đề ktra thử lượng giác hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...
27 Chuyên đề 7 LƯNG GIÁC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Đo ä: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian : (rad) rad 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng : Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác : 1. Đònh nghóa : 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: q AM k2=α+ π M π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) πα 2kAB += 28 III. Đònh nghóa hàm số lượng giác : 1. Đường tròn lượng giác : • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác : a. Đònh nghóa : Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tan cot OP OQ AT BU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 αα −≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 αα −≤ ≤ ≤ • tan xác đinh 2 k π α απ ∀≠ + • cot xác đinh k α απ ∀≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( ) tan cot( ) cot k k k k α πα α πα α πα απ α += += += += )( Zk ∈ + − x y O C A B D 1 1 1 =R 1− 1− ' x 'u u t 't 'y y t ' u ' t t x u ' y ' xO t 1− Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − 29 IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt -3 -1 -3 /3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' -3 -1 -3 /3 1 1 -1 -1 - π /2 π 5 π /6 3 π /4 2 π /3 - π /6 - π /4 - π /3 -1/2 -2 /2 -3/2 -1/2-2/2-3/2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π /3 π /4 π /6 3 /3 3 B π /2 3 /3 1 3 O 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tan α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cot α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ + − 30 V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α πα ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : và α πα + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : sin( ) sin tan( ) cos( ) c tan cot o () s cot α α α α α α α α −=− −=− −=− −= cos( ) cos t sin( ) s an( ) tan cot( ) i ot n c π αα πα α α π α α α π −= − =− −=− −=− 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cot( ) tan 2 π α α π α α π α α π α α −= −= −= −= tan cos( ) sin 2 sin( ) () cot 2 cot( ) ta s 2 co 2 n π α α π α π α α α α π α +=− + +− +=− = = 5. Cung hơn kém π : tan( cos( ) cos sin( ) s ) tan co in t( ) cot π α π αα π α α α α α π + +=− += + − = = Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang 31 VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản : 22 cos sin 1 sin tan = cos cos cot = sin αα α α α α α α += 2 2 2 2 1 1 tan = cos 1 1 cot = sin tan . cot = 1 α α α α α α + + Ví du ï: Chứng minh rằng: 1. 44 22 cos x sin x 1 2 sin x cos x+=− 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ Chứng minh ()() () 22 44 2 2 2 22 22 22 1) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2sin x cos x 1 2 sin x cos x += + =+ − =− ()() () () 33 66 2 2 3 22 2222 22 2) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x 1 3 sin x cos x += + =+ − + =− 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin gv : Lờ Minh Tõn TấN : LP : KIM TRA TH TIT sin x Cõu 1: Tp xỏc nh ca hm s y l: cos x A D \ k , k B D \ k , k C D \ k , k D D \ k , k 3 Cõu 2: Giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s y 3sin x 4cos x l: A max y , y B max y , y C max y , y D max y , y Cõu : Nghim ca phng trỡnh tan(4 x ) l: k k A x B x k , k C x ,k ,k 3 Cõu : Trong cỏc hm s sau õy, hm s no l hm s tun hon? A y = sinx C y = x2 B y = x+1 D x D y k ,k x x2 Cõu : Khng nh no sau õy ỳng v phng trỡnh sin x cos x A Cú h nghim B Cú h nghim C Vụ nghim D Cú nghim nht Cõu 6: Phng trỡnh sin x cos x cú nghim l: x k x k x k x k A k B x k k C x k k D x k k x k 3 3 Câu : Phương trình m cos x m có nghiệm A m B m [ ; ) C Mọi m D m Cõu 8: Cho phng trỡnh sin x ( 1) sin x cos x cos x Nghim ca phng trỡnh l: A x k , k Z B x k , k Z C x k , k Z x k D ,k Z x k Cõu 9: Hàm số y sin x cot x là: A Hàm chẵn B Hàm lẻ C Hàm không lẻ D Hàm không chẵn, không lẻ Cõu 10: Hàm số hàm số sau hàm lẻ? x A y B y x sin x C y sin x cos x D y sin x cos x sin x 3x Cõu 11 chu kì tuần hoàn hàm số y cos là: A B C D Cõu 12: Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh 2cos x sin x m cú nghim 25 25 A m B m 25 C m D m 25 8 8 Cõu 13: Cho hàm số y = 3cos2x + 1.Khẳng định sau sai ? A Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy B Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Ox C Hàm số hàm số chẵn D Hàm số tuần hoàn với chu kì Cõu 14: Nghim ca phng trỡnh Cõu 15: Nghim cosx = l: + 3tanx = l: A x Cõu 16: Nghim ca sinx.cosx = l: A x A x k B x k B x k k B x k k C x k D x k C x k D x k C x k D x k gv : Lờ Minh Tõn Cõu 17: Nghim ca phng trỡnh 2sin2x 3sinx + = tha iu kin: x < A x B x C x = D x Cõu 18: Nghim ca phng trỡnh cosx + sinx = l: A x k ; x k B x k ; x k C x k ; x k D x k ; x k Cõu 19: Xột cỏc phng trỡnh lng giỏc: sinx + cosx = , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = Trong cỏc phng trỡnh trờn , phng trỡnh no vụ nghim? A Ch (III ) B Ch (I ) C (I ) v (III ) D Ch (II ) (I ) Cõu 20 : Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Pt no sau õy tng ng vi pt (1) A sin4x = B cos3x = C cos4x = D sin5x = Cõu 21: Tỡm m pt sin2x + cos2x = A m m cú nghim l: C m B m D m Cõu 22: Tỡm m pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vụ nghim: 4 A < m < B m C m 0; m 3 Cõu 23: Nghiờm ca pt sinx.cosx.cos2x = l: A x k Cõu 24: Nghiờm ca pt 2.sinx.cosx = l: A x k D m < ; m B x k B x k C x k C x k Cõu 25: Tập giá trị y = cos4x - sin4x là: A T = R B T 1;1 D x k D x k D T 5;5 C T 2; Cõu 26:trờn ;0 phương trình sin x có số nghiệm là: A B Cõu 27 :Với giá trị m phương trình cosx + ( m - 1)sinx = vô nghiệm? A B m ;1 C m 1; D m C D Cõu 28 :Với giá trị m phương trình cos2x + m = có nghiệm? A m > B m < C m Cõu 29 :chu kì tuần hoàn hàm số y cot x là: A D m B C D.Không có chu kì tuần hoàn Cõu 30 :Cho hàm số y = tan3x Khẳng định sau đúng? A Hàm số hàm chẵn B Chu kì tuần hoàn hàm số C Hàm số tính chẵn lẻ D Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc toạ độ Cõu 31 :Trong cỏc phng trỡnh sau phng trỡnh no vụ nghim: (I) cosx = A (I) (II) sinx = B (II) (III) sinx + cosx = D (I) v (II) C (III) Cõu 32 :Tỡm m pt 2sin x + m.sin2x = 2m vụ nghim: 4 A < m < B m C m 0; m 3 Cõu 33 :Nghim õm nh nht ca pt tan5x.tanx = l:A x 12 B x D m < ; m C x D x Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 3 Chương 1 : CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ ðể bắt ñầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá ñược cái hay và cái ñẹp của bất ñẳng thức lượng giác, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng, ñó chính là chương 1: “Các bước ñầu cơ sở”. Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác. Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là ñầy ñủ cho một cuộc “hành trình”. Trước hết là các bất ñẳng thức ñại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Tiếp theo là các ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số ñịnh lý khác là công cụ ñắc lực trong việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý Largare, ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai, ñịnh lý về hàm tuyến tính …) Mục lục : 1.1. Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản…………………………………………… 4 1.1.1. Bất ñẳng thức AM – GM… .…………… 4 1.1.2. Bất ñẳng thức BCS…………………………………………………… 8 1.1.3. Bất ñẳng thức Jensen……………………………………………… 13 1.1.4. Bất ñẳng thức Chebyshev………………………………………… . 16 1.2. Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác…………………………… 19 1.2.1. ðẳng thức…………………………………………………………… . 19 1.2.2. Bất ñẳng thức……………………………………………………… . 21 1.3. Một số ñịnh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ðịnh lý Largare ……………………… ……………………………. 22 1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai………………………………… 25 1.3.3. ðịnh lý về hàm tuyến tính…………………………………………… 28 1.4. Bài tập…………………………………………………………………… 29 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 4 1.1. Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản : 1.1.1. Bất ñẳng thức AM – GM : Với mọi số thực không âm n aaa , .,, 21 ta luôn có n n n aaa n aaa . . 21 21 ≥ +++ Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất ñẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. ðây là bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất ñẳng thức. Sau ñây là hai cách chứng minh bất ñẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho rằng là ngắn gọn và hay nhất. Chứng minh : Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy Với 1=n bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng. Khi 2=n bất ñẳng thức trở thành ( ) 0 2 2 2121 21 ≥−⇔≥ + aaaa aa (ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến kn = tức là : k k k aaa k aaa . . 21 21 ≥ +++ Ta sẽ chứng minh nó ñúng với kn 2= . Thật vậy ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) k kkk k kkk k k kkkk kkkk aaaaa k aaakaaak k aaaaaa k aaaaaa 2 2121 22121 22121 22121 2 + ++ ++ ++ = ≥ ++++++ ≥ +++++++ Ti ếp theo ta sẽ chứng minh với 1−= kn . Khi ñó : ( ) 1 121121 1 121 1 121121 1 121121 .1 . . − −− − − − −− − =− −≥+++⇒ = ≥++++ k kk k k k k kk k kk aaakaaa aaak aaaaaakaaaaaa Nh ư v ậ y b ấ t ñẳ ng th ứ c ñượ c ch ứ ng minh hoà n toà n. ðẳ ng th ứ c xả y ra n aaa ===⇔ . 21 Cá ch 2 : ( l ờ i giả i củ a Polya ) Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 5 Gọi n aaa A n +++ = . 21 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với n n Aaaa ≤ . 21 (*) Rõ ràng nếu Aaaa n ==== . 21 thì (*) có dấu ñẳng thức. Giả sử chúng không bằng nhau. Như vậy phải có ít nhất một số, giả sử là Aa < 1 và một số khác, giả sử là Aa > 2 tức là 21 aAa << . Trong tích n aaaP . 21 = ta hãy thay 1 a bởi Aa = 1 ' và thay 2 a bởi Aaaa −+= 212 ' . Như vậy 2121 '' aaaa +=+ mà ( ) ( )( ) 0'' 2121212221 >−−=−−+=− AaAaaaAaaAaaaa 2121 '' aaaa >⇒ nn aaaaaaaa .'' . 321321 <⇒ Trong tích n aaaaP .''' 321 = có thêm thừa số bằng A . Nếu trong 'P còn thừa số khác A thì ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm một thừa số nữa bằng A . Tiếp tục như vậy tối ña 1−n lần biến ñổi Mục lục 1 http://kinhhoa.violet.vn Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Lời mở đầu Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán. Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm, người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh hoạt để tự giải được các bài tập Toán. Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài. Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác. Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức Brahmagupta’s. Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng giác hơn nữa Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5 xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác. Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn. Hà Nội, ngày 19/5/2007 Sinh viên :Nguyễn Thị Thu Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác Muốn giỏi về lượng giác, học sinh Đ1 phơng trình lợng giác cơ bản (1). Phơng trình lợng giác cơ bản có một trong các dạng dới đây: (1). cos u = cos v u = v + k2 u = v + k2 (2). sin u = sin v u = v + k2 u = v + k2 (k Z) (3). tan u = tan v u = v + k u = 2 + m (4). cot u = cot v u = v + k u = m (m, k Z) (2). Chú ý: Cần nhớ các công thức sau, nó giúp cho chúng ta biến đổi nhanh chóng các phơng trình cha cơ bản về phơng trình cơ bản: cos u = cos v cos u = cos( v) sin u = sin v sin u = sin(v) tan u = tan v tan u = tan(v) cos u = sin v cos u = cos( 2 v) cos u = sin v cos u = cos( 2 + v) tan u = cot v tan u = tan( 2 v) tan u = cot v tan u = tan( 2 + v) (3). Phần giải bài tập: Bài 1: Giải các phơng trình: (1). cos 2x + cos(x 3 ) = 0 (2). cos(x + 5 ) = sin 3x (3). sin(2x 4 ) + sin x = 0 (4). cos 4x + sin x = 0 Bài giải: Phơng trình thứ nhất có phơng trình dạng cos u = cos v nếu chuyển vế, do vậy ta giải nh sau (1) cos(x 3 ) = cos 2x cos(x 3 ) = cos( 2x) x 3 = 2x + k2 x 3 = + 2x + k2 x = 4 9 + k 2 3 x = 2 3 + k2 (k Z) Phơng trình thứ hai có dạng cos u = sin v sử dụng công thức hai cung phụ nhau để giải phơng trình này nh sau (2) cos(x + 5 ) = cos( 2 3x) x + 5 = 2 3x + k2 x + 5 = 3x 2 + k2 x = 3 40 + k 2 x = 7 20 + k (k Z) Phơng trình thứ ba có dạng sin u = sin v nếu chuyển vế, do vậy ta giải nh sau 1 (3) sin(2x 4 ) = sin x sin(2x 4 ) = sin(x) 2x 4 = x + k2 2x 4 = + x + k2 x = 12 + k 2 3 x = 5 4 + k2 (k Z) Phơng trình thứ t sẻ có dạng cos u = sin v nếu chuyển vế, do vậy ta giải phơng trình nh sau (4) cos 4x = sin x cos 4x = cos( 2 + x) 4x = 2 + x + k2 4x = 2 x + k2 x = 6 + k 2 3 x = 10 + k 2 5 (k Z) Bài 2: Giải các phơng trình sau: (1). cot 2x + cot(x 3 ) = 0 (2). tan x + tan 3x = 0 (3). tan(2x 4 ) cot x = 1 (4). cot 4x + cos 4x = 0 Bài giải: Phơng trình (1), trớc hết điều kiện để phơng trình có nghĩa là 2x = m x = m 2 , m Z() Với điều kiện () ở trên và để ý rằng phơng trình có phơng trình dạng cot u = cot v nếu chuyển vế, do vậy ta giải nh sau (1) cot(x 3 ) = cot 2x cot(x 3 ) = cot( 2x) x 3 = 2x + k x = 4 9 + k 3 (k Z) Đối với các học sinh trung bình, yếu thì chúng ta có thể chấp nhận nghiệm của phơng trình đã cho đợc ghi dới dạng x = 4 9 + k 3 , x = m 2 với m, k Z. Còn với các học sinh khá giỏi hơn chúng ta cần phải làm thêm một bớc sau gọi là "loại nghiệm" trong phơng trình lợng giác. Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau đây 4 9 + k 3 = m 2 8 + 6k = 9m k = m 1 + 3m 2 6 ; m, k Z() Ta có nhận xét rằng: + Nếu m = 2l thì 3m 2 6 = l + 2 6 Z nên phơng trình () vô nghiệm. + Nếu m = 2l + 1 thì 3m 2 6 = l + 1 6 Z nên phơng trình () cũng vô nghiệm điều đó chứng tỏ rằng x = 4 9 + k 3 , (k Z) chính là họ nghiệm của phơng trình đã cho. Bình luận: Việc giải một phơng lợng giác đợc gọi là cơ bản nhng trong phơng trình đó có sự xuất hiện các giá trị tan, cot thì thực sự không thể gọi là cơ bản chút nào, vì vậy chúng ta cần 2 phải bình tĩnh trớc mỗi bài tập. Chú ý rằng việc giải các phơng trình vô định nh trên chỉ thực sự dành cho các học sinh khá giỏi và phải có niềm tin, còn với các học sinh khác thì chúng ta có thể bỏ qua mà không cần băn khoăn gì nhiều. Tuy nhiên đối với phơng trình thứ hai thì muốn đạt điểm tối đa chắc chắn phải làm đợc bớc loại nghiệm. Phơng trình thứ hai có dạng tan u = tan v, nếu chuyển vế do vậy chúng ta thực hiện các bớc nh sau Điều kiện để phơng trình có nghĩa x = 2 + m, m Z(). Với điều kiện này (2) tan 3x = tan x tan 3x = tan(x) 3x = x + k x = k 4 Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau đây k 4 = 2 + m k = 4m + 2; m, k Z() Ta thấy: Phơng trình () có nghiệm k = 4m + 2, m Z vậy trong họ nghiệm x = k 4 (k Z) đã có những nghiệm "vi phạm" điều kiện nếu k = 4m + 2, m Z. Do vậy kết luận nghiệm của phơng trình (2) là x = k 4 , k = 4m + 2; m, k Z. Nhng đôi khi chúng ta thấy kết luận nh trên vẫn cha "rõ ràng" và cha thấy đợc việc giải phơng trình vô định thực Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng đại số -Một số trường hợp thường gặp x = sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =1 đặt với α ∈ [ 0; 2π ] y = cosα x = a sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) đặt với α ∈ [ 0; 2π ] y = acosα −π π x = sin α , α ∈ ; Dạng : Nếu x ≤ đặt x = cosα , α ∈ [ 0; π ] −π π x = m sin α , α ∈ ; Dạng : Nếu x ≤ m đặt x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Dạng :Nếu x ≥1 toán có chứa x2 −1 đặt x= với cosα π 3π α ∈ 0; ∪ π ; 2 Dạng :Nếu x ≥ m toán có chứa x − m đặt x = π 3π α ∈ 0; ∪ π ; 2 m vớ i cosα Dạng :Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức −π π x = tan α với α ∈ ; 2 x + đặt Dạng : Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức −π π x = m tan α với α ∈ ; 2 x + m đặt I chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh với số a, b ta có: − ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) Giải: Đặt: a = tgα , b = tgβ với π π ; 2 α, β ∈ − www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com ( a + b )(1 − ab ) ( tg α + tg β )(1 − tg α tg β ) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α )(1 + tg β ) Khi đó: A = = cos2α cos2 β sin(α + β) sin α sin β 1 − cos α cos β cos α cos β = sin (α + β) cos (α + β) = Suy ra: A = Vậy: - sin (2α + 2β) 1 sin (2α + 2β) ≤ 2 1 ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) (đpcm) Bài 2: Chứng minh |x| < với số tự nhiên n lớn ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < nên đặt x = cost với t ∈ (0; π) bất đẳng thức (1) viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) t t Thay (2) + cos t = 2cos – cost = 2sin ta t 2n t + sin n < 2n 2 t π t t Bởi < < nên < sin , cos < nên chắn: n t t t 2n cos = cos < cos ∀n > Tương tự ta có: 2 2n cos (3) t t sin < sin ∀n > Do 2n 2n cos 2n t t t t + sin n < 2n cos + sin = 2n 2 2 Vậy bất đẳng thức (3), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Bài 3: Chứng minh từ số thực cho trước ta luôn chọn hai số x, y số cho: 0≤ x−y ≤1 + xy (1) Giải: y1 Giả sử số thực cho trước y2 y3 y4 y5 a ≤ b ≤ c ≤ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - π π < y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số đoạn phải có đoạn có độ dài không lớn ≤ y2 – y1 ≤ π Giả sử π Thế thì: ≤ tg (y2 – y1) ≤ ⇔ ≤ tgy − tgy1 b−a = ≤ 1 + tgy tgy1 + ab Đặt x = b, y = a ta điều cần chứng minh Bài 4: Cho x, y > x + y = Chứng minh: 17 x + + y + ≥ x y Giải: Ta có: x + y = để x = cosa ( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh đề IV có số a với 2 ≤ a ≤ 2π y = sina Bất đẳng thức cho viết thành: cos a + + cos a Ta có: cos4a + sin a + ≥ 17 sin a 1 4 + sin a + = (cos a + sin a) + 4 4 cos a sin a sin a cos a www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT = (1 – 2sin2acos2a) 1 + www.MATHVN.com 16 sin 2a = 1 − 1+ sin a cos4 a sin 2a sin2 2a Vì < sin 2a ≤ nên ≥ 2 + 16 ≥ 17 Từ suy điều cần chứng minh sin 2a Bài 5: Chứng minh với cặp số thực x, y ta có: ( ) x2 + (x – y)2 ≥ x + y sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π 3− π = 1 − cos = 5 10 Bất đẳng thức cho viết: 3− 5 x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2) (1) Nếu y = bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu y ≠ Chia hai vế (1) cho y2 đặt có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥ −π π x = tga với c > ta có bất đẳng thức: c(a − c) + c( b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c(a − c) c ( b − c) + ≤1 ab ab (2) c a−c + =1 Nhận xét a a Nên đặt π a−c = sinu với ≤ u ≤ a c = cosu , a 2 c b − c + =1 Ta thấy b b Nên