Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NI NA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Công cụ lý thuyết điều khiển toán học dùng mô hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Rất nhiều toán thực tiễn lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… mô tả phương trình toán học điều khiển túy cần đến công cụ toán học tinh vi, tìm lời giải Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học mô tả phương trình sai phân với thời gian liên tục rời rạc Nội dung đưa toán cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân Trong lý thuyết điều khiển nhiều vấn đề ngành khoa học khác, việc giải phương trình sai phân có ý nghĩa lớn mô hình động lực dẫn đến phương trình sai phân hay nhiều hàm số Thông thường gọi biến độc lập n hàm số y1 , y , , y k thông qua việc giải phương trình sai phân thu ta tìm quan hệ y1 (n), y2 (n), , yk (n) từ tìm tính chất hệ động lực khảo sát Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng toán học, cụ thể ứng dụng phương trình sai phân việc mô tả, biểu diễn nghiên cứu hệ động lực học gợi ý giáo viên hướng dẫn nên chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc » làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài dựa vào phương trình sai phân bậc phân tích cách toàn diện đầy đủ ổn định hệ động lực học phổ biến như: logistic, lều, Ngoài ra, nguyên lý phân nhánh lý thuyết ổn định đề cập nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu mô hình động lực học dạng phương trình sai phân bậc 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mô hình động lực học mô tả phương trình sai phân bậc biến, giải số phương trình sai phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic phân nhánh… Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, phương pháp sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết sai phân… Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy quan tâm đến động lực học phương trình sai phân bậc nhất… Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm hai chương Mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài, nội dung số vấn đề khác theo quy định Chương Sơ lược phương trình sai phân Chương trình bày khái niệm phương trình sai phân, sai phân hữu hạn hàm số biến thực, phương trình sai phân bậc Chương Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc Trong chương 2, luận văn giới thiệu điểm cân hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện nghiệm số phương trình sai phân Ngoài ra, tiêu chuẩn tiệm cận gần điểm cân bằng, định nghĩa điểm định kì chu trình, lưu vực hấp dẫn ổn định toàn cục khái quát chương Kết luận Nêu tóm tắt kết mà luận văn đạt CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân hàm số biến thực Xét hàm số biến thực y(n) h  Định nghĩa 1.1 Biểu thức y ( n )  y ( n  h )  y ( n ) (1.1) gọi sai phân hữu hạn thứ hay sai phân hữu hạn bậc y ( n ), y (n) xác định điểm mà ta tiến hành xem xét Sai phân hữu hạn bậc cao xác định biểu thức:  k y(n)  ( k 1 y(n)) (1.2) Kí hiệu 0 y(n)  y(0) Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh sai phân hữu hạn bậc k tuyến tính, tức là:  k ( f (n)  g(n))   k ( f (n))   k (g(n));  k (C f (n))  C  k ( f (n) Giá trị  k y(n) dễ dàng biểu diễn qua giá trị hàm y(n) điểm n, n  h, , n  kh Ta có công thức sau đây: k  k y (n)   (1)k i Cki y(n  ih) (1.3) i 0 Để ý rằng, công thức (1.3) ta thực phép đổi biến số m  k  i sử dụng công thức Cki  Ckk i , ta nhận được: k  k y(n)   (1)m Ckm y(n  (k  m)h) m0 Một cách hoàn toàn tương tự, phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh công thức: k y (n  kh)   Cki i y(n) (1.5) i 0 1.1.2 Các khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng F (n, y(n),  y(n), ,  k y (n))  0, (1.6) gọi phương trình sai phân Nếu (1.6) ta biểu diễn sai phân hữu hạn công thức (1.3) ta nhận phương trình: G(n, y(n), y(n  h), , y(n  kh))  (1.7) Định nghĩa 1.3 Phương trình (1.7) gọi phương trình sai phân cấp k Định nghĩa 1.4 Một hàm liên tục y(n) gọi nghiệm phương trình 1.7   trên tập , thay vào phương trình ta nhận đẳng thức  Giả sử h  Khi phương trình 1.7   có dạng: G(n, y(n), y(n  1), , y(n  k ))  (1.8) 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Xét phương trình:  y ( n )  f(n), n  0 , (1.12) hay y (n  1)  y (n)  f (n) Đặt vào phương trình cuối giá trị n  n , n  n  1, , n  k  1, cộng dồn lại tiến hành đổi biến k : n ta nhận được: n 1 y(n)  C   f (i), C  y(n0 ) (1.13) i  n0 Phương trình vi phân cấp y '(x)  f (x) tương ứng với (1.13) có dạng: x y ( x )  C   f ( x ) dx x0 Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc dạng y '  p( x) y  f ( x) công thức nghiệm tổng quát có dạng: x x n x0 x0 x0 y ( x )  exp(  p ( n ) dn )[C+  f( n ) exp(   p ( ) d )dn ] CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT 2.1 CẤU TRÚC CƠ BẢN Phương trình sai phân thường sử dụng để mô tả vận động tượng tự nhiên mang tính quy luật theo thời gian Ví dụ việc mô tả trình phát triển dân số năm quốc gia hay vùng Nếu gọi x(n  1) số dân thời điểm năm thứ (n  1) x(n  1) hàm theo x(n) Sự liên hệ biểu thị phương trình sai phân sau đây: x (n  1)  f ( x (n)) (2.1) Tập hợp {f n ( x0 ) : n  0} với f ( x0 )  x0 theo định nghĩa gọi quỹ đạo x0 kí hiệu O( x0 ) Nếu hàm f (2.1) thay hàm g hai biến: g : Z  R  R, Z  tập số nguyên không âm R tập số thực Khi ta có: x(n  1)  g (n, x(n)) (2.2) Phương trình có dạng (2.2) gọi không ô-tô-nôm hay nói cách khác, phương trình phụ thuộc vào biến thời gian Trong phương trình có dạng (2.1) gọi ô-tô-nôm hay không phụ thuộc vào biến thời gian 2.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT Trong phần nghiên cứu dạng đặc biệt (2.1) (2.2), phương trình tuyến tính Phương trình tuyến tính bậc cho công thức: x(n  1)  a(n) x(n), x(n )  x0 , n  n  0, (2.3) phương trình tuyến tính không cho phương trình: y(n  1)  a(n) y(n)  g(n), y (n )  y0 , n  n  (2.4) Nghiệm phương trình không (2.4) cho công thức: n 1  n1   n1  y(n)   a(i)  y0     a(i) g (r ) r  n0  i  r 1   i n0  (2.6) Ví dụ 2.1 Giải phương trình: y (n  1)  (n  1) y(n)  2n (n  1)!, y (0)  1, n  Lời giải 2n n ! Ví dụ 2.2 Tìm lời giải cho phương trình: x(n  1)  x(n)  3n , x(1)  0.5 Lời giải 3n  5.2n Ví dụ 2.3 Một loại thuốc uống lần Gọi D(n) lượng thuốc hệ thống máu thời điểm n Cơ thể loại bỏ 10 Định nghĩa 2.3 Điểm cân x* (2.1) ổn định   0,  cho x0  x*   kéo theo f n ( x0 )  x*   với n  Và trường hợp ngược lại x* gọi không ổn định Định nghĩa 2.4 x* gọi điểm hấp dẫn   cho x (0)  x*   kéo theo lim x (n)  x* n  Nếu    x* gọi tập hút toàn cục Định nghĩa 2.5 Điểm x* gọi điểm cân ổn định tiệm cận ổn định hấp dẫn Nếu    x* gọi ổn định tiệm cận toàn cục 2.3.1 Sơ đồ bước cầu thang Sau phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phân tích ổn định điểm cân  2.1 Với x(n  1)  f ( x(n)) ta vẽ đồ thị hàm f mặt phẳng ( x(n), x(n  1)) Sau đó, cho x(0)  x0 ta xác định giá trị x(1) cách vẽ đường thẳng đứng qua x0 cho đường thẳng cắt đồ thị f ( x0 , x(1)) Tiếp theo vẽ đường ngang từ ( x0 , x(1)) giao với đường y  x ( x(1), x(1)) Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm ( x(1), x(1)) giao với đồ thị f điểm ( x(1), x(2)) 11 Cứ tiếp tục trình này, người ta thấy x(n) với n  2.3.2 Định lý mạng nhện kinh tế học Nếu nhà cung cấp nhạy cảm giá so với người tiêu dùng ( ms  md ), thị trường ổn định Trong trường hợp nhà cung cấp có nhạy cảm giá nhiều so với người tiêu dùng thị trường không ổn định Ta tìm giải đóng (2.23) cách sử dụng phần mềm toán học, chẳng hạn Maple Chương trình nhập vào có dạng: rsolve ({ p (n+1)  a* p (n)  b , p (0)  p0 }, p ( n )) 2.4 NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.4.1 Phương pháp Euler Xét phương trình vi phân bậc nhất: x '(t )  g (t , x(t )), x(t )  x0 , t  t  b (2.24) Chia đoạn t0 , b thành N khoảng nhau, kích thước khoảng gọi kích thước bước phương pháp kí hiệu h   b  t0  / N Kích thước bước định nghĩa nút t0 , t1 , t2 , , t N với t j  t0  jh Phương pháp xấp xỉ Euler x '(t) cho phương trình ( x(t  h)  x(t )) / h Thay giá trị vào (2.24), ta được: x(t  h)  x(t )  hg (t , x(t )) 12 Thay t  t0  nh, ta có: x t0  (n  1)h  x(t0  nh)  hg t0  nh, x(t0  nh) , (2.25) với n  0,1, 2, , N  Thay x(t0  nh) x(n), ta phương trình: x(n  1)  x(n)  hg  n, x(n) (2.26) Phương trình (2.26) định nghĩa thuật toán Euler với nghiệm xấp xỉ phương trình sai phân (2.24) điểm nút Lưu ý x * điểm cân (2.26) g ( x* )  Vì vậy, phương trình vi phân (2.24) phương trình sai phân (2.26) có trạng thái cân điểm Ví dụ 2.6 Bây áp dụng phương pháp Euler cho phương trình vi phân: x '(t )  0.7 x (t )  0.7, x(0)  1, t  0,1 Lời giải Phương trình sai phân tương ứng sử dụng phương pháp Euler là: x(n  1)  x(n)  0.7h( x (n)  1), x(0)  Ví dụ 2.7 Xét phương trình vi phân logistic: x '(t )  ax(t)(1-x(t)), x(0)  x0 Các điểm cân thu cách cho x '(t )  Do ax(1  x)  ta điểm cân x1*  x2*  Nghiệm phương trình thu được: 13 x(t )  x0 eat x0 eat   x0  x0 eat  x0 (eat  1) Nếu a  0, lim x (t )  nghiệm hội tụ đến điểm t * cân x2  Mặc khác, a  0, lim x (t )  nghiệm t hội tụ đến điểm cân x1*  2.4.2 Sơ đồ phi tiêu chuẩn Xét phương trình vi phân logistic, ta thay x ( n) phương pháp Euler x(n) x(n  1) ta có: x(n  1)  x(n)  hax(n)  hax(n) x(n  1) Khi đó, ta thu phương trình sai phân: x (n  1)  (1  ha) x( n) ,  hax( n) hay x(n  1)  với    ha,  x ( n) ,   x ( n)      * * Phương trình có điểm cân x1  x2  Từ sơ đồ mạng nhện (Hình 2.18) ta kết luận lim x ( n )  n   14 Từ h  0,     Như vậy, tất * nghiệm hội tụ đến điểm cân x2    trường hợp phương trình vi phân không phụ thuộc vào kích thước h 2.5 TIÊU CHUẨN CHO SỰ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG * Định lý 2.1 Cho x điểm cân phương trình sai phân x(n  1)  f ( x(n)), f hàm khả vi liên tục x* Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Nếu f '( x * )  x* ổn định tiệm cận (ii) Nếu f '( x * )  x* không ổn định Ví dụ 2.4 Phương pháp Newton-Raphson Phương pháp Newton-Raphson phương pháp tiếng cho việc tìm nghiệm phương trình g ( x)  0, g(x) hàm khả vi liên tục Thuật toán Newton tìm kiếm nghiệm x* g(x) cho phương trình sai phân: x ( n  1)  x ( n )  với x (0)  x0 Ở f ( x )  x  g ( x ( n )) , g '( x ( n )) g ( x) g '( x ) (2.28) 15 * Lưu ý x g( x) điểm cân (2.28) Để xác định thuật toán Newton, giả sử dãy {x(n)} hội tụ đến x* , sử dụng định lý 2.1 ta được:  g '( x* )   g ( x* ) g ''( x* ) f '( x )     0, [g '( x* )]2 * * g ( x )  Dựa vào định lý 2.1, lim x( n)  x* n  x(0)  x0 tiến dần tới x* g '(x* )  Chú ý định lý 2.1 không khả thi trường hợp nonhyperbolic với f '( x * )  Sau ta tiếp tục phân tích sâu để xác định trạng thái cân ổn định * x * Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp f '( x )  Định lý 2.2 Giả sử cho trạng thái cân điểm x* (2.1), f '( x * )  Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Nếu f ''( x * )  x* không ổn định (ii) Nếu f ''( x * )  f '''( x * )  x* không ổn định (iii) Nếu f ''( x * )  f '''( x * )  x* ổn định tiệm cận Bây sử dụng kết trước để giải toán * trường hợp f '( x )  1 Trước tiên, ta tìm hiểu khái niệm đạo hàm hàm Schwartz hàm f : 16 f '''( x )  f ''( x )  Sf ( x )   f '( x )  f '(x)  * Lưu ý f '( x )  1 thì: Sf ( x* )   f '''( x* )  ( f ''( x* )) Định lý 2.3 Giả sử  2.1 , x* điểm cân f '( x* )  1 Khi đó, mệnh đề sau đúng: * (i) Nếu S f ( x )  x* ổn định tiệm cận * (ii) Nếu S f ( x )  x* không ổn định Định lý 2.2 (phần (ii) (iii)) nói ổn định tiệm cận x* xác định dấu hiệu  g ( x * )  ''' Ta có:  g ( x * )  '''   f '''( x * )  3[ f ''( x * )] (2.30) Ví dụ 2.9 Xét phương trình sai phân: x(n  1)  x2 (n)  3x(n) Tìm điểm cân xác định ổn định Lời giải Đặt f ( x)  x  3x Điểm x * điểm cân phương trình f ( x* )  x* , hay ( x* )  x*  x* Ta hai điểm cân x*  x*  2 Ta có f '( x)  x  Khi f '(0)  , theo định lý 2.1 x *  không ổn định 17 Mặc khác f '(2)  1 , f ''(2)  2, f '''(2)  Áp dụng định lý 2.3 sử dụng (2.30) ta được: 2 f '''(2)  3[ f ''(2)]2  