Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ở trường THCS nga an

MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .3 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Kiến thức bản: 3.2 Dạng 1: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol đường thẳng 3.3 Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm Parabol đường thẳng 3.4 Dạng 3:Chứng minh vị trí tương đối Parabol đường thẳng 3.5 Dạng 4: Chứng minh tính chất, vị trí giao điểm mặt toạ độ Parabol đường thẳng 10 3.6 Dạng 5: Biện luận số giao điểm đường thẳng Parabol 11 3.7 Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến 13 3.8 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao đường thẳng Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước 15 3.9.Dạng 8: Xác định parabol 18 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học ứng dụng nhiều sống, môn học thiếu với chúng ta, mơn học trừu tượng khó cho người học người dạy Với vai trò quan trọng mơn có tính định đến chất lượng học tập mơn khác Trong mơn tốn 9, dạng toán tương giao parabol đường thẳng em muốn giải phải nhớ kiến thức đại số, hình học lớp học Chính vậy, học dạng tốn học sinh lúng túng, khó tìm cách giải, dẫn tới ngại học Trong dạng toán tương giao parabol đường thẳng lại trơ ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh khơng ngỡ ngàng bối rối giải loại toán Thực ra, vấn đề khó Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi, vào THPT vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua Là giáo viên giảng dạy tốn bậc THCS, thân tơi lại Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tốn tham dự kì thi cấp huyện tỉnh, trăn trơ vấn đề Vấn đề đặt làm giúp cho học sinh giải thành thạo dạng toán tương giao parabol đường thẳng? Và gặp dạng toán vấn đề em tìm cách giải cách tốt nhất? Hiện chưa có tài liệu nghiên cứu sâu dạng toán sự tương giao đường thẳng parabol, chưa có đờng nghiệp có kinh nghiệm giảng dạy tốt phần Để giúp em học phần có kết tốt, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng toán sự tương giao parbol đường thẳng” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức phần mà cịn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức cách dễ hiểu tới em học sinh Mục đích nghiên cứu: - Giúp giáo viên giảng dạy nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế sai sót học sinh giải tốn, tạo hứng thú học toán học sinh - Định hướng giải tốn, có phương pháp thích hợp với đề bài, tổng kết dạng toán, có niềm tin vững vàng giải tốn - Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, nhận xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá để giải toán từ đơn giản đến phức tạp - Lập kế hoạch giải toán theo phương pháp tích cực Ngay từ học sinh phổ thơng em cần thấy vai trị to lớn toán học, giúp học sinh hoạt động hiệu lĩnh vực nhờ kiến thức phương pháp toán học Các toán sự tương giao hai đồ thị đặt cho em nhiều thách thức khơng nhỏ giải dạng tốn Với ý nghĩa tơi muốn phân tích tốn chỉ chất vấn đề giúp học sinh hiểu từ giải tốn dạng để góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trường THCS Đặc biệt nâng cao chất lượng thi vào THPT trường THCS Nga An Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán tương giao parabol đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT trường THCS Nga An” Nghiên cứu tổng kết biện pháp giảng dạy dạng toán tương giao parabol đường thẳng chương trình tốn Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9A 9B năm hoc 2014-2015 2015 -2016 trường THCS Nga An, Nga Sơn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu sách báo liên quan tới đồ thị hàm số, phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn… - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin… -Phương pháp nghiên cứu: Quan sát học sinh học tập + Giáo viên chuẩn bị: Máy chiếu, bảng phụ ghi tập, giải mẫu cách giải dạng toán + Học sinh: Cần nắm vững lí thuyết phần quan hệ Parapol đường thẳng + Cho học sinh hệ thống lại kiến thức quan hệ Parapol đường thẳng + Giáo viên chia dạng tập tổ chức cho học sinh giải toán mẫu + Giáo viên tổ chức cho học sinh tự làm việc, tự kiểm tra đánh giá, sửa chữa, giáo viên chốt lại vấn đề II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn có vị trí đặc biệt quan trọng việc thực hiện mục tiêu chung trường THCS, việc góp phần hình thành người có trình độ học vấn phổ thơng bản, người biết rèn luyện để có tính độc lập, có tư sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng u cầu cơng nghiệp hố, hiện đại hoá đất nước hiện Để thực hiện thành cơng nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc kiến thức với đối tượng học sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập môn nói chung mơn tốn nói riêng Kiến thức mơn tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, học, em cần nắm vững kiến thức bản, từ vận dụng linh hoạt vào giải loại toán, toán cụ thể Một kiến thức chương trình tốn THCS phần đờ thị, hàm số, mối tương giao đường thẳng với nhau, đường thẳng parabol Nhìn chung, phần này, học sinh có khả tư tương tượng chưa tốt nên giải loại toán vất vả, trình bày khơng chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm nên sợ hoặc khơng thích học phần đờ thị, hàm số Khi nghiên cứu việc học giải toán em học sinh THCS, trao đổi với đờng nghiệp dạy tốn THCS mà đặc biệt giáo viên dạy tốn 9, tơi thấy loại tốn sự tương giao đường thẳng đường thẳng, đường thẳng parabol thường đề cập tới đề thi vào THPT, mặt khác, loại toán mà em phải nắm vững để chuẩn bị cho mơn tốn lớp 10 THPT Để giúp em học phần có kết tốt, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải số dạng toán tương giao Parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT trường THCS Nga An” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức phần mà cịn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức cách dễ hiểu tới em học sinh Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên trực tiếp giảng dạy trường THCS, tơi có nhiều trăn trơ khó khăn, lúng túng học sinh giải số toán sự tương giao Parabol đường thẳng loại tốn phổ biến chương trình Đại số thường xuyên xuất hiện kì thi, đặc biệt kì thi vào THPT Bơi sự đa dạng thú vị, sự tổng hợp kiến thức chương trình Đại số liên quan tới nó, từ kiến thức kĩ tính tốn đến việc lập luận chặt chẽ mối quan hệ hàm số đồ thị, sự vận dụng linh hoạt kiến thức hệ thức Vi ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng phương pháp giải phương trình, hệ phương trình Kết - hiệu thực trạng nghiên cứu trên: Tôi nhà trường phân công dạy lớp 9, trực tiếp giảng dạy ôn luyện phần sự tương giao Parabol đường thẳng Tuy nhiên làm kiểm tra biết học sinh nhiều lúng túng cách phân loại để đưa lời giải cho loại tốn nói trên, cịn nhiều nhầm lẫn dạng khác dẫn tới kết sai đáng tiếc Bảng thống kê học lực học sinh năm học 2013-2014 Lớp Phương pháp 9A Khi chưa áp dụng 9B Khi chưa áp dụng Giải 20% 15% Có đường lối giải 40% 40% Khơng giải 40% 45% Từ thực trạng để kết giảng dạy hiệu hơn, mạnh dạn cải tiến cho học sinh năm học 2014-2015 2015-2016 phân ra: Một số dạng toán sự tương giao Parabol đường thẳng Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Kiến thức bản: Cho Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) đó: Ta có: Hoành độ giao điểm Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) nghiệm phương trình: ax2 = bx + c ⇔ ax2 - bx – c = (1) - Parabol (P) đường thẳng (d) khơng có điểm chung ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm - Parabol (P) đường thẳng (d) có điểm chung (tiếp xúc) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép hồnh độ tiếp điểm nghiệm kép phương trình - Parabol (P) đường thẳng (d) có hai điểm chung (cắt nhau) ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt 3.2 Dạng 1: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol đường thẳng 3.2.1.Phương pháp giải Hoành độ giao điểm Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) nghiệm phương trình: ax2 = bx + c ⇔ ax2 - bx – c = (1) Giải (1) ta tìm hồnh độ giao điểm 3.2.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x - Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x - nghiệm phương trình: x2 = 3x - ⇔ x2 - 3x + = Vì: a + b + c = - + = nên x1 = 1; x2 = Vậy hoành độ giao điểm (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x + :1; Ví dụ 2: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 - 4x + với (d): y = - 2x+ Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x - 4x + với đường thẳng (d): y = - 2x+ nghiệm phương trình: x2 - 4x + = - 2x+ ⇔ x2 - 2x - = Vì: a - b + c = - (-2) + (-3) = nên x1 = -1; x2 = Vậy hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x - 4x + với đường thẳng (d): y = - 2x + là: -1; 3.2.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Mặc dù dạng tốn áp dụng cơng thức đơn giản q trình làm tập tơi nhận thấy em mắc phải sai lầm sau: Học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số rời tìm hồnh độ giao điểm x nhiên gặp x khơng số ngun tìm hồnh độ đờ thị gặp khó khăn tìm xác giá trị x Lưu ý: GV cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm giải toán 3.2.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Dạng toán chỉ việc áp dụng công thức giải nên dạng học sinh khơng gặp khó khăn giải Do dạng dùng cho học sinh, chủ yếu củng cố kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu 3.2.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình:(P): y=x2 ; (d): y =2(a-1)x+5-2a ; (a tham số) Với a = tìm hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) (P) Chứng minh với a đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi hoành độ giao điểm đường thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để x12+x22 = Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) : y = − x + a) Hãy vẽ ( P) (d ) mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm hồnh độ giao điểm ( P) (d ) c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b Biết (d1 ) song song với (d ) cắt ( P) điểm A có hồnh độ 3.3 Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm Parabol đường thẳng 3.3.1.Phương pháp giải Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (d), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hồnh độ giao điểm phương trình hồnh độ (1), sau thay hồnh độ vào hai phương trình (d) hoặc (P) để tìm tung độ giao điểm Từ tìm toạ độ giao điểm 3.3.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1): y = 4x + (d2): y = 10x + 25 Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1): y = 4x + nghiệm phương trình: -x2 = 4x +3 ⇔ x2 + 4x + = Vì: a - b + c = - +3 = nên x1 = -1; x2 = -3 Từ ta có tung độ tương ứng là: y1 = -x2 = -(-1)2 = -1 y2 = -x2 = -(-3)2 = -9 Vậy tọa độ giao điểm Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1): y = 4x + là: (-1; -1) (-3; -9) Tương tự ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = -x với đường thẳng (d2): y = 10x + 25 nghiệm phương trình: -x2 = 10x +25 ⇔ x2 + 10x + 25 = Ta có ∆’ = 52- 25 = ⇒ x1 = x2 = -5 Từ ta có tung độ tương ứng là: y1= y2 = -x2 = -(-5)2 = -25 Vậy tọa độ giao điểm Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d2): y = 10x + 25 là: (-5; -25) Ví dụ 2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P): y = x + 3x - với đường thẳng (d): y = - 2x + Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x + 3x - với đường thẳng (d): y = - 2x + nghiệm phương trình: x2 + 3x - = - 2x + ⇔ x2 + x - = Vì: a + b + c = + - = nên x1 = 1; x2 = - Từ ta có tung độ tương ứng là: y1= - x1 + 4= - 2.1 + = y2= - x2 + 4= - 2.(- ) + = 16 Vậy tọa độ giao điểm Parabol (P): y = x2 + 3x -2 với đường thẳng (d): y = - 2x + là: (1; ) (- ; 16) 3.3.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Gặp dạng toán học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số rời tìm toạ độ giao điểm (x; y), nhiên gặp x y không số ngun tìm toạ độ đờ thị khó tìm xác giá trị x; y Hơn em vẽ đờ thị lại thiếu độ xác, thiếu thẩm mỹ 3.3.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Giáo viên (GV) hướng dẫn học sinh (HS) giải ví dụ Đối với dạng tốn này, đề thi vào THPT phương trình hồnh độ giao điểm thường phương trình bậc nhẩm nghiệm Giáo viên khắc sâu kỹ giải phương trình bậc cho HS 3.3.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1:(Thi vào THPT-TPHCM 2013-2014) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x đường thẳng (D): y = − x + hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Bài 2:(Thi vào THPT-Hải Phòng 2013-2014) Cho đường thẳng (d): y = x −3 parabol (P): y = x Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) phép toán Bài 3:(Thi vào THPT-Long An 2014-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) : y = − x + a) Hãy vẽ ( P) (d ) mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm ( P) (d ) c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b Biết (d1 ) song song với (d ) cắt ( P) điểm A có hồnh độ Bài :(Thi vào THPT- Khánh Hòa 2015-2016) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 1) Vẽ parabol (P) 2) Xác định toạ độ giao điểm A, B đường thẳng (d): y = -x – (P) Tìm toạ điểm M (P) cho tam giác MAB cân M 3.4 Dạng 3:Chứng minh vị trí tương đối Parabol đường thẳng 3.4.1.Phương pháp giải Hoành độ giao điểm Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) nghiệm phương trình: ax2 = bx + c ⇔ ax2 - bx – c = (1) - Parabol (P) đường thẳng (d) khơng có điểm chung ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm ( giải ∆’0 ) 3.4.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Chứng tỏ Parabol (P): y = - 4x2 tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4m x + m2 m thay đổi Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = - 4x2 với đường thẳng (d): y = 4m x + m2 nghiệm phương trình: - 4x2 = 4m x + m2 ⇔ 4x2 + 4m x +m2= Vì có ∆’=(2m)2 - 4m2 = với m, nên phương trình có nghiệm kép Do Parabol (P): y = - 4x tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4m x + m m thay đổi Ví dụ 2: Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m+1)x - m ln có điểm chung m thay đổi Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = (m+1)x - m nghiệm phương trình: x2 = (m+1)x - m ⇔ x2 - (m+1)x + m = Vì có ∆= [ − (m + 1)] - 4m = (m - 1)2 ≥ với m, nên phương trình ln có nghiệm với m Do Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = (m+1)x - m ln có điểm chung m thay đổi Ví dụ 3: Cho Parabol (P): y = x2 - 6x + đường thẳng (d): y = mx +1- 2m Chứmg minh (d) qua điểm cố định I cắt (P) hai điểm M N Lời giải: Phương trình đường thẳng (d) viết sau: y= (x - 2)m + ⇔ y - = (x - 2)m (2) Để (d) qua I(x;y) cố định, nghĩa (d) qua I với giá trị m ta phải có: (2) thoả mãn ∀ m ∈ R x − = x = ⇔ ⇔ y −1 = y = Vậy (d) qua I(2;1) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x2 - 6x + = mx +1- m ⇔ x2 - (m+6)x + m +4= (3) Ta có: ∆ = (m + 6)2 - 4(2m + 4) = m2 + 4m + 20 = (m + )2 + 16 > với ∀ m ∈ R Do phương trình (3) ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Vậy (d) cắt (P) hai điểm M N có hồnh độ x1 x2 3.4.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Học sinh khơng đưa phương trình hồnh độ giao điểm phương trình tổng qt rời tính ∆ hoặc ∆’ Học sinh nhầm lẫn phương trình bậc trường hợp có nghiệm vơ số nghiệm 3.4.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Giáo viên cần củng cố cho học sinh kỹ lập phương trình hồnh độ giao điểm, biến đổi đưa phương trình bậc hai dạng tổng quát, Khi xác định vị trí tương đối Parabol đường thẳng trơ thành toán biện luận số nghiệm phương trình bậc 2, tính chất nghiệm phương trình bậc 2, kết hợp với tư hình học để có lời giải cho tốn phù hợp 3.4.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1:(Thi vào THPT-Đà Nẵng 2015-2016) Cho hàm số y = x2 có đờ thị (P) 1) Vẽ đờ thị (P) 2) Cho hàm số y = x + y = - x + m ( với m tham số) có đờ thị (d) (dm) Tìm tất giá trị m để mặt phẳng tọa độ đồ thị (P) , (d) (dm) qua điểm Bài 2:(Thi vào THPT-Thái Bình 2013-2014) x2 Cho Parabol (P): y = đường thẳng (d): y = mx + m + (m tham số) 1) Chứng minh với giá trị m thì: a Đường thẳng (d) ln qua điểm cố định, tìm tọa độ điểm b Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt 2) Tìm tọa độ hai điểm A B thuộc (P) cho A đối xứng với B qua điểm M(1; 5) Bài 3:(Thi vào THPT-BìnhThuận 2015-2016) Vẽ đờ thị ( P) hàm số y = x2 Chứng minh đường thẳng (d) : y = kx + cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt với k 3.5 Dạng 4: Chứng minh tính chất, vị trí giao điểm mặt toạ độ Parabol đường thẳng 3.5.1.Phương pháp giải Hoành độ giao điểm Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) nghiệm phương trình: ax2 = bx + c ⇔ ax2 - bx – c = (1) Tính chất, vị trí (d) (P) phụ thuộc vào tính chất nghiệm (1) 3.5.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng (d): y = - x - hai điểm nằm phía với trục tung Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = - x - nghiệm phương trình: x2 = - x - ⇔ x2 + x + = Vì có ∆= nên phương trình có hai nghiệm là: x1= -2; x2= - Ta thấy hai nghiệm âm, suy hoành độ giao điểm âm Do giao điểm chúng nằm phía bên trái trục tung Ví dụ 2: Chứng tỏ Parabol (P): y = - x2 cắt đường thẳng (d): y = x - 2008 hai điểm thuộc hai phía trục tung Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d): 10 y =2 x - 2008 nghiệm phương trình: - x2 = x - 2008 ⇔ x2 + x – 2008 = Vì có a.c = 1.(- 2008) < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu Do giao điểm chúng nằm hai phía trục tung 3.5.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Ở dạng toán học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số rời tìm tọa độ giao điểm (x; y) nhiên gặp x, y không số nguyên hoặc q xa gốc tọa độ tìm hồnh độ, tung độ đờ thị gặp khó khăn tìm xác giá trị (x; y) 3.5.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Giáo viên cần củng cố cho học sinh kỹ tìm hồnh độ giao điểm, tọa độ giao điểm, kỹ giải phương trình bậc 2, tính chất nghiệm phương trình bậc 2, kết hợp với tư hình học để có lời giải cho tốn phù hợp 3.5.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1:(Thi vào THPT-Bến Tre 2013-2014) Cho hàm số y = x2 có đờ thị (P) y = 2x + có đờ thị (d) a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trục nhau) b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính c) Tìm điểm I thuộc (P) I cách trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O) Bài 2:(Thi vào THPT chuyên Lê Hồng Phong -Nam Định 2013-2014) Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) hàm số y= -x đường thẳng (d) qua điểm A(-1; -2) có hệ số góc k Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) cắt đờ thị (P) điểm A, B Tìm k cho A, B nằm hai phía trục tung Gọi (x1; y1) (x2; y2) toạ độ điểm A, B nói tìm k cho tổng S = x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn 3.6 Dạng 5: Biện luận số giao điểm đường thẳng Parabol 3.6.1 Phương pháp giải Tương tự dạng 3.6.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2m x +m - tìm m để: a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (d) tiếp xúc với (P) c) (d) không cắt (P) Lời giải: 11 Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y =2m x +m - nghiệm phương trình: x2 =2m x +m - ⇔ x2 - 2m x -m + = (4) Ta có ∆’ = m2 + m - = (m - 2) (m + 3) a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > ⇔ m< - hoặc m > b) (d) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (4) có hai nghiệm kép ⇔ ∆’ = ⇔ m= - hoặc m = c) (d) không cắt (P) ⇔ phương trình (4) vơ nghiệm ⇔ ∆’ < ⇔ - < m < Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = x + 2m tìm m để: a) (d) tiếp xúc với (P) b) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ giao điểm m = Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = x + 2m nghiệm phương trình: x2 = x + 2m ⇔ x2 - x -2m = (5) Ta có ∆’ = + 2m a) (d) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (5) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = ⇔ + 2m = ⇔ m = - b) Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > ⇔ + 2m > ⇔ m > - m = hồnh độ giao điểm A, B nghiệm phương trình : x2 - x - = Ta có ∆’ = + = Do x1=2 + ; x2=2 - Thay x1, x2 vào y = x2 ta tung độ tương ứng là: y1= x21 =(2 + )2 =11 + y2= x22 =(2 - )2 =11 - Vậy tọa độ giao điểm A, B Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 4x + là: A(2 + ;11 + ) B(2 - ;11 - ) 3.6.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: 12 Học sinh khơng đưa phương trình hồnh độ giao điểm phương trình bậc hai tổng qt rời tính ∆ hoặc ∆’ 3.6.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Giáo viên cần củng cố cho học sinh kỹ lập phương trình hồnh độ giao điểm, biến đổi đưa phương trình bậc hai dạng tổng qt Khi xác định vị trí tương đối Parabol đường thẳng trơ thành toán biện luận số nghiệm phương trình bậc 2, tính chất nghiệm phương trình bậc 2, kết hợp với tư hình học để có lời giải cho toán phù hợp 3.6.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1: (Thi vào THPT- Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014) Cho parabol (P): y= x2 đường thẳng (d): y= x + m (với m tham số) 1.Vẽ parabol (P) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 2:(Thi vào THPT- Đà Nẵng 2014-2015) Cho hàm số y = x2 có đờ thị (P) hàm số y = 4x + m có đờ thị (dm) 1)Vẽ đờ thị (P) 2)Tìm tất giá trị m cho (dm) (P) cắt hai điểm phân biệt, tung độ hai giao điểm 3.7 Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến 3.7.1.Phương pháp giải Hồnh độ giao điểm Parabol y = ax2 (P) đường thẳng y = bx + c (d) nghiệm phương trình: ax2 = bx + c ⇔ ax2 - bx – c = (1) (d) tiếp tuyến (P) (1) có nghiệm kép ( giải ∆’=0 hoặc ∆ = ) 3.7.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y = a x + b Tìm a, b biết: a) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 2y + x = - tiếp xúc Parabol (P): y = - x b) Đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng x - 2y + 1= tiếp xúc Parabol (P): y = - x2 c) Đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 điểm A(- 1; 1) Lời giải: a) Ta có 2y + x = - ⇔ y = - x -2 2 (d) song song với đường thẳng y = - x -2 nên (d) có dạng y = - x + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) : x2 - 2x + 4b = (6) 13 Đường thẳng (d) tiếp xúc Parabol (P): y = ⇔ phương trình (6) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = ⇔ 1- 4b = ⇔ b = x Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - x + b) Ta có x - 2y + 1= ⇔ y = 1 x+ 2 (d) vng với đường thẳng có phương trình y = ⇔ a 1 x+ 2 = - ⇔ a= - nên phương trình đường thẳng (d) có dạng y=-2x+b Tương tự phần a ta tìm b = Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - x + c) Ta có A( -1; ) ∈ (d) ⇔ 1= - a + b ⇔ b = a + Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = a x + a + Tương tự phần a ta tìm a = - Với a = - ⇒ b = - Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - x -1 Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + a) Xác định phương trình tiếp tuyến (d) (P) song song với đường thẳng (l): y = - x -1 b)Xác định tiếp tuyến (P) xuất phát từ gốc O Lời giải: a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = a x + b (d) song song với (l) nên (d) (l) có hệ số góc ⇒ a = - Do (d) có dạng y = - x + b Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x - 4x + với đường thẳng (d): y = -2 x + b nghiệm phương trình: x2 - 4x + = - x + b ⇔ x2 - x + - b = (7) Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (7) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = - (3 - b ) = ⇔ b = Vậy phương trình tiếp tuyến (d) (P) song song với (l) là: y = -2 x + b) Phương trình đường thẳng qua O có dạng y = a x (d) Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = x - 4x + với đường thẳng (d):y = a x là: x2 - 4x + = a x ⇔ x2 - (a+4) x + = (8) Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (8) có nghiệm kép ⇔ ∆ = (a + )2 - 12 = (9) 14 Phương trình (9) có nghiệm a1= - + , a2= - - Vậy qua O có hai tiếp tuyến với (P) :(d1): y = - 2(2 - )x (d2): y = - 2(2 + )x 3.7.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Đối với dạng toán học sinh hay bị nhầm lẫn vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với parabol 3.7.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Gặp dạng toán GV phải làm cho HS hiểu đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm điểm phải nghiệm hai phương trình, để chứng minh tốn phương trình hồnh độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép Hơn giáo viên phải củng cố thêm kiến thức vị trí tương đối đường thẳng, đặc biệt đường thẳng vng góc “có tích hệ số góc -1” 3.7.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1:(Thi vào THPT- Vĩnh Long 2014-2015) Cho parabol (P) : y = x2 a) Vẽ đồ thị (P) b) Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – tiếp xúc với (P) Bài Trong hệ trục tọa độ cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = − x+ 2 Vẽ (P) (d) Bằng phép tốn, tìm tọa độ giao điểm (P) (d) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) 3.8 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao đường thẳng Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước 3.8.1 Phương pháp giải - Xét phương trình hồnh độ giao điểm Parabol (P) với đường thẳng (d) (giải ∆’ hoặc ∆ ) để tìm điều kiện tham số - Vận dụng định lí Vi ét tính chất nghiệm phương trình bậc hai để giải 3.8.2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y= mx - a) Chứng minh với m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Gọi hoành độ A, B x1, x2 Chứng minh x1 − x2 ≥ c) Chứng minh ∆OAB vng Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d): y = mx - nghiệm phương trình: 15 - x2 = mx - ⇔ x2 + m x - = (10) a) Phương trình (10) có ∆ = m2 + > nên có hai nghiệm phân biệt ⇒ đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt A, B b) Ta có x1, x2 nghiệm phương trình (10) nên theo định lí Vi ét ta có : x1 x2 = - ⇒ x1 − x = x1 + x1 + x1 1 ≥2 = x1 + x1 x1 Vì x1 x dấu nên x1 =2 x1 Vậy x1 − x2 ≥ c) Ta có phương trình đường thẳng OA y = - x1.x, phương trình đường thẳng OB y = - x2.x Vì - x 1.( - x 2) = x1 x2 = - ⇒ đường thẳng OA OB vuông góc với nên ∆OAB vng Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = m x - m + ( m tham số) a) Tìm m để (d) (P) qua điểm có hồnh độ x = b) Chứng minh với giá trị m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt c) Giả sử (x1; y1) (x2; y2) toạ độ giao điểm (P) (d) Chứng minh y1+ y2 ≥ ( 2 - 1)(x1+ x2) Lời giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P) với đường thẳng (d) nghiệm phương trình: x2 =mx-m+2 ⇔ x2 - 2m x + 2m - = (11) a) Để (d) (P) qua điểm có hồnh độ x = x = phải nghiệm phương trình (11) Từ ta có m = Vậy m = (d) (P) qua điểm có hoành độ x = b) Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = m2 - 2m + = (m - )2 + > với ∀ m Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt c) Ta có (x1; y1) (x2; y2) toạ độ giao điểm (P) (d) nên x1, x2 nghiệm phương trình (11) ⇒ x1+ x2 = 2m y1+ y2 = mx1 - m + + mx2 - m + = m(x1+ x2) - 2m + = 2m2 - 2m + 16 = ( 2m - 2)2 + (2 - 1) 2m ≥ ( 2 - 1)(x1+ x2) Ví dụ 3: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = x - m + ( m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) (x2; y2) cho x1 x2(y1+ y2) = -48 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm Parabol (P) với đường thẳng (d) là: x2 = x - m + ⇔ x2 - 4x + 2m - = (12) ∆’ = 6- 2m Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ ∆’> ⇔ 6- 2m >0 ⇔ m< Khi x1, x2 nghiệm phương trình (12), ta có:  x1 + x2 =  y1 = x1 − m +    x1 x2 = 2(m − 1)  y2 = x2 − m + Ta có: x1 x2(y1+ y2) = -48 ⇔ x1 x2(2x1 - m+1+ 2x2 - m +1) = -48 ⇔ x1 x2 [ 2(x1 + x2 ) -2m + ] = -48 ⇔ 2(m-1) [ 8-2m +2 ] = - 48 ⇔ m2 - 6m -7 = ⇔ m = -1(chọn) hoặc m = (loại) Vậy m = -1 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) (x2; y2) thỏa mãn x1 x2(y1+ y2) = - 48 3.8.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Học sinh không đưa phương trình hồnh độ giao điểm phương trình tổng qt rời tính ∆ hoặc ∆’ Học sinh hay quên không giải điều kiện ∆>0 hoặc ∆’>0 để tìm điều kiện tham số, khơng biết vận dụng hệ thức Vi ét để giải toán… 3.8.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải dạng toán theo cấu trúc ví dụ trên, Củng cố cho học sinh kỹ sử dụng hệ thức Vi ét Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết rằng, dạng toán trọng tâm kì thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa, người đề quan tâm 3.8.5 Bài tập tương tự dạng này: Bài 1:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2013-2014) Cho đường thẳng d : y = 2bx + parabol ( P ) : y = −2 x a) Tìm b để d qua B ( 1;5 ) b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh 2 độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + ( x1 + x2 ) + = Bài 2:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2014-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - tham số m Parabol (P): y = x Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(1; 0) 17 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồng độ x1, x2 thỏa mãn x1 - x = Bài 3:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2015-2016) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – parabol (P) : y = x2 Tìm n để (d) qua điểm B(0;2) Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh 1 1 độ x1, x2 thỏa mãn:  + ÷− x1 x2 + =  x1 x2  Bài 4:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2005-2006) Cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình:(P): y= x2 ; (d): y = mx- m+2 (m tham số) Tìm m để đường thẳng (d) (P) qua điểm có hồnh độ x= Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Giả sử (x1;y1) (x2;y2) toạ độ giao điểm đường thẳng (d) (P) Chứng minh y1 + y ≥ ( 2 − 1)( x1 + x ) Bài 5:(Thi vào THPT- Cần Thơ 2015-2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y = −1 x a) Vẽ đồ thị (P) b) Gọi A(x1, y1) B(x2;y2) tọa độ giao điểm (P) (d): y = x – Chứng minh: y1 + y2 − 5( x1 + x2 ) = 3.9.Dạng 8: Xác định parabol 3.9.1.phương pháp giải Vận dụng tính chất phương trình đường thẳng, dạng tốn để giải 3.9.2.Các ví dụ: Ví dụ: Xác định Parabol (P):y = ax2+bx+c thoả mãn: a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) :y= -5x+15 qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ cắt đường thẳng (d) : y = x - hai điểm có hồnh độ Lời giải: a) (P) qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) − = c  − = 16a + 4b + c c = −1 ⇔ b = −1 − 4a Do Parabol (P) đờ thị hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - Hoành độ điểm chung (d) (P) nghiệm phương trình : ax2 - (1 + 4a)x - = -5x + 15 ⇔ ax2 - 4(a - 1)x - 16 = (15) 18 Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) ⇔ Phương trình (15) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = ⇔ 4(a - 1)2 - 16a = ⇔ (a + 1)2 = ⇔ a = -1 Do : a = -1 ; b = c = -1 Vậy (P) đồ thị hàm số y = - x2 + 3x - b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ (P) qua điểm (0 ; 2) (P) cắt đường thẳng (d) : y = x - hai điểm có hồnh độ ⇔ Giao điểm (P) với đường thẳng (d) :(1 ; 0) (3; 2) Vậy parabol (P) qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) (3 ; 2) chỉ 2 = c c = c =    0 = a + b + c ⇔ a + b = −2 ⇔ a = 2 = 9a + 3b + c 3a + b = b = −3    Do a = ; b = -3 c = 3.9.3 Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: Học sinh khơng biết cách lập hệ phương trình, cách giải phương trình để tìm hệ số 3.9.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng dạng cách linh hoạt, để giải dạng toán 3.9.5 Bài tập tương tự dạng này: Trong hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng (d): y = kx + b Tìm k b cho biết (d) qua hai điểm A(1; 0) B(0; -1) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm câu 1) Vẽ (d) (P) vừa tìm câu 1) 2)   Gọi (d) đường thẳng qua điểm C  ; −1÷ có hệ số góc m 2  a Viết phương trình đường thẳng (d) b Chứng tỏ qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ơ câu 2) vng góc với Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường +Thống kê kết học lực học sinh ngày 10 tháng năm 2015 Có đường lối Không Lớp Phương pháp Giải giải giải 9A Khi áp dụng 85% 13% 2% 9B Khi áp dụng 80% 17% 3% + Kết thi vào THPT theo Phịng GD Nga Sơn cơng bố: Năm học Phương pháp Xếp hạng toàn huyện trường THCS Nga An 2013-2014 Khi chưa áp dụng SKKN 22 2014-2015 Khi áp dụng SKKN 14 19 Như thông qua bảng thống kê thấy tính ưu việt việc sử dụng phân loại toán về: Sự tương giao Parabol đường thẳng Tính ưu việt thể hiện vấn đề sau: - Học sinh nắm vững kỹ hiểu, nhớ vận dụng kiến thức làm toán - Thuận lợi cho việc nắm kiến thức loại toán - Biện pháp khắc phục học sinh yếu - Số học sinh khá, giỏi ngày tăng số học sinh yếu ngày giảm - Kết thi vào THPT trường THCS Nga An tăng lên rõ rệt III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trên giới thiệu đồng nghiệp tám dạng toán sự tương giao Parabol đường thẳng chương trình Đại số mà tơi nghiệm q trình giảng dạy Các tốn dạng phong phú đa dạng Song thời gian nghiên cứu chưa nhiều, viết cịn thiếu sót, tơi mong sự trao đổi, góp ý đờng nghiệp vấn để việc dạy Tốn nói chung tốn nói riêng đạt hiệu cao hơn, góp phần giúp em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú… giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi tuyển sinh vào trường THPT đạt hiệu cao Kiến nghị Trên SKKN đổi phương pháp tôi, mong sự giúp đỡ ban giám hiệu nhà trường cấp quản lý giáo dục tinh thần, sơ vật chất đóng góp đờng nghiệp cho kế hoạch vào thực hiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Nga Sơn, ngày tháng năm 2016 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phùng Văn Đông TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập Toán 9, tập tập NXBGD năm 2012 Tạp chí tốn học tuổi trẻ NXBGD: Đặc san số 12, viết tác giả Phùng Văn Đơng 20 3.Tạp chí toán tuổi thơ NXBGD: Số 134, viết tác giả Phùng Văn Đơng Tạp chí giáo dục Tạp chí giới ta Tạp chí dạy học ngày Đề thi vào THPT tỉnh, thành phố 21 ... học toán trường THCS Đặc biệt nâng cao chất lượng thi vào THPT trường THCS Nga An Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán tương giao parabol đường thẳng, nhằm nâng cao chất. .. đưa sáng kiến kinh nghiệm ? ?Phương pháp giải số dạng toán tương giao Parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT trường THCS Nga An? ?? giúp người giáo viên không chỉ... lầm học sinh mắc phải: Đối với dạng toán học sinh hay bị nhầm lẫn vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với parabol 3.7.4 Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán này: Gặp dạng toán