Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Lời nói đầu: Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán. Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS” Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán. Xin trân trọng cảm ơn

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.Lời nói đầu:

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS Tôi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài

Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân

Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài

“Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS”

Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai sót

Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán

Xin trân trọng cảm ơn!

2.Lý do chọn đề tài:

Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng Một trong những dạng

toán đó là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toán Trung học

cơ sở Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông Chuyên đề này

sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 …

Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm

với đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS”.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 7; 8; 9 bậc THCS

2 Phạm vi nghiên cứu:

+Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6; 7; 8; 9 qua các năm

+Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo

+Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môn Toán hơn

Nghiên cứu về “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng

lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khĩ khăn khi dạy học phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

từ đĩ định hướng nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn

Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên cĩ tư liệu tham khảo và dạy thành cơng về tìm GTLN, GTNN của biểu thức

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

2 Hệ thống hĩa kiến thức và phương pháp giải tốn tìm GTLN, GTNN

3 Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN

4 Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học tốn

5 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

6 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phương pháp điều tra, khảo sát

3 Phương pháp thử nghiệm

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy cĩ hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn này hơn

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

-Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực

về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán

-Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh

-Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS -Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn

2 Cơ sở thực tiễn:

-Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu

-Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu -Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian

-Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn

-Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành

II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN):

 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

+ Với mọi x thuộc D thì f(x)  M, M là hằng số

+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M

 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

+ Với mọi x thuộc D thì f(x)  m, m là hằng số

+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m

2 Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y…), xác định trên miền D như sau:

 Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :

- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …)  M (1).

- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = M (M là hằng số) (2)

 Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nĩi m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x

; y …) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :

- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …)  m (1)’

- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = m (m là hằng số) (2)’

 Chú ý rằng : Nếu chỉ cĩ điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nĩi gì về cực trị của một biểu thức.

Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2

Mặc dù ta cĩ A  0 nhưng chưa thể kết luận Min A = 0 vì khơng tồn tại giá trị nào của x để A = 0

Cách giải đúng như sau :

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2  2

A = 2  x – 2 = 0  x = 2 Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2

3 Định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của một số

a.Định nghĩa:

a = a nếu a  0

a = - a nếu a < 0

b.Tính chất:

1) a  0

2) a  b  a + b đẳng thức xảy ra khi ab > 0

3) a  b  a - b ( đẳng thức xảy ra khi a  b  0 hoặc a  b 

0 )

4) | a | + | b |  | a + b |,

5) | a | – | b |  | a – b |

a

b b

a



 với a > 0, b> 0

4 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.

Nhị thức ax + b (a  0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

x -b/a

ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất cĩ nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của biến

5 Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc

so sánh phân số…

6 Sử dụng các mệnh đề tương đương:

* A nhỏ nhất  – A lớn nhất

* B lớn nhất  B2 lớn nhất (B > 0)

* C nhỏ nhất  C1 lớn nhất (C > 0)

7 Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng.

a) Nếu hai số cĩ tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đĩ bằng nhau:

Chứng minh: Nếu a, b cĩ a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b)2  4ab ta cĩ a.b 

4

2

k

do đĩ max(a.b) =

4

2

k

khi và chỉ khi a = b

b)Nếu hai số dương cĩ tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đĩ bằng nhau:

Chứng minh: Nếu hai số dương a và b cĩ a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ

nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất Mà (a + b)2  4ab  Min (a + b)2 = 4h, (khi

và chỉ khi a = b)  Min (a + b) = 2 h, (khi và chỉ khi a = b)

III KHẢO SÁT BAN ĐẦU:

Đơn vị Khối 8;9 Hứng thú với dạng

tốn

Biết cách tiếp cận dạng tốn

IV THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN:

1 Thực trạng:

- Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh khơng hứng thú với dạng tốn này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng tốn một cách thực sự

- Chất lượng bài làm của học sinh rất thấp

- Tiềm năng của học sinh về mơn tốn chưa được khai thác hết

- Chất lượng học sinh giỏi các cấp của trường trong những năm gần đây cĩ tăng về số lượng và chất lượng nhưng chưa tương xứng với tiềm năng thực tế

2 Nguyên nhân:

- Học sinh chưa nắm vững được kiến thức và kĩ năng giải bài tập tìm GTLN,GTNN nên khi tiến hành các bước giải thường mắc phải những sai lầm và không có tính sáng tạo trong cách giải

- Đây là dạng toán khó, chủ yếu là dạng toán nâng cao dành cho học sinh khá

và giỏi

- Trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập rất ít có dạng toán này Vì vậy trên lớp ít có cơ hội tiếp cận dạng toán này, thường nó chỉ phổ biến cho một số em đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chọn

-Chưa có một hệ thống hoàn chỉnh các đề tài về phương pháp giải các dạng

toán khó phục vụ cho việc dạy và học đăc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi

- Học sinh không có tài liệu để tự học, tự nghiên cứu về phương pháp tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

IV GIẢI PHÁP CHỦ YẾU:

Thực tế trong quá trình giải toán nói chung và dạng toán này nói riêng thì không có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải toán đặc biệt là toán khó thì đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho mình một phương pháp tiếp cận bài toán dựa trên cơ sở đã học Từ đó chúng ta sẽ tìm ra những quy luật những cách giải cho một dạng toán Vì vậy trong đề tài này tôi xin đưa ra một phương pháp tìm GTLN, GTNN

1 Dạng 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức đại số ( nổi bật trong dạng

này là biểu thức cho dưới dạng f(x) = ax 2 + bx + c (a, b, c là hằng số, a 0).)

