Các dạng toán phương trình lượng giác

Lượng giác là một trong những dạng tương đối khó đối với học sinh phổ thông. Bài viết này tổng hợp các dạng bài về phương trình lượng giác một cách đầy đủ và khoa học giúp học sinh dễ dàng học tập và ôn thi được thuận tiện hơn.

a/kiến thức cần nhớ phân loại toán dạng Phơng trình bậc bậc hai , bậc cao với hàm số l ợng giác §Ỉt hàm số lượng giác theo t víi sinx , cosx có điều kiện t Giải phơng trình theo t Nhận t thoả mãn điều kiện Sau ú giải Pt lợng giác Giải phơng trình: 2cos2x- 4cosx=1 � � sinx �0 2/ 4sin3x+3 sin2x=8sinx 1/ � 1-5sinx+2cosx=0 � � cos x �0 3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ � 5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) vµ cos2x+3cosx(sin2x8sinx)=0 (2) Tìm n0 (1) đồng thời n0 (2) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 ( nghiÖm chung sinx= ) 7/ a/ tanx+ -2 = cot x b/ cos x +tanx=7 c* / sin6x+cos4x=cos2x 8/sin( x  5 7 )-3cos( x  )=1+2sinx 2 9/ sin x  2sin x   2sin x  10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 13/ sin x   cos x  15/ 12/ sin 2 x  cos x  0 2sin x cos x 14/ cos2x+3cosx+2=0 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0 cos x 16/ 2cosx- sin x =1 d¹ng 2: Phơng trình bậc sinx cosx : asinx+bcosx=c b C¸ch 1: asinx+bcosx=c � � a� sin x  cos x � c C¸ch : a a Đặt cosx= 2 ; sinx= b a b Đặt tan a sin x  cos x.tan    c a b a b 2 � sin( x   )  � a  b sin( x   ) c Cách 3: Đặt t tan x ta có Đăc biệt : Điều kiÖn sin x  c cos  a 2t 1 t2 � (b  c)t  2at  b  c  ;cos x  2 1 t 1 t   sin x  cos x  2sin( x  )  cos( x  )   sin x �cos x  sin( x � )  cos( x m ) 4   sin x  cos x  2sin( x  )  2 cos( x  ) 2 a  b �c Pt cã nghiƯm : gi¶i phơng trình : 1/ 2sin15x+ cos5x+sin5x=k 2/ a: c: 3/ sin x  cos x  cos x sin x  cos x   víi k=0 vµ k=4 b: 4sin x  3cos x  sin x  cos x  6 4sin x  3cos x  *t×m nghiÖm cos x  sin x   4/( cos2x- sin2x)- víi k=0 sinx-cosx+4=0 x �( 2 6 ; ) 5/  cos x  cos x  cos 3x  (3  sin x) cos x  cos x  cos x  2sin x.cos x  cos x sin x 6/ Dạng Phơng trình đẳng cấp sin x cosx Đẳng cấp bËc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0 C¸ch 1: Thư víi cosx=0 Víi cosx Chia vế cho cos2x ta đợc: atan2x+btanx +c=d(tan2x+1) Cách2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0 Xét cos3x=0 cosx Chia vế cho cos2x ta đợc Pt bậc tanx Giải phơng trình 1/a/ 3sin2x- sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ sin 2x+3 sinxcosx-2cos2x=4 c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin x+6sinxcosx+2(1+ )cos x-5- =0 2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 c¸ch +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0  x   k + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 � (cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) 4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 6/ cos3x= sin3x 7/ cos 3x- sin3x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x-  /4)= sinx Dang Phơng trình vế trái đối xứng sinx cosx * a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t � � at + b t 1 =c � bt2+2at-2c-b=0 2 * a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t � at + b 1 t2 =c � bt2 -2at+2c-b=0 Giải phơng trình 1/ a/1+tanx=2sinx + cos x b/ sin x+cosx= 1 tan x cot x 2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin 3x+cos3x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ sin2x(sin x+cosx)=2 6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ (sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 10/ sin x  cos x  4sin x  11/ cosx+ 1 +sinx+ sin x cos x = 10 12/ sinxcosx+ sin x  cos x =1 dang Giải phơng trình phơng pháp hạ bậc Công thức hạ bậc Công thức hạ bậc cos2x=  cos x  cos x ; sin2x= 3cos x  cos x ; sin3x= 3sin x  sin x cos3x= Giải phơng trình 1/ sin x+sin23x=cos22x+cos24x cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0  4/ cos3x+ sin7x=2sin2(  2/ 5x 9x )-2cos2 2 5/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi x �(0;  )  6/sin24x-cos26x=sin( 10,5  10x ) víi x �(0; ) 7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- cos3x sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x sin x cos x =0 9/ sin 22x+ sin24x= 11/ (sin 22x+cos42x-1): � k   ;  12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3 x  � �24 sin22xcos2x  x x 