skkn phương pháp giải một số dạng toán về phép chia hết cho HS lớp 6

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương pháp giải số dạng toán phép chia hết cho học sinh lớp Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Phượng Nam (nữ): Nữ Ngày tháng/năm sinh: 27/09/1977 Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Tổ phó tổ KHTN trường THCS An Lạc Điện thoại: 0987 345 581 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS An Lạc Địa chỉ: Thôn Bờ Đa, xã An Lạc, Chí Linh, Hải Dương Điện thoại: 03203 888 019 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) : Tên đơn vị: Trường THCS An Lạc Địa chỉ: Thôn Bờ Đa, xã An Lạc, Chí Linh, Hải Dương Điện thoại: 03203 888 019 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Được ủng hộ giúp đỡ nhiệt tình Ban giám hiệu, nhà trường, học sinh phụ huynh HS có trình độ nhận thức tương đối tốt đồng - GV thực có trình độ chuyên môn vững vàng kết hợp tốt phương pháp giảng dạy đặc trưng môn - Có đầy đủ đồ dùng cần thiết cho việc nghiên cứu áp dụng: Trang thiết bị dạy học: máy tính, máy chiếu, tài liệu tham khảo… Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 10 năm 2013 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG (ký, ghi rõ họ tên) SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Phượng TÓM TẮT SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến: Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy dạng toán phép chia hết mảng kiến thức trọng tâm với nhiều dạng phong phú, góp phần phát triển tư tốt học sinh Nếu không nắm kiến thức tốt, em thường dẫn tới kết luận sai toán không khó có cách giải dài dòng, không khoa học, thiếu logic Việc nắm kiến thức phân dạng tập với phương pháp giải đặc trưng cho dạng giúp em thuận lợi nhiều trình giải toán Các em tiết kiệm thời lượng giải với cách trình bày xác, chặt chẽ sáng tạo Từ toán ban đầu, học sinh biết phát triển thành toán móng có, đảm bảo “Dạy học theo định hướng phát triển lực người học” Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến: Sau nắm quan hệ dấu hiệu chia hết, em củng cố mở rộng kiến thức hệ thống tập áp dụng Với dạng giáo viên gieo vấn đề từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để học sinh “ làm quen”, hình thành kĩ Giáo viên làm mẫu câu hỏi gợi mở, dẫn dắt em đến với kiến thức sâu rộng Cuối tiết học khóa buổi bồi dưỡng học sinh, giáo viên khuyến khích, động viên để tìm học sinh “xuất sắc” toán “ hơn”, có tính khái quát hơn, em nhớ lâu, khắc sâu kiến thức tư phát triển Để giải đề khó phức tạp áp dụng cho học sinh Do vậy, giáo viên phải “chọn lựa” em có tư tốt tương đối đồng mang lại hiệu 3 Nội dung sáng kiến (cần làm rõ): + Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến : Các dạng tập trước đưa chưa có hệ thống, chưa nâng dần mức độ từ dễ đến khó dạng lẻ tẻ, chưa thành dạng riêng biệt nên học sinh liên hệ vấn đề với vấn đề cũ, em tìm hướng giải cho đúng, chưa đưa phương pháp giải cho dạng nên nhanh quên giải biết Do vậy, hình thành kĩ giải học sinh nhiều thời gian không phát huy khả tư sáng tạo lực tự học, tự nghiên cứu em Trên sở hiểu thực hành thành thục, em tự đề giải, hướng dẫn bạn khác học, tạo không khí tích cực sôi lớp Giáo viên đóng vai trò hướng dẫn, dẫn dắt, đạo kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức em, giảm hẳn vất vả công việc + Khả áp dụng SK (tính khả thi giải pháp): Sáng kiến áp dụng tổ tự nhiên nhà trường công tác bồi dưỡng học sinh giỏi + Lợi ích thiết thực SK: Những