Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức cho các bạn đang cần ôn thi vào lớp 10

Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH ti nghiờn cu khoa hc PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH BấT ĐẳNG THứC Giỏo viờn hng dn : Nguyễn Chiến Thắng Nhóm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015 LI NểI U Trong mụn Toán trường THPT, bất đẳng thức ngày quan tâm mức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp tính độc đáo phương pháp kỹ thuật giải chúng yêu cầu cao tư cho người giải Bất đẳng thức dạng toán hay khó học sinh q trình học tập kỳ thi, trước hết kỳ thi đại học mà hầu hết học sinh THPT phải vượt qua Ngoài bất đẳng thức dạng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực Olympic quốc tế Các toán bất đẳng thức khơng rèn luyện tư sáng tạo, trí thơng minh mà cịn đem lại say mê u thích mơn Tốn người học Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tập thể lớp 10 Toán trường THPT Chuyên Quảng Bình xin trình bày số vấn đề bất đẳng thức, số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Đề tài gồm viết nhóm tác giả trình bày dạng chuyên đề Nhóm tác giả -2- MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức AM-GM 1.1 Định lí 1.2 Chứng minh 1.3 Các dạng thường gặp Ví dụ Bài tập tự giải 23 BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG 24 Bất đẳng thức Minkowski 24 1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 24 1.1.1 Định lí 24 1.1.2 Chứng minh 24 1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 25 1.2.1 Định lí 25 1.2.2 Chứng minh 25 Ví dụ .25 Bài tập tự giải 28 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG 29 Bất đẳng thức Holder .29 1.1 Dạng tổng quát 29 1.1.1 Định lí 29 1.1.2 Chứng minh 29 1.2 Mở rộng bất đẳng thức Holder 30 1.3 Mở rộng bất đẳng thức Holder 30 1.4 Mở rộng bất đẳng thức Holder 30 Ví dụ .30 Bài tập tự giải 41 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 43 -3- 1.Bất đẳng thức Cauchy-schwarz .43 1.1 Định lí 43 1.2 Chứng minh .43 1.3 Hệ 45 Ví dụ .45 Bài tập tự giải 78 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 82 1.Bất đẳng thức Cheybyshev .82 1.1 Định lí 82 1.2 Chứng minh .82 Ví dụ .83 Bài tập tự giải 96 BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD 97 Giới thiệu bất đẳng thức Muirhead 97 Một số khái niệm liên quan đến Bất đẳng thức Muirhead .97 2.1 Bộ trội 97 2.2 Trung bình loại [a] .98 2.3 Tổng hoán vị .98 2.4 Tổng đối xứng 98 2.5 Lược đồ Young 99 Định lý Muirhead .99 Kỹ thuật sử dụng định lí Muirhead 101 Phương pháp chung 101 Sử dụng định lý Muirhead với AM – GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 Bất đẳng thức AM – GM 102 5.2 Bất đẳng thức Holder 102 5.3 Bất đẳng thức ASYM 102 5.4 Sử dụng định lý Muirhead với bất đẳng thức Schur 102 Ví dụ 103 Bài tập tự giải 112 -4- PHƢƠNG PHÁP PQR 114 Kiến thức liên quan 114 1.1 Định nghĩa phép biến đổi 114 1.2 Phương pháp pqr kết hợp bất đẳng thức Schur 114 1.3 Mở rộng phương pháp pqr kết hợp hàm số 117 Bài tập tự giải 119 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƢƠNG S.O.S 124 Lý thuyết ví dụ 124 1.1 Định lý kĩ thuật phân tích 124 1.2 Các tiêu chuẩn kĩ thuật xếp biến 130 1.3 Ứng dụng tìm số k tốt 135 Bài tập tự giải 137 Mở rộng 141 SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 142 Lời nói đầu 142 Xây dựng định lí, tiêu chuẩn 142 Phân tích sở 143 Các ứng dụng phƣơng pháp S.O.S 144 Bài tập vận dụng 149 Bài tập dành cho bạn đọc 151 PHƢƠNG PHÁP DỒN BIẾN 153 Kiến thức liên quan 153 Ví dụ minh họa 157 Bài tập vận dụng 184 SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 187 Phƣơng trình tiếp tuyến tổng quát 187 Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức 187 Ví dụ 188 -5- PHƢƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE 203 Cơ sở lí thuyết 203 Một số ví dụ 204 Bài tập vận dụng 215 KẾT LUẬN 218 -6- BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG Đồn Quốc Đạt – Ngơ Hồng Thanh Quang Bất đẳng thức AM-GM 1.1 Định lí Định lí (Bất đẳng thức AM-GM) Với số thực dương a1 , a2 , , an ta có bất đẳng thức a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an 1.2 Chứng minh Phương pháp “Quy nạp Cauchy” Với n  : a1  a2  a1a2   a1  a2  2 0 a1  a2  a1a2 (đúng) Giả sử bất đẳng thức với n  k ta chứng minh bất đẳng thức với n  2k Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: a1  a2   a k  a1  a2   ak ak 1  ak    a2 k      2k 2 k 2k    k a1a2 ak  k ak 1ak 2 a2k   k a1 ak k ak 1 a2k  2k a1a2 ak a2k Giả sử bất đẳng thức với n  p ta chứng minh bất đẳng thức với n  p 1 Thật vậy, xét p  số: a1 , a2 , , ap 1  Sử dụng giả thiết quy nạp với n  p ta có: a1  a2   a p 1  p 1 a1a2 a p 1 p  p a1 a p 1 p 1 a1 a p 1  p 1 a1a2 a p 1  a1  a2   a p 1  p 1 a1a2 a p 1  p p 1 a1a2 a p 1 -7-  a1  a2   a p 1   p  1 p 1 a1a2 a p 1  a1  a2   a p 1 p 1  p 1 a1 a p 1 Theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức với n  2, n  Đẳng thức xảy a1  a2   an 1.3 Các dạng thường gặp n n2 n3 n4 Điều kiện a, b  a, b, c  a, b, c, d  Dạng ab  ab abc  abc abcd  abcd Dạng  ab    ab    abc     abc    abcd     abcd   Dấu a b a bc a bc d Ví dụ Ví dụ 1: (Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c ta có a b c    bc a c a b Giải: Xét biểu thức sau a b c   bc a c a b b c a M   bc a c a b c a b N   bc a c a b S Ta có M  N  Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM -8- ab bc ca   3 bc ac ab ac ab bc N S    3 bc ac ab M S  Vậy M  N  2S   2S  hay a b c    bc a c a b Đẳng thức xảy a  b  c (đpcm) Nhận xét: Bài nhiều cách giải khác có lẽ cách hay việc nghĩ biểu thức M , N dễ dàng Ví dụ phần cho ta thấy sức mạnh tinh tế bất đẳng thức AMGM, ví dụ đơn giản Chúng ta xét đến kĩ thuật thêm bớt bất đẳng thức AM-GM qua ví dụ sau Ví dụ 2: Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c ta có a2 b2 c2 a bc    bc a c a b Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: a2 bc a2 b  c  2 a bc bc b2 ac b2 a  c  2 b ac ac c2 ab c2 a  b  2 c ab ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: a2 b2 c2 a bc     abc bc a c a b a2 b2 c2 a bc    Hay bc a c a b -9- Đẳng thức xảy a  b  c (đpcm) Nhận xét: Đây dạng tập đánh giá điểm rơi từ AM sang GM Nếu tiếp xúc qua bất đẳng thức AM-GM nhận xét việc tìm a2 bc a2 b  c đánh giá  2  a mang nhiều tính may mắn Nhưng bc bc vậy, để ý, điểm rơi bất đẳng thức a  b  c Khi a a2 a  , phải tạo biểu thức để vừa có giá trị , vừa bc loại mẫu biểu thức a2 Hơn nữa, vế bất đẳng thức đồng bc bậc 1, từ dễ dàng nhận biểu thức thêm vào phải bc Sử dụng kết ta làm tốn sau: Ví dụ 3: [IMO 1995] Cho a, b, c  thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a b  c  b  a  c  c  a  b  (1) Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: abc abc abc 11 1        a b  c  b  a  c  c  a  b   a b c  1 2 11 1  a  b  c      1 1 1 2a b c    b c a c a b 1 Đặt x  , y  , z  , ta quay trở lại ví dụ a b c Nhận xét: Bài giải bất đẳng thức Cauchy – Schwarz mà xét phần sau Ví dụ 4: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: ab bc ca a bc    a  b  2c b  c  2a c  a  2b - 10 - ... a1  a2   an 1.2 Chứng minh Phương pháp “Quy nạp Cauchy” Với n  : a1  a2  a1a2   a1  a2  2 0 a1  a2  a1a2 (đúng) Giả sử bất đẳng thức với n  k ta chứng minh bất đẳng thức với n... 1.1.1 Định lí 24 1.1.2 Chứng minh 24 1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 25 1.2.1 Định lí 25 1.2.2 Chứng minh 25 Ví dụ .25... quan 114 1.1 Định nghĩa phép biến đổi 114 1.2 Phương pháp pqr kết hợp bất đẳng thức Schur 114 1.3 Mở rộng phương pháp pqr kết hợp hàm số 117 Bài tập tự giải