Công thức lượng giác dễ nhớ

GTLG CỦA GÓC NHỌN α TRONG T/G VUÔNG ABC TẠI A C AC cạnhđố i = BC cạnhhuyề n AB cạnhkề cosα = = BC cạnhhuyề nCạnh đối AC cạnhđố i tanα = = AB Canhkeà sinα = A  Cạnh huyề n Cạnh kề B Cách nhớ: Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin hai cạnh kề, huyền chia Còn tang ta tính sau Đối trên, kề chia thấy liền Cotang ngược lại với tang  HỆ THỨC CƠ BẢN y sin2 α + cos2 α = 1,∀ α sinα π tanα = ,(ñk : α ≠ + kπ ,k ∈ ¢ ) cosα cosα cotα = ,(đk : α ≠ kπ ,k ∈¢ ) sinα  M O sin α α H cos α A Cách nhớ: Sin bình cộng với cos bình Nhất đònh Chúng vui ! Còn tan tính sau Sin cos chia thấy liền Cotan nghòch đảo tan Cos Sin nằm lòng em ! Cách nhớ suy luận : Dựa vào đường tròn lương giác OHM , có π OM =1 từ định nghĩa sin α , cos α ta Xeùt tam giác2 vuông 1+ tan α = ,(đk : α ≠ + kπ ,k ∈ ¢ ) có hệ thức cos2 α sin α  HỆ CƠ BẢN KHÁC 1+THỨC cot2 α = ,(đk : α ≠ kπ ,k ∈¢ ) tanα.cotα =1,(đk : α ≠ k π ,k ∈¢ ) x  Cách nhớ: Tan bình thêm bạn ơi! Bằng chia ,cos thời bình phương Cotan dễ thường Bình phương cộng thương Tử số chi Mẫu bình phương sin chẳng sai Tang với cotan sánh vai Tích chúng nhớ hoài chẳng quên  Cách nhớ suy luận : Từ hệ thức (1) ,chia hai vế cho cos α ta có hệ thức (4) , chia hai vế cho sin2 α ta có hệ thức (5) ,vì tanα cotα nghòch đảo nên tích chúng nên ta có hệ thức (6)  CÔNG THỨC GTLG CỦA CÁC CUNG (GÓC) LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT α - α 1) Hai cung (góc) đối (có tổng=0): cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α 2) Hai cung (góc) bù (có tổng=π ): α vaø π- α sin ( π -α)=sin α ,cos ( π -α) = -cosα , tan( π -α) = - tan α ,cot( π - α ) = -cot α 3) Hai cung (góc) phụ (có tổng= π /2) : α vaø π π π π π −α sin ( -α) = cos α , cos ( -α) = sinα , tan( -α) = cot α ,cot( -α )=tan α  Ghi : Để dễ nhớ công thức (1) ,(2) (3) ta nhớ câu : “ cos đối, sin bù ,phụ chéo nhau”  Giải thích : Nghóa hai cung (góc) đối α – α có cos chúng ,còn lại GTLG khác đối Hai cung (góc) bù α π- α có sin chúng ,còn lại GTLG khác đối Hai cung (góc) phụ α π −α Sin góc nầy cos góc & ngược lại Tang góc nầy cotan góc & ngược lại  Chú ý: Ta không cần nhớ công thức GTLG cung (góc) ,kém π ,kém π /2 Vì suy luận ,có thể nhanh chóng suy chẳng hạn : co s(α + π ) = −co s( −α ) = − cos α co s(α − π ) = co s(π − α ) = − cos α π co s(α + ) = sin( −α ) = − sin α π π co s(α − ) = co s( − α ) = sin α 2   GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) ĐẶC BIỆT Cách nhớ: 1.Đầu tiên ta tìm sin 00 300 450 600 90o ˆ Ta viết chữ số tự nhiên đầu tiên: ˆ Lấy bậc hai số tự nhiên : ˆ Chia số cho 2,được kết cần tìm: 2 2 Tìm cos góc cách viết ngược lại sin : 00 3.Tính tan 300 450 600 2 2 00 300 450 600 90o laáy Chú ý: tan90o không xác đònh Tính cotan 00 300 450 600 90o laáy 90o sin ta tan cos cos ta sin cotan Chú ý: cot0o không xác đònh Chú ý:  p dụng công thức cung (góc) bù , ta tính giá trò lượng giác 1200 1350 1500 1800 VD : sin1200 = sin600 = , tan1350 =- tan450 = v.v  Khi biết sin 00 300 450 600 90o , áp dụng công thức cung (góc) phụ, ta tính giá trò lượng giác 00 300 450 600 90o VD: cos600 = sin300 = , cot600 = tan300 = , v.v  GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) HƠN KÉM BỘI 2π ,BỘI π sin(α +k.2π ) =sinα ; cos(α +k.2.