Số bernoulli và tổng lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn “Số Bernoulli tổng lũy thừa” tơi thực hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Phạm Thị Hiền Lời cám ơn Lời cảm ơn đầu tiên, xin gởi tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình giảng dạy, trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để tơi hồn thành đề tài luận văn “Số Bernoulli tổng lũy thừa” Tiếp đến tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ nhiều việc hồn thành luận văn Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn q thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, đặc biệt quý thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt q trình học Cao học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy cô giáo bạn học viên Phạm Thị Hiền Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chương 1: Số Bernoulli đa thức Bernoulli 1.1 Số Bernoulli 1.2 Đa thức Bernoulli 1.3 Một số ứng dụng .7 Chương 2: Tổng luỹ thừa 12 2.1 Tổng lũy thừa mẫu số tổng lũy thừa 12 2.1.1 Tổng lũy thừa 12 2.1.2 Mẫu số tổng lũy thừa 13 2.1.3 Một số mệnh đề liên quan 14 2.1.4 Giá trị p-adic tính chất liên quan 23 2.2 Một số kết mẫu số tổng lũy thừa 25 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Khi tìm cơng thức tổng qt để tính tổng lũy thừa bậc số nguyên dương đâu tiên, nhà Toán học Thụy Sĩ Jacorp Bernoulli −1 phát minh nghiên cứu số Bernoulli