Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI (phần lý thuyết) c B iê n so ạn : H P hạ m T nh N gô n Tài liệu ôn tập tú tài soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết tổng hợp phương pháp giải toán dạng toán thường gặp Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7 c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Phương trình - Bất phương trình Bất phương trình bậc ax + b > 0(< 0, 0, 0) với a = Cách giải: Biến đổi ax + b > ⇐⇒ ax > −b Sau chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt a < 0) Bảng xét dấu nhị thức bậc −b/a ax + b trái dấu a +∞ dấu a 0, 0) (a = 0) N Bất pt bậc hai ax2 + bx + c > 0(< 0, n −∞ gô x nh Cách giải: Lập bảng xét dấu vào chiều bất pt để lấy tập nghiệm Ta có trường hợp sau đây: a Biệt thức ∆ > x1 ax2 + bx + c dấu a trái dấu a b Biệt thức ∆ = dấu a c Biệt thức ∆ < so ạn : −∞ ax2 + bx + c +∞ dấu a b 2a +∞ dấu a ax2 + bx + c x − −∞ H x x2 T −∞ P hạ m x +∞ dấu a iê n Chú ý: Cho f (x) = ax2 + bx + c Nếu hệ số a có chứa tham số (m) ta phải xét trường hợp a = c B Với a = 0, ta có trường hợp sau:  a > f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆  a > f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ <  a < f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆  a > f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Ngoài ta có điều kiện hẹp mạnh Với a > f (x) = ax2 + bx + c Với a < f (x) = ax2 + bx + c 0 S b =− ∈ / (α, β) ([α, β]) 2a (không cần biết dấu a) nh S b =− ∈ / (α, β) ([α, β]) 2a T  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) 0 P hạ m f (x) = ax2 + bx + c n  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) gô f (x) = ax2 + bx + c Với N Với  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β)  f (α) 0, ∀x ∈ (α, β) (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) (không cần biết dấu a) Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Các dạng thường gặp |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B so ạn : H Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm dấu trị tuyệt đối để khử dấu trị tuyệt đối Trong ta lưu ý: • |A| = |B| ⇔ A2 = B ⇔ A=B A = −B c B iê n • |A| > |B| ⇔ A2 > B ⇔ A2 − B > ⇔ (A − B)(A + B) >     B   B ⇔ • |A| = B ⇔ A=B  A2 = B     A = −B • |A| < B ⇔ −B < A < B • |A| > B ⇔ Chú ý: |A| = A>B A < −B A A −A A Phương trình, bất phương trình chứa thức Cách giải chung: Đặt điều kiện cho thức có nghĩa, sau bình phương (nâng lũy thừa) để khử thức Trong ta lưu ý: c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập • • • √ √ √ A= THPT Trần Văn Thành √ A=B⇔ A> √ A B A=B B⇔ B A = B2 B⇔ B A>B P hạ m Chú ý: √ A có nghĩa A T nh N gô n   B <     A √  • A>B⇔    B  A > B     B √ • A hay < 0) để kết luận • Đạo hàm: y = (cx + d)2 cho y , từ lập bảng biến thiên, nêu rõ làm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số • Tìm thêm điểm đặc biệt Chú ý đến giao điểm đồ thị với trục tọa độ Hàm hữu tỷ bậc bậc y = c Hồ Phạm Thanh Ngôn ax2 + bx + c (dành cho chương trình nâng cao) dx + e Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành • TXĐ: D = R \ − e d • Tiệm cận: M Chia tử cho mẫu y ta viết lại y dạng: y = Ax + B + dx + e e Khi đó: Tiệm cận đứng x = − Tiệm cận xiên y = Ax + B d • Đạo hàm: y = a b a c b c x2 + x+ d e d e (dx + e)2 = adx2 + 2aex + be − cd (dx + e)2 gô n • Giải y = ⇔ adx2 + 2aex + be − cd = Từ lập bảng bthiên nêu rõ cực trị có nêu rõ làm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số c B iê n so ạn : H P hạ m T nh N • Cho thêm điểm đặc biệt vẽ đồ thị c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành Một số toán liên quan đến việc khảo sát hàm số (C) : y = f (x) Đồng biến - nghịch biến a Hàm số y = f (x) đồng biến miền D ⇔ y 0, ∀x ∈ D b Hàm số y = f (x) nghịch biến miền D ⇔ y 0, ∀x ∈ D (y = hữu hạn giá trị x.) Chú ý: Đối với hàm y = n biến) ax + b ta buộc điều kiện y > (đồng biến) y < (nghịch cx + d gô Cực trị N a Điều kiện chung: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x = x0 nh • y = f (x) có cực trị ⇐⇒ y đổi dấu P hạ m T • y = f (x) có cực trị x0 ⇒ f (x0 ) = (phải thử lại)  f (x ) = 0 • y = f (x) có cực đại x0 ⇔ f (x0 ) <  f (x ) = 0 • y = f (x) có cực tiểu x0 ⇔ f (x0 ) > b Điều kiện cụ thể hai cực trị CĐ CT ⇔ y = có hai H • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có nghiệm phân biệt ax2 + bx + c có dx + e so ạn : • Hàm số y = hai cực trị CĐ CT ⇔ y = có hai nghiệm phân biệt iê n thuộc tập xác định ax + b • Hàm số y = cực trị cx + d • Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị a.b > 0, có cực trị a.b < c B c Đường thẳng qua điểm cực trị Khi hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có hai cực trị, viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị đó? • Chia đa thức y cho y ta được: y = (Ax + B).y + mx + n  y (x ) = 0 • Gọi (x0 , y0 ) điểm cực trị ta có: y(x0 ) = (Ax0 + B).y (x0 ) + mx0 + n ⇒ y(x0 ) = mx0 + n Vậy phương trình đường thẳng qua cực trị y = mx + n 2 sử dụng phải trình bày phần chứng minh lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành ax2 + bx + c có hai cực trị, viết phương trình đường dx + e thẳng qua hai cực trị đó? u(x) u (x).v(x) − v (x).u(x) • Đặt y = , ta có y = v(x) v (x) • Do y đạt cực trị x = x0 nên d Khi hàm hữu tỷ y = y (x0 ) = ⇔ u(x0 ) u (x0 ) 2ax0 + b u (x0 ).v(x0 ) − v (x0 ).u(x0 ) = ⇔ = = v (x0 ) v(x0 ) v (x0 ) d 2ax0 + b d 2ax + b Vậy phương trình đường thẳng qua cực trị y(x) = d Chú ý: Nếu tìm cụ thể điểm cực trị A(xA , yA ) B(xB , yB ) đường thẳng qua cực trị A B đường thẳng AB nh N gô n ⇒ y(x0 ) = Giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm số y = f (x), tìm giá trị lớn nhỏ hàm số miền D T a Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) đoạn [a, b] P hạ m • Tính y giải y = tìm nghiệm Giả sử có nghiệm x1 , x2 ∈ [a, b] • Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) so sánh để kết luận b Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) khoảng (a, b), nửa khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b] H • Tính y lập bảng biến thiên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b) hay (a, b]) so ạn : • Căn vào bảng biến thiên để kết luận c Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhỏ y = f (x) (đề không nói thêm) • Tìm tập xác định hàm số • Tính đạo hàm y lập bảng biến thiên hàm số để kết luận iê n Tìm giao điểm hai đồ thị B a Cho y = f (x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C ), tìm giao điểm (C) (C )? c • Hoành độ giao điểm (C) (C ) nghiệm pt: f (x) = g(x) (*) • Số giao điểm (C) (C ) số nghiệm (*)  f (x) = g(x) b (C) (C ) tiếp xúc ⇔ Hệ có nghiệm f (x) = g (x) Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) có đồ thị (C) a Phương trình tiếp tuyến M0 (x0 , y0 ) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm) Phương trình có dạng: sử dụng phải trình bày phần chứng minh lại c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành y = f (x0 ).(x − x0 ) + y0 (f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến; f (x0 ) viết y (x0 )) b Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k cho trước • Gọi (x0 , y0 ) tọa độ tiếp điểm • Giải f (x0 ) = k tìm x0 , thay x0 vào (C) có y0 = f (x0 ) ⇒ có tọa độ tiếp điểm Chú ý: N gô n Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b f (x0 ) = a; tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b f (x0 ) = − a c Phương trình tiếp tuyến qua (kẻ từ) M1 (x1 , y1 ) y = k.(x − x1 ) + y1  f (x) = k.(x − x ) + y f (x) = k ⇒ tìm k T • Dùng điều kiện tiếp xúc nh • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M1 (x1 , y1 ) & có hệ số góc k là: P hạ m Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Cho phương trình F (x, m) = (x : ẩn, m : tham số) Biện luận theo m số nghiệm pt H • Viết pt cho dạng f (x) = g(m) (*), f (x) hàm có đồ thị vẽ (1 dạng) (thường vẽ), y = g(m) đường thẳng song song Ox so ạn : • Số nghiệm (*) số giao điểm hai đồ thị : (C) : y = f (x) đường thẳng y = g(m) Tương quan (giao điểm) đồ thị hàm số bậc với trục tọa độ (Ox Oy) n Cho y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C) Khi c B iê a (C) cắt trục hoành Ox điểm phân biệt y có cực trị hai giá trị cực trị trái dấu • Bước 1: Tính y , xét pt bậc y = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (chỉ xét điều kiện ∆ > 0, không tính cụ thể x1 , x2 ) • Bước 2: Chia đa thức y cho y ta y = (Ax + B).y + kx + h y(x ) = kx + h 1 Khi y(x2 ) = kx2 + h Hai giá trị cực trị trái dấu y(x1 ).y(x2 ) < ⇔ (kx1 + h)(kx2 + h) < ⇔ k x1 x2 + kh(x1 + x2 ) < (∗) c b Áp dụng Viét x1 x2 = ; x1 + x2 = − , thay vào (∗) a a c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành b (C) cắt trục Ox điểm hai giá trị cực trị dấu (y(x1 ).y(x2 ) > 0) y rơi vào trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆ Chú ý: • Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy x1 x2 < • Hai cực trị nằm phía so với trục Oy x1 x2 > • Hai cực trị nằm hai phía so với trục O y(x1 ).y(x2 ) < • Hai cực trị nằm phía so với trục O y(x1 ).y(x2 ) > N gô n • Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) ta nên xét số nghiệm phương trình để suy số giao điểm (C) trục hoành Ox nh Khoảng cách Cho M (xM , yM ), N (xN , yN ), P (x0 , y0 ) đường thẳng ∆ : Ax + By + C = Khi đó: (xN − xM )2 + (yN − yM )2 |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B P hạ m d(P, ∆) = T MN = Chú ý: • Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục hoành |y0 | • Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục tung |x0 | H Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f (x) cho A, B đối xứng qua ∆ : y = ax+b f (x) = − x + m a n so ạn : • Gọi d đường thẳng vuông góc với ∆, d có dạng: y = − x + m a • Giao điểm d (C) A, B có hoành độ nghiệm phương trình: iê • Ta lập luận tìm điều kiện tồn A B c B • Gọi I trung điểm AB, tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ tìm m suy tọa độ A, B ∆ (C) : y = f (x) A I B d c Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 10