Số bernoulli và tổng lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn “Số Bernoulli tổng lũy thừa” tơi thực hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Phạm Thị Hiền Lời cám ơn Lời cảm ơn đầu tiên, xin gởi tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình giảng dạy, trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để tơi hồn thành đề tài luận văn “Số Bernoulli tổng lũy thừa” Tiếp đến tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi nhiều việc hồn thành luận văn Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt q trình học Cao học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy giáo bạn học viên Phạm Thị Hiền Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chương 1: Số Bernoulli đa thức Bernoulli 1.1 Số Bernoulli 1.2 Đa thức Bernoulli 1.3 Một số ứng dụng Chương 2: Tổng luỹ thừa 12 2.1 Tổng lũy thừa mẫu số tổng lũy thừa 12 2.1.1 Tổng lũy thừa 12 2.1.2 Mẫu số tổng lũy thừa 13 2.1.3 Một số mệnh đề liên quan 14 2.1.4 Giá trị p-adic tính chất liên quan 23 2.2 Một số kết mẫu số tổng lũy thừa 25 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Khi tìm cơng thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc 𝑚 𝑛 − số nguyên dương đâu tiên, nhà Toán học Thụy Sĩ Jacorp Bernoulli (1654  1704) phát minh nghiên cứu số Bernoulli Ông để lại sách Ars Conjectandi (1713), việc sử dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli, giải trọn vẹn tốn Đặc biệt, ơng khẳng định khơng đến 10 phút để tính tổng với lũy thừa bậc 10 1000 số nguyên dương Ngày nay, số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng lũy thừa nói đóng vai trị quan trọng nhiều ngành khác Toán học, đặc biệt lý thuyết số đại giải tích 𝑝 - adic Chúng tiếp tục nghiên cứu nhiều nhà Toán học đưa nhiều kết thú vị Chẳng hạn giá trị hàm số zeta 𝜁(𝑠) 𝑠 = 2𝑘 tính qua số Bernoulli sau 𝑘 𝜁(2𝑘) = (−1) ⋅ 𝜋 2𝑘 2𝑘−1 𝐵2𝑘 ⋅ ⋅ , (2𝑘 − 1)! 