Để giải dạng toán này ta hướng dẫn học sinh đưa biểu thức đã cho về dạng: f(x)=k(X)2 + C trong đó C là hằng số từ đó ta sẽ tìm được GTLN hoặc GTNN

Đây là dạng toán đơn giản nhất trong loại toán này(dạng có đề cập trong sách

bài tập), nhưng để giải được nó học sinh thường sử dụng phương pháp thêm bớt

hạng tử hoặc thêm bớt hạng tử để đưa về dạng (a + b)2 + c (c là hằng số) Nhưng đối với học sinh trung bình thì thực sự gặp rất nhiều khó khăn, còn đối với những

đa thức có hệ số không nguyên hoặc hệ số lớn thì nhiều em học sinh khá cũng cảm thất khó khăn Nên tôi đưa ra giải pháp là cung cấp cho các em bài toán tổng quát,

từ đó các em sẽ giải quyết dạng toán này một cách đơn giản kể cả học sinh trung bình

1.1 Bài toán tổng quát:

Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c là hằng số, a 0).

a) Tìm GTLN, GTNN của P khi a > 0

b) Tìm GTLN, GTNN của P khi a < 0

Giải:

Ta có: P(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + a b x + 22

4a

b

) - b2

4a + c = = a (x +

a

b

2 )2 +

a

ac b

4

) 4 ( 2 



Đặt

a

ac b

4

) 4 ( 2





= k a) Nếu a > 0

Vì (x + 2b a )2 ≥ 0  a (x + 2b a )2 ≥ 0

Do đó: P(x) ≥ k  MinP = k  x = 2a b và không có GTLN.

b) Nếu a < 0

Vì (x +

a

b

2 )2 ≥ 0  a (x +

a

b

2 )2 ≤ 0

Do đó: P(x) ≤ k  MaxP = k  x =

a

b

2



và không có GTNN.

1.2 Ví dụ:

Bài toán 1: Tìm GTNN của A = x2 – 6x + 8

Giải:

Ta có: A = x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1  - 1

Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3

Vậy minA = -1 khi x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5

Giải:

Ta có:B = - 3x2 + 2x + 5 = - 3 (x2 -

3

2

x +

9

1

) + 13 + 5 = - 3(x - 13)2 +

3 16



3

16

Nên maxB = 163 khi x - 31 = 0 hay x = 13

Vậy maxB = 163 khi x = 13

Với dạng toán này ta có thể hướng dẫn học sinh phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức cũng được nhưng đối với đối tượng học sinh trung bình ta có thể vận

dụng bài toán tổng quát thì học sinh sẽ thực hiện được dễ dàng hơn từ đó các em có thể tự tin hơn bản thân từ đó các em sẽ có hứng thú hơn về dạng toán này

Khi các em đã làm quen dạng 1 ta tiếp tục giới thiệu các em dạng tiếp theo nhưng thực chất các em có thể tiến hành giống dạng 1

2 Dạng 2: Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng phân thức:

2.1 Phân thức có tử là hằng số còn mẩu là một tam thức bậc hai:

Đối với dạng toán này ta cần chú ý đến biểu thức ở mẩu mà biểu thức ở dưới mẩu chính là biểu thức học sinh được tiếp cận ở dạng 1

5 2x 8x 1

 

Giải:

C

x

Ta thấy  2  2

7

x

x



Vậy 5 khi x=2

7

MinD 

3 9x 6x 5

D 

 

Giải:

9x 6x 5 3x 1 4

Ta thấy 3x 1  2  4 4 do đó  2

4 3x 1   4 (theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử và mẩu đều dương)

Do đó 3

4

D 

Vậy axD 3 khi x=1

Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng D có tử là hằng số nên D lớn nhất khi mẩu nhỏ nhất.

Lập luận trên có thể dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức 21

3

x 

Mẩu thức x 2 – 3 có GTNN là -3 khi x = 0 nhưng với x = 0 thì 21 1

x  

không phải giá trị lớn nhất của phân thức ( chẳng hạn x = 2 thì 2

1 1 3

x   , lớn hơn 1

3

 )

2.2 Phân thức có tử và mẩu đều chứa biến:

Bài toán 1: Tìm GTLN của biểu thức 3x22 6x 10

x 2x+3



Lời giải:

 

2 2

2

3 x 2x+3 1

(bài toán lại quay về dạng trên)

Vì  2

2 x+1  2 nên  2

2 2 x+1 2



Vậy axD 7 khi x= -1

2

Bài toán 2: Tìm GTNN của biểu thức 3x22 8x 6

x 2x+1



Giải:

2 2

2

3 x 2x+1 2 x 1 1

3

Đặt

2 2

1

x 1

y   E  y y  y  



1

x



3 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài toán dạng này cần cung cấp cho học sinh một số kiến thức sau:

1) a  0 với mọi giá trị của a 2) a  b  a + b (dấu bằng xảy ra khi ab > 0.) 3) a  b  a - b ( dấu bằng xảy ra khi a  b  0 hoặc a 

b  0 )

4) a b  b a

3.1: Dạng: f(x) = M - A ( x)