Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình

Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng đại số -Một số trường hợp thường gặp  x = sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =1 đặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = cosα  x = a sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) đặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = acosα   −π π   x = sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ đặt     x = cosα , α ∈ [ 0; π ]   −π π   x = m sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ m đặt     x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Dạng :Nếu x ≥1 toán có chứa x2 −1 đặt x= với cosα  π   3π  α ∈ 0;  ∪ π ;  2     Dạng :Nếu x ≥ m toán có chứa x − m đặt x =  π   3π  α ∈ 0;  ∪ π ;  2    m vớ i cosα  Dạng :Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức  −π π  x = tan α với α ∈  ;   2 x + đặt Dạng : Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức  −π π  x = m tan α với α ∈  ;   2 x + m đặt I chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh với số a, b ta có: − ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) Giải: Đặt: a = tgα , b = tgβ với  π π ;   2 α, β ∈  − www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com ( a + b )(1 − ab ) ( tg α + tg β )(1 − tg α tg β ) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α )(1 + tg β ) Khi đó: A = = cos2α cos2 β sin(α + β)  sin α sin β  1 −  cos α cos β  cos α cos β  = sin (α + β) cos (α + β) = Suy ra: A = Vậy: - sin (2α + 2β) 1 sin (2α + 2β) ≤ 2 1 ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) (đpcm) Bài 2: Chứng minh |x| < với số tự nhiên n lớn ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < nên đặt x = cost với t ∈ (0; π) bất đẳng thức (1) viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) t t Thay (2) + cos t = 2cos – cost = 2sin ta t  2n t + sin n  < 2n 2  t π t t Bởi < < nên < sin , cos < nên chắn: n t  t t  2n cos =  cos  < cos ∀n > Tương tự ta có: 2  2n  cos (3) t t sin < sin ∀n > Do 2n   2n  cos 2n t t t t  + sin n  < 2n  cos + sin  = 2n 2 2  Vậy bất đẳng thức (3), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Bài 3: Chứng minh từ số thực cho trước ta luôn chọn hai số x, y số cho: 0≤ x−y ≤1 + xy (1) Giải: y1 Giả sử số thực cho trước y2 y3 y4 y5 a ≤ b ≤ c ≤ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - π π < y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số đoạn phải có đoạn có độ dài không lớn ≤ y2 – y1 ≤ π Giả sử π Thế thì: ≤ tg (y2 – y1) ≤ ⇔ ≤ tgy − tgy1 b−a = ≤ 1 + tgy tgy1 + ab Đặt x = b, y = a ta điều cần chứng minh Bài 4: Cho x, y > x + y = Chứng minh:     17 x +  + y +  ≥ x   y   Giải: Ta có: x + y = để x = cosa ( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh đề IV có số a với 2 ≤ a ≤ 2π y = sina Bất đẳng thức cho viết thành:    cos a + + cos a   Ta có: cos4a +  sin a +  ≥ 17   sin a   1  4  + sin a + = (cos a + sin a) +  4 4  cos a sin a  sin a cos a  www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT   = (1 – 2sin2acos2a) 1 + www.MATHVN.com 16    sin 2a  = 1 − 1+     sin a cos4 a    sin 2a  sin2 2a Vì < sin 2a ≤ nên ≥ 2 + 16 ≥ 17 Từ suy điều cần chứng minh sin 2a Bài 5: Chứng minh với cặp số thực x, y ta có: ( ) x2 + (x – y)2 ≥ x + y sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π 3− π  = 1 − cos  = 5 10  Bất đẳng thức cho viết: 3− 5     x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)  (1) Nếu y = bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu y ≠ Chia hai vế (1) cho y2 đặt có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥ −π π x = tga với c > ta có bất đẳng thức: c(a − c) + c( b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c(a − c) c ( b − c) + ≤1 ab ab (2)  c  a−c  +  =1 Nhận xét     a a     Nên đặt π a−c = sinu với ≤ u ≤ a c = cosu , a 2  c   b − c  +   =1 Ta thấy  b   b  Nên đặt c = cosv , b π b−c = sinv với ≤ v ≤ b Khi (2) viết thành c a−c + b a c b−c = cosv sinu + cosusinv ≤ a b (3) Bởi cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ nên (3) luôn có nghĩa (1) [ Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a − ] ( ) (1 − a ) − a − − a ≤ www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Giải: Điều kiện: – a2 ≥ ⇔ a ≤ Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π] Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: [ 4 cos α − ] (1 − cos α) - 3(cosα - − cos α ) ≤ ⇔ 4(cos3α - sin3α) – (cosα - sinα) ≤ ⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ ⇔ cos (3α - 2 ⇔cos3α + sin3α≤ π )≤ 1, Bài 8: Chứng minh rằng: a − + ≤ 2a Giải: Điều kiện: a2 – ≥ ⇔ a ≥ Đặt a = π , với α ∈ [0 ; ) cos α Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: 2 tg − + ≤ ⇔ α + ≤ cos α cos α cos α sinα + cosα ≤ 2 ⇔ sinα + cosα ≤ ⇔ ⇔ sin (α + π ) ≤ 1, Bài 9: Cho x2 + y2 = ; u2 + v2 = Chứng minh a) xu + yv≤ b) xv + yu≤ c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ Giải: Áp dụng mệnh đề IV Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb ≤ a, b ≤ 2π Khi a) xu + yv=cos(a – b)≤ www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com b) xv + yu=sin(a + b)≤ c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = π sin  − a  sin 4  =  π + b +   4  π π cos  − a  cos  + b  4  4  = 2cos (a + b) Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ Bài 10: (đpcm) Chứng minh: a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8) Giải: a) Với a = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a ≠ chia hai vế cho a đặt tgx = với b a π π 2 sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ c) Nếu - π π ⇔ x >  x > Đặt x=  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi phương trình có dạng : cos t = 2 ⇔ + = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 sin t.cos t cos t sin t −1 cos t + cos t ( ) Đặt sint + cost = u ≤ u ≤ , ta có sin t.cos t = u2 −1 Khi phương trình cho có dạng : u = 2(u − 1) u = ⇔ 2u − u − = ⇔  −1 u= (l)  2 π π π π u = ⇔ sin t + cos t = ⇔ sin(t + ) = ⇔ sin(t + ) = ⇔ t + = + 2kπ 4 ⇔t= π + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = π ⇔ x= nghiệm phương trình x = Bài : với a ≠ , giải bất phương trình x + a2 ≤ x + 2a x2 + a2 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 15 Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com giải :  −π π  Đặt x = a tan t , t ∈  ;  Khi bất phương trình có dạng :  2 a 2a cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ ⇔ ≤ sin t ≤ cos t a ⇔ tan t ≥ −a −1 ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài : Giải phương trình : 8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1) giải: Ta có trường hợp sau : Với x ≥ 1, suy VT(1)>1, phương trình vô nghiệm Với x ≤ -1, suy VT(1) cos x với 0[...]... Khi đó phương trình đã cho có dạng : ( sin 2t ) x + ( cos2t ) = 1 x Nhận xét : với x=2 là nghiệm của phương trình ( sin 2t ) x < sin 2 x Với xsin 2 x với x>2 ta có :  ⇒ VT > 1 , phương trình vô nghiệm x 2 ( cos2t ) > cos x vậy với 0 0 Đặt x= 1  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi đó phương trình có dạng : 1 cos t = 2 2 ⇔ 1 + 1 = 2 2 ⇔ sin t + cos t = 2 2 sin t.cos t cos t sin t 1 −1 cos t 1 + cos t ( ) Đặt sint + cost = u 1 ≤ u ≤ 2 , ta có sin t.cos t = u2 −1 2 Khi đó phương trình đã cho có... ⇔t= π 4 + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = π 4 ⇔ x= 2 vậy nghiệm của phương trình là x = 2 Bài 4 : với a ≠ 0 , giải bất phương trình x 2 + a2 ≤ x + 2a 2 x2 + a2 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 15 Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com giải :  −π π  Đặt x = a tan t , t ∈  ;  Khi đó bất phương trình có dạng :  2 2 a 2a 2 cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ 1 ≤ sin t + 2cos 2... + 2 kπ  9 So sánh điều kiện ta có  2π 4π 6π π π 5π 7π  t∈ ; ; ; ; ; ;   7 7 7 9 3 9 9  vậy phương trình có các nghiệm 2π 4π 6π π π 5π 7π   x ∈ cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos  7 7 7 9 3 9 9   Bài 6 : Giải phương trình (1-m2)x+(1-m2)x=(1+m2)x với 0 ... -sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ II giải phương trình , bất phương trình : Bài1: Giải bất phương trình : 1+ x − 1− x ≤ x Giải : Điều kiện : 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  1... Khi bất phương trình có dạng :  2 a 2a cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ ⇔ ≤ sin t ≤ cos t a ⇔ tan t ≥ −a −1 ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài : Giải phương. .. x =1 sin =  phương trình có nghiệm x = x=1 Bài : Giải phương trình : x+ x 1− x2 =2 Giải : điều kiện : x −1 > ⇔ x >  x > Đặt x=  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi phương trình có dạng : cos