2𝑘 𝑘 = 1,2, … 𝐵2𝑘 số Bernoulli thứ 2𝑘 Chính vậy, định chọn đề tài “Số Bernoulli tổng lũy thừa” đề tài luận văn thạc sĩ Tốn học để trình bày số nghiên cứu gần số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng lũy thừa Luận văn gồm có chương sau: Chương Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli số ứng dụng chúng Đặc biệt chương làm rõ chứng minh Định lý C.von Staudt and T.Claussen Chương Tổng lũy thừa Chương trình bày tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa cơng thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Tiếp theo, chương trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng lũy thừa Chương Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng Đặc biệt làm rõ chứng minh Định lý đồng dư thức C.von Staudt and T.Claussen Các kết chương trình bày theo tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4] 1.1 Số Bernoulli Trong mục trình bày định nghĩa số tính chất số Bernoulli Định nghĩa 1.1.1 Số Bernoulli thứ 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ), kí hiệu 𝐵𝑛 , số hữu tỷ định nghĩa quy nạp sau 𝐵0 = 1, { 𝑛 𝑛+1 ∑( ) 𝐵𝑘 = (𝑛 ≥ 1) 𝑘 𝑘=0 Dựa vào Định nghĩa 1.1.1 ta có 𝐵0 = 1, + ( ) 𝐵1 = 0, 3 + ( ) 𝐵1 + ( ) 𝐵2 = 0, ⋯ Từ ta tính 1 𝐵1 = − ; 𝐵2 = ; 𝐵3 = 0; 𝐵4 = − ; 𝐵5 = 0; … 30 Tiếp theo ta đến số tính chất số Bernoulli Bổ đề 1.1.2 Số Bernoulli thứ 𝑛, kí hiệu 𝐵𝑛 , xác định hàm sau ∞ 𝑡 𝑡𝑘 = ∑ 𝐵𝑘 , (|𝑡| < 2𝜋) 𝑒𝑡 − 𝑘! 𝑘=0 Chứng minh Ta có ∞ 𝑡 𝑡𝑘 = ∑ 𝑏𝑘 (𝑏 ∈ ℚ), 𝑒𝑡 − 𝑘! 𝑘 𝑘=0 ∞ 𝑡𝑖 𝑒 −1=∑ 𝑖! 𝑡 𝑖=1 Suy ∞ ∞ 𝑡𝑖 𝑡𝑘 𝑡 = ∑ ∑ 𝑏𝑘 𝑖! 𝑘! 𝑖=1 𝑘=0 Đồng hệ số hai vế, ta b0  ∑ 𝑛 𝑛+1 ( ) 𝑏𝑘 = 0, với n  𝑘 𝑘=0 Do 𝐵𝑛 = 𝑏𝑛 với 𝑛 ≥ 0, hay ∞ 𝑡 𝑡𝑘 = ∑ 𝐵𝑘 , (|𝑡| < 2𝜋) 𝑒𝑡 − 𝑘! 𝑘=0 Vậy Bổ đề chứng minh Mệnh đề 1.1.3 Với 𝑘 ∈ ℕ ∖ {0}, 𝐵2𝑘+1 = Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.2, ta có ∞ 𝑡 𝑡 𝑡𝑘 𝑓(𝑡): = 𝑡 + = + ∑ 𝐵𝑘 𝑒 −1 𝑘! 𝑘=2 Vì 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) nên 𝑓(𝑡) hàm số chẵn Do hệ số lũy thừa bậc lẻ t vế phải phải 0, hay 𝐵2𝑘+1 = Vậy Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.4 Với 𝑛 ≥ 1, tổng 𝑆𝑛 (𝑥): = 1𝑛 + 2𝑛 + ⋯ + (𝑥 − 1)𝑛 thỏa mãn 𝑛 𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑆𝑛 (𝑥) = ∑ ( ) 𝐵𝑘 𝑥 𝑛+1−𝑘 𝑘 𝑘=0 Chứng minh Vì ∞ 𝑒 𝑘𝑡 ∞ (𝑘𝑡)𝑛 𝑡𝑛 𝑛 =∑ = ∑𝑘 , 𝑛! 𝑛! 𝑛=0 𝑛=0 nên ∞ + 𝑒 𝑡 + ⋯ + 𝑒 (𝑥−1)𝑡 ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑛=0 = ∑ 𝑆𝑛 (𝑥) 𝑛=0 Lại có, ∞ 𝑡𝑛 𝑡𝑛 𝑡𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = ∑1 +∑2 + ⋯ + ∑(𝑥 − 1) 𝑛! 𝑛! 𝑛! 𝑛=0 𝑛 𝑡 𝑛! 26 Định lý 2.2.1 Cho 𝑛 ≥ 𝑑𝑛 mẫu số tổng lũy thừa thứ 𝑛 Khi ta có tính chất: (i) Nếu 𝑝 ∣ 𝑑𝑛 𝑝 ≤ 𝑛 + (ii) 𝑛 + ∣ 𝑑𝑛 Đặt qn  dn 𝑞𝑛 khơng chia hết cho số phương n 1 khác (iii) Với 𝑛 ≥ 1, 𝑑𝑛 số chẵn 𝑞𝑛 số lẻ 𝑛 = 2𝑟 − 1, với 𝑟 ≥ 𝑛+2 (iv) Nếu 𝑝 ∣ 𝑞𝑛 𝑝 ≤ 𝑀𝑛 , với 𝑀𝑛 = {𝑛+2 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẵ𝑛; 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ Chứng minh Với 𝑛 = 0: 𝑑0 = 𝑞0 = 𝑀0 = Khi tính chất thỏa mãn Với 𝑛 ≥ 1: (i), (ii): Ở đầu Chương ta biết 𝑑𝑛 = denom(𝑆𝑛 (𝑥)) Từ Mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề 2.1.7 ta suy Sn ( x) x n n N  n  1 n  k n 1, k n  k   B x  x ,   k k 0  k  k  Dn 1, k Tn ( x)  (n  1) 𝑁𝑛+1,𝑘 số nguyên Đặt 𝑙𝑛 = BCNN(𝐷𝑛+1,1 , 𝐷𝑛+1,2 , … , 𝐷𝑛+1,𝑛 ) 27 Vì 𝐷𝑛+1,𝑘 khơng chia hết cho số phương khác nên 𝑙𝑛 Lại có, 𝑇𝑛 (𝑥) ∈ ℚ[𝑥] đa thức đơn khởi (theo Mệnh đề 2.1.6) nên 𝑙𝑛 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn 𝑙𝑛 ⋅ 𝑇𝑛 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥], hay 𝑙𝑛 = denom(𝑇𝑛 (𝑥)) Từ 𝑇𝑛 (𝑥) = (𝑛 + 1) 𝑆𝑛 (𝑥) , 𝑥 suy 𝑆𝑛 (𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑇𝑛 (𝑥) 𝑛+1 Do 𝑑𝑛 = (𝑛 + 1)𝑙𝑛 , (𝑛 + 1) ∣ 𝑑𝑛 Đặt qn  dn 𝑞𝑛 = 𝑙𝑛 , suy 𝑞𝑛 không n 1 chia hết cho số phương khác Lại có, theo cách đặt 𝑙𝑛 Mệnh đề 2.1.7, qn  ln   pPn1 n p, với Pn 1  Pn 1,k k 1 Theo Mệnh đề 2.1.8 Mệnh đề 2.1.9 định nghĩa tập hợp 𝑃𝑛+1,𝑘 Mệnh đề 2.1.7 ta có 𝑝 ≤ max(𝑃𝑛+1 ) ≤ 𝑛 + Vậy tính chất (i), (ii) chứng minh (iii): Đặt 𝑛 + = 𝑚 Ta chứng minh 𝑞𝑛 số lẻ 𝑚 = 2𝑟 , với 𝑟 ≥ Theo phần chứng minh ta có qn   pPm p, với Pm  m 1 Pm ,k k 1 Do ∤ 𝑞𝑛 ∉ 𝑃𝑚 , hay ∉ 𝑃𝑚,𝑘 (∀1 ≤ 𝑘 < 𝑚) • Nếu 𝑚 = 𝑃2 = 𝑃2,1 = ∅ 𝑞1 = số lẻ • Nếu 𝑚 ≥ 𝑚 số chẵn 28 𝑚−1 𝑚−2 𝑚−1 𝑚−2 𝑃𝑚 = ⋃ 𝑃𝑚,𝑘 = 𝑃𝑚,1 ∪ ⋃ 𝑃𝑚,𝑘 ∪ ⋃ 𝑃𝑚,𝑘 = ⋃ 𝑃𝑚,𝑘 𝑘=2 𝑘 chẵn 𝑘=1 𝑘=3 𝑘 lẻ 𝑘=2 𝑘 chẵn Do theo Mệnh đề 2.1.11 ta có 𝑚 ∉ 𝑃𝑚 ∣ ( ), hay 𝑚 = 2𝑟 (𝑟 ≥ 1) 𝑘 Vậy 𝑞𝑛 số lẻ 𝑛 = 2𝑟 − 1, 𝑟 ≥ Ta lại có 𝑑𝑛 = (𝑛 + 1)𝑞𝑛 , ∀𝑛 ≥ Do với 𝑛 ≥ 1, 𝑑𝑛 số chẵn 𝑞𝑛 số lẻ 𝑛 = 2𝑟 − 1, với 𝑟 ≥ Tính chất (iii) đươc chứng minh (iv): Nếu 𝑛 = 𝑞1 = 𝑀1 = 1, (iv) Nếu 𝑛 = q2   p  𝑀2 = 2, (iv) pP3 Nếu 𝑛 = q3   p  M  , (iv) pP4 Nếu 𝑛 ≥ đặt 𝑛 + = 𝑚 Vì qn   p, với Pm  pPm m 1 Pm ,k k 1 nên để chứng minh tính chất (iv) ta cần chứng minh max(𝑃𝑚 ) ≤ 𝑀𝑛 • Nếu 𝑘 = 𝑘 ≥ 𝑘 số lẻ max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ 𝑀𝑛 ≥ nên max(𝑃𝑚 ) ≤ 𝑀𝑛 • Nếu 𝑘 số chẵn thỏa mãn ≤ 𝑘 ≤ 𝑚 − 𝛿𝑚 , với 𝛿𝑚 = { 𝑚 số lẻ; 𝑚 số chẵn; ta cần chứng minh max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ 𝑀𝑛 Ta chia làm hai trường hợp Trường hợp 𝑛 số chẵn: 𝑚 ≥ số lẻ Theo Mệnh đề 2.1.8 ta có 29 max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ (𝑘 + 1, 𝑚+1 ), 𝑀𝑛 = 𝑛+2 𝑚+1 = 2 Do max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ 𝑀𝑛 Trường hợp 𝑛 số lẻ: 𝑚 ≥ số chẵn Theo Mệnh đề 2.1.9 ta có max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ (𝑘 + 1, 𝑚+1 ), 𝑀𝑛 = 𝑛+2 𝑚+1 = 3 Do max(𝑃𝑚,𝑘 ) ≤ 𝑀𝑛 Tính chất (iv) chứng minh Vậy Định lý chứng minh Bổ đề 2.2.2 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑚 số nguyên thỏa mãn 𝑚 ≥ Khi ∑ 𝑚−1 1≤𝑗≤ 𝑝−1 𝑚 (𝑗(𝑝 − 1)) ≡ ( mod  𝑝) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.3, ta có p 1   x  1 x 0 m m    (1) m  r x r x 0 r 0  r  p 1 m m mr    (1)  x r r 0  r  x 0 p 1 m   1 j  m p 1  m  (1) m  j ( p 1)   ( mod p )  j ( p  1)  • Nếu (𝑝 − 1) ∤ 𝑚 p 1 p 1 x 0 x 0  ( x 1)m   xm  ( mod p) (theo Mệnh đề 1.3.3) 30 Suy ∑ 𝑚−1 1≤𝑗≤ 𝑝−1 𝑚 (𝑗(𝑝 − 1)) ≡ ( mod  𝑝) • Nếu (𝑝 − 1) ∣ 𝑚 𝑚 số chẵn Khi 𝑝−1 𝑚 ∑ (−1)𝑚−𝑗(𝑝−1) (𝑗(𝑝 − 1)) ( mod  𝑝) ∑(𝑥 − 1)𝑚 ≡ −1 − 𝑚−1 1≤𝑗≤ 𝑝−1 𝑥=0 Lại có theo Mệnh đề 1.3.3, 𝑝−1 𝑝−1 ∑(𝑥 − 1)𝑚 ≡ ∑ 𝑥 𝑚 ≡ −1 ( mod  𝑝) 𝑥=0 𝑥=0 Suy ∑ 𝑚−1 1≤𝑗≤ 𝑝−1 𝑚 (𝑗(𝑝 − 1)) ≡ ( mod  𝑝) Vậy Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.3 Cố định số nguyên 𝑛 ≥ cho 𝑑𝑛 mẫu số tổng lũy thừa thứ 𝑛 𝑛+2 d Đặt qn  n 𝑀𝑛 = {𝑛+2 n 1 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẵ𝑛; 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ Khi 𝑞𝑛 = ∏ 𝑝𝜀𝑝 , 𝑝≤𝑀𝑛 𝜀𝑝 số phụ thuộc vào 𝑝 sau 𝜀2 = { với số nguyên tố lẻ 𝑝 ≤ 𝑀𝑛 , 𝑛ế𝑢 𝑛 = 2𝑟 − 1, 𝑟 ≥ 0; 𝑐á𝑐 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖; 31 𝑛+1 𝑛 𝑛ế𝑢 𝑝 ∤ (𝑛 + 2) 𝑝 ∣ ( ) , ∀𝑗 = 2,3, … , ⌊ ⌋ − 1, 𝑝−1 𝑗(𝑝 − 1) 𝜀𝑝 = { 𝑐á𝑐 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑐ị𝑛 𝑙ạ𝑖 Chứng minh Nếu 𝑝 = với 𝑛 ≥ thỏa mãn 𝑛 = 2𝑟 − 1, 𝑟 ≥ kéo theo 𝑞𝑛 số lẻ, suy 𝜀2 = Nếu 𝑛 = 𝑀0 = 1, khơng xảy trường hợp 𝑛 = Nếu 𝑝 > số nguyên tố lẻ thỏa mãn 𝑝 ≤ 𝑀𝑛 ta cố định 𝑛 ≥ (vì 𝑛 ≤ 𝑀𝑛 ≤ 2) Đặt 𝑚 = 𝑛 + 𝛿𝑚 = { 𝑚 số lẻ; 𝑚 số chẵn Theo phần chứng minh Định lý 2.2.1 ta có qn   p, với Pm  pPm m 1 Pm ,k k 1 Do 𝑝 ∤ 𝑞𝑛 𝑝 ∤ 𝑃𝑚 , hay 𝑝 ∤ 𝑞𝑛 𝑝 ∤ 𝑃𝑚,𝑘 , ∀𝑘 = 2,4, ⋯ 𝑚 − 𝛿𝑚  m  1 Đặt L    Vì 𝑚 − 𝛿𝑚 𝑝 − số chẵn nên  p 1   m  1  m   m  L    p 1   p 1  Theo Mệnh đề 2.1.7, 𝑚 𝑝 ∣ 𝑃𝑚,𝑘 (𝑝 − 1) ∣ 𝑘 𝑝 ∤ ( ) 𝑘 Do 32 𝜀𝑝 = ⇔ 𝑝 ∤ 𝑞𝑛 ⇔ 𝑝 ∤ 𝑃𝑚,𝑘 , ∀𝑘 = 2,4, … , 𝑚 − 𝛿𝑚 𝑚 ⇔ 𝑝 ∣ ( ), với (𝑝 − 1) ∣ 𝑘, ∀𝑘 = 2,4, … , 𝑚 − 𝛿𝑚 𝑘 𝑚 ⇔ 𝑝 ∣ (𝑗(𝑝 − 1)) , ∀𝑗 = 1,2, … , 𝐿 Từ Bổ đề 2.2.2, ta có 𝑚 𝑚 ∑ (𝑗(𝑝 − 1)) ≡ ( mod  𝑝) (𝐿(𝑝 − 1)) ≡ ( mod  𝑝) 1≤𝑗 𝑗(𝑝 − 1) Do 𝑠𝑝 (𝑚 − 𝑗(𝑝 − 1)) ≥ Suy 𝑠𝑝 (𝑚) = 𝑠𝑝 (𝑗(𝑝 − 1)) + 𝑠𝑝 (𝑚 − 𝑗(𝑝 − 1)) ≥ 𝑝 Vậy 𝑠𝑝 (𝑚) ≥ 𝑝 Giả sử 𝑠𝑝 (𝑚) ≥ 𝑝 Vì 𝑝 ≤ 𝑀𝑛 nên 𝑝 ≤ 𝑀𝑛 < 𝑚 (do 𝑚 ≥ 3) Do 𝑚 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑝 + ⋯ + 𝛼𝑟 𝑝𝑟 , 𝑟 ≥ 1, < 𝛼𝑟 < 𝑝 ≤ 𝛼𝑖 < 𝑝, 𝑖 = 0,1, … , 𝑟 − Ta lại có 𝑗(𝑝 − 1) = 𝛽𝑗,0 + 𝛽𝑗,1 𝑝 + ⋯ + 𝛽𝑗,𝑟 𝑝𝑟 , với ≤ 𝛽𝑗,𝑖 < 𝑝, 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑟 Vì ≤ 𝑗 ≤ 𝐿 nên 𝑚 > 𝑗(𝑝 − 1), 𝛼𝑟 > 𝛽𝑗,𝑟 , { (𝛼0 , 𝛼1 , … , 𝛼𝑟 ) ≠ (𝛽𝑗,0 , 𝛽𝑗,1 , … , 𝛽𝑗,𝑟 ) Theo Bổ đề 2.1.10, ta có 𝛼0 𝛼1 𝛼𝑟 𝑚 𝜔𝑗 : = (𝑗(𝑝 − 1)) ≡ (𝛽 ) (𝛽 ) ⋯ (𝛽 ) ( mod  𝑝) 𝑗,1 𝑗,0 𝑗,𝑟 Để chứng minh 𝜀𝑝 = ta chứng minh 𝜔𝑗 ≡ ( mod  𝑝), với số 𝑗 thỏa mãn ≤ 𝑗 ≤ 𝐿 Đặt 𝛽𝑟′ = 𝛼𝑟 − 𝛽𝑘′ 𝑟 = {𝛼𝑘 , (𝑝 − 1) − ∑ 𝛽𝑙′ } , 𝑘 = 𝑟 − 1, 𝑟 − 2, … ,0 𝑙=𝑘+1 Vì 𝑠𝑝 (𝑚) = 𝛼0 + 𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝑟 ≥ 𝑝 nên ta có tính chất sau: (i) 𝑠𝑝 (𝑏) = 𝑝 − 1, với 𝑏 = 𝛽0′ + 𝛽1′ 𝑝 + ⋯ + 𝛽𝑟′ 𝑝𝑟 (ii) 𝛼𝑘 ≥ 𝛽′𝑘 , với 𝑘 = 0,1, … , 𝑟 − (iii) 𝛼𝑟 > 𝛽′𝑟 35 Vì 𝑠𝑝 (𝑏) ≡ 𝑏 ( mod  (𝑝 − 1)) nên (𝑝 − 1) ∣ 𝑏 Lại có, theo tính chất (iii) 𝛼𝑟 > 𝛽′𝑟 , suy 𝑚 > 𝑏 Khi đặt j  b ≤ 𝑗 ≤ 𝐿 Suy p 1 (𝛽0′ , 𝛽1′ , … , 𝛽𝑟′ ) = (𝛽𝑗,0 , 𝛽𝑗,1 , … , 𝛽𝑗,𝑟 ) Vì 𝛼0 𝛼1 𝛼𝑟 𝜔𝑗 ≡ (𝛽′ ) (𝛽′ ) ⋯ ( 𝛽′ ) ≡ 0( mod 𝑝), 𝑟 Hay 𝜀𝑝 = Để hoàn thành việc chứng minh Định lý, ta cần chứng minh (𝑞𝑛 )𝑛≥0 không bị chặn Thật vậy, cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑛0 = 2𝑝 − 2, suy 𝑛0 chẵn 𝑀𝑛0 = 𝑝 Khi khai triển 𝑝 − adic 𝑛0 𝑛0 = (𝑝 − 2) + 𝑝, suy 𝑠𝑝 (𝑛0 + 1) = (𝑝 − 1) + = 𝑝 Điều đảm bảo 𝑝 ∣ 𝑞𝑛0 Tương tự, cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑛1 = 3𝑝 − 2, suy 𝑛1 lẻ 𝑀𝑛1 = 𝑝 Khi khai triển 𝑝 − adic 𝑛1 𝑛1 = (𝑝 − 2) + 2𝑝, suy 𝑠𝑝 (𝑛1 + 1) = (𝑝 − 1) + = 𝑝 + > 𝑝 Điều đảm bảo 𝑝 ∣ 𝑞𝑛1 Từ suy (𝑞𝑛 )𝑛≥0 không bị chặn Vậy Định lý chứng minh Cơng thức 𝑞𝑛 có liên hệ sâu sắc với đa thức Bernoulli 𝐵𝑛 (𝑥) Do ta tính 𝑞𝑛 cách mơ tả mẫu số đa thức Định lý 2.2.5 Với 𝑛 ≥ 1, đặt 𝔇𝑛 = denom(𝐵𝑛 (𝑥)) 36 Khi giá trị 𝔇𝑛 thỏa mãn tính chất sau: (i) Nếu 𝑛 = 𝔇𝑛 = (ii) Nếu 𝑛 ≥ 𝑛 số lẻ 𝔇𝑛 = ∏ 𝑝 𝑛+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 (iii) Nếu 𝑛 ≥ 𝑛 số chẵn 𝔇𝑛 = ∏ 𝑝 × ∏ 𝑝 (𝑝−1)∣𝑛 (𝑝−1)∤𝑛 𝑛+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 Đặc biệt, với 𝑛 ≥ 1, 𝔇𝑛 số chẵn denom(𝐵𝑛 ) ∣ denom(𝐵𝑛 (𝑥)) Chứng minh Từ Định nghĩa 2.1.1, Định nghĩa 2.1.3 Định lý 2.2.1, với 𝑛 ≥ ta có 𝑞𝑛−1 = = 𝑑𝑛−1 = ⋅ denom(𝑆𝑛−1 (𝑥 )) 𝑛 𝑛 𝐵𝑛 (𝑥 ) − 𝐵𝑛 ⋅ denom ( ) = denom(𝐵𝑛 (𝑥) − 𝐵𝑛 ) 𝑛 𝑛 (i) Nếu 𝑛 = B1   1 B1 ( x)  x  Suy 𝔇1 = 2, 𝔇1 số 2 chẵn denom(𝐵1 ) ∣ denom(𝐵1 (𝑥)) (ii) Nếu 𝑛 ≥ 𝑛 số lẻ 𝐵𝑛 = Khi 𝔇𝑛 = denom(𝐵𝑛 (𝑥 )) = 𝑞𝑛−1 = ∏𝑝≤𝑀𝑛−1 𝑝 (theo định lý 2.2.4) 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 37 = ∏ 𝑝 𝑛+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 Theo tính chất (iii) Định lý 2.2.1 𝑞𝑛−1 số lẻ 𝑛 = 2𝑟 , 𝑟 ≥ Do 𝑛 ≥ 𝑛 số lẻ 𝑞𝑛−1 số chẵn, hay 𝔇𝑛 số chẵn Hơn 𝐵𝑛 = nên denom(𝐵𝑛 ) = 1, hay denom(𝐵𝑛 ) ∣ denom(𝐵𝑛 (𝑥)) (iii) Nếu 𝑛 ≥ 𝑛 số chẵn đặt D𝑛 = denom(𝐵𝑛 ) Ta có 𝔇𝑛 = denom(𝐵𝑛 (𝑥 )) = denom[(𝐵𝑛 (𝑥 ) − 𝐵𝑛 ) + 𝐵𝑛 ] = BCNN(denom(𝐵𝑛 (𝑥 ) − 𝐵𝑛 ), denom(𝐵𝑛 )) = BCNN(𝑞𝑛−1 , D𝑛 ) 𝑞𝑛−1 = D𝑛 × UCLN(𝑞𝑛−1 , D𝑛 ) = ∏ 𝑝 × ∏ 𝑝 = ∏ 𝑝 × ∏ 𝑝 (𝑝−1)∣𝑛 (𝑝−1)∤𝑛 𝑝≤𝑀𝑛−1 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 (𝑝−1)∣𝑛 (𝑝−1)∤𝑛 𝑛+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (𝑛)≥𝑝 Ta lại có, 𝔇𝑛 = BCNN(𝑞𝑛−1 , D𝑛 ) nên D𝑛 ∣ 𝔇𝑛 Hơn nữa, theo Định lý 1.3.4, Dn   p nên ∣ D𝑛 , 𝔇𝑛 số chẵn ( p 1)∣ n Vậy Định lý chứng minh Ví dụ 2.2.6 (i) Với 𝑛 = 𝔇2 = ∏ 𝑝 × ∏ 𝑝 = ⋅ × ∏ 𝑝 = (𝑝−1)∣2 (ii) Với 𝑛 = (𝑝−1)∤2 2+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (2)≥𝑝 (𝑝−1)∤2 𝑝≤1 𝑠𝑝 (2)≥𝑝 38 𝔇3 = ∏ 𝑝 = ∏ 𝑝 = 3+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (3)≥𝑝 𝑝≤2 𝑠𝑝 (3)≥𝑝 (iii) Với 𝑛 = 𝔇4 = ∏ 𝑝 × ∏ 𝑝 = ⋅ ⋅ × ∏ 𝑝 = 30 (𝑝−1)∣4 (𝑝−1)∤4 (𝑝−1)∤4 4+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (4)≥𝑝 𝑝≤ 𝑠𝑝 (4)≥𝑝 (iv) Với 𝑛 = 𝔇4 = ∏ 𝑝 = ∏ 𝑝 = 5+1 𝑝≤ 𝑠𝑝 (5)≥𝑝 𝑝≤3 𝑠𝑝 (5)≥𝑝 39 Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau: Trình bày chi tiết có hệ thống số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng (Mệnh đề 1.1.4, Mệnh đề 1.3.1, Mệnh đề 1.3.2, Mệnh đề 1.3.3) Trình bày rõ Định lý C.von Staudt and T.Clausen (Định lý 1.3.4) Trình bày số mệnh đề liên quan tổng lũy thừa mẫu số tổng lũy thừa (Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8, Mệnh đề 2.1.9, Mệnh đề 2.1.11) Trình bày số kết quan trọng mẫu số tổng lũy thừa (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.4) Trình bày mối liên hệ mẫu số tổng lũy thừa với đa thức Bernoulli (Định lý 2.2.5) 40 Tài liệu tham khảo [1] N J Fine, Binomial coefficients modulo a prime, Amer Math Monthly 54 (1947) 589 – 592 [2] K MacMillan, J Sondow, Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascaal’s identiy, Amer Math Monthly 118 (2011) 549 – 551 [3] Bernd C Kellner and Jonathan Sondow, Power-Sum Denominators, The American Mathematical Monthly, Vol 124, No (October 2017), pp 695 – 709 [4] K Irelend and M Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, N Y [5] Z H Sun (1997), Congruences for Bernoulli numbers and Bernoulli polynomial, Discerete Math 163, 153 – 163 [6] P Bachmann, Niedere Zahlentheorie Part 2, Teubner, Leipzig, 1910; Part and Part reprinted in one volume, Chelsea, New York, 1968 [7] C Hermite, Extrait d’une lettre M Borchardt, J Reine Angew Math 81 (1876) 93 – 95 ... Chương Tổng lũy thừa Chương trình bày tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa cơng thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Tiếp theo, chương trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng. .. Tổng luỹ thừa Chương trình bày định nghĩa tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa cơng thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Sau trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng lũy. .. Một số kết mẫu số tổng lũy thừa Trong mục trình bày số định lý quan trọng mẫu số tổng lũy thừa, mối liên hệ mẫu số tổng lũy thừa với đa thức Bernoulli 26 Định lý 2.2.1 Cho