2.0  3.22  12  Định lý 2.3 cho ta điểm cân x*  2 ổn định tiệm cận 2.6 ĐIỂM ĐỊNH KỲ VÀ CHU KỲ Định nghĩa 2.6 Cho b nằm miền xác định hàm f Khi đó: (i) b gọi điểm định kỳ hàm f (hay (2.27)) có số nguyên dương k , cho f k (b)  b Do đó, điểm định kỳ k điểm bất động f k , có nghĩa điểm cân phương trình sai phân: (2.31) x ( n  1)  g ( x ( n)), với g  f k Quỹ đạo định kỳ b, có dạng O(b)  {b, f (b), f (b), , f k 1 (b)} thường gọi chu kỳ k (ii) b gọi điểm định kỳ k cuối với số m nguyên dương, f m (b) điểm định kỳ k Nói cách khác, b gọi điểm định kì k cuối nếu: f mk (b)  f m (b) Ví dụ 2.10 Xét phương trình sai phân cho phương trình Lều: 18  2 x T ( x)   2(1  x)  0 x ,  x 1 Ta viết T ( x ) dạng gọn là: T ( x)   x  Đầu tiên, nhận thấy điểm định kì chu kỳ điểm bất động T Dễ dàng tìm T cho công thức:  4 x   2(1  x )  T ( x)    4( x  )    4(1  x )  T ( x) 0 x , 1 x , x ,  x  có điểm cân (Hình 2.28) x*  0, x*   0.4,  x*  / 3 và x*  0.8, hai số x*  x*  / điểm cân T Vì 0.4,0.8 thuộc chu kỳ T Hình 2.29 cho thấy x*  0.8 không ổn định T 2 6 7 7  Hình 2.30 mô tả đồ thị T Dễ dàng tìm  , ,  có chu kỳ Ta có: 19 T( )  , 7 T( )  , 7 T( )  7 Định nghĩa 2.7 Cho b điểm định kỳ k hàm f Khi b là: (i) Ổn định điểm bất động ổn định f k (ii) Ổn định tiệm cận điểm bất động ổn định tiệm cận f k (iii) Không ổn định điểm bất động không ổn định f k Định lý 2.4 Cho O(b)  {b =x(0), x(1), , x(k -1)} chu kỳ k hàm f khả vi liên tục Các mệnh đề sau đúng: (i) Chu kỳ k O(b) ổn định tiệm cận nếu: f '( x(0)) f '( x(1)), , f '( x(k  1))  (ii) Chu kỳ k O(b) không ổn định nếu: f '( x(0)) f '( x(1)), , f '( x(k  1))  2.7 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH Bây trở lại với ví dụ quan trọng chương này, phương trình sai phân logistic: x(n  1)   x(n)[1  x(n)] (2.36) Đặt F ( x)   x(1  x), x  [0,1],  >0 (2.37) 20 2.7.1 Điểm cân Để tìm điểm cân (điểm bất động F ) (2.36), ta tìm lời giải cho phương trình: F ( x* )  x* Khi đó, ta điểm cố định x*  x*  (  1) /  Tiếp theo, ta kiểm tra ổn định điểm cân trường hợp Hình 2.31 2.32 mô tả điểm cân x*  Khi F ''(0)   , theo định lý 2.1 2.2 ta thấy rằng: (i) điểm bất động ổn định tiệm cận với    (ii) điểm bất động không ổn định với   Cần ý trường hợp   , ta có F1 '(0)  F ''(0)  2  Áp dụng định lý 2.2, ta kết luận x*  không ổn định Hình 2.31 2.32 mô tả điểm cân x*  (  1) /  ,   Để x*  (0,1]   1, đó: F '((   1) /  )    Sử dụng định lý 2.1 2.3 có kết luận sau đây: 21 (i) x điểm bất động ổn định tiệm cận với    * * (ii) x điểm bất động không ổn định với   2.7.2 Chu kỳ Để tìm chu kỳ ta tìm lời giải cho phương trình F ( x)  x (hay giải phương trình x2   x1 (1  x1 ), x1   x2 (1  x2 )),  x(1  x)[1   (1  x)]  x  Để xóa bỏ cân điểm x *  (2.38)  1 , ta phân tích  (2.38) phép toán x( x  (   1) /  ) để có phương trình bậc hai:  x2   (  1) x+   Giải phương trình ta thu chu kỳ 2: x(0)  [(1   )  (   3)(   1)] /  , x(1)  [(1   )  (   3)(   1)] /  (2.39) 2.7.3 Chu kỳ 22 Để tìm chu kỳ 4, ta giải phương trình F4 ( x)  x Việc tính toán trở nên khó khăn hơn, ta phải nhờ đến máy tính để làm việc Khi    , chu kỳ phân nhánh thành chu kỳ Chu kỳ 23 hấp dẫn với 3    4 , với 4 22 Quá trình phân đôi nhánh tiếp tục vô thời hạn vậy, ta chuỗi {n }n0 với n phân nhánh chu kỳ 2n1 đến chu kỳ 2n 2.7.4 Sơ đồ phân nhánh Quy ước trục ngang biểu diễn cho đại lượng , trục dọc biểu n diễn cho trình lặp F ( x) Với giá trị bất động x0 , sơ đồ phân nhánh biểu diễn giá trị Fn ( x0 ) 2.8 LỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC * Định nghĩa 2.8 Cho x điểm bất động đồ f Khi đó, lưu vực hấp dẫn (hoặc thiết lập ổn định) W s ( x* ) x* định nghĩa là:  W s ( x* )  x :lim f n ( x)  x*} n  Nói cách khác, W s ( x* ) bao gồm tất điểm phía trước * * tiệm cận x Ta thấy rằng, x điểm bất động hấp dẫn W s ( x* ) * có khoảng mở xung quanh x Khoảng tối đa W s ( x* ) chứa x* gọi lưu vực hấp dẫn kí hiệu B s ( x* ) Ví dụ 2.13 Biểu đồ f ( x)  x2 có điểm bất động hấp dẫn x*  Lưu vực hấp dẫn W s (0)  (1,1) Lưu ý 23 điểm bất động không ổn định -1 điểm bất động cuối tiến đến sau lần lặp Ví dụ 2.14 Xét biểu đồ g : [-2, 4]  [  2, 4] cho công thức:  x g ( x)   3 x    x  1, 1 x  Bản đồ g có điểm bất động x1*  0, x2*  1, x3*  Lưu * vực hấp dẫn x1  W s (0)  (1,1) Trong đó, lưu vực hấp * dẫn x3  W s (4)  [  2, 1)  (1,4] Hơn nữa, lưu vực hấp dẫn x1*  B(0)  W s (0)  (1,1), B(4)  (1,4] Định nghĩa 2.9 Một tập hợp M bất biến dương theo biểu đồ f f (M)  M hay với x  M ta có O ( x )  M Định lý 2.6 Cho f : I  I , I  [a, b] đồ liên tục x* [a, b] điểm bất động f Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Lưu vực hấp dẫn B( x* ) khoảng chứa x* , khoảng mở (c, d ) hay có dạng [a, c)  ( d , b ] B( x* ) bất biến (ii) W s ( x* ) bất biến W s ( x* ) hợp hai khoảng mở [a, c)  ( d , b ] 24 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Luận văn trình bày sơ lược phương trình sai phân bậc nhất, khái niệm phương trình sai phân Luận văn tìm hiểu điểm cân hệ động lực học, cách tìm điểm cân nêu phương pháp để xét tính ổn định điểm Luận văn cho ta số kiến thức sở phương trình logistic phân nhánh Ngoài ra, luận văn cung cấp số kiến thức lưu vực hấp dẫn ổn định toàn cục Những kết luận văn dựa sở giáo trình An Introduction to Difference Equations, Third Edition, New York, USA, Saber N Elaydi (2005) Vì thời gian lực thân có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế, em mong nhận góp ý thầy cô bạn ... Sơ lược phương trình sai phân Chương trình bày khái niệm phương trình sai phân, sai phân hữu hạn hàm số biến thực, phương trình sai phân bậc Chương Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc... động lực học mô tả phương trình sai phân bậc biến, giải số phương trình sai phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic phân nhánh… Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, phương pháp sử dụng... luận văn đạt 4 CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân hàm số biến thực Xét hàm số