Phương pháp chuẩn hóa và phương pháp thuần nhất trong chứng minh bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN ÁNH NGỌC PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HOÁ VÀ PHƯƠNG PHÁP THUẦN NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng − Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi Phản biện 1: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng 5 năm 2011. Có thể tìm hiểu luận văn tại: − Trung tâm Thông tin − Học liệu, Đại học Đà Nẵng − Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông thì bất đẳng thức là một nội dung khó cho cả người dạy lẫn người học. Mặc khác một phần lớn các bất đẳng thức là thuần nhất nên việc nghiên cứu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất và phương pháp biến một bất đẳng thức không thuần nhất, có điều kiện về dạng thuần nhất và sau đó chứng minh nó là nghiên cứu, giải quyết một lớp rộng các bài toán bất đẳng thức. Với mong muốn sử dụng nguồn kiến thức cơ sở và sơ cấp để giải quyết được lớp bài toán bất đẳng thức phục vụ thiết thực cho việc dạy và học chương trình phổ thông, bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi chọn đề tài "Phương pháp chuẩn hoá và phương pháp thuần nhất trong chứng minh bất đẳng thức". 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích của đề tài này là trình bày có hệ thống từ cơ sở lý thuyết về hàm số thuần nhất đến bất đẳng thức thuần nhất. Sau đó trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất; phương pháp chuyển một bất đẳng thức không thuần nhất, có điều kiện về dạng thuần nhất và chứng minh nó. Ngoài ra vận dụng lý thuyết để sáng tạo một số bất đẳng thức mới. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các bất đẳng thức thuần nhất, bất đẳng thức thuần nhất đối xứng, bất đẳng thức AM-GM,bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Muirhead và các ứng dụng của chúng. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp bài toán bất đẳng thức đại số trong chương trình toán phổ thông, trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu tư liệu, phương pháp thực nghiệm ở trường phổ thông và phương pháp thảo luận trao đổi qua bạn bè, đồng nghiệp. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN Tạo được một tài liệu về bất đẳng thức để tham khảo khi nghiên cứu, giảng dạy 2 và bồi dưỡng học sinh giỏi. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có 3 chương: Chương 1. Kiến thức cơ bản Chương 2. Bất đẳng thức thuần nhất Chương 3. Phương pháp chuẩn hoá và phương pháp thuần nhất trong chứng minh bất đẳng thức 3 Chương 1 Kiến thức cơ bản 1 Hàm số thuần nhất Định nghĩa 1.1. Hàm số thực f(x 1 , x 2 , ., x n ) của các biến số thực x 1 , x 2 , ., x n xác định trên miền D được gọi là hàm số thuần nhất nếu với mọi (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ D, với mọi số thực t sao cho (tx 1 , tx 2 , ., tx n ) ∈ D thì tồn tại số thực m sao cho: f(tx 1 , tx 2 , ., tx n ) = t m .f(x 1 , x 2 , ., x n ) Khi đó ta nói hàm số f(x 1 , x 2 , ., x n ) là hàm số thuần nhất bậc m. 2 Đa thức đối xứng Định nghĩa 1.2. Hàm số f(x 1 , x 2 , ., x n ) của các biến số thực x 1 , x 2 , ., x n xác định trên D được gọi là hàm số đối xứng trên D nếu :  (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ D thì (x σ(1) , x σ(2) ,··· , x σ(n) ) ∈ D f(x 1 , x 2 , ., x n ) = f(x σ(1) , x σ(2) ,··· , x σ(n) ) trong đó σ là hoán vị bất kỳ của {1, 2,··· , n.} Định nghĩa 1.3. Đa thức P (x 1 , x 2 , ., x n ) của các biến số thực x 1 , x 2 , ., x n được gọi là đa thức đối xứng nếu nó là hàm số đối xứng. 2.1 Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản Định lý 1.1. Với mỗi bộ số (n 1 , n 2 , n 3 ) ∈ N 3 thoả mãn n 1 ≥ n 2 ≥ n 3 đều có hữu hạn bộ số (t 1 , t 2 , t 3 ) ∈ N 3 sao cho: t 1 ≥ t 2 ≥ t 3 vàn 1 ≥ t 1 , n 1 + n 2 ≥ t 1 + t 2 , n 1 + n 2 + n 3 = t 1 + t 2 + t 3 . (Khi đó ta nói bộ số (n 1 , n 2 , n 3 ) trội hơn bộ số (t 1 , t 2 , t 3 ) và ký hiệu:(n 1 , n 2 , n 3 )  (t 1 , t 2 , t 3 ).) Định lý 1.2. Giả sử f(x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R[x 1 , x 2 , ., x n ] là một đa thức đối xứng khác đa thức không, thế thì có một và chỉ một đa thức h(x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R[x 1 , x 2 , ., x n ] 4 sao cho f(x 1 , x 2 , ., x n ) = h(p 1 , p 2 , ., p n ) trong đó p 1 , p 2 , ., p n là các đa thức đối xứng cơ bản. 2.2 Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng thuần nhất 3 biến qua các đa thức đối xứng cơ bản Xét đa thức đối xứng thuần nhất ba biến P (x 1 , x 2 , x 3 ), có hạng tử cao nhất là: x 1 α 1 x 2 α 2 x 3 α 3 Đặt p = x 1 + x 2 + x 3 , q = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 , r = x 1 x 2 x 3 . Khi đó ta tìm tất cả các bộ số (t i1 , t i2 , t i3 ) thoả mãn: (α 1 , α 2 , α 3 )  (t 11 t 12 , t 13 )  (t 21 t 22 , t 23 )  .  (t m1 t m2 , t m3 ) sau đó ta biểu diễn: P (x 1 , x 2 , x 3 ) = λ 0 p α 1 −α 2 q α 2 −α 3 r α 3 + m  i=1 λ i p t i1 −t i2 q t i2 −t i3 r t i3 Cuối cùng dùng phương pháp đồng nhất thức ( tức là cho bộ số (x 1 , x 2 , x 3 ) nhận m + 1 giá trị khác nhau) ta tìm được tất cả các hệ số λ i , i = 0, 1,··· , m và suy ra được biểu diễn của P (x 1 , x 2 , x 3 ). 3 Bất đẳng thức Schur 3.1 Định lý Schur Với mọi số thực không âm x, y, z, với mọi số thực dương r ta có: x r (x − y)(x − z) + y r (y − z)(y − x) + z r (z − x)(z − y) ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hoặc x = y và z = 0 và các hoán vị của chúng. 3.2 Hệ quả Nếu x, y, z là các số thực dương thì bất đẳng thức đúng với mọi số thực r và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Định nghĩa 1.4 (Tổng hoán vị vòng tròn và tổng đối xứng ). : Cho hàm số f(x, y, z) của ba biến số thực x, y, z, khi đó: i> Ta gọi tổng hoán vị vòng tròn các biến của hàm số f(x, y, z) ký hiệu và xác định là:  cyclic f(x, y, z) = f(x, y, z) + f(y, z, x) + f(z, x, y) 5 ii> Ta gọi tổng đối xứng các biến của hàm số f(x, y, z) ký hiệu và xác định là:  sym f(x, y, z) = f(x, y, z)+f(x, z, y)+f(y, x, z)+f(y, z, x)+f(z, x, y)+f(z, y, x) 3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng Bộ số thực (x, y, z) được gọi là bộ số đơn điệu nếu ta có: x ≥ y ≥ z hoặc z ≥ y ≥ x. Định lý 1.3. Với mọi số thực không âm: a, b, c, x, y, z sao cho các bộ số (a, b, c), (x, y, z) là các bộ số đơn điệu thì ta luôn có x(a−b)(a−c)+y(b−c)(b−a)+z(c−a)(c−b) ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: (a = b = c) hoặc ( a = b và z = 0 ) hoặc ( b = c và x = 0 ) 4 Định lý Muirhead 4.1 Khái niệm làm trội Cho hai bộ số thực: a = (a 1 , a 2 ,··· , a n ), a  = (a  1 , a  2 ,··· , a  n ), ta nói rằng bộ số a’ bị làm trội bởi bộ số a hay bộ số a trội hơn bộ số a’ nếu:  a 1 ≥ a 2 ≥ ··· ≥ a n ; a  1 ≥ a  2 ≥ ··· ≥ a  n , a 1 + a 2 + ··· + a k ≥ a  1 + a  2 + ··· + a  k , 1 ≤ k < n, a 1 + a 2 + ··· + a n = a  1 + a  2 + ··· + a  n . Khi đó ta ký hiệu: (a 1 , a 2 , ., a n )  (a  1 , a  2 , ., a  n ) hoặc (a  1 , a  2 , ., a  n ) ≺ (a 1 , a 2 , ., a n ). 4.2 Định nghĩa phép biến đổi T Cho bộ số thực α = (α 1 , α 2 ,··· , α n ), giả sử α k và α l là hai số khác nhau trong α và α k > α l . Đặt: p = α k +α l 2 , t = α k −α l 2 , ta có: t > 0, α k = p + t, α l = p− t. Khi đó với mỗi số thực q cố định thoả mãn: 0 ≤ q < t ta xác định phép biến đổi T như sau: T (α) = α  ⇔  α  k = p + q α  l = p− q α  i = α i , i = k, i = l Nếu α  = T (α) thì ta nói α  thu được từ α nhờ phép biến đổi T hay T biến đổi α thành α  . Bây giờ cho bộ số dương (x 1 , x 2 ,··· , x n ), ký hiệu:  sym x 1 α 1 x 2 α 2 ··· x n α n là tổng đối xứng của các biểu thức dạng: x 1 α 1 x 2 α 2 ··· x n α n ta có các bổ đề sau: 6 Bổ đề 1.1. Nếu α  = T(α) thì  sym x 1 α  1 x 2 α  2 ··· x n α  n ≤  sym x 1 α 1 x 2 α 2 ··· x n α n . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x 1 = x 2 = ··· = x n . Bổ đề 1.2. Nếu α  ≺ α nhưng α  không đồng nhất với α thì tồn tại α ∗ sao cho α  ≺ α ∗ và α ∗ thu được từ α nhờ thực hiện liên tiếp một số hữu hạn các phép biến đổi T. Bổ đề 1.3. Nếu α  ≺ α thì α  có thể thu được từ α nhờ áp dụng liên tiếp hữu hạn lần các phép biến đổi T . 4.3 Định lý Muirhead tổng quát Cho n số dương x 1 , x 2 ,··· , x n , cho hai bộ số không âm α = (α 1 , α 2 ,··· , α n ) và α  = (α  1 , α  2 ,··· , α  n ) thoả điều kiện: α 1 ≥ α 2 ≥ ··· ≥ α n ≥ 0; α  1 ≥ α  2 ≥ ··· ≥ α  n ≥ 0. Khi đó điều kiện cần và đủ để  sym x 1 α 1 x 2 α 2 ··· x n α n ≥  sym x 1 α  1 x 2 α  2 ··· x n α  n là α  α  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: α i = α  i i = 1, n hoặc x 1 = x 2 = ··· = x n . 4.4 Định lý Muirhead cho 3 số Cho các số thực a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 thoả:  a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ 0; b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ 0; a 1 ≥ b 1 , a 1 + a 2 ≥ b 1 + b 2 ; a 1 + a 2 + a 3 = b 1 + b 2 + b 3 . Cho x, y, z là các số thực dương, khi đó  sym x a 1 y a 2 z a 3 ≥  sym x b 1 y b 2 z b 3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a i = b i i = 1, 2, 3 hoặc x = y = z. Để chứng minh định lý trong trường hợp này ta cần đến một bổ đề sau: Bổ đề 1.4. Cho các số thực không âm a 1 , a 2 , b 1 , b 2 thoả: a 1 + a 2 = b 1 + b 2 và max{a 1 ; a 2 } ≥ max{b 1 ; b 2 }. Khi đó với các số thực dương x, y ta có : x a 1 y a 2 + x a 2 y a 1 ≥ x b 1 y b 2 + x b 2 y b 1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a 1 = b 1 và a 2 = b 2 hoặc x = y. 7 5 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức AM - GM) Định lý 1.4. Với n số thực không âm bất kỳ: a 1 , a 2 ,··· , a n , (1 < n ∈ N), đặt AM = a 1 + a 2 + ··· + a n n , GM = n √ a 1 .a 2 .··· .a n Ta luôn có: AM ≥ GM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a 1 = a 2 = ··· = a n . 6 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.5. Với 2 bộ n số thực bất kì (a 1 , a 2 , ., a n ), (b 1 , b 2 , ., b n ) ta luôn có: ( n  i=1 a i b i ) 2 ≤ ( n  i=1 a i 2 )( n  i=1 b i 2 ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a 1 b 1 = a 2 b 2 = ··· = a n b n 8 Chương 2 Bất đẳng thức thuần nhất 1 Bất đẳng thức thuần nhất Định nghĩa 2.1. Bất đẳng thức dạng f(x 1 , x 2 , ., x n ) ≥ 0 trong đó f(x 1 , x 2 , ., x n ) là một hàm số thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất. Khi đó các bất đẳng thức: f(x 1 , x 2 , ., x n ) ≤ 0; f(x 1 , x 2 , ., x n ) > 0; f(x 1 , x 2 , ., x n ) < 0 cũng được gọi là các bất đẳng thức thuần nhất. 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất 2.1 Phương pháp dồn biến Để chứng minh bất đẳng thức f(x 1 , x 2 , ., x n ) ≥ 0 trước hết ta chứng minh f(x 1 , x 2 , ., x n ) ≥ f(t, t, x 3 , ., x n ), trong đó: t = x 1 +x 2 2 hoặc t = √ x 1 x 2 . Để chứng minh f(x 1 , x 2 , ., x n ) ≥ f(t, t, x 3 , ., x n ) ta thường chứng minh: f(x 1 , x 2 , ., x n ) − f(t, t, x 3 , ., x n ) ≥ 0 Cuối cùng để kết thúc việc chứng minh ta chỉ cần chứng minh f(t, t, x 3 , ., x n ) ≥ 0 đây là bất đẳng thức có số biến ít hơn bất đẳng thức ban đầu. Trong quá trình chứng minh ta có thể dùng thêm một số biện pháp như sau: i> Nếu bất đẳng thức đối xứng với các biến thì ta có thể giả sử: x 1 ≤ x 2 ≤ . ≤ x n hoặc x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n . ii> Nếu bất đẳng thức có dạng hoán vị vòng quanh thì ta có thể giả sử: x 1 = min{x 1 , x 2 , ., x n } hoặc x 1 = max{x 1 , x 2 , ., x n }. Hiển nhiên các thủ thuật đó không làm giảm tính tổng quát của bài toán ban đầu. Minh hoạ phương pháp: Bài toán 2.1. ( Czech- Slovakia 1999 ) Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b ≥ 1