π)=cosα tan(α +kπ)=tga ; cot(α +kπ)=cotgα π π VD: sin( +k.2π )=sin = 1,với ∀k ∈ ¢ , tan(300 +k1800)=tg300 với 2 ∀k ∈ ¢ , cosk.2 π =cos0 =1 v.v  Cách nhớ: “Hai cung bội chẵn π Cos chúng sin Còn tang bội π Cotang nhớ ghi”  CÔNG THỨC CỘNG : Đối với sin cos :  1/ cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b 2/ cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b 3/ sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b 4/ sin(a − b) = sin a cos b − co s a sin b Cách nhớ: Cos cos cos sin sin Sin sin cos cos sin rõ ràng Cos đổi dấu nàng Sin giữ dấu xin chàng nhớ cho! Đối với tan tan a + tan b − tan a tan b tan a − tan b 6/ tan(a − b) = + tan a tan b 5/ tan(a + b) =  Cách nhớ: Tang tổng tổng hai tang Chia trừ tích tang oai hùng Tang hiệu hiệu hai tang Chia cộng tích tang oai hùng  CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI sin 2a = 2sin a.cos a (1) 2 cos2a = cos a − sin a (2) = cos a − (3) (4) = − 2sin a tan a tan 2a = (5) − tan a   Cách nhớ: Sin gấp đôi = đôi sin cos Cos gấp đôi = cos bình trừ sin bình = hai cos bình trừ =1 trừ hai sin bình Tang gấp đôi Tan đôi ta lấy đôi tan Chia trừ tiếp bình tan, liền Cách nhớ suy luận : Từ công thức cộng : sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b thay b bỡi a & rút gọn có công thức (1) cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b ……………………………………………… (2) Từ hệ thức baûn : sin2 a + cos2 a = 1⇒ sin2 a = 1− cos2 ahoaëccos2 a = 1− sin2 a Thay vào (2) có công thức (3),(4) 1+ cos2a (1) Chia (1) & (2) veá theo veá ,VP cho ta tan2a ,VT tiếp tục chia tử &mẫu tan a 1− cos2a sin2 a = (2) cho cos2a − tan a 1− cos2a CÔNG THỨC HẠ BẬC tan2 a = (3) 1+ cos2a cos2 a =   Cách nhớ: Cos bình hạ bậc nâng cung cộng với cos chia Sin bình em Nhưng trừ cos sau chia Tang bình bình tỉnh nhe em Bình sin, bình cos đem chia thấy liền Cách nhớ suy luận : Từ công thức nhân đôi (3) ,suy công thức hạ bậc (1) Từ công thức nhân đôi (4) ,suy công thức hạ bậc (2) Chia (2) cho (1) vế theo vế có công thức (3)  CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a −b cos 2 a+b a −b cosa − cosb = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 cosa + cosb = 2cos  Cách nhớ: “ cos cộng cos hai cos cos , cos trừ cos trừ hai sin sin , sin cộng sin hai sin cos , sin trừ sin hai cos sin Tan cộng với tan ta Bằng sin đứa cos ta cos mình”  CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cos(α + β ) + cos(α − β )  2 sinα sin β = −  cos(α + b) − cos(α − β )  2 sinα cosβ =  sin(α + β ) + sin(α − β )  2 cosα cosβ =  Caùch nhớ: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin trừ nửa cos-cộng trừ cos-trừ Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ Cách nhớ suy luận : Từ công thức cộng dễ dàng  a+ b  = α a = α + β ⇒ suy công thức tích thành tổng ,bằng cách đặt  b = α − β  a− b = β   VAØI CÔNG THỨC LƯNG GIÁC KHÁC : Công thức nhân sin 3a = sin a − sin a cos 3a = cos a − cos a π π π π     sin a − cos a = sin  a −  = − cos a +  ˆ sin a + cos a = sin  a +  = cos a −  4 4 4 4     ˆ cos a + sin a = − sin 2a Chú ý: Một công thức lượng giác ta nên vận dụng linh hoạt ,có áp dụng từ VT sang VP ngược lại