Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán phương trình ở trường THPT

Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán phương trình ở trường THPT

MỤC LỤC TrangTrang phụ bìaMục lục 1Mở đầu 2I.Lí do chọn tiểu luận 2II.Mục đích nghiên cứu 2III.Đối tượng nghiên cứu 2IV.Câu hỏi nghiên cứu 2V.Nhiệm vụ nghiên cứu 2VI.Phương pháp nghiên cứu 3VII.Cấu trúc tiểu luận 3Chương I: Cơ sở lý luận 4Chương II: Nội dung 5Chương III: Kết luận 14Tài liệu tham khảo 15MỞ ĐẦU1 I.Lớ do chn tiu lun:Khi giai mụt bai toan phng trinh, bõt phng trinh trng THPT hoc sinh thng mc phai nhng sai lõm. Thng la sai lõm do thc hiờn cac phep biến ụi, qua cac cach hiờu sai vờ cụng thc, do t suy luõn ma khụng xac inh hờt cac trng hp cua bai toan,Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn chon tờn tiờu luõn : Mụt sụ sai lõm thng gp cua hoc sinh khi giai toan phng trinh trng THPTNhm giup hoc sinh khc phuc c nhng yờu iờm nờu trờn t o at c kờt qua cao kh giai cac bai toan phng trinh, bõt phng trinh noi riờng va at kờt qua cao trong qua trinh hoc tõp noi chung.II. Mc ớch nghiờn cu:-Nghiờn cu nhng sai lõm ma hoc sinh co thờ gp trong qua trinh giai toan.-Nghiờn cu kh nng ca giỏo viờn trong vic giai quyờt nhng sai lõm cua hoc sinh trong qua trinh giai toan.-Thit k mt s kiờu sai lõm cua hoc sinh trong qua trinh giai toan.III.i tng nghiờn cu:-Hc sinh THPT.-Sỏch giỏo khoa, sỏch giỏo viờn, cỏc loi sỏch tham kho.IV. Cõu hi nghiờn cu:Mụt sụ sai lõm thng gp cua hoc sinh khi giai toan phng trinh, bõt phng trinh trng THPT.V. Nhim v nghiờn cu:-Nghiờn cu nhng sai lõm, nguụn gục nhng sai lõm cua hoc sinh trong qua trinh giai toan.-Nghiờn cu cach day hoc sinh nh thờ nao ờ khụng mc nhng sai lõm trong khi giai toan.2 VI. Phương pháp nghiên cứu:-Nghiên cứu, phân tích sách giáo viên, sách giáo khoa THPT và các sách tham khảo môn Toán.-Nghiên cứu qua nội dung các bài kiểm tra, bài giải của học sinh trên lớp môn toán.VII. Cấu trúc tiểu luận:Mục lụcMở đầuChương I: Cơ sở lý luậnChương II: Nội dungChương III: Kết luậnTài liệu tham khảoChương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN3 Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh ta có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt quan trong trong dạy học môn toán. Ở nhà trường phổ thông, các bài toán là phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc phát triển tư duy, hình thành kỹ năng,… Tuy nhiên, thực tiễn dạy học cho thấy chất lượng dạy học ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt; biểu hiện lúc giải toán của học sinh còn mắt những sai lầm. Nguyên nhân quan trọng là do giáo viên chưa chú ý mọt cách đúng mức trong việc phát hiện, uốn nắng và sửa chữa nhưng sai lầm cho học sinh ngay trong giờ học toán và vì điều này nên ở học sinh gặp phải tình trạng: Sai lầm nối tiếp sai lầm.Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh đến vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong việc giảng dạy toán. Ví dụ: -G.Polya viết: “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiết sót của mình”.-A.A.Stôliar nhấn mạnh: “Không được tiết thời gian (trong giờ dạy học) để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.-Viện sĩ A.N.Kôlmôgôrôv khẳng định: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được toán học ở trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo”.Vậy ta có thể khẳng định rằng các sai lầm của học sinh trong giải toán là cần và có thể khắc phục được.Về những công trình nghiên cứu đối với sai lầm của học sinh: Có tài liệu phân ra các dạng sai lầm theo các chủ đề môn toán chửng hạn: Lần lượt đi qua những sai lầm khi xét bài toán liên quan đạo hàm, sai lầm khi xét các loại hệ phương trình, bất phương trình, sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, sai lầm khi giải toán đại số tổ hợp…. Theo cách này thì tác giả đã trình bày trên mỗi chủ đề là những ví dụ điển hình để làm bật lên được những sai lầm khá phổ biến của học sinh khi học kiến thức thuộc chủ đề ấy, cuối cùng thì trình bày phương pháp khắc phục, sửa chữa các sai lầm đó.Đặc điểm nổi bật của cách trình bày này là: Nếu đọc kỹ thì sẽ giúp người đọc hình dung ra được ở mỗi chủ đề cụ thể thì học sinh có thể mắc phải những sai lầm này, sai lầm kia. Tuy nhiên nó cũng có một nhược điểm là: Các chủ đề thì nhiều lắm, các dạnh bài toáncũng rất nhiều nên rất khó có thể liệt kê được hết.Chương II: NỘI DUNG4 Bài 1: Giải phương trình: ( )cos2 1 sin 2 2 sin cos 1x x x x+ + = + *Dự kiến sai lầm:Ta có:( ) ( )( )2 222 2cos 2 cos sin cos sin . cos sin1 sin 2 cos sin 2sin .cos cos sinx x x x x x xx x x x x x x= − = − ++ = + + = +Điều kiện để căn thức có nghĩa là:( ) ( )2 sin 0cos sin . cos sin 0cos2 0 cos sin 04sin cos 0 cos sin 0sin cos 02 cos 042 2 2 2 ,4 2 4 4xx x x xx x xx x x xx xxk x k k x k k Zπππ π π ππ π π π + ≥ − + ≥≥ + ≥    ⇔ ⇔ ⇔   + ≥ − ≥+ ≥  + ≥  ≤ + ≤ + ⇔ − + ≤ ≤ + ∈( )( )( )cos sin 0 1'1cos sin cos sin 2 0 1''x xx x x x + =⇔− + + − =( )1' ,4x k k Zππ⇔ = − + ∈( )1'' cos sin cos sin 2x x x x⇔ − + + =Ta có:2( cos sin cos sin ) 4Bunhiascopkix x x x− + +≤Dấu “ = ” xảy ra cos 1 2 ,x x k k Zπ⇔ = ⇔ = ∈Vậy phương trình có nghiệm là:4x kππ= − +; 2 ,x k k Zπ= ∈*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:+ Sai lầm khi giải hệ:. 00A BA≥≥Nhiều học sinh nhằm tưởng:. 0 00 0A B AA B≥ ≥ ⇔ ≥ ≥ + Hướng khắc phục:Khi giải hệ phương trình có dạng . 00A BA≥≥ ta phải xét hai trường hợp biết đổi như sau:Trường hợp 1: 0A≥ và B có nghĩa.Trường hợp 2: 00AB>≥*Bài giải đúng:5 ……………… Bài 2: Giải phương trình: ( )( )29 . 2 0 *x x− − =*Dự đoán sai lầm: ( )229 039 . 2 022 0xxx xxx− == ±− − = ⇔ ⇔=− =Vậy phương trình có ba nghiệm: x = -3; x = 3; x = 2*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:-Nguyên nhân sai lầm: Sai lầm ở chỗ quên tìm miền xác định của phương trình nên đã không loại nghiệm x = 3.