Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ở trường THCS nga an

Trong môn toán 9, thì dạngtoán về tương giao giữa parabol và đường thẳng các em muốn giải được phảinhớ được các kiến thức đại số, hình học của các lớp đã học.. Trong dạng toán về tương g

MỤC LỤC

Trang

I MỞ ĐẦU 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu: 2

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

3.1 Kiến thức cơ bản: 4

3.2 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng 5

3.3 Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng 6

3.4 Dạng 3:Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng 8

3.5 Dạng 4:Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt toạ độ giữa Parabol và đường thẳng 10

3.6 Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và Parabol 11

3.7 Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến 13

3.8 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa đường thẳng và Parabol thoả mãn điều kiện cho trước 15

3.9.Dạng 8: Xác định parabol 18

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20

1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 20

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, mộtmôn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khócho người học cũng như người dạy Với vai trò quan trọng của bộ môn có tínhquyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác Trong môn toán 9, thì dạngtoán về tương giao giữa parabol và đường thẳng các em muốn giải được phảinhớ được các kiến thức đại số, hình học của các lớp đã học Chính vì vậy, khihọc dạng toán này học sinh rất lúng túng, khó tìm ra cách giải, dẫn tới ngạihọc

Trong dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng lại là một trởngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giảicác loại toán này Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó Đặc biệt,với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi, vào THPT thì đây là mộttrong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua

Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhàtrường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán tham

dự kì thi các cấp huyện và tỉnh, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề đặt ra

là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các dạng toán về tươnggiao giữa parabol và đường thẳng? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về vấn

đề này các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?

Hiện tại chưa có tài liệu nghiên cứu sâu về dạng toán sự tương giao củađường thẳng và parabol, cũng như chưa có đồng nghiệp nào có kinh nghiệmgiảng dạy tốt phần này Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnhdạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng toán về sự tương giao giữaparbol và đường thẳng” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiếnthức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiếnthức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh

- Lập kế hoạch giải một bài toán theo phương pháp tích cực

Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn củatoán học, giúp học sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực nhờ kiến thức vàphương pháp toán học Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra chocác em nhiều thách thức không nhỏ khi giải các dạng toán này

Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đềgiúp học sinh hiểu và từ đó giải được các bài toán dạng này để góp phần nâng

cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THCS Đặc biệt nâng cao chất lượng thivào THPT của trường THCS Nga An.

3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán về tương giao giữa parabol vàđường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT của trường THCS NgaAn” Nghiên cứu và tổng kết các biện pháp khi giảng dạy về các dạng toántương giao giữa parabol và đường thẳng trong chương trình toán 9

Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9A và 9B năm hoc 2014-2015 và

2015 -2016 của trường THCS Nga An, Nga Sơn

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thịhàm số, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn…

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin…

-Phương pháp nghiên cứu: Quan sát học sinh học tập

+ Giáo viên chuẩn bị: Máy chiếu, bảng phụ ghi các bài tập, bài giải mẫu vàcách giải của từng dạng toán

+ Học sinh: Cần nắm vững lí thuyết về phần quan hệ giữa Parapol vàđường thẳng

+ Cho học sinh hệ thống lại kiến thức về quan hệ giữa Parapol và đườngthẳng

+ Giáo viên chia ra các dạng bài tập và tổ chức cho học sinh giải các bàitoán mẫu

+ Giáo viên tổ chức cho học sinh tự làm việc, tự kiểm tra đánh giá, sửachữa, giáo viên chốt lại vấn đề

II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêuchung của trường THCS, đó là việc góp phần hình thành những con người cótrình độ học vấn phổ thông cơ bản, đó là những con người biết rèn luyện để cótính độc lập, có tư duy sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu côngnghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước hiện nay

Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phươngpháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc những kiến thức cơ bản với từng đối tượnghọc sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập các môn nói chung cũngnhư môn toán nói riêng

Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, cáckiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, do vậy khi học, các em cầnnắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán, bàitoán cụ thể

Một trong các kiến thức cơ bản trong chương trình toán THCS là phần đồthị, hàm số, mối tương giao giữa các đường thẳng với nhau, giữa các đườngthẳng và parabol Nhìn chung, ở phần này, học sinh có khả năng tư duy tưởng

tượng chưa tốt nên giải loại toán này khá vất vả, trình bày không chặt chẽ, rõràng dẫn đến điểm kém nên sợ hoặc không thích học phần đồ thị, hàm số Khinghiên cứu việc học và giải toán của các em học sinh THCS, trao đổi với cácđồng nghiệp dạy toán ở THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9, tôi thấy loạitoán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng vàparabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT, mặt khác, đây làloại toán mà các em phải nắm vững để chuẩn bị cho môn toán lớp 10 THPT.

Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sángkiến kinh nghiệm “Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữaParabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ởtrường THCS Nga An” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiếnthức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiếnthức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy ở trường THCS, tôi có nhiều trăn trở vềnhững khó khăn, lúng túng của học sinh khi giải một số bài toán về sự tươnggiao giữa Parabol và đường thẳng đây là loại toán phổ biến trong chương trìnhĐại số 9 và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào THPT.Bởi sự đa dạng thú vị, là sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chương trìnhĐại số 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luậnchặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị, cho tới sự vận dụng linh hoạt cáckiến thức của hệ thức Vi ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phươngpháp giải phương trình, hệ phương trình

Kết quả - hiệu quả của thực trạng nghiên cứu trên:

Tôi được nhà trường phân công dạy 2 lớp 9, tôi đã trực tiếp giảng dạy và

ôn luyện phần sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng Tuy nhiên khi làmbài kiểm tra mới biết học sinh còn nhiều lúng túng về cách phân loại để đưa ralời giải cho mỗi loại toán nói trên, còn nhiều nhầm lẫn giữa các dạng khác nhaudẫn tới kết quả sai đáng tiếc

Bảng thống kê về học lực của học sinh năm học 2013-2014

Lớp Phương pháp Giải được Có đường lối giải Không giải được

Từ thực trạng trên để kết quả giảng dạy được hiệu quả hơn, tôi mạnh dạncải tiến cho học sinh năm học 2014-2015 và 2015-2016 là phân ra: Một số dạngtoán về sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Kiến thức cơ bản:

Cho Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = bx + c (d) khi đó:

Ta có: Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng

y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) 

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

3.2 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng

3.2.1.Phương pháp giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng

y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):

y = 3x - 2 là nghiệm của phương trình:

3.2.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quátrình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm như sau:

Học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm hoành độ giao điểm x tuynhiên gặp những bài khi x không là số nguyên thì tìm hoành độ bằng đồ thị sẽgặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của x.

Lưu ý: GV cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán

3.2.4 Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:

Dạng toán này chỉ việc áp dụng công thức là giải được nên dạng này học

sinh không gặp khó khăn khi giải Do đó dạng này dùng cho mọi học sinh,

nhưng chủ yếu là củng cố kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu

3.2.5 Bài tập tương tự dạng này:

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có

phương trình:(P): y=x2 ; (d): y =2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)

1 Với a = 2 tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P)

2 Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

3 Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2 Tìm a để

x12+x22 = 6

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol ( ) :P y x 2 và đường thẳng

( ) :d yx 2

a) Hãy vẽ ( )P và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d

c) Viết phương trình đường thẳng ( ) :d1 y ax b  Biết rằng ( )d1 song songvới ( )d và cắt ( )P tại điểm A có hoành độ là 2

3.3 Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.

3.3.1.Phương pháp giải

Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (d), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hoành độgiao điểm bằng phương trình hoành độ (1), sau đó thay hoành độ vào một tronghai phương trình (d) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm Từ đó tìm toạ độgiao điểm

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):

y = 4x + 3 là nghiệm của phương trình:

Tương tự ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đườngthẳng (d2): y = 10x + 25 là nghiệm của phương trình:

3.3.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ

độ giao điểm (x; y), tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thìtìm toạ độ bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y Hơn nữa các em vẽ

đồ thị lại thiếu độ chính xác, thiếu thẩm mỹ

3.3.4 Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:

Giáo viên (GV) hướng dẫn học sinh (HS) giải như các ví dụ trên Đối vớidạng toán này, nếu là đề thi vào THPT thì phương trình hoành độ giao điểmthường là những phương trình bậc 2 có thể nhẩm được nghiệm Giáo viên khắcsâu kỹ năng giải phương trình bậc 2 cho HS

3.3.5 Bài tập tương tự dạng này:

Bài 1:(Thi vào THPT-TPHCM 2013-2014)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2



y x và đường thẳng (D): yx 2 trêncùng một hệ trục toạ độ

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính

Bài 2:(Thi vào THPT-Hải Phòng 2013-2014)

Cho đường thẳng (d): y  4x 3 và parabol (P): yx2 Tìm tọa độ các giaođiểm của (d) và (P) bằng phép toán

Bài 3:(Thi vào THPT-Long An 2014-2015)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( ) :P y x 2 và đường thẳng

( ) :d yx 2

a) Hãy vẽ ( )P và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d

c) Viết phương trình đường thẳng ( ) :d1 y ax b  Biết rằng ( )d1 song songvới ( )d và cắt ( )P tại điểm A có hoành độ là 2

Bài 4 :(Thi vào THPT- Khánh Hòa 2015-2016)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2

Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng

y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) 

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ( giải ’>0 hoặc  >0 )

3.4.2.Các ví dụ:

Ví dụ 1:

Chứng tỏ Parabol (P): y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d):

y = 4m x + m2 khi m thay đổi

Lời giải:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - 4x2 với đường thẳng (d):

y = 4m x + m2 là nghiệm của phương trình:

- 4x2 = 4m x + m2

 4x2 + 4m x +m2= 0

Vì có ’=(2m)2 - 4m2 = 0 với mọi m, nên phương trình có nghiệm kép

Do đó Parabol (P): y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4m x + m2

khi m thay đổi

Ví dụ 2:

Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn cóđiểm chung khi m thay đổi

Lời giải:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):

y = (m+1)x - m là nghiệm của phương trình:

2

y x

Vậy (d) luôn đi qua I(2;1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

Do đó phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm M và N có hoành độ x1 và x2

3.4.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trìnhtổng quát rồi mới tính  hoặc ’ Học sinh nhầm lẫn về phương trình bậc nhấttrong trường hợp có nghiệm duy nhất và vô số nghiệm

3.4.4 Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:

Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độgiao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát, Khi đó xác định

vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng trở thành bài toán biện luận sốnghiệm của phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kếthợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán phù hợp

3.4.5 Bài tập tương tự dạng này:

Bài 1:(Thi vào THPT-Đà Nẵng 2015-2016) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) 1) Vẽ đồ thị (P)

2) Cho các hàm số y = x + 2 và y = - x + m ( với m là tham số) lần lượt có đồ thị

là (d) và (dm) Tìm tất cả các giá trị của m để trên một mặt phẳng tọa độ các đồthị của (P) , (d) và (dm) cùng đi qua một điểm

Bài 2:(Thi vào THPT-Thái Bình 2013-2014)

Cho Parabol (P): 2

2

x

y  và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:

a Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó

b Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểmM(-1; 5)

Bài 3:(Thi vào THPT-BìnhThuận 2015-2016)

Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng

y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):

y = - 5 x - 6 là nghiệm của phương trình:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d):

y =2 x - 2008 là nghiệm của phương trình: