Một số Bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng

Một số Bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng: vận tải ba chỉ số (solid transport problem), vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem)

KILOBOOKS.COM LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài tốn tối ưu xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài tốn tối ưu cũng ngày càng đa dạng và phong phú. Lớp bài tốn tối ưu quan trọng được nghiên cứu đầu tiên và được ứng dụng nhiều nhất là bài tốn quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mơ hình tốn học của một lớp rộng lớn các bài tốn ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc của lớp bài tốn quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt tốn học, người ta đã tìm được các thuật giải rất hữu hiệu cho bài tốn này. Năm 1947 nhà tốn học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra thuật tốn đơn hình (simplex method) để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Thuật tốn đơn hình được phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và được xem là một phương pháp kinh điển để giải các bài tốn quy hoạch tuyến tính. Đây là một phương pháp được sử dụng có thể nói là rộng rãi nhất. Có ba lý do chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đưa về bài tốn quy hoạch tuyến tính. Hai là: Trong nhiều phương pháp giải các bài tốn phi tuyến, bài tốn tuyến tính xuất hiện như là một bài tốn phụ cần phải giải trong nhiều bước lặp. Ba là: Phương pháp đơn hình là phương pháp hiệu quả để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Ngày nay, bằng thuật tốn đơn hình và các dạng cải biên của chúng, người ta có thể giải rất nhanh các bài tốn QHTT cỡ lớn. Lớp các bài tốn vận tải là trường hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy nhiên, do tính chất đặc thù riêng của nó, người ta xây dựng các phương pháp giải riêng. http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM Thơng thường khi nói đến bài tốn vận tải ta thường liên hệ ngay đến bài tốn vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài tốn vận tải kinh điển có những phương pháp giải hay. Bên cạnh đó, người ta còn xét một số các bài tốn vận tải mở rộng như bài tốn vận tải ba chỉ số, bài tốn vận tải khoảng, bài tốn vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài tốn khác, đó là các biến thể của bài tốn vận tải kinh điển trên. Trong khn khổ khố luận này, em xem xét và nghiên cứu một số bài tốn mở rộng trong lớp các bài tốn vận tải mở rộng đó. Đó là các bài tốn: Bài tốn vận tải ba chỉ số (solid transport problem) khơng hạn chế và có hạn chế khả năng thơng qua, Bài tốn vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem) và giới thiệu một số Bài tốn vận tải đa mục tiêu. http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM CHƯƠNG I. BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Trong việc nghiên cứu các bài tốn tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ một vai trò rất quan trọng. Nó được sử dụng làm cơ sở tốn học trong việc xây dựng các thuật tốn. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài tốn tối ưu được nghiên cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài tốn vận tải là một dạng đặc biệt của QHTT. Do đó chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT. 1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi 1.1.1 Khơng gian Euclude Một vector n chiều trên trường số thực là một bộ được sắp thứ tự gồm n số thực x=(x1, x2, ., xn). Các xi, i =1, ., n gọi là các thành phần hay toạ độ của vector. Ví dụ x=(4,5,10,20). Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu xi=yi, ∀i =1, ., n. Xét hai phép tốn trên các vector: Phép cộng: x+y=(x1+y1, x2+y2, ., xn+yn) Phép nhân: αx=(αx1, αx2, ., αxn), ∀α ∈ R Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các vector, nhân một số thực với vector như trên tạo thành khơng gian tuyến tính n chiều trên trường số thực R, ký hiệu Rn. Các vector x(i) ∈Rn, i =1, ., m được gọi là độc lập tuyến tính nếu: Nếu: ∑==miiixx1)(α với ít nhất một αi ≠ 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các x(i), i =1, ., m. Hơn nữa nếu αi > 0, i =1, ., m và ∑==mii11α thì x gọi là tổ hợp lồi của các x(i), i =1, ., m. Trong Rn có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó. mixiimii,1,00)(1==⇔=∑=ααhttp://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM Giả sử e(1), e(2), ., e(n) là một cơ sở của Rn thì bất kỳ một vector x ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector e(1), e(2), ., e(n). Ta gọi tích vơ hướng của hai vector x=(x1, x2, ., xn) và y=(y1, y2, ., yn), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng. Tích vơ hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, khơng âm, tức là: 1. <x,y> = <y, x>. ∀x,y ∈ Rn 2. <x(1) + x(2), y >=< x(1), y >+< x(2), y>. ∀x(1), x(2), y ∈ Rn 3. <λx,y> = λ<x,y>. ∀x,y ∈ Rn 4. <x,x> ≥ 0, ∀x∈ Rn dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0. Độ dài của vector x=(x1, x2, ., xn) là một số xác định bởi. Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi: Khơng gian vector trong đó có tích vơ hướng và khoảng cách như trên gọi là khơng gian Euclude. 1.1.2 Tập compact Dãy {x(k) }⊂Rn k=1, 2, . được gọi là có giới hạn x(0) khi k → ∞ và viết lim x(k) = x(0), nếu Hình cầu tâm a bán kính ρ là tập S={x∈Rn :x-a≤ ρ }. Hình cầu này tạo nên ρ- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a. * Nếu tập A⊂Rn chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x ∈ A có các điểm của A và các điểm khơng thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A. * Một tập A⊂Rn gọi là giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu tâm O nào đó, tức là tồn tại số ρ đủ lớn sao cho với mọi x∈A,x≤ ρ. Một dãy {x(k)} hội tụ thì bao giờ cũng giới nội. ∑==><=niixxxx12,( )0,lim)0()(=∞→xxkkρ∑==><niiiyxyx1,k → ∞ ( ) ( )∑=−=>−−<=−=niiiyxyxyxyxyx12,,ρhttp://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM * Một tập hợp G⊂Rn được gọi là mở nếu với mọi x∈G đều tồn tại một hình cầu tâm x nằm gọn trong G. Một tập F⊂Rn được gọi là đóng nếu với mọi dãy hội tụ{x(k)}⊂ F ta đều có: Fxkk∈∞→)(lim Một tập chứa mọi điểm biên của nó là tập đóng. * Tập C được gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vơ hạn {x(k)} thuộc C đều có thể trích ra một dãy con {x(ki)} hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và chỉ khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C cũng đóng trong C. Tập con đóng M của tập Compact cũng Compact. Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập ấy. 1.1.3 Tập lồi Cho hai điểm a, b ∈Rn. Ta gọi đường thẳng qua a, b là tập điểm có dạng x∈Rn : x = λa + (1-λ)b, λ ∈ R. Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng x∈Rn :x = λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 * Một tập M⊂Rn được gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈M thì tồn bộ đường thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M. Tức là λx + (1-λ)y ∈M : ∀x,y ∈M, ∀ λ∈R. * Một siêu phẳng trong khơng gian Rn là tập hợp tất cả các điểm x=(x1, x2, ., xn) ∈Rn thỏa mãn phương trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ . + anxn = α trong đó a1, a2, ., an , α ∈R * Tập hợp các điểm x=(x1, x2, ., xn) ∈Rn thoản mãn bất phương trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ . + anxn ≤ α được gọi là nửa khơng gian đóng. * Nửa khơng gian được