-Hướng khắc phục: Đối với bài toán giải phương trình bất kì, trước hết ta phải tìm miền xác định của phương trình đó.*Bài giải đúng:Miền xác định: (];2D = −∞Phương trình: ( )( )( )( )2239 09 . 2 0 32 02x lxx x x nxx n=− =− − = ⇔ ⇔ = −− ==Vậy phương trình có hai nghiệm: x = -3; x = 2.Bài 3: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: ( )21 2x m x− = −*Dự đoán sai lầm 1:Phương trình: ( ) ( )22 2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 0 2'x m x x m x x x m x x x m− = − ⇔ − = − ⇔ − + = − ⇔ − + − =Phương trình (2) có nghiệm duy nhất tương đương phương trình (2’) có nghiệm duy nhất.Khi và chỉ khi: ( )21' 0 1 2. 1 0 1 2 2 02m m m∆ = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ =Vậy m = ½ thì phương trình có nghiệm duy nhất.*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm 1:Nhắc học sinh khi gặp phương trình dạng: 20AA BA B≥= ⇔=*Dự đoán sai lầm 2:( )( )22221 0112 2 1 0 2'1xxx m xx x mx m x− ≥≥ − = − ⇔ ⇔ − + − =− = −Phương trình (2) có nghiệm duy nhất tương đương phương trình (2’) có nghiệm duy nhất thỏa điều kiện 1x ≥.( )21 2' 01 2. 1 01112mVNbx xa∆ =− − = ⇔ ⇔ −= = − ≥− ≥ Vậy không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm 2:6 Học sinh đặt được điều kiện nhưng học sinh đã không hiểu: Phương trình (2) có nghiệm duy nhất thì phương trình (2’) không có 2 nghiệm thỏa điều kiện 1x ≥.*Bài giải đúng:( )( )22221 0112 2 1 0 2'1xxx m xx x mx m x− ≥≥ − = − ⇔ ⇔ − + − =− = −Phương trình (2) có nghiệm duy nhất tương đương phương trình (2’) có 1 nghiệm duy nhất thỏa điều kiện 1x ≥.Xét 3 trường hợp:+Trường hợp 1: ( )21 2' 01 2. 1 01112mVNbx xa∆ =− − = ⇔ −= = − ≥− ≥ +Trường hợp 2: ( )1 21 . 1 0 1x x a f m< < ⇔ < ⇔ >+Trường hợp 3: ( )111. 1 0111 11xa fmmx mp===⇔ ⇔ ⇔ =  < > −<Vậy: 1m ≥.Bài 4: Tìm Max, Min của hàm số: xCosxSiny20062006+=*Dự đoán sai lầm:Ta có: 2211002006200620062006=⇒=+≤+==⇒≥+=MaxMinyxCosxSinyyxCosxSiny*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:•==⇔=000CoxSinxyMin, vô lí vì Sin2x + Cos2 = 1 → dấu bằng không xảy ra ⇒ điều kiện 2 không thỏa.•==⇔=11020062006xCosxSinyMax, vô lí vì Sin2x + Cos2 = 1*Bài giải đúng: 1003210032)()( xCosxSiny +=2 1003 2 1003 1003 1003 2(1 ) ( ) (1 ) 0 1y Cos x Cos x y t t t Cos x⇔ = − + ⇔ = − + ≤ = ≤ , Vôùi •01003)1(1003'10021002=+−−= tty1002 100211(1 )12t tt t tt t− =⇔ − = ⇔ ⇔ =− = −•1)0( =y ; 10021 1(1) 1 ;2 2y y = =  Vậy: 10021 11; 0;2 2Maxy khi x Miny khi x= = = =Bài 5: Tìm Max, Min của 22+++=CosxSinxCosxy7 *Dự đoán sai lầm:41211121)1(=⇒++≥++++=MinyCosSinxCosxy*Ngun nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:===+⇔=110141CosxSinsCosxyMin, Vơ lí vì dấu bằng khơng xảy ra.*Bài giải đúng:TXĐ : ℜ22+++=CosxSinxCosxy(*),022)1( =−+−+⇔ yCosxyySinxĐể có Max, Min thì (*) phải só nghiệm x, điều này tương đương với:222)22()1( −≥−+ yyy23 3 3 32 6 3 02 2y y y− +⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 3 3 3 3;2 2Min Maxy y− +→ = =Chú ý:nghiệm có ,CBCosxASinx =+222CBA ≥+⇔ Bài 6: Giải hệ phương trình +=−=−)2(12)1(113 xyyyxx*Dự đoán sai lầm:Xét hàm sớ 01)( ≠−= ttttf với 21'( ) 1 0 ( ) 0f t f t tt= + > ⇒ ≠ tăng với yxyfxf =⇔=⇔ )()()1(*Ngun nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:Vì hàm )(tf gián đoạn tại t = 0, nên khơng thể dùng tính đơn điệu.*Bài giải đúng:Hệ +=−=∨≠=⇔+==+−⇔121112011)(33xyxyyxxyxyyx+=−=+=≠=⇔12112033xyxyxyyx−−==+−====⇔=+++−−==+−≠=⇔25125110232121101202223yxyxyxVNxxxyxxyx 8 Bài 7 : Tìm m để hàm sớ mxmxy−+= đờng biến trên ),1( +∞*Dự đoán sai lầm:YCBT 002),1(,0)(2'2≤⇔≥−⇔+∞∈∀≥−−=⇔ mmxmxmy*Ngun nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:Khơng giải ),1(, +∞∈∀≠ xmx *Bài giải đúng:YCBT ),1(,0)(2'2+∞∈∀≥−−=⇔ xmxmy010),1(,02≤⇔≤≤⇔+∞∈∀≠≥−⇔ mmmxmxmChú ý: ≠≥⇔≥000BA2BA Bài 8: Giải phương trình: 0232)3(22≥−−− xxxx *Dự đoán sai lầm:0232)3(22≥−−− xxxx−≤≥⇔−≤∨≥≤∨≥⇔≥−−≥−⇔2132120302320322xxxxxxxxxx*Ngun nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: ≥≥⇔≥000BABA Sai lầm bởi vì nếu B = 0 thìbất phương trình đúng với mọi A, mà khơng cần 0≥A*Bài giải đúng:+Cách 1: 0232)3(22≥−−− xxxx≥−>−−=−−⇔03202320232222xxxxxx−≤≥=⇔≤∨≥−<∨>−=∨=⇔213203212212xxxxxxxxxChú ý: ≥>=⇔≥00002ABBBAn + Cách 2: Có thể xét dấu :9 Vậy nghiệm là: −≤≥=2132xxx*Áp dụng giải các bài tập:1)0252)52(2≥+−− xxx2)0)1(log13.432312≥−+−+xxx3)0)42)(27(log12332≥−−++−xxxx4)0595142log251≥+−− xxxBài 9: Giải bất phương trình: 04212≥−−−xx *Dự đoán sai lầm:33104201042112>⇔>≥⇔>−≥−⇔≥−−−−xxxxxxx*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: >≥⇔≥000BABA Sai lầm bởi vì nếu A = 0 thì bất phương trình đúng với mọi B, mà không cần 0>B*Bài giải đúng:>=⇔>>=⇔>−>−=−⇔≥−−−−313110420101042112xxxxxxxxxxChú ý:>>=⇔≥00002BAABAn Bài 10: Giải bất phương trình:54322222−+≤−++−+ xxxxxx *Dự đoán sai lầm:Điều kiện: −≤≥⇔−≤∨≥−≤∨≥−≤∨≥⇔≥−+≥−+≥−+5151312105403202222xxxxxxxxxxxxxxBpt )1(,)5)(1()3)(1()2)(1( +−≤+−++−⇔ xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx−≤++⇔+≤++++⇔+≤+++⇔+−≤+−++−⇔322532252532513121*Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm:10 [...]... ⇔  x = 1 x = 2 Vậy nghiệm là:  x = 1  *Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại *Bài giải đúng: Thử lại, bằng cách thế x = 2, x = 1 lần lượt vào (1), ta chỉ nhận một nghiệm x = 2 11 *Áp dụng giải các bài tập: 1) 3 2 x + 2 + 3 x − 2 = 3 9 x , ÑS... − 32 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 ∨ x = 1 − 33 Chương III: KẾT LUẬN 13 -Qua những vấn đề đã trình bày, tôi nhận thấy rằng để học sinh giải bài tập ở những dạng đã trình bày trên, giáo viên khi dạy những công thức cần nhấn mạnh cho học sinh khắc sâu kiến thức -Tuy nhiên để tiết học đạt kết quả tốt nhất thì cần phải có sự kết hợp của nhiều phương pháp và nhiều ví... 6) 3 ⇔ ( x + 2).4 = (4 − x )( x + 6) 3 ⇔ x 2 + 6 x − 16 = 0  x = −8 ⇔ , Vaäy nghieäm : x = 2 x = 2 m *Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: Công thức m log a x = log a x , chỉ đúng khi m nguyên, bài trên giải sai bởi vì m = 3 không phải là số nguyên 2 *Bài giải đúng: x ≠ 2 Điều kiện: − 6 < x < 4  Pt ⇔ 3 log 1 x + 2 − 3 = 3 log 1 (4 − x ) + 3 log 1 ( x + 6) 4 4 4 ⇔... vì x ≤ −5 Vậy nghiệm của bất phương trình là: x = 1 Chú ý:  A ≥ 0  A B , neáu  B ≥ 0 A.B =   A ≤ 0  − A − B , neáu   B ≤ 0  *Áp dụng giải các bài tập: 1) x 2 − 8 x + 15 + x 2 + 2 x − 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18 2) x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 Bài 11: Giải phương trình: 3 x − 2 + 3 2 x − 3 = 1, (1) *Dự đoán sai lầm: Lũy thừa 2 vế của (1), ta có: x −... Giải phương trình: log9 ( x 2 − 5 x + 6) 2 = 1 log 2 3 x −1 + log 3 x − 3 2 *Dự đoán sai lầm: x 2 − 5x + 6 > 0  x > 1  x −1 ⇔ ⇔ x>3 Điều kiện:  2 > 0 x > 3  x − 3 > 0  x −1 + log 3 x − 3 Pt ⇔ log3 ( x 2 − 5 x + 6) = log3 2 x −1 x −1 2 x − 3 ⇔ ( x − 2)( x − 3) = x−3 ⇔ x − 5x + 6 = 2 2 x −1 Vì x > 3 ⇔ x − 2 = ⇔ x = 3, Pt voânghieäm 2 *Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: ... x−3 ⇔ x−2 x−3 = x−3 ⇔ x − 5x + 6 = 2 2 x −1  x−2= x = 3  x −1 2 ⇔ x−2 = ⇔ ⇔ x = 5 2 x − 2 = − x −1 3   2  5 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 3 3 2 3 3 13: Giải phương trình: 2 log 1 ( x + 2) − 3 = log 1 (4 − x) + log 1 ( x + 6) 4 4 4 *Dự đoán sai lầm: 12 ( x + 2) 2 > 0  x ≠ 2 3 Điều kiện: (4 − x) > 0 ⇔ − 6 < x < 4  ( x + 6) 3 > 0  Pt ⇔ log 1 ( x + 2) 3 − 3 = log 1 (4...Vì AB = A B sai khi A, B đều âm *Bài giải đúng: x ≥ 1 Điều kiện:  x ≤ −5  Trường hợp 1: x = 1, thế vào (1) : 0 ≤ 0 đúng ⇒ x = 1 nhận Trường hợp 2: x > 1 (1) ⇔ x −1 x + 2 + x −1 x + 3 ≤ x −1 x + 5 ⇔ x+2 + x+3 ≤ x+5 ⇔ 2x + 5 + 2 x + 2 x + 3 ≤ x + 5 ⇔ 2 x + 2 x + 3 ≤ − x Voâ nghieäm vì x > 1 Trường hợp 3: x ≤ −5 (1) ⇔ − x − 2 + − x − 3 ≤ − x... = 2 2 x −1 Vì x > 3 ⇔ x − 2 = ⇔ x = 3, Pt voânghieäm 2 *Nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sai lầm: • Sai lầm 1: Đặt điều kiện không đúng • Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng 2n Chú ý: A > 0 ⇔ A ≠ 0 ; A > 0 ⇔ A ≠ 0 ; log an ( f ( x)) k = k log a f ( x) n *Bài giải đúng: Bài ( x 2 − 5 x + 6) 2 > 0  x 2 − 5x + 6 ≠ 0 x ≠ 3    x −1  ⇔ x > 1 ⇔ x ≠ 2 Điều kiện: ... và nhiều ví dụ minh họa cho công thức, phương tiện trong giảng dạy sao cho có hiệu quả nhất -Không thể có một phương pháp dạy học cụ thể nào là vạn năng, người thầy phải biết sử dung các phương pháp dạy học một cách hợp lý để cho quá trình dạy học đạt kết quả cao nhất TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 1.Sách giáo khoa THPT hiện hành_NXB Giáo Dục 2.Sách giáo viên THPT hiện hành_NXB Giáo Dục -Hết - 15 . cho học sinh ngay trong giờ học toán và vì điều này nên ở học sinh gặp phải tình trạng: Sai lầm nối tiếp sai lầm. Nhiều nhà khoa học. các sai lầm của học sinh trong giải toán là cần và có thể khắc phục được.Về những công trình nghiên cứu đối với sai lầm của học sinh: