Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình

20 313 0
Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng đại số -Một số trường hợp thường gặp  x = sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =1 đặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = cosα  x = a sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) đặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = acosα   −π π   x = sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ đặt     x = cosα , α ∈ [ 0; π ]   −π π   x = m sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ m đặt     x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Dạng :Nếu x ≥1 toán có chứa x2 −1 đặt x= với cosα  π   3π  α ∈ 0;  ∪ π ;  2     Dạng :Nếu x ≥ m toán có chứa x − m đặt x =  π   3π  α ∈ 0;  ∪ π ;  2    m vớ i cosα  Dạng :Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức  −π π  x = tan α với α ∈  ;   2 x + đặt Dạng : Nếu toán không ràng buộc điều kiện biến số có biểu thức  −π π  x = m tan α với α ∈  ;   2 x + m đặt I chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh với số a, b ta có: − ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) Giải: Đặt: a = tgα , b = tgβ với  π π ;   2 α, β ∈  − www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com ( a + b )(1 − ab ) ( tg α + tg β )(1 − tg α tg β ) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α )(1 + tg β ) Khi đó: A = = cos2α cos2 β sin(α + β)  sin α sin β  1 −  cos α cos β  cos α cos β  = sin (α + β) cos (α + β) = Suy ra: A = Vậy: - sin (2α + 2β) 1 sin (2α + 2β) ≤ 2 1 ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) (đpcm) Bài 2: Chứng minh |x| < với số tự nhiên n lớn ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < nên đặt x = cost với t ∈ (0; π) bất đẳng thức (1) viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) t t Thay (2) + cos t = 2cos – cost = 2sin ta t  2n t + sin n  < 2n 2  t π t t Bởi < < nên < sin , cos < nên chắn: n t  t t  2n cos =  cos  < cos ∀n > Tương tự ta có: 2  2n  cos (3) t t sin < sin ∀n > Do 2n   2n  cos 2n t t t t  + sin n  < 2n  cos + sin  = 2n 2 2  Vậy bất đẳng thức (3), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Bài 3: Chứng minh từ số thực cho trước ta luôn chọn hai số x, y số cho: 0≤ x−y ≤1 + xy (1) Giải: y1 Giả sử số thực cho trước y2 y3 y4 y5 a ≤ b ≤ c ≤ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - π π < y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số đoạn phải có đoạn có độ dài không lớn ≤ y2 – y1 ≤ π Giả sử π Thế thì: ≤ tg (y2 – y1) ≤ ⇔ ≤ tgy − tgy1 b−a = ≤ 1 + tgy tgy1 + ab Đặt x = b, y = a ta điều cần chứng minh Bài 4: Cho x, y > x + y = Chứng minh:     17 x +  + y +  ≥ x   y   Giải: Ta có: x + y = để x = cosa ( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh đề IV có số a với 2 ≤ a ≤ 2π y = sina Bất đẳng thức cho viết thành:    cos a + + cos a   Ta có: cos4a +  sin a +  ≥ 17   sin a   1  4  + sin a + = (cos a + sin a) +  4 4  cos a sin a  sin a cos a  www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT   = (1 – 2sin2acos2a) 1 + www.MATHVN.com 16    sin 2a  = 1 − 1+     sin a cos4 a    sin 2a  sin2 2a Vì < sin 2a ≤ nên ≥ 2 + 16 ≥ 17 Từ suy điều cần chứng minh sin 2a Bài 5: Chứng minh với cặp số thực x, y ta có: ( ) x2 + (x – y)2 ≥ x + y sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π 3− π  = 1 − cos  = 5 10  Bất đẳng thức cho viết: 3− 5     x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)  (1) Nếu y = bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu y ≠ Chia hai vế (1) cho y2 đặt có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥ −π π x = tga với c > ta có bất đẳng thức: c(a − c) + c( b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c(a − c) c ( b − c) + ≤1 ab ab (2)  c  a−c  +  =1 Nhận xét     a a     Nên đặt π a−c = sinu với ≤ u ≤ a c = cosu , a 2  c   b − c  +   =1 Ta thấy  b   b  Nên đặt c = cosv , b π b−c = sinv với ≤ v ≤ b Khi (2) viết thành c a−c + b a c b−c = cosv sinu + cosusinv ≤ a b (3) Bởi cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ nên (3) luôn có nghĩa (1) [ Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a − ] ( ) (1 − a ) − a − − a ≤ www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com Giải: Điều kiện: – a2 ≥ ⇔ a ≤ Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π] Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: [ 4 cos α − ] (1 − cos α) - 3(cosα - − cos α ) ≤ ⇔ 4(cos3α - sin3α) – (cosα - sinα) ≤ ⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ ⇔ cos (3α - 2 ⇔cos3α + sin3α≤ π )≤ 1, Bài 8: Chứng minh rằng: a − + ≤ 2a Giải: Điều kiện: a2 – ≥ ⇔ a ≥ Đặt a = π , với α ∈ [0 ; ) cos α Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: 2 tg − + ≤ ⇔ α + ≤ cos α cos α cos α sinα + cosα ≤ 2 ⇔ sinα + cosα ≤ ⇔ ⇔ sin (α + π ) ≤ 1, Bài 9: Cho x2 + y2 = ; u2 + v2 = Chứng minh a) xu + yv≤ b) xv + yu≤ c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ Giải: Áp dụng mệnh đề IV Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb ≤ a, b ≤ 2π Khi a) xu + yv=cos(a – b)≤ www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com b) xv + yu=sin(a + b)≤ c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = π sin  − a  sin 4  =  π + b +   4  π π cos  − a  cos  + b  4  4  = 2cos (a + b) Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ Bài 10: (đpcm) Chứng minh: a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8) Giải: a) Với a = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a ≠ chia hai vế cho a đặt tgx = với b a π π 2 sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ c) Nếu - π π ⇔ x >  x > Đặt x=  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi phương trình có dạng : cos t = 2 ⇔ + = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 sin t.cos t cos t sin t −1 cos t + cos t ( ) Đặt sint + cost = u ≤ u ≤ , ta có sin t.cos t = u2 −1 Khi phương trình cho có dạng : u = 2(u − 1) u = ⇔ 2u − u − = ⇔  −1 u= (l)  2 π π π π u = ⇔ sin t + cos t = ⇔ sin(t + ) = ⇔ sin(t + ) = ⇔ t + = + 2kπ 4 ⇔t= π + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = π ⇔ x= nghiệm phương trình x = Bài : với a ≠ , giải bất phương trình x + a2 ≤ x + 2a x2 + a2 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 15 Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com giải :  −π π  Đặt x = a tan t , t ∈  ;  Khi bất phương trình có dạng :  2 a 2a cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ ⇔ ≤ sin t ≤ cos t a ⇔ tan t ≥ −a −1 ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài : Giải phương trình : 8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1) giải: Ta có trường hợp sau : Với x ≥ 1, suy VT(1)>1, phương trình vô nghiệm Với x ≤ -1, suy VT(1) cos x với 0[...]... Khi đó phương trình đã cho có dạng : ( sin 2t ) x + ( cos2t ) = 1 x Nhận xét : với x=2 là nghiệm của phương trình ( sin 2t ) x < sin 2 x Với xsin 2 x với x>2 ta có :  ⇒ VT > 1 , phương trình vô nghiệm x 2 ( cos2t ) > cos x vậy với 0 0 Đặt x= 1  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi đó phương trình có dạng : 1 cos t = 2 2 ⇔ 1 + 1 = 2 2 ⇔ sin t + cos t = 2 2 sin t.cos t cos t sin t 1 −1 cos t 1 + cos t ( ) Đặt sint + cost = u 1 ≤ u ≤ 2 , ta có sin t.cos t = u2 −1 2 Khi đó phương trình đã cho có... ⇔t= π 4 + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = π 4 ⇔ x= 2 vậy nghiệm của phương trình là x = 2 Bài 4 : với a ≠ 0 , giải bất phương trình x 2 + a2 ≤ x + 2a 2 x2 + a2 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 15 Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT www.MATHVN.com giải :  −π π  Đặt x = a tan t , t ∈  ;  Khi đó bất phương trình có dạng :  2 2 a 2a 2 cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ 1 ≤ sin t + 2cos 2... + 2 kπ  9 So sánh điều kiện ta có  2π 4π 6π π π 5π 7π  t∈ ; ; ; ; ; ;   7 7 7 9 3 9 9  vậy phương trình có các nghiệm 2π 4π 6π π π 5π 7π   x ∈ cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos  7 7 7 9 3 9 9   Bài 6 : Giải phương trình (1-m2)x+(1-m2)x=(1+m2)x với 0 ... -sinα 3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ II giải phương trình , bất phương trình : Bài1: Giải bất phương trình : 1+ x − 1− x ≤ x Giải : Điều kiện : 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  1... Khi bất phương trình có dạng :  2 a 2a cos t −1 ≤ a tan t + ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ ⇔ ≤ sin t ≤ cos t a ⇔ tan t ≥ −a −1 ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài : Giải phương. .. x =1 sin =  phương trình có nghiệm x = x=1 Bài : Giải phương trình : x+ x 1− x2 =2 Giải : điều kiện : x −1 > ⇔ x >  x > Đặt x=  π , t ∈  0,  cos t  2 Khi phương trình có dạng : cos

Ngày đăng: 15/11/2015, 10:22

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan