = x − ÷⇒ t = ⇒ x = x x x  Bài 20 Giải phương trình : x + = x − 3x + 19 HƯỚNG DẪN GIẢI (20) Điều kiện : x > −8 (20) ⇔ x + − x + + + x − x + = ⇔ (  x +8 =  x + − + ( x − 1) = ⇔  ⇒ x =1  x = ) Bài 21 Giải phương trình : 12 x + + = x (21) HƯỚNG DẪN GIẢI  x ≥ −1 Điều kiện :  x − ≥ ⇔ x≥3 ( ) 2 (21) ⇔ x + x + = ( x + 1) + 12 x + + ⇔ ( x + ) = x + + ⇔ x + = x + + ⇔ x + = x + + ( x ≥ 3) ⇒ x = + Bài 22 Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ (x x + x + x − = 3x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1)  1− u= v  u = x + x 2  Ta đặt :  ta có hệ : uv = u − v ⇔  v = x − 1+  v u =  1+ 1+ Do u , v ≥ nên u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) ⇔ x + ( − ) x + ( + 1) = 2 ( ∆' = − ) −2 ( ) ( ) +1 = 1− < Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài 23 Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + HƯỚNG DẪN GIẢI ( x − x − 20 ) ( x + 1) ta có : ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Ta viết lại phương trình: Điều kiện : x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = 2  x − x − = a ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đặt  ( a, b > ) Ta có :  x + = b  x2 − 5x + = a = b 2 ⇔ 2a + 3b = 5ab ⇔ ( a − b ) ( 2a − 3b ) = ⇔   2a = 3b  x − 25 x − 56 = + 21 − 21 25 + 1521 25 − 1521 ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2 8 25 + 1521 Thử lại ta thấy có x = thoả mãn , nghiệm phương trình Bài 24 Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x HƯỚNG DẪN GIẢI u = − x ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu    Đặt v = − x , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = 5 − w2 = uv + vw + wu    ( v + w ) ( u + w ) =  w = − x Giải ta có nghiệm : x1 = Nhân vế theo vế phương trình hệ ta có : ( u + v ) ( v + w ) ( w + u ) = 30 , chia phương trình  30  u= v + w =  2 30   30 11   30 239 ⇔ v = hệ ta có : u + w = ta được: u = ⇔x= 30 60 120     19 30 u + v = w = 30   Bài 25 Giải phương trình : 3x + x + 16 + x + x = x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI  3x + x + 16 = a   ( a, b, c ≥ ) Phương trình trở thành : a + b = c Đặt  x + x = b  2 x + x + = c 2 a + b = c a + b = c − 2ab 2 ⇔ ⇒ ab = Mặt khác ta có : a + b = c Ta đưa hệ :  2 2 a + b = c a + b = c    3 x + x + 16 = x = ⇔ ⇔  x = −2  x + 2x = Bài 26 Giải phương trình : x − + x − x − = x + x + + x − x + HƯỚNG DẪN GIẢI a = x −  b = x − 3x − a + b = c + d a − b = c − d ⇔ ⇔a=c Ta đặt :  , ta có :  2 2 a + b = c + d a − b = c − d  c = x + x +   d = x − x + ⇔ x − = x + x + ⇔ x = −2 Bài 27 Giải phương trình : x + x + − x − x + = x − HƯỚNG DẪN GIẢI  x + x + = a a = b a, b > ) ta có : a − b = a − b ⇔ ( a − b ) ( a + b − 1) = ⇔  ( Đặt  a + b = 2 x − x + = b    x= 4 x2 + 5x + = x2 − x +  x = x= 3 ⇔ ⇔  ⇔ ⇔ 2  2  x + x + + x − x + =  x = 2  x + x + = + x − x +  x + 5x + = − x − x +  Bài 28 Giải phương trình : pt ⇔ ( )( x +1 −1 x + + x + = + x + 3x + HƯỚNG DẪN GIẢI x = x + −1 = ⇔   x = −1 ) Bài 29 Giải phương trình : x + + x2 = x + x2 + x HƯỚNG DẪN GIẢI +) x = , nghiệm  x +1  x +1 + x = 1+ x +1 ⇔  − 1÷ +) x ≠ , ta chia hai vế cho x : x x   ( Bài 30 Giải phương trình: ) x −1 = ⇔ x = (30) x + + x x + = 2x + x2 + x + HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x ≥ −1 x = x +1 −1 = ⇔  x = 4x =4 x Bài 31 Giải phương trình : x + + x+3 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x ≥ (30) ⇔ ( x + − 2x )( )  4x 4x 4x  =2 ⇔ 1 − x + : 1+ ÷ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x +   Chia hai vế cho 3−x = x Bài 32 Giải phương trình : Điều kiện : ≤ x ≤ 3+x HƯỚNG DẪN GIẢI  (32) ⇔ x + 3x + x − = ⇔  x +  Bài 33 Giải phương trình sau : x + = x − x − HƯỚNG DẪN GIẢI ( (33) ⇔ + + x Điều kiện : x ≥ −3 ) (32) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 Bài 34 Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) (34) ⇔ ( x + − 3x ) 3  10 10 − ⇔x= ÷ = 3 3 (33) (34) HƯỚNG DẪN GIẢI = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 35 Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ −3 x + 10 x + 21 = x + + x + − HƯỚNG DẪN GIẢI (35)  x+3 = x = x+7 −3 = ⇔  ⇔ (TMĐK)  x + =  x = Bài 36 Giải phương trình : x − 2002 x + 2001 + x − 2003x + 2002 = x − 2004 x + 2003 HƯƠNG DẪN GIẢI Phương trình cho tương đương : ( x − 1) ( x − 2001) + ( x − 1) ( x − 2002 ) = ( x − 1) ( x − 2003) (35) ⇔ ( x+3−2 )( ) x =1  x −1 = ⇔ ⇔  x − 2000 +  x − 2001 + x − 2002 = x − 2003 ( x − 2001) ( x − 2002 ) =0 ⇔ x = x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Bài 37 Giải phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta nhận thấy : ( x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) 2 −2 x + Ta trục thức vế : x − x + + ( x − x + 1) 3x − = x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài 38 Giải phương trình sau: Để phương trình có nghiệm : x + 12 + = x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ = 3( x − 2) + x + 12 + x2 − x2 + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + +   x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài 39 Giải phương trình : x − + x = x3 − HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   ( x − 3) ( x + x + ) x +   3 x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − +   Ta chứng minh : x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 − + + x3 − + ) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 40 Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta thấy : ( x + x + ) − ( x − x + 1) = ( x + ) x = −4 nghiệm phương trình Với x ≠ −4 2x + = x + ⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = Trục thức ta có : 2 2x + x + − 2x − x + Giải ta nghiệm : ( ; −1) ; ( −1 ; 1) ; ( ; ) ; ( ; 1) x − + ( x − 1) Bài 61 Giải phương trình sau : ( x − 2) + x − + ( x − 2) ( x − 1) = ( x − 3) HƯỚNG DẪN GIẢI  x − = a 3 Đặt a = x − ( a > ) , b = x − ( b > ) ⇒  Biến đổi vế trái ta có :  x − = b a + a 2b + b3 + b a = ( a + b ) = ⇔ x − + 3 ( x − 1) ( x − ) ( x −1 + x − ) ) ,phương trình trở thành : x −1 + x − = 2x − x − + x − = ( x − 3) ⇔ x − + 3 ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = ( x − ) 2 x − = ⇔ 1 + 3 ( x − 1) ( x − ) = ( x − 3) ⇔x= ( 3  x=    x = ⇔  x − 3x + = ⇔ 2  3 x − x + = ( x − x + )   x − 3x + = ±  3 3+2 ; x =1 ; x = ; x = ± 2 2 Bài 62 Giải phương trình : x2 + x +1 − x2 − x +1 − 4x2 + = 32 x ( 2x + 3) HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình cho tương đương với : Xét vế phải ta có : x + 32 x ( x + 3) x + x +1 − x − x +1 = x − + 32 x ( x + 3)   1 64 2 ÷− −4 = x + ( x + 3) + ( x + 3) + 2 2 x ( x + 3) ÷   ≥ 4 4.64 − = (Bất đẳng thức cô-si) Xét vế trái , ta chứng minh vế trái nhỏ Thật : x + x + − x − x + < ⇔ x + x + < x − x + + ⇔ x − < x − x + (*) *) Nếu x < (*) *) Nếu x ≥ 2 (*) ⇔ x − x + < ( x − x + 1) ⇔ < (đúng) Như : VT < ≤ VP Vậy phương trình cho vô nghiệm 30 30 2002 Bài 63 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x ( x + y ) = y (63) HƯỚNG DẪN GIẢI 1994 + (63) ⇔ x 60 + x30 y = y 2002 ⇔ ( x30 + y ) = y ( y1994 + 1) ⇒ y + = u ( u ∈ Z ) ⇒ u = 2v + 1( v ∈∈ N ) Vì : ⇒ y1994 + = ( 2v + 1) ⇒ y1994 = v ( v + 1) 1994 ; v + = s1994 ( s > r ; s, r ∈ N ) Mặt khác ( v; v + 1) = nên : v = r s − r = ⇒ s1994 − r1994 = ⇔ ( s − r ) ( s1993 + s1992 r + + sr1992 + r 1993 ) = ⇔  1993 1992 1992 1993 =1  s + s r + + sr + r s = x = ⇔ ⇒ r = y = Bài 64 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + 13 y + xy = y z HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) Đặt x = x0 d ; y = y0 d với d = ( x, y ) Thế vào phương trình ta có: x02 d +13 y02 d + x0 y0 d = y 02 z d ⇔ x02 = y0 ( y z −13 y + x0 ) ⇒ x02 My0 Do ( x0 ; y0 ) = 1, nên y0 = Từ suy : x = x0 y Thế vào phương trình : x02 y + 13 y02 + x0 y02 = y z ⇔ ( x0 + ) + = z ⇒ ( z + x0 + ) ( z − x0 − ) =  x = 2t  z + x0 + = z =  ⇒ ⇔ ⇔ y = t ( t ∈ N* )  x0 =  z − x0 − = z =  Bài 65 Giải phương trình: ( x + ) = ( x + 13) + 50 ( x + 13 ) Đặt y = (65) HƯỚNG DẪN GIẢI 2x + ⇒ x+4= y− 5  (65) ⇔  y − ÷ = 16 y + 100 y 2  5 25    ⇔  y − ÷ − 16 y  y + ÷ = 2    (*) 25  5 5 5   Ta có y + =  y − ÷ + y nên (*) viết :  y − ÷ − 16 y  y − ÷ − 80 y =  2 2 2   2 5  Đặt t =  y − ÷ , 2  2 (**) trở thành : t − 16 yt − 80 y = ⇔ ( t + y ) ( t − 20 y ) = Giải ta hai nghiệm 10 − −10 − ; 4 Bài 66 Giải phương trình : ( x − 1) x + = ( x + 1) + x − (9) Giải Đặt: y = x + ; y ≥  y = 2x −1 ⇔ y = ⇔ ( y − xy + y ) − ( y − x + 1) = ⇔ ( y − x + 1) ( y − 1) =  Kết luận : Vậy phương trình cho có hai nghiệm ; 2 2 2 Bài 67 Giải phương trình: 13 ( x − x + ) + ( x − x + )  = ( x − 12 x + 33 )   HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho số: (9) ⇔ ( x − 1) y = y + x − ⇔ y − ( x − 1) y + x − = (**) a = 2; Với b = 3; c = x − 3x + 6; d = x2 − 2x + 2 2 2 2 2 Ta có: ( + ) ( x − 3x + ) + ( x − x + )  ≥  ( x − x + ) + ( x − x + )  = ( x − 12 x + 33 )   x = 2 Do đó: ( x − x + ) = ( x − x + ) ⇔ x − x + = ⇔  x =  Vậy phương trình cho có hai nghiệm 1; Bài 68 Giải phương trình: x − 3x + 3.5 = (x )( − 2x + x2 − 4x + ) HƯỚNG DẪN GIẢI x − x + = ( x − 1) + > 2 x2 − x + = ( x − 2) + > Ta có: x (x − x + 3.5 = ) ( − 2x + + x2 − 4x + ) ) ( ( 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x − x + x − x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 69 Giải phương trình: (69) ⇔ Mà ( x − 3) ( x − 3) 2 +2 + +2+ x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + (69) Giải: ( x − 3) ( x − 3) ) + + ( x − 2) +1 = + 2 (*) + + ( x − 2) +1 ≥ + +1 = + 2  ( x − 3) = Nên (*) xảy  (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm x − =  ( )  x − x + 15 Bài 70 Giải phương trình: (70) = x − x + 18 x − x + 11 HƯỚNG DẪN GIẢI (70) ⇔ + = ( x − 3) + ( x − 3) + 4 ≤ + = ( x − 3) + ≥ Mà : + ( x − 3) + Do ta có: ( x − 3) = ⇔ x = Bài 71 Giải phương trình: 19 x −1 +5 x −1 + 95 x −3 x + =3 HƯỚNG DẪN GIẢI x −1 ≥  Điều kiện:  x − ≥  x − 3x + ≥  *Ta có: 19 x −1 +5 x −1 + 95 x2 −3 x + ≥ 190 + 50 + 950 = Nên x − = ; x − = ; x − 3x + = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 72 Giải phương trình: ( x + 1) + ( x − 1) + x − = 2 (72) HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt: u = x + v = x − 2  u + v + u.v = ⇒u−v = 2⇒u = v+2 (6) trở thành:  3 u − v =   2 Do đó: ( v + ) + v + v ( v + ) = ⇔ 3v + 6v + = ⇔ ( v + 1) = ⇔ v = −1 ⇒ u = 3 u = 3 x + = ⇒x=0 Vậy ta có:  v = x − = −  Bài 73 Giải phương trình: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Đặt: + x = u ≤ u ≤ ( ( )( 1+ x −1 ) 1− x +1 = 2x HƯỚNG DẪN GIẢI ) Suy ra: x = u − Phương trình trở thành: ( u − 1) ( ) ( ) − u2 +1 = u −1 u − =  − u + − ( u + 1) = ⇔    − u + − ( u + 1) =  *) u − = ⇒ u = (thỏa mãn u ≥ ) , suy x = 2 − u = ( 2u + 1) 2 ⇔ 5u + 4u − = (a − b + c = 0) *) − u + = ( u + 1) ⇔ − u = 2u + ⇔  + ≥u ( ng v ≥ 0) 2uđúì u1 = −1 ; u2 = (loại u1 = −1 -1 1 + < x ≤1 :   VT < 1  VT>1 + 0 1) Đề xuất: x +1 25) 13 x − + x + = 16x 28 27 26) 27 x + 24x + = 1+ x+6 27) 5x − + − x = 2x + 3x − x + y + z =  28)  x y z x + y y + z y + z + x = y + z + x + y +1  29) x − 3x + ( x + 2) − 6x = a b  − = c − xz x z b c 30)  − = a − xy y x c a  − = c − yz z y ( Trong a;b;c ∈ R *+ )( ) 31) x − 12x − 64 x + 30x + 125 + 8000 = 32) ( x − 2) x − − 2x + =  x + x + + x n = n 33)   x + + x + + + x n + = 3n 34) Cho hệ phương trình: n ∑ x i = n i =1 ; b > CMR:Hệ phương trình có nghiệm n ∑ x + b − = bn  i =1 i x1 = x2 = = xn = 35) 3−x =x 3+x Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q = −3pb )( ) Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ( 36) x = 2004 + x − − x d2 − e x trước 37) 4x − 4x − 10 = 8x − 6x − 10 x ( + 3y ) = 38)  x y − = x + 3xy = −49 39)  x − 8xy + y = 8y − 17 x 40) 16x + = 4x + x ( ) với a;b;c;d;e số cho ) ( ( ( ) ) ) x ( x + 1) = y − x +  41)  y ( y + 1) = z − y +  z ( z + 1) = x − z + 42) 3x + + − x + 2x − − 4x − = Tổng quát: a x + b + a x + b + a x + b = (a + a + a )x + b + b + b 1 2 3 3 x + y = 43)   y + x = x k +3 + y = ( k ∈ N) Tổng quát:  k +3  y +x =2 44) x − x − 1000 + 8000 x = 1000 45) x + + x − = 46) Tìm nghiệm dương phương trình: x −1 1 2x + = 1− + x − x x x 47) x + x (1 − x ) + (1 − x ) = − x + x + x (1 − x ) ( ) 48) x + = 81x − 27 49) x + − x − = x − 50) x − 3x + = x +  y − 9x + 27 x − 27 =  51) z − y + 27 y − 27 =  x − 9z + 27 z − 27 = ( ) ( ) ( ) 15 30x − 4x = 2004 30060 x + + 53) 5x + 14x + − x − x − 20 = x +  y 30 + y = 2004  x  z 54) 30 + 4z = 2004  y  x 30 + 4x = 2004  z 55) x + 15 = 3 x − + x + 52) 56) x − 3x − 3x + = 57) 3x − x + 2002 − 3x − 6x + 2003 − 5x − 2004 = 2003 58) x + = 3.3 3x − 59) x − x + = x + Bài tập tương tự: a) 20x + 52x + 53 = 2x − b) − 18x + 17 x − = − 5x c) 18x − 37 x + = 14x + 4x + = 7x + 7x 28 d) 60) x + 332 x + 3128 = 316 x +1 61) Cho < a < c < d < b ; a + b = c + d GPT: x + a + x + b = x + c + x + d 62) x − 4x + = 2x − 5x + + − 3x + 9x − 2 x + x y = y  63) 2 y + y z = z  2z + z x = x 64) x − x + 19 + x + 8x + 13 + 13x + 17 x + = 3 ( x + 2) 65) − x + 4x + + x + y − y − = x − 16 + − y 66) x − 8x + 816 + x + 10x + 267 = 2003 67) − x = x − 3x 68) x + x + − x − x − = m Tìm m để phương trình có nghiệm 69) Tìm a để phương trình có nghiệm + x + − x − + 2x − x = a  x + 30.4 + y − 2001 = 2121 70)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121 71) x + − = x + 3x + x + ( ) (  2 x + y + z =    72) xy + yz + xz = −   xyz =   x + x − y 9x =   x − x − y2 73)   x + 3x  y = 6( − y )  x + x + x + 3x + 74) + = x + 2x + x + 4x + 6 10 75) + =4 2−x 3− x ) x − x + + x − 6x + − 2x − 13x − 12 = 77) x − 6 x + − = 76) 78) 1+ x3 = x2 + HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ĐK: x ≥ Chuyển vế bình phương: (x 5x + 14x + = x + 24x + + 10 ⇔ 4x − 10x + = 10 ⇔ 2x − 5x + = ) − x − 20 ( x + 1) ( x − ) ( x + ) ( x + 1) (x ) (x − 4x − ( x + ) ⇔ 2(x − 4x − 5) + ( x + ) = ( ) ) − 4x − ( x + ) u= x − 4x − →   v = ( x + ) ( x + 3) x − 3x − 6x + 18x − = ( ) 2) GPT : x − 3x − 6x + 18x − = x − 3x ( x − 1) − ( x − 1) = Đặt: x- = y ( ) ⇒ x − 3x y − 9y = ⇒ 2x = 3y ± 3y  x x − y = −2000y ( 1)   2 − y x − y = 500x ( ) Nếu x = ⇒ y = ⇒ ( 0;0 ) n o ( ) Nếu x ≠ 0.Rút x − y từ (1) vào (2) ta có: y ≠  −2000y  −y  ÷ = 500y ⇒  2  x   x = 4y 12x − 48x + 64 = y (1)  3) 12 y − 48y + 64 = z ( 2)  12z − 48z + 64 = x ( 3) G/s (x; y; z) nghiệm hệ phương trình dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) nghiệm hệ giả sử : x = max{x; y; z} Từ 12x − 48x + 64 =12 x − 4x + + 16 ≥ 16 ( ⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ Tương tự x ≥ ; z ≥ ) Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ≤ 0; VT ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z x 19 + y = 1890z + z 2001  19 2001 4)  y + z = 1890x + x  19 2001 z + x = 1890 y + y Ta cm hệ có nghiệm x = y = z Giả sử (x,y,z) nghiệm hệ ⇒ (− x; − y; −z) nghiệm hệ ⇒ không tính tổng quát ta giả sử số x, y, z không âm Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ Cộng vế phương trình ta có: ( z 2001 + 1890z ) + ( x 2001 + 1890x ) + ( y2001 + 1890z ) = ( z19 + z5 ) + ( x19 + x ) + ( y19 + y5 ) Ta có: < t ≤ ⇒ t 2001 + 1890t ≥ t19 + t t 2000 + 1890 ≥ t18 + t (đúng) t > ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 2001 2000 1000 Thật vậy: t + 1890 > + t ≥ 2t cô si > t18 + t (đpcm) Vậy x = y = z Bài 10: + Nếu x < từ ( 3) ⇒ 2z + < ⇒ z < −1 −1 −1 ⇒y< ⇒x< 2 Cộng phương trình với nhau: ( x + 1) ( x − 1) + ( y + 1) ( y − 1) + ( z + 1) ( z − 1) = (*) 2 1 2 ⇒ x > 0; y > 0;z > Gọi ( x; y;z ) nghiệm hệ phương trình, không tính tổng quát ta giả sử: Với x < − ; y < − ;z < − ⇒ ( *) vô nghiệm x = max { x;y;z} Trừ (1) cho (3) ta được: ( ) ( x − z ) = ( y − x ) x + y + xy + x + y +  VT ≤  dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒  VP ≥ Bài 13: Đk: < x ≤ PT ⇔ 1− x 2x − = 1+ (*) x 1+ x2 nghiệm pt (*)  VP > 1 + < x ≤1 :   VT < + x=  VT>1  VP[...]... − 5 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = ± 5 2 2 ( ) 3 3 3 3 Bài 44 Giải phương trình : x 25 − x x + 25 − x = 30 HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt y = 3 35 − x3 ⇒ x3 + y 3 = 35  xy ( x + y ) = 30 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  3 , giải hệ này ta tìm được 3  x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức là nghiệm của phương trình là x ∈ {2;3} 1 2 −1 − x + 4 x = 4 Bài 45 Giải phương trình:... v = 2   4 2 ⇔ Ta đưa về hệ phương trình sau:  2 u 2 + v 4 = 2 − 1  1 − v  + v 4 = 2 − 1  ÷  4 2  2 1   Giải phương trình thứ 2: (v + 1) −  v + 4 ÷ = 0 , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương 2  trình Bài 46 Giải phương trình sau: x + 5 + x − 1 = 6 HƯỚNG DẪN GIẢI x ≥ 1 Điều kiện: Đặt a = x − 1, b = 5 + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) thì ta đưa về hệ phương trình sau: 2 2 a 2 +... 3 2 Bài 48 Giải phương trình: x 2 − 2 x = 2 2 x − 1 HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2 Ta có phương trình được viết lại là: ( x − 1) 2 − 1 = 2 2 x − 1 Điều kiện: x ≥  x 2 − 2 x = 2( y − 1) Đặt y − 1 = 2 x − 1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y − 2 y = 2( x − 1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x − y )( x + y ) = 0 Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x = 2 + 2 Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1... duy nhất x = Bài 69 Giải phương trình: (69) ⇔ Mà ( x − 3) ( x − 3) 2 2 +2 + +2+ x 2 − 6 x + 11 + x 2 − 6 x + 13 + 4 x 2 − 4 x + 5 = 3 + 2 (69) Giải: ( x − 3) ( x − 3) 2 ) 2 + 4 + 4 ( x − 2) +1 = 3 + 2 2 (*) + 4 + 4 ( x − 2) +1 ≥ 2 + 4 +1 = 3 + 2 2 2  ( x − 3) = 0 Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi  (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm 2 x − 2 = 0  ( )  2 x − 6 x + 15 Bài 70 Giải phương trình: 2 (70) =... phương trình: 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 HƯỚNG DẪN GIẢI 5 Điều kiện x ≥ − 4 Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11 (2 x − 3) 2 = 4 y + 5 ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = 0 Đặt 2 y − 3 = 4 x + 5 ta được hệ phương trình sau:  2 (2 y − 3) = 4 x + 5  Với x = y ⇒ 2 x − 3 = 4 x + 5 ⇒ x = 2 + 3 Với x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − x → x = 1 − 2 Bài 50 Giải phương. .. không thoả mãn phương trình vì x5 ≠ 770 ∀x ∈ Z  x, y ∈ Z + Do đó : x + 7 y > x + 3 y > x + y > x − 2 y > x − 3 y ( y > 0 ) , vì  nên : x > 2 y x − 3y = 1 x − 2 y = 2  x = 4 x + y = 5 ⇔  y = 1  x + 3y = 7   x + 7 y = 11 ( ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương duy nhất ( x; y ) = 4 ; 1 Bài 60 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x 3 + y 3 = 3xy + 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 Phương trình... Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x 2 + 13 y 2 + 4 xy = y 2 z 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) Đặt x = x0 d ; y = y0 d với d = ( x, y ) Thế vào phương trình ta có: x02 d 2 +13 y02 d 2 + 4 x0 y0 d 2 = y 02 z 2 d 2 ⇔ x02 = y0 ( y 0 z 2 −13 y + 4 x0 ) ⇒ x02 My0 Do ( x0 ; y0 ) = 1, nên y0 = 1 Từ đó suy ra : x = x0 y Thế vào phương trình : x02 y 2 + 13... 42 Giải phương trình : x +1 HƯỚNG DẪN GIẢI x ≥ 0 Điều kiện : 2 2  1 2  2 2    x     = x+9 + x ÷ ≤ 2 2 + x +1  + Ta có :     x + 1  x + 1 ÷  x + 1       2 2 1 1 = ⇔x= Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 7 x +1 x +1 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7 ( ) Bài 43 Giải phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : −1 ≤ x ≤ 1 ( Biến đổi phương trình... ; vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 và x = 7 2 2 Bài 41 Giải phương trình : 2 x + x + 1 + x − x + 1 = 3x HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 1 Chia cả hai vế cho x ta có : 2 + + 2 + 1 − + 2 = 3 x x x x 1 Đặt t = thì ta được : t 2 + t − 2 + t 2 − t + 1 = 3 x ⇔ t2 + (t 2 + t − 2 ) ( t 2 − t + 1) = 5 ⇔ t 4 − 2t 2 + 3t − 2 = t 4 − 10t 2 + 25 ⇔ 8t 2 + 3t − 27 = 0 Tiếp tục giải ta sẽ tìm được các nghiệm của phương. .. x − 1 < 2 x 2 − x + 1 (*) 1 *) Nếu x < thì (*) luôn đúng 2 *) Nếu x ≥ 2 1 2 2 thì (*) ⇔ 4 x − 4 x + 1 < 4 ( x − x + 1) ⇔ 1 < 4 (đúng) 2 Như vậy : VT < 1 ≤ VP Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 30 30 4 2002 Bài 63 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x ( x + y ) = y (63) HƯỚNG DẪN GIẢI 2 1994 2 + (63) ⇔ 4 x 60 + 4 x30 y 4 = y 2002 ⇔ ( 2 x30 + y 4 ) = y 8 ( 4 y1994 + 1) ⇒ 4 y + 1 = u ( u ∈ Z ) ⇒ u ... bình phương , giải phương trình hệ Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến đổi f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương. .. thấy x = nghiệm phương trình Bài 38 Giải phương trình sau: Để phương trình có nghiệm : x + 12 + = x + x + HƯỚNG DẪN GIẢI x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình x2... ⇔ Ta đưa hệ phương trình sau:  u + v = −  − v  + v = −  ÷     Giải phương trình thứ 2: (v + 1) −  v + ÷ = , từ tìm v thay vào tìm nghiệm phương 2  trình Bài 46 Giải phương trình