năm học trước nhận thấy: nhiều thời gian cho việc dạy đội tuyển học sinh giỏi mà kết không mong muốn Mảng kiến thức “co” nhiều thời gian học sinh giải nhanh, gọn nhiều Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến: Khi áp dụng sáng kiến giảng dạy thấy dạng giáo viên đưa học sinh nhanh chóng giải với lời giải đầy sáng tạo Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến: Nhà trường tạo điều kiện thời lượng bồi dưỡng HSG để em học tốt MÔ TẢ SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến 1.1 Là năm học thứ giao nhiệm vụ dạy toán lớp Khá – Giỏi, nhận thấy kiến thức phép chia hết, đa số em nắm lập luận trình bày lủng củng, chí có sai lầm “ngớ ngẩn” ,thiếu logic trình giải tập 1.2 Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi đội tuyển Toán 6, đưa dạng toán hầu hết em lúng túng không tìm hướng giải, dẫn tới chán nản cảm thấy bế tắc Các em hay quên dạng cũ tập trung vào giải dạng mới, kết học tập chưa cao làm kiểm tra tổng hợp 1.3 Thời lượng dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi hạn chế (1tiết/tuần), lượng dành cho mảng kiến thức vô lớn, có dạng toán khác có độ khó tương tự Nếu phương pháp giảng dạy hợp lí giải 1.4 Tài liệu tham khảo nhà trường hạn chế, phụ huynh học sinh chưa thực quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi em, em phải dành thời gian cho môn học khác… nên giáo viên bồi dưỡng phải tự tìm cách dạy mang hiệu phù hợp với đối tượng học sinh Cơ sở lý luận vấn đề 2.1 Chương trình Số học có nhiều chuyên mục hay khó, thường vận dụng kiến thức Phép chia hết, có toán tìm lời giải vận dụng kiến thức giải phải tiêu hao lượng thời gian công sức lớn 2.2 Trong đề thi học sinh giỏi, lượng tập dành cho chuyên mục có vận dụng “Phép chia hết” tương đối nhiều, với điểm số chiếm tỉ lệ không nhỏ Do vậy, học sinh không chuyên sâu, không giải toán khó dạng dẫn tới điểm số thấp, hiệu giáo dục không mong muốn 2.3 Nếu học sinh phân dạng để tìm phương pháp phù hợp trình tìm lời giải dẫn tới nhầm lẫn, lúng túng không tìm đáp số 2.4 Khi HS giải thành thạo dạng em mở rộng hệ thống kiến thức, thấy hay, đẹp toán học yêu thích môn, hình thành phát triển đường lối tư độc lập sáng tạo Nó giúp em việc tiếp tục lĩnh hội kiến thức cao lớp 7, 8, Thực trạng vấn đề 3.1 Học sinh vừa từ tiểu học lên, quen phụ thuộc vào thày cô, viết chậm, tư sáng tạo chưa khai thác nên hạn chế việc tự học 3.2 Học sinh tính toán chưa nhanh nhầm lẫn, chưa tự giác suy nghĩ, gặp khó có ý định bỏ dở, thích dễ, dạng quen thuộc 3.3 Khi nhận xét xem tổng (hoặc hiệu) có chia hết cho số không, em không quen với việc tính tổng số dư số hạng chia cho số mà tính tổng xong kết luận thấy vài số hạng tổng không chia hết kết luận tổng không chia hết cho số Chính em nhiều thời gian đến kết luận sai 3.4 Đối với toán chia hết, có nhiều khó đòi hỏi phải tư cao, kĩ lập luận tốt, trình bày cần logic, khoa học với em lớp 6, điều “quá sức” em chưa thực hành năm trước đó… 3.5 Việc tái lại kiến thức học em thấy khó khăn nhanh quên, hiểu trình bày cho Các em hay “ngộ nhận” nhầm lần dấu hiệu chia hết Gặp toán chia hết cho số trở lên, em thường quên lập luận số phải đôi nguyên tố nhau… Các giải pháp, biện pháp thực 4.1 Các giải pháp thực hiện: Để đạt hiệu cao dạy học, giải pháp thực tốt phải xây dựng hệ thống tập hợp lô gíc Ta phải khai thác toán theo mảng, mảng ta lại chia thành phần, cho phần có liên kết chặt chẽ với cấu trúc toán phương thức giải toán Trong sáng kiến sử dụng phương pháp: + Nêu vấn đề + Đặt vào tình có vấn đề + Làm nảy sinh tình mới, vấn đề nhu cầu khám phá kiến thức + Phát triển thành toán có phương pháp giải tương tự nâng cao dần Đối với toán sau giải có phần nhận xét thể loại hướng phát triển Khuyến khích học sinh tìm hiểu tương tự toán từ thêm vài kiện để có toán có nội dung phong phú phù hợp 4.2 Biện pháp cụ thể: 4.2.1 Các kiến thức cần nhớ: 4.2.1.1 Định nghĩa: Cho số tự nhiên a b, b khác 0, có số tự nhiên q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a: b = q (q thương phép chia a cho b) - Khi a Mb a bội b, b ước a * Nếu a chia cho b ( b ≠ 0) thương q dư r (r < b) a = b.q + r * Trong phép chia cho số tự nhiên n ( n > 1) số dư là: 1; 2; ; n-1 4.2.1.2 Tính chất quan hệ chia hết: + Tính phản xạ: a chia hết cho a với a số tự nhiên khác a∈ N a ≠ ta có: a Ma + Tính phản xứng: Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b a, b∈ N a Mb bMa a = b + Tính bắc cầu: Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c aMb bMc aMc 4.2.1.3 Một số định lí: + Mọi số tự nhiên chia hết cho + a chia hết cho a với a số tự nhiên khác + chia hết cho b với b số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b m.a chia hết cho b với số tự nhiên m + Nếu a chia hết cho m a chia hết cho n a chia hết cho BCNN(m,n) + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b,c) = a chia hết cho (b.c) + Nếu a chia hết cho b, a chia hết cho c a chia hết cho d mà (b,c) = 1; (d,c) = 1; (b,d) = a chia hết cho (b.c.d) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) =1 a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a±b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a±b) không chia hết cho m Mở rộng: Nếu a , a , a , a ,…, a n Nếu a , a , a , a ,…, a chia hết cho b (a1 ± a2 ± a3 ± a4 ± … ± an) M b n-1 chia hết cho b, an không chia hết cho b (a1 ± a2 ± a3 ± a4 ± … ± an) M b * Hệ : - Nếu a + b⋮m (hoặc a - b⋮m) a⋮m b⋮m - Nếu a + b⋮m (hoặc a - b⋮m) a⋮m b⋮m + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n (a.b) chia hết cho (m.n) + Nếu (a.b) chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m an chia hết cho m với n số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn với n số tự nhiên + Nếu an chia hết cho bn a chia hết cho b với n số tự nhiên khác 4.2.1.4 Các dấu hiệu chia hết: a Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn anan-1an-2 …a2a1a0 M  a0 M2 ( a0 ∈ { 0; 2; 4;6;8} ) b Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận anan-1an-2 …a2a1a0 M  a0 M5 ( a0 ∈ { 0;5} ) Chú ý: Một số có chữ số tận chia cho (hoặc 5) dư số chia cho (hoặc 5) dư nhiêu ngược lại c Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) anan-1an-2 …a2a1a0 M  (an + an-1 + an-2 + …+ a2 + a1+ a0) M3 anan-1an-2 …a2a1a0 M  (an + an-1 + an-2 + …+ a2 + a1+ a0 ) M9 Chú ý: Một số chia cho (hoặc 9) dư tổng chữ số số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại d Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) Một số chia hết cho (hoặc 25) số tạo thành chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) anan-1an-2 …a2a1a0 M  a1a0 M anan-1an-2 …a2a1a0 M 25  a1a0 M 25 e Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) Một số chia hết cho 125 số tạo thành chữ số tận số chia hết cho 125 anan-1an-2 …a2a1a0 M  a2a1a0 M anan-1an-2 …a2a1a0 M 125  a2a1a0 M 125 f Dấu hiệu chia hết cho 11 Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 abcM11 (a+c – b) M11 (a ≠ 0) A = a5 a4 a3 a2 a1a0 , AM11 ⇔ ( a0 + a2 + a4 + ) − ( a1 + a3 + a5 + )  M11 4.2.2 Các