Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp Hàm số

Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỦ ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Xét tính đơn điệu hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Tính y  f   x  xét dấu y Tìm điểm xi  i  1, 2,, n mà đạo hàm không xác định  Lập bảng biến thiên (nếu cần thiết) Chú ý:  Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) khoảng  a; b  x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) khoảng  a; b  x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2  Thông thường không dùng kí hiệu  (hợp) để kết luận khoảng đơn điệu hàm số Sự biến thiên hàm số chứa tham số Bài toán 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu K  Nếu f   x   với x  K f   x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f   x   với x  K f   x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: Đối với hàm phân thức hữu tỉ y  hàm y không xảy Vì y  ad  bc  cx  d  ax  b  d x    dấu "  " xét dấu đạo  cx  d  c ;  ad  bc   Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai toán điều kiện đơn điệu hàm bậc 3: Giả sử y  f  x   ax3  bx2  cx  d  f   x   3ax2  2bx  c Hàm số đồng biến f   x   0; x  a  a    b    c   Hàm số nghịch biến f   x   0; x  a  a    b    c   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để hàm số đơn điệu khoảng có độ dài L cho trước Loại toán thường xảy hàm số bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d  Bước 1: Tính y  f   x; m  ax2  bx  c  Bước 2: Hàm số đơn điệu x ; x     y  có nghiệm phân biệt   a  *   Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài L  x1  x2  L   x1  x2   4x1x2  L2  S2  4P  l 2 * *  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Bước 4: Giải  *  giao với  * *  để suy giá trị m cần tìm Một số kết thƣờng dùng  Kết 1: “Nếu hàm số f  x  liên tục đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) miền K phương trình f  x   k có tối đa nghiệm (k số)  Kết 2: “Nếu hai hàm số f  x  g  x  đơn điệu ngược chiều miền K phương trình f  x   g  x  có tối đa nghiệm K”  Kết 3: “Nếu hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp n miền K phương k 1 k trình f    x   có m nghiệm phương trình f    x   có tối đa m  nghiệm K”  Kết 4: “Nếu hàm số f  x  xác định miền K có f   x   f   x   miền K f   x  đồng biến nghịch biến K nên f   x   có tối đa nghiệm K phương trình f  x   có tối đa hai nghiệm K”  Kết 5: “Nếu hàm số f  x  liên tục đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) miền K với u, v  K : f  u  f  v   u  v ”  Kết 6: “Nếu hàm số f  x  đồng biến liên tục tập xác định K với   u, v  K : f  u  f  v   u  v ” u, v  K : f  u   f  v   u  v  Kết 8: “Nếu hàm số f  x  nghịch biến liên tục tập xác định K   với u, v  K : f  u  f  v   u  v ” u, v  K : f  u  f  v   u  v Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm cực trị hàm số Quy tắc I:  Tìm tập xác định hàm số  Tính f '  x  Tìm điểm f '  x  f '  x  không xác định  Lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị hàm số Quy tắc II:  Tìm tập xác định hàm số  Tính f   x  Giải phương trình f   x   kí hiệu xi  i  1, 2,  nghiệm  Tính f   x  f   xi   Dựa vào dấu f ''  xi  suy tính chất điểm xi Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  tồn đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f '  x0   Như vậy, hàm số f  x  không đạt cực trị điểm x0 dù x0 nghiệm f   x   f  x  đạt cực trị điểm mà f  x  không tồn đạo hàm Tìm điều kiện đề hàm số đạt cực trị điểm Bài toán: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x0  Bước 1: Điều kiện cần Giả sử hàm số đạt cực trị x0  f   x0    *  Giải phương trình  *  tìm giá trị tham số m  Bước 2: Điều kiện đủ Với giá trị tham số m vừa tìm bước thử lại xem x0 có điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu toán không?  Bước 3: Kết luận Chú ý: Có thể dụng kết sau để thử lại (tức dùng bước 2)  f   x0    hàm số f đạt cực đại điểm x0    f   x0    f   x0    hàm số f đạt cực tiểu điểm x0    f   x0   Ví dụ: Hàm số y  x4 đạt cực tiểu x  f     f     Do đó, chứng minh f   x0   ta sử dụng kết quả:  f   x0    f   x0     Hàm số f đạt cực đại (cực tiểu) điểm x0     f   x0    f   x0         f   x0      https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Tìm điều kiện đề hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Loại 1: Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d ,  a  0 Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán: Cho hàm số y  f  x; m  ax3  bx2  cx  d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước ? Phƣơng pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D   Đạo hàm: y  3ax2  2bx  c  Ax2  Bx  C https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y  có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu qua nghiệm  phương trình y  có hai nghiệm phân biệ    A  3a  a     m  D1 2   B  AC  b  12 ac  b  ac    y     Bước 3: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình y   B 2b  x1  x2   A   3a Khi đó:   x x  C  c  A 3a  Bước 4: iến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m  D2  Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2 Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d  a   Ta có: y '  3ax2  2bx  c Điều kiện Kết luận b2  3ac  Hàm số cực trị b2  3ac  Hàm số có hai điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt trái dấu  A.C  3ac   ac   Hàm số có hai cực trị dấu  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt dấu  y    C  P  x1 x2    A Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan  Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y  có hai nghiệm dương phân biệt    y   B   S  x1  x2    A  C  P  x1 x2     A  Hàm số có hai cực trị dấu âm  phương trình y  có hai nghiệm âm phân biệt https://www.facebook.com/ThayCaoTuan   y '   B   S  x1  x2    A  C  P  x1 x2     A x1    x2 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2     x1  x2  Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1    x2   x1    x2      x1 x2    x1  x2      Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2    x1 x2    x1  x2       x1    x2           x1  x2  2  x1  x2  2  Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  x1 x2    x1  x2       x1    x2        x  x       x1  x2  2 Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt dấu  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  có hai nghiệm trái dấu  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT  (hay đồ thị cắt trục Ox điểm) Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Đặc biệt:  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  y y   phương trình y  có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ  yCT   Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  y y   phương trình y  có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ  yCT   Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT  (áp dụng kh ng nh m nghiệm viết phương tr nh đư ng th ng https://www.facebook.com/ThayCaoTuan qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt  phương trình hoành độ giao điểm f  x   có nghiệm phân biệt (áp dụng nh m nghiệm) Bài toán 3: Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Bài toán: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d Phƣơng pháp giải:  Bước 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị:  a  Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị   b  ac     Bước 2: Viết phương trình qua hai điểm cực trị:  Cách 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số g  x   mx  n , với mx  n dư thức phép chia y cho y  Cách 2: Sử dụng kết “Phương tr nh đư ng th ng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số  2c y  ax3  bx2  cx  d là: g  x      2b  bc ” xd 9a  9a  Cách 3: Sử dụng kết (do thầy Hoàng Trọng Tấn phát triển): “Phương tr nh đư ng th ng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số       y y y.y y  ax3  bx2  cx  d là: g  x    9ay  ”  y 9a   18a M  N   Ta tìm M N thuật toán truy hồi sau: Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan  y.y M  T 0 với T  x   9ay   N  T  T        Cách 4: Sử dụng kết (do thầy Phùng Quyết Thắng phát triển): “Phương tr nh đư ng th ng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d là: g  x   y  y.y ” y Chú ý: Dựa cách vừa trình bày trên, ta sử dụng máy tỉnh bỏ túi để tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số sau:  Bước 1: ấm w để chuyển chế độ máy tính sang môi trường số phức y f   x , m  f   x , m  y.y f  x , m   (nếu hàm số có chứa tham số) y f   x , m   Bước 3: ấm = để lưu biểu thức  Bước 4: ấm r với x  i (đơn vị số phức, để làm xuất i , ta bấm b)  Bước 5: Nhận kết dạng Mi  N  phương trình cần tìm: y  Mx  N Nếu hàm số có chứa tham số m th ta phải tiến hành phiên dịch kết số thành biểu thức chứa m (cụ thể bạn đọc theo dõi ví dụ tr nh bày sau đây) Loại 2: Cực trị hàm trùng phƣơng y  ax4  bx2  c ,  a  0 Bài toán 1: Tìm điều kiện số cực trị hàm số Xét hàm số: y  ax4  bx2  c ,  a  0 x  Ta có: y  4ax  2bx  2x  2ax  b  Do đó: y    x   b *   2a Trường hợp 1: ab  Khi  *  vô nghiệm có nghiệm x   y '  có nghiệm x  y đổi dấu lần x qua  hàm số có cực trị Trường hợp 2: ab  Khi  *  có hai nghiệm phân biệt khác  y  có ba nghiệm y đổi dấu liên tiếp x qua ba nghiệm  hàm số có ba cực trị MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ  Hàm số có cực trị  ab   Hàm số có ba cực trị  ab  a   Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu   b  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Bước 2: Nhập vào máy tính biểu thức: Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 a   Hàm số có cực trị cực trị cực đại   b  a   Hàm số có hai cực tiểu cực đại   b  a   Hàm số có cực tiểu hai cực đại   b   Bài toán 2: Một số toán liên quan đến tính chất điểm cực trị đồ thị hàm trùng phương Th ng thư ng hay gặp dạng câu hỏi: T m m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo https://www.facebook.com/ThayCaoTuan thành tam giác đều, tam giác vu ng cân  Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị  Bước 2: Toạ độ điểm cực trị là:  b b2  4ac   b b2  4ac  A  0; c   Oy , B    ;  , C  ;      2a 4a   2a 4a   b b2  4ac b4 b b  AB  AC     c   , BC   2a 4a 2a 16a 2a Do hàm số bậc trùng phương hàm chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng  tam giác ABC cân A  Nếu tam giác ABC vuông cân (hoặc vuông ) vuông cân A  AB.AC  nên ta có:  2  BC  AB  AC  Nếu tam giác ABC cần AB = BC MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện Góc Tam giác vuông cân Tam giác Công thức giải nhanh  b cot  8a b  8a b3  24a Diện tích tam giác án kính đường tròn nội tiếp án kính đường tròn ngoại tiếp  b  S a    2a   b2 r  b3  a 1 1   8a    b  8a R 8ab Chú ý: Các công thức không phụ thuộc vào c Khi a   b cot  b  2 b3  2 3  b S      b2 r  b3 41 1   b3  R 8b     Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tìm GTLN, GTNN hàm số phƣơng pháp khảo sát trực tiếp Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D , ta làm sau:  Bước 1: Tính f   x  tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà f   x   hàm số đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn:  Bước 1:  Hàm số cho y  f  x  xác định liên tục đoạn  a; b   Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng  a; b  , f   x   f   x  không xác định  Bước 2: Tính f  a  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  b   Bước 3: Khi đó:      max f  x   max f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b   f  x   f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b  a ,b a ,b Chú ý: min f  x   f  a   a ;b  Nếu y  f  x  đồng biến  a; b     f  x  f b max  a ;b min f ( x)  f  b   a ;b  Nếu y  f  x  nghịch biến  a; b    max f ( x )  f a    a ;b    Hàm số liên tục khoảng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng Ví dụ: Hàm số f  x   giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x khoảng  0;1 Tìm GTLN, GTNN hàm số phƣơng pháp đặt ẩn phụ Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D    Bước 1: iến đổi hàm số cho dạng y  F u  x  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan đoạn Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275  Bước 2: Đặt t  u  x  Khi đó, ta tìm t  E với x  D  Bước 3: Việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D quy việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số F  t  E Ứng dụng GTLN, GTNN hàm số toán phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa tham số Bài toán 1: Tìm m để F  x; m   có nghiệm D?  Bước 1: Cô lập tham số m đưa dạng f  x   A  m   Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x   Bước 4: Kết luận giá trị A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm D Chú ý:  Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f  x   A  m  f  x   A  m  max f  x  D D  Nếu toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F  x; m   0; F  x; m   F  x; m   0; F  x; m   có nghiệm D?  Bước 1: Cô lập tham số m đưa dạng A  m   f  x  A  m   f  x  A  m   f  x  A  m  f  x   Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn giá trị nhỏ D th  ất phương trình A  m   f  x  có nghiệm D  A  m  max f  x   ất phương trình A  m   f  x  nghiệm x  D  A  m   f  x   ất phương trình A  m   f  x  có nghiệm D  A  m  f  x   ất phương trình A  m   f  x  nghiệm x  D  A  m   max f  x  D D D D Khi đặt n số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến xác, kh ng làm thay đổi kết toán đổi miền giá trị nó, dẫn đến kết sai lầm 10 Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a;   ,  ; b  ;   ) Đường thẳng y  y0 gọi đƣờng tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   y0 ; lim f  x   y0 x  x  Chú ý:  Nếu lim f  x   lim f  x   l , ta viết chung lim f  x   l x x   Hàm số có TXĐ dạng  a;   ,  ; b  ;   th đồ thị kh ng có tiệm cận ngang Đường thẳng x  x0 gọi đƣờng tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 ax  b cx  d ax  b a d Đồ thị hàm số y  có tiệm cận đứng 1 : x   tiệm cận ngang  : y  cx  d c c Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị hàm số y  Gọi M  x0 ; y0  điểm thuộc đồ thị hàm số y   ax  b  ax  b Khi đó: M  x0 ; y0   cx0  d  cx  d   d cx0  d d  M , 1   d1  x0   c c  Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:  d M ,   d  y  a  ad  bc 2   c c  cx0  d   Khi đó, ta có kết sau:  cx0  d ad  bc ad  bc ad  bc   p  const Ghi nhớ: p  c c c2 c  cx0  d   d1 d2   d1  d2  p  d  p , xảy cx0  d ad  bc    cx0  d   ad  bc c c  cx0  d  ax  b điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến  cx  d k  lần khoảng cách từ M đến  T m đồ thị hàm số y  cx  d ad  bc d PP   d1  kd2  k  x0    kp c c(cx0  d) c 11 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan x Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275  ax  b điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến I cx  d ngắn nhất, biết I giao điểm hai đư ng tiệm cận T m đồ thị hàm số y   ax  b  PP   M  x0 ; ,  cx0  d    d a d I   ;   IM  p , xảy x0    p c  c c ax  b điểm M cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cx  d vu ng góc với đư ng th ng IM, I giao điểm hai đư ng tiệm cận T m đồ thị hàm số y  Hệ số góc đường thẳng IM là: k  y0  y I ad  bc  x0  xI  cx  d  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hệ số góc: y  x0   ad  bc  cx  d Theo toán, ta phải có: y  x0  k  1   cx0  d   ad  bc  ax  b ; tiếp tuyến  đồ thị hàm số M cắt cx  d hai đư ng tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Gọi I giao điểm hai đư ng tiệm cận Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y  Khi đó:  M luôn trung điểm AB   d 2bc  ad  acx A   ;  c  ax0  b  c cx  d     Nếu M  x0 ;     cx0  d    d  2acx0 a  ;  B  c c         ad  bc   IA   c  cx0  d   ad  bc   IA.IB   p c2  cx0  d    IB  c   Diện tích AIB số không đổi: ad  bc  p  const AIB vuông I nên SAIB  IA.IB  2 c2 12 Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đồ thị số hàm số thƣờng gặp Hàm số đa thức bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d ,  a   a0 a0 Trƣờng hợp y y Phương tr nh y  Có nghiệm phân biệt O x O x y Phương tr nh y  1 có nghiệm kép O x O x y y Phương tr nh y  v nghiệm O x 1 O x Hàm số trùng phương: y  ax4  bx2  c ,  a   a0 Trƣờng hợp a0 y Phương tr nh y  y có nghiệm phân biệt 1 O x O x y y Phương tr nh y  1 có nghiệm O x O x 13 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan y Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Hàm số hữu tỉ 1/1: y  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan D  ad  bc  Hàm số hữu tỉ 2/1: y  ax  b ,  c  0, ad  bc   cx  d D  ad  bc  ax2  bx  c ,  d   (SGK Nâng cao) dx  e Phương tr nh y  có nghiệm phân biệt Phương tr nh y  v nghiệm Chú ý:  Hàm số chẵn khoảng  a; b  th có đồ thị đối xứng qua trục tung khoảng  a; b   Hàm số lẻ khoảng  a; b  th có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O khoảng  a; b   Hàm số đồng biến khoảng  a; b  th có đồ thị đư ng lên (từ trái sang phải) khoảng  a; b   Hàm số nghịch biến khoảng  a; b  th có đồ thị đư ng xuống(từ trái sang phải) khoảng  a; b  14 Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ   Bài toán 1: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy đồ thị C  : y  f x   f  x  nÕu x  Ta có: y  f x   y  f x f  x nÕu x          hàm chẵn nên đồ thị  C   nhận Oy làm trục đối xứng Cách vẽ  C   từ  C  :  Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần đồ thị bên trái Oy  C  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy Bài toán 2: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy đồ thị C : y  f  x  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan   f  x  nÕu f  x   Ta có: y  f  x      f  x  nÕu f  x   Cách vẽ  C   từ  C  :  Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần đồ thị phía Ox  C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Ví dụ minh hoạ: Từ đồ thị (C) : y  f  x   x3  x2  x   C  : y  f  x   x (C')  C  : y  f  x   x  x  x 1 y (C')  x2  x  y 1 O (C) O x x (C) Bài toán 3: Từ đồ thị C  : y  u  x  v  x  suy đồ thị C : y  u  x  v  x   u  x  v  x   f  x  nÕu u  x   Ta có: y  u  x  v  x     u x v x  f x nÕu u x            Cách vẽ  C   từ  C  : 15 Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275  Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần đồ thị miền u  x    C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Ví dụ minh hoạ: x  3x  suy Từ đồ thị C  : y  f  x   2x  3x  suy Từ đồ thị  C  : y  f  x   x2 đồ thị C  : y  x  2x2  x  x  3x  đồ thị  C  : y  x2   x  3x    f  x  nÕu x  y  x2   f  x  nÕu x    f  x  nÕu x  y  x  2x  x      f  x  nÕu x    Đồ thị  C   : https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Đồ thị  C   :  Giữ nguyên  C  với x   Giữ nguyên  C  với x  ỏ  C  với x  Lấy đối xứng phần  ỏ (C) với x  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox đồ thị bị bỏ qua Ox (C')  y y (C') 1 O O x x (C) (C) Nhận xét: Nhận xét: Trong trình thực phép suy đồ thị Đối với hàm phân thức nên lấy đối xứng nên lấy đối xứng điểm đặc biệt (C) đư ng tiệm cận để thực phép suy đồ như: giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… thị cách tương đối xác CHỦ ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị  C  hàm số điểm M  x0 , y0  Khi đó, phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 , y0  là: y  y  x0  x  x0   y0 Nguyên tắc chung để lập phương tr nh tiếp tuyến ta phải t m hoành độ tiếp điểm x0 16 Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan Tiếp tuyến điểm Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C  : y  f  x  điểm M  x0 , y0  Phƣơng pháp giải:  Bước 1: Tính đạo hàm y  f   x   hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0   Bước 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M  x0 , y0  có dạng: y  y  x0  x  x0   y0 Chú ý:  Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm) x0 tìm y0 cách vào hàm số ban đầu,  Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm) y0 tìm x0 cách giải phương trình f  x0   y0  Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị C  : y  f  x  đường thẳng d : y  ax  b Khi hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình hoành độ giao điểm d  C  Đặc biệt: Trục hoành Ox : y  trục tung Oy : x  SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI: Phương trình tiếp cần lập có dạng d : y  kx  m  Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  ấm q y nhập  d f X dx  x x , sau bấm = ta k  Tiếp theo: ấm phím ! để sửa lại thành  d f X dx  xx x  X   f  X  , sau bấm phím r với X  x0 bấm phím = ta m Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương tr nh tiếp tuyến điểm thực chất rút gọn bước cách Sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng t m kết hạn chế sai sót tính toán Nếu học sinh tính nh m tốt bỏ qua cách Tiếp tuyến biết phƣơng Bài toán: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  với hệ số góc k cho trước Phƣơng pháp giải:  Bước 1: Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tính y  f   x  17 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan tức là: y0  f  x0  Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275  Bước 2:  Hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0   Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0  Bước 3: Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng: d : y  y0  x  x0   y0 Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau:  Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  k  a Sau lập phương trình tiếp tuyến nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị https://www.facebook.com/ThayCaoTuan trùng với đường thẳng  hay không? Nếu trùng phải loại kết  Tiếp tuyến d   : y  ax  b  k.a  1  k    a  Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc  k   tan  Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : y  ax  b góc  Khi đó: ka  tan   ka SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI Phương trình tiếp cần lập có dạng d : y  kx  m  Tìm hoành độ tiếp điểm x0  Nhập k  X   f  X  (hoặc f  X   kX ) sau bấm r với X  x0 bấm = ta kết m Tiếp tuyến qua điểm Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  , biết tiếp tuyến qua điểm A  xA ; y A  Phƣơng pháp giải: Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xức hai đồ thị  Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A  xA ; y A  hệ số góc k có dạng: d : y  k  x  xA   y A  *   f  x   k  x  x   y Bước 2: d tiếp tuyến  C  hệ   f   x   k A  Bước 3: Giải hệ tìm x  k vào phương trình phương trình tiếp tuyến cần tìm Cách 2:  Bước 1:    Gọi M x0 ; f  x0  tiếp điểm  Tính hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0  theo x0 18 A có nghiệm *  , thu Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan  Bước 2: Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y  f   x0  x  x0   f  x0  * *  Vì điểm A  xA ; y A   d nên yA  f   x0  xA  x0   f  x0  Giải phương trình tìm x0 Bước 3: Thay x0 vừa tìm vào  * *  ta phương trình tiếp tuyến cần tìm CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƢƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C1  hàm số y  g  x  có đồ thị  C2   y  f  x  phương trình   y  g  x   Hoành độ giao điểm C  C  nghiệm phương trình f  x  g  x *  Phương trình  *  gọi phương trình hoành độ giao điểm C  C  Số nghiệm phương trình  *  số giao điểm C  C  2 Sự tiếp xúc hai đƣờng cong Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  có đồ thị  C1   C2  có đạo hàm điểm x0  Hai đồ thị  C1   C2  tiếp xúc với điểm chung M  x0 ; y0  điểm chúng có chung tiếp tuyến Khi điểm M gọi tiếp điểm  Hai đồ thị  C1   C2  tiếp xúc với hệ phương trình sau  f  x   g  x  có nghiệm Nghiệm hệ phương trình hoành độ tiếp   f   x   g  x  điểm y (C1 ) M1 y y2 M2 y1 x O y (C1 ) (C ) M0 x x1 O x x2 O (C ) (C ) C  C  điểm chung (C1 ) C   C2  cắt C   C2  tiếp xúc 19 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Hai đồ thị  C1   C2  cắt điểm M  x0 ; y0    x0 ; y0  nghiệm hệ Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số  T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax3  bx2  cx  d  Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a  x  x1  x  x2  x  x3  , đồng hệ số ta x2   b 3a b vào phương trình ax3  bx2  cx  d  ta điều kiện ràng buộc 3a tham số giá trị tham số Thế x2   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax3  bx2  cx  d  có nghiệm phân biệt  T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax3  bx2  cx  d  d Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a  x  x1  x  x2  x  x3  , đồng hệ số ta x2   a Thế x2   d vào phương trình ax3  bx2  cx  d  ta điều kiện ràng buộc a tham số giá trị tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax3  bx2  cx  d  có nghiệm phân biệt  T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng t  x2  Ta có: ax4  bx2  c  1  at  bt  c      1 có nghiệm phân biệt    có hai nghiệm phân biệt dương  t1  t2  t t  1 Khi  1 có nghiệm phân biệt lần  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng    t2  t1  t1   t1  t2  t1  t2  9t1 c t1 t2  b 9b b a ; t    9ab2  100a2 c Theo định lí Vi-et: t1  t2   Suy ra: t1   10a 10a a 20 Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan Kết luận: Hàm số y  ax4  bx2  c cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập b2  ac    b   thành cấp số cộng, điều kiện cần đủ là:  a c  0 a 9 ab2  100 a c  Một số công thức tính nhanh “ thƣờng gặp “ liên quan đến tƣơng giao đƣờng ax  b cx  d ax  b Giả sử d : y  kx  p cắt đồ thị hàm số y  điểm phân biệt M , N cx  d ax  b Với kx  p  cho ta phương trình có dạng: Ax2  Bx  C  thỏa điều kiện cx  d  , cx  d có   B2  AC Khi đó:    M  x1 ; kx1  p   MN  x2  x1 ; k  x2  x1   MN   N x ; kx  p    2   OM  ON   k  1 x12  x22    x1  x2  2kp  p2  OM.ON   x1 x2  1  k    x1  x2  kp  p2  OM  ON   x1  x2  1  k   2kp    k Bài toán đặc sắc tƣơng giao tiếp tuyến đồ thị C  : y  ax  1  bx2  cx  d ,  a   với  C  Cho đồ thị C  : y  ax  bx  cx  d  0,  a   có tiếp tuyến  A2 y đường thẳng  : y  mx  n ( M tiếp điểm) cắt đồ thị  C  C N M điểm (khác M ) N b Khi đó: xM  xN   a x O xM xN 21 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan thẳng y  kx  p đồ thị hàm số y  ...  v Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm cực trị hàm số Quy tắc I:  Tìm tập xác định hàm số ...  Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tìm GTLN, GTNN hàm số phƣơng pháp. ..   C  P  x1 x2    A Tra cứu nhanh phương pháp giải số dạng toán thường gặp Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & toán liên quan  Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y  có hai nghiệm