cho bởi a1x1+ a2x2+ . + anxn < α được gọi là nửa khơng gian mở. * Tập X⊂Rn được gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nó chứa cả đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng: λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 Ví dụ về các tập lồi: Khơng gian Euclide, các nửa khơng gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vng, hình elip, hình hộp, hình cầu . http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM * Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng được gọi là tập lồi đa diện. Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi. Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập lồi. Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính dạng. là một tập lồi (đa diện lồi). Một tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nó, ký hiệu [X] 1.1.4 Hàm lồi * Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C ⊂ Rn được gọi là hàm lồi trên C, nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có. f(λx + (1-λ)y) < λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt) * Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* ∈C nếu f(x*) ≤ f(x):∀ x∈C * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x* ∈ C nếu tồn tại lân cận mở U của x* sao cho f(x*) ≤ f(x):∀ x∈C ∩U Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phương nào của hàm lồi trên tập lồi cũng là điểm cực tiểu tuyệt đối. Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phương nào của hàm lõm cũng là cực đại tuyệt đối. Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên. 1.2 Bài tốn Quy hoạch tuyến tính QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà tốn học Nga nổi tiếng, Viện sỹ L.V. Kantorovich trong một loạt các cơng trình về bài tốn kế hoạch hố sản xuất, cơng bố năm 1938. Năm 1947 nhà tốn học Mỹ G.B. Dantzig đã 22112222212111212111≤+++≤+++≤+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxahttp://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài tốn QHTT. Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử của Mỹ. 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính  Bài tốn tổng qt. Để nhất qn lập luận ta xét bài tốn tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài tốn tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài tốn tổng qt của QHTT có dạng: Ký hiệu: A=(aij)mxn là ma trận với các phần tử aij (1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc. Nếu gặp bài tốn Min, tức là Thì giữ ngun ràng buộc và đưa về bài tốn Max bằng cách Nếu bài tốn Max có phương án tối ưu là x* thì bài tốn min cũng có phương án là x* và fmin=-fmax Thật vậy, vì x* là phương án tối ưu của bài tốn Max nên ta có: Chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài tốn Min và  Dạng chuẩn và dạng chính tắc. Người ta thường xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng sau: ( )Dxxcxfjnjj∈→=∑=min1( )Dxxcxfjnjj∈→−=∑=max1DxxcxchayDxxcxcfnjjjnjjjjnjjnjjj∈∀≤∈∀−≥−=∑∑∑∑====,,11*11*max∑=−==njjjfxcf1max*min( )1.1max1→∑=jnjjxc( ) ( )( )3.1, .,1,02.1 .,,1,,,1njxmibxajinjjij=≥=≥=≤∑=http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM -Dạng chuẩn: -Dạng chính tắc:  Đưa bài tốn QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc. Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: i) Một ràng buộc Có thể đưa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại ii) Một ràng buộc đẳng thức có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: iii) Một biến xj khơng bị ràng buộc dấu có thể thay thế bởi hiệu của hai biến khơng âm bằng cách đặt: iv) Một ràng buộc bất đẳng thức njxmibxaxcjinjjijnjjj, .,1,0, .,1,max11=≥=≤→∑∑==njxmibxaxcjinjjijjnjj, .,1,0, .1,max11=≥==→∑∑==∑=≥njijijbxa1injjijbxa =∑=1injjijinjjijbxabxa −≤−≤∑∑== 11,0,0, ≥≥−=−+−+jjjjjxxxxx víiijnjijbxa ≤∑=1ijnjijbxa −≤−∑=1.''1ijnjijbxa ≤∑=http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM Có thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa vào biến phụ yi ≥ 0: Về ngun tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi (i), (ii) và (iii) ta có thể đưa một bài tốn QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi (iv) ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc.  Giải bài tốn QHTT bằng phương pháp hình học. Xét bài tốn QHTT dưới dạng chuẩn với hai biến số: Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình tuyến tính ai1x1+ai2x2 ≤ bi xác định một nửa mặt phẳng. Như vậy miền ràng buộc D được xác định như là giao của một nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng. Phương trình c1x1+c2x2=α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α). Mỗi điểm ∈D sẽ nằm trên một đường mức với mức Bài tốn đặt ra có thể phát biểu theo ngơn ngữ hình học như sau: trong số các đường mức cắt tập D, hãy tìm đường mức với gía trị lớn nhất. Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vector pháp tuyến của chúng thì giá trị mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm. Vì vậy để giải bài tốn đặt ra, ta có thể tiến hành như sau. Bắt đầu từ một đường mức cắt D, ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vector pháp tuyến (c1,c2) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức khơng còn cắt D nữa thì dừng. Điểm của D (có thể nhiều điểm) injijijbyxa =+∑=1=≥=≤+=→+2,1,0, .,1,max21112211jxmibxaxaDxcxcjiii( )21, xxx =.2211xcxc +=α( )21, ccn =http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị của hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài tốn. Ví dụ: Xét bài tốn: f(x)= 4x1+5x2→max Xét đường mức: 4x1+5x2=10. Đường mức này đi qua hai điểm (0,2) và (2.5,0). Ta có x*=(3,2), fmax=22 và x* là một đỉnh của D. Qua phương pháp hình học ta thấy rằng: - Nếu quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh là tối ưu. Sở dĩ nói ít nhất vì có trường hợp đường mức ở vị trí giới hạn trùng với một cạnh của D thì tất cả các điểm trên cạnh này là phương án tối ưu, trong đó có hai đỉnh. - Nếu miền ràng buộc D giới nội và khác rỗng thì chắc chắn có phương án tối ưu. - Nếu miền ràng buộc khơng giới nội nhưng hàm mục tiêu bị chặn trên ở trên miền ràng buộc thì cũng chắc chắn có phương án tối ưu. 1.2.2 Một số tính chất chung Mệnh đề 1: Tập hợp tất cả các phương án của một bài tốn QHTT là tập lồi. Tập lồi D các phương án của một bài tốn QHTT xác định bởi tồn bộ các ràng buộc (1.2) và (1.3). Tập D có thể là rỗng, hoặc là một đa diện lồi hoặc là một tập lồi đa diện khơng giới nội. 0,0372822122121≥≥≤≤+≤+xxxxxxxyn*xxhttp://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN [...]... tiếp tục q trình Chú ý: Trong bảng đơn hình ở bảng 1.1, khơng giảm tổng qt ta coi các vector cơ sở được đánh số A1, A2, , Am, nghĩa là J = {1,2, , m} http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN CHƯƠNG 2 BÀI TỐN VẬN TẢI VÀ BÀI TỐN VẬN TẢI MỞ RỘNG 2.1 Bài tốn vận tải hai chỉ số M 2.1.1 Phát biểu bài tốn và tính chất Có m địa điểm A1, A2, , An cùng sản xuất một loại hàng hóa với các lượng hàng tương... 605 2.2 Bài tốn vận tải ba chỉ số( Solid Transpotion Problem) 2.2.1 Phát biểu bài tốn http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Một loạt sản phẩm đồng đều được vận chuyển từ một trong m nguồn phát tới một trong n nguồn thu Các nguồn phát có thể là các nơi sản xuất, các kho hàng, hoặc các điểm cung cấp được đặc trưng bởi lượng hàng phát ai,, i=1 ,m M Nguồn thu là các nơi tiêu thụ, hoặc các nơi... , k  ijk Với các ràng buộc: Ta có nhận xét mơ hình của bài tốn STP là dạng tổng qt của mơ hình bài KIL tốn vận tải hai chỉ số thơng thường TP (Transport Problem) nếu chúng ta chỉ nghiên cứu trong một phương thức vận chuyển duy nhất (l=1) 2.2.2 Một số định nghĩa cơ bản i) Một bộ giá trị {xijk} i=1, , m, j=1, , n, k=1, , l thoả mãn các ràng buộc được gọi là một phương án của bài tốn ii) Một phương án... ,l là số lượng sản phẩm có thể vận chuyển được bởi một CO trong l phương án khác nhau hay các phương tiện vận chuyển khác nhau cijk ≥ 0 là chi phí vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ trạm phát i tới trạm thu j bằng phương tiện k Mục đích đặt ra của bài tốn là cần xác định tất cả các lượng sản phẩm xiịk OKS được vận chuyển từ tất cả các nguồn phát i tới tất cả các nguồn thu j bởi mỗi phương thức vận chuyển... thống các vector hệ số ứng với các toạ độ dương độc lập tuyến tính gọi là 1 phương án tựa (phương án cực biên) http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN iii) Một phương án tựa mà số các toạ độ dương đúng bằng hạng của ma trận hệ số gọi là một phương án tựa khơng suy biến iv) Một phương án làm cực tiểu hàm chi phí được gọi là một phương án tối M ưu v) Ta gọi một tập hợp các ơ (i,j,k) tạo thành một. .. ơ (i,j,k) tạo thành một vòng nếu các vector hệ số Pijk tương ứng là phụ thuộc tuyến tính, nhưng nếu bớt đi một vector thì chúng trở CO thành độc lập tuyến tính Các ơ (i,j,k) đó gọi là đỉnh của vòng vi) Một tập hợp các ơ (i,j,k) khơng tạo thành vòng nếu các vector hệ số Pijk tương ứng là độc lập tuyến tính vii) Nếu các ơ (i,j,k) tạo thành một vòng thì các vector hệ số Pijk thoả mãn OKS hệ thức ∑αijk... thứ 1 Dùng các phương pháp trên để tìm phương án xuất phát, trong một số lớn các trường hợp, số bước lặp dẫn tới nghiệm giảm đi khá nhiều, nhất là khi giải CO BTVT mà số điểm phát và thu rất lớn 2.1.3 Thuật tốn Tiêu chuẩn tối ưu Định lý 2.4: Phương án X của BTVT là tối ưu ⇔ ∃ các số ui, i = 1, , m và OKS j = 1, , n sao cho: ui + vj ≤ cij ∀(i,j)∈T ui + vj = cij , nếu xij > 0 (2.14) (2.15) Các số ui, vj... http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Nếu dòng cuối (khơng kể f ) có những số âm thì xem thử có cột nào cắt dòng cuối ở một số âm mà mọi số trong cột đó đều âm hay khơng Nếu có cột nào như thế thì bài tốn khơng có phương án tối ưu Nếu trái lại thì chọn cột sao M ∆ s = min{ ∆ k ∆ k < 0} cho Rồi chọn ( trong số các dòng cắt cột s ở những số dương ) dòng r sao cho:  xj  xr   = min  z js > 0 z rs  z js... tương ứng Các vector và các biến Aj, M xj, j∉ J gọi là các vector và các biến phi cơ sở tương ứng Nếu x khơng thối hố thì tồn tại một cơ sở duy nhất, đó là J=J* các vector cơ sở: Ak = ∑ z jk A j j∈J CO Mỗi vector Ak phi cơ sở có thế biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của (1.10) Trong đó các hệ số zjk được xác định duy nhất bởi việc giải hệ phương ∑z jk j∈J aij = aik , i =1, m OKS trình: (1.11) Bài tốn... này có 1 số hữu hạn đỉnh Theo thuật tốn đơn hình, xuất phát từ một phương án cực biên, sau một số hữu hạn bước ta phải đi tới một phương án cực biên tối ưu Định nghĩa 2: - Một ơ (i,j) mà xij gọi là ơ sử dụng - Tập các ơ sau được gọi là một dây truyền trong T (2.9) hoặc: (i1,j1), (i2,j1), (i2,j2), (i3,j2), , (is+1,js) (2.10) OBO (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), (i2,j3), , (is,js+1) Mỗi cặp ơ liền nhau trong . tốn vận tải kinh điển trên. Trong khn khổ khố luận này, em xem xét và nghiên cứu một số bài tốn mở rộng trong lớp các bài tốn vận tải mở rộng đó. Đó là các. vận tải mở rộng như bài tốn vận tải ba chỉ số, bài tốn vận tải khoảng, bài tốn vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài tốn khác, đó là các biến thể của bài