dạng toán áp dụng nhằm phát huy tính tích cực phát triển tư học sinh: Trong phép chia hết có dạng toán với phương pháp giải đặc trưng cho dạng sau: 4.2.2.1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dạng tích thừa số, có thừa số b (hoặc chia hết cho b): a = b.k ( k ∈ N) a = m.k ( m chia hết cho b) Ví dụ 1: Chứng tỏ: 7212 M 234.323 Phương pháp: Biến đổi số 72 thành tích hai lũy thừa với số Giải: Ta có: 7212 = (8.9)12 = (23.32)12 = (23)12(32)12 = 212.3 312.2 =236.324 =(234.323) 22.3 = (234.323).12 nên 7212 M 234.323 *Hướng phát triển: Ở toán này, thay đổi số số bị chia số chia phải đảm bảo tính chia hết Bài toán mới: Chứng minh: a, 7517 M 313.534 b, 45.14420 M 287.339 Ví dụ 2: Cho a + b = Chứng tỏ số có dạng abba chia hết cho (a khác 0) 10 a Thay dấu * tùy ý chữ số 4; 7; (không dấu * nhận giá trị giống nhau) số 8*5*9* Chứng minh số: 8x5y9z chia hết cho 33 b, Cho số 97162*1*1*40 tổng chữ số dấu * Chứng minh số chia hết cho 220 Ví dụ : Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Phương pháp: Số viết thành tích hai số nguyên tố 3, hai số có dấu hiệu chia hết Cần chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 Ta cần chứng minh: n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 Thật vậy: + Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ, mà số chẵn chia hết cho Do n(n + 1)(2n + 1) ⋮2 + Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 (Vì hai số nguyên tố nhau) Xét trường hợp : Khi n chia hết cho n không chia hết cho -Nếu n ⋮3 => n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 => n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 -Nếu n ⋮3 => n = 3k + n = 3k + (k∊ N) + Khi n = 3k + 2n + = 2(3k + 1) + = 6k + 3⋮3 => n(n + 1)(2n + 1)⋮3 => n(n + 1)(2n + 1)⋮6 + Khi n = 3k + n + = (k + 2) + = 3k + 3⋮3 22 => n(n + 1)(2n + 1)⋮3 => n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Trong trường hợp ta có n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Vậy: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho *Hướng phát triển: Thay đổi số thừa số tự nhiên liên tiếp Bài toán mới: a, Chứng minh rằng: Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 b, Chứng minh rằng: Tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 4.2.2.2.5 Dùng tính chất chia hết tổng + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a±b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a±b) không chia hết cho m - Nếu a + b⋮m (hoặc a - b⋮m) a⋮m b⋮m - Nếu a + b⋮m (hoặc a - b⋮m) a⋮m b⋮m Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng: n2+n+ 2014 chia hết cho với số tự nhiên n Phương pháp: 2014 M nên cần chứng minh n2+n chia hết cho Giải: Ta có: n2+n = n(n+1) n n+1 hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chứng chia hết cho (vì số có số chẵn) 2014 M 2, n(n+1) +2014 M Hay n2+n+ 2014 chia hết cho với số tự nhiên n Ví dụ 2: Cho n số tự nhiên Hỏi n2 -2 có chia hết cho không? Phương pháp: Khi n số tự nhiên cần n2 có chữ số tận Giải: 23 Với số tự nhiên n n2 có chữ số tận nên n -2 có chữ số tận Do n2 -2 có chia hết cho Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17 Phương pháp: Nhân (2x + 3y) với số để tách làm nhóm, nhóm chia hết cho 17, nhóm 9x + 5y Chứng minh chiều ngược lại nhân (9x + 5y) với số để tách làm nhóm, nhóm chia hết cho 17, nhóm 2x + 3y Giải: * Chứng minh: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ta có : 2x + 3y M17 => 13 (2x + 3y )M17 => 26x + 39y M17 hay ( 17x + 34y ) + ( 9x + 5y )  M17 Mà 17x + 34y M17 => 9x+ 5y M17 * Chứng minh: 9x + 5y chia hết cho 17 2x + 3y chia hết cho 17 Ta có : 9x + 5y M17 => (9x + 5y )M17 => 36x + 20y M17 hay ( 34x + 17y ) + ( 2x + 3y )  M17 Mà 34x + 17y M17 => 2x+ 3y M17 Vậy : 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17 *Hướng phát triển: Thay đổi biểu thức chứa chữ số cần chia hết Bài toán mới: a, Cho a- b =6 Chứng minh biểu thức: a+5b, a + 17 b chia hết cho b, Chứng minh rằng: 3x + 4y chia hết cho ⇔ 2x + 5y chia hết cho 4.2.3 Dùng mối quan hệ bội ước phép chia có dư * Khi aMb a bội b, b ước a * Nếu aMx, b Mx => x ∈ ƯC(a, b) ( Nếu aMx, b Mx , c Mx => x ∈ ƯC(a, b, c) + Nếu a Mx, b Mx, x số lớn => x = ƯCLN(a, b) * Nếu xMa, x Mb => x ∈ BC(a, b) 24 (Nếu xMa, x Mb, x Mc => x∈ BC(a, b, c) + Nếu x Ma, x Mb, x nhỏ => x= BCNN(a, b) Ví dụ 1: Tìm x ∈ N để: 3M (x+1) Phương pháp: Coi x+1 số Dựa vào quan hệ ước bội tìm x+1 sau tìm x Giải: Để M (x+1) x+1 ước Ư(3) = { 1;3}  x+1=1 => x=1-1=0 ( thỏa mãn) x+1 =3 => x = 3-1=2 (thỏa mãn) Vậy x = 0; Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n cho 4n-6 chia hết cho 2n-1 Phương pháp: Tách 4n-6 thành tổng hiệu nhóm, có nhóm chia hết cho 2n-1 nhóm lại số tự nhiên Giải: Ta có: 4n- = (4n -2) -4 = 2(2n-1) -4 Do 2(2n-1) M (2n-1) nên (4n-6) M (2n-1) M (2n-1)  2n-1 ước Mà Ư(4) = { 1; 2; 4}  2n- =1 => 2n=1+1=2 => n=1 (thỏa mãn) Hoặc: 2n- =2 => 2n=2+1=3 => n=3/2 ( không thỏa mãn) Hoặc: 2n- =4 => 2n=4+1=5 => n=5/2 ( không thỏa mãn) Vậy n=1 Lưu ý: Khi 2n-1 ước Ta có cách khác để tìm n: Do 2n- số lẻ nên 2n-1 ước lẻ  2n- =1 => 2n=1+1=2 => n=1 (thỏa mãn) 25 *Hướng phát triển: Thay đổi biểu thức bị chia biểu thức chia Bài toán mới: Tìm số tự nhiên x biết: a, (x+3) M (x+1) b, (2x-5) M (x-2) c, (x2+ 3x-1)M (x-2) Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Phương pháp: Hai số có số dư đem chia cho số, hiệu hai số chia hết cho số Số chia lớn số dư Giải: Gọi số cần tìm a (a ∈ N) Ta có a > 28 ( 2002 - 1960 ) M a => a > 28 42 M a => a >28 a ∈ Ư(42) => a = 42 Vậy số a cần tìm 42 Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư cho 10 dư Phương pháp: Xem số cần tìm cộng thêm (hoặc trừ đi) số để chia hết cho số: ; ; ; 10 Giải: Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a ∈ N) Theo ta có: a chia cho dư ⇒ a +1 chia hết cho a chia cho dư ⇒ a +1 chia hết cho a chia cho dư ⇒ a +1 chia hết cho a chia cho 12 dư 11 ⇒ a +1 chia hết cho 12 Do đó: a+1 ∈ BC(3, 4, 5, 12) Mà a số nhỏ nên a+1 số nhỏ => a +1 = BCNN(3, 4, 5, 12) =60 26 a+1 = 60 => a = 60 -1 = 59 Vậy số cần tìm 59 *Hướng phát triển: Thay đổi số chia số dư lấy số bị chia cộng trừ số để có phép chia hết cho số chia Bài toán mới: a, Tìm số tự nhiên a nhỏ cho chia a cho 3; 5; số dư là: 2; 3; b, Số học sinh trường xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 dư em Biết số học sinh khoảng từ 200 đến 250 em Tính số học sinh trường Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Phương pháp: Bài toán thử xem số cần tìm cộng trừ số để phép chia hết Ta cần biểu diễn số phải tìm theo phép chia có dư dùng cách thử với số từ nhỏ đến lớn Giải: Gọi số cần tìm là: a (a ∈ N*) Ta có Khi chia a cho 29 dư => a = 29q + (q ∈ N*) Khi chia a cho 31 dư 28 => a = 31p +28 (p ∈ N*) =>29q + = 31p +28 =>29q = 31p +23 =>31p = 29q - 23 => p = (29q – 23) :31 Để a nhỏ p, q số nhỏ + Nếu q = p ∉ N* (loại) + Nếu q = p ∉ N* (loại) + Nếu q = p ∉ N* (loại) 27 + Nếu q = p =3 ( thỏa mãn) Khi p = 3; a = 31.3 +28 = 121 Vậy số cần tìm 121 *Hướng phát triển: Thay đổi số chia, số dư thử cách lấy số cần tìm cộng trừ số để có phép chia hết cho số chia Bài toán mới: a, Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88 Tìm a, biết a bé b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho số 25 ; 28 ; 35 số dư ; 19 ; 33 Ví dụ 6: Một số chia hết cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số chia cho 1292 dư ? Phương pháp: Ta nhận thấy 4.17.19 = 1292, số ; 17; 19 ba số nguyên tố sánh đôi Cần lấy số phải tìm cộng thêm với số để số chia hết cho ba số Giải: Gọi số cần tìm a (a ∈ N) a chia cho dư => a = 4q + a chia cho 17 dư => a = 17k + a chia cho 19 dư 13 => a= 19m + 13 (q, k, m ∈ N) => 4q + = 17k + = 19m + 13 => a + 25 = 4(q +7) = 17(k +2) = 19(m + 2) => a + 25 chia hết cho 4; 17; 19 => a + 25 =1292 t ( t ∈ N*) ( 4; 17 ;19 số nguyên tố sánh đôi) => a = 1292t – 25 = 1292(t - 1) + 1267 Vậy: chia a cho 1292 dư 1267 *Hướng phát triển: Thay đổi số chia số dư tương ứng Bài toán mới: 28 a, Một số chia hết cho dư 1, chia cho dư 6, chia cho 13 dư 11 Hỏi số chia cho 364 dư ? b, Một số chia hết cho dư 2, chia cho dư 1, chia cho dư 5, chia cho 11 dư 10 Hỏi số chia cho 2310 dư ? 4.2.4 Sử dụng nguyên lý Đirichlet Nội dung nguyên lý Đirichlet: “Nếu có n thỏ, xếp vào n - chuồng, chuồng chứa từ thỏ trở lên” Ví dụ: Cho 10 số tự nhiên : a 1, a2, ., a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Phương pháp: Sử dụng nguyên lý Đirichlet Giải: Lập dãy số: Đặt m1 = a1 m = a1 + a2 m = a1 + a2 + a3 m10 = a1 + a2 + + a10 + Nếu tồn mi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 toán chứng minh + Nếu không tồn mi chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem mi chia cho 10 10 số dư ( số dư ∈ { 1,2.3 9}) Theo nguyên lí Đirichlet, phải có số có số dư mk; mn Hiệu số mk - mn, chia hết cho 10 ( k > n) Vậy toán dược chứng minh *Hướng phát triển: Thay đổi số số hạng dãy Bài toán mới: a, Chứng minh tồn số tự nhiên x < 17 cho 25x -1 M17 b, Chứng minh có số tự nhiên có dạng 3232 32 chia hết cho 31 29 4.2.5 Dùng phương pháp phản chứng: * Nội dung phương pháp phản chứng: Để chứng minh A => B, ta giả sử B sai Khi B sai dẫn tới A sai => điều giả sử B sai sai Vậy B Ví dụ: Chứng minh rằng: với n số tự nhiên n + n + không chia hết cho 49 Phương pháp: Dùng phương pháp phản chứng: Giải: Giả sử n + n + M49 => 4( n + n + 2) M49 Hay ( 4n + 4n + 8) M49 => ( 2n + 1) +7 M49 (1) Mà 49 M7 => ( 4n + 4n + 8) M7 => ( 4n + 4n + + 7) M7 => ( 4n + 4n + )M7 => ( 2n + 1) M7 Do số nguyên tố nên (2n+1) M7 => ( 2n + 1) M49 (2) Từ (1) (2) suy M49 ( vô lí) => Điều giả sử n + n + M49 sai => n + n + không chia hết cho 49 Vậy với n số tự nhiên n + n + không chia hết cho 49 *Hướng phát triển: Thay đổi kiện toán cho sử dụng phương pháp Bài toán mới: a, Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh a+b ab hai số nguyên tố b, Chứng minh số n + 3n + không chia hết cho 121 với số tự nhiên n 30 Kết đạt Với cách khai thác toán theo phương pháp giải đặc trưng vừa trình bày trên, sau năm dạy toán 6, thân nhận thấy: Khi dạy phần chia hết tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phép chia hết từ giải hầu hết tập phần này, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc tổng quát Qua đó, rèn luyện cho học sinh thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, … giúp phát triển trí thông minh, óc sáng tạo, lực tự nghiên cứu, tự tìm tòi để lĩnh hội kiến thức Các em thấy dạng toán thật phong phú, đa dạng không đơn điệu Điều giúp cho học sinh hứng thú học môn Toán * Kết cụ thể: Với tập giáo viên đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Áp Số HS giải theo mức độ Từ -20% Từ 20Từ 50Trên 80% dụng Năm học đề tài Số HS lượng BT SL % 50% 80% lượng BT SL % lượng BT SL % BT SL % Chưa 2011 - 2012 áp 2013 - 2014 2014 - 2015 dụng Đã áp dụng Đã áp dụng 20 45 40 15 0 30 20 14 46.7 23.3 10 25 16 32 36 16 Điều kiện sáng kiến nhân rộng 31 - Đảm bảo điều kiện cần thiết sở vật chất như: SGK, STK, máy chiếu… - Có thể đưa sáng kiến vào buổi thảo luận chuyên môn - Áp dụng phương pháp khai thác tập chương trình ôn tập phụ đạo bồi dưỡng học sinh giỏi không dành cho lớp mà có áp dụng cho lớp 7; 8; - GV dạy có kiến thức vững vàng, tâm huyết, nhiệt tình phương pháp truyền thụ tốt, có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tòi lời giải, tự phân tích phát triển toán theo nhiều hướng khác C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận: Có thể nói với cách làm đây, chuẩn bị tạo tình dẫn dắt học sinh học tập cách tự học Thông qua phát huy tính tích 32 cực chủ động học sinh Tuy nhiên để làm điều phải tốn không thời gian cho việc chuẩn bị nội dung phương pháp giảng dạy Nhưng theo phương pháp giúp chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao người thày phải biết lấy học sinh làm trung tâm cho hoạt động dạy mình, làm để học sinh tự giác hoat động học tập Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách ( có thể) không thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm , hướng giải để gặp tương tự học sinh liên hệ Đặc biệt, trình giảng dạy, người thày phải động viên, khuyến khích tạo điều kiện để trí tuệ em phát triển tối đa Khuyến nghị: Trên vài sáng kiến nhỏ thân tự rút dạy phần " Phép chia hết" lớp Chắc chắn chưa hoàn chỉnh, khiếm khuyết Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán giáo viên THCS nhiều bất cập thân muốn đóng góp chút sáng kiến nhỏ Mong nhà trường THCS có kế hoạch bồi dưỡng học sinh khá, giỏi thường xuyên cho HS từ lớp 6, để em có vốn kiến thức phong phú, vững vàng, tiếp tục lĩnh hội kiến thức cao hơn, giải nhiều dạng khó nữa, chiếm lĩnh đỉnh cao kiến thức Đây đề tài ứng dụng nhiều nhà trường bồi dưỡng đội tuyển Toán khối lớp Đặc biệt buổi chuyên đề hay 33 buổi bồi dưỡng hè, chia sẻ từ đồng chí đồng nghiệp có kinh nghiệm chuyên môn, học hỏi nhiều phương pháp mà đồng chí nêu Do vậy, có điều kiện, Phòng Giáo Dục tổ chức mở chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên có nhiều kinh nghiệm thực để giao lưu, học hỏi thêm Qua đây, mong góp ý chân thành bạn đồng nghiệp để chất lượng giảng dạy năm học tới tốt hơn! Tôi xin chân thành cảm ơn! DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 SGK, SBT Toán tập tập NXB GD VN Tôn Thân- Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) Các chuyên đề chọ lọc Toán NXB GD Tôn Thân Đặng Văn Quân - Bùi Văn Tuyên Toán Số học nâng cao NXB GD Nguyễn Vĩnh Cận Nâng cao phát triển toán NXB GD Vũ Hữu Bình Tuyển chọn thi học sinh giỏi toán THCS Số học – Đại số NXB Hà Nội Lê Hồng Đức Toán nâng cao NXB Đà Nẵng Phan Văn Đức Tuyển tập 250 toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp NXB Trẻ Thành phố Hồ Chí Minh Võ Đại Mau MỤC LỤC 35 Trang Thông tin chung sáng kiến Tóm tắt sáng kiến Mô tả sáng kiến Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Cơ sở lý luận vấn đề Thực trạng vấn đề Các giải pháp, biện pháp thực Các giải pháp thực Các biện pháp cụ thể Kết đạt Điều kiện sáng kiến nhân rộng Kết luận khuyến nghị Danh muc tài liệu tham khảo 4 5 6 30 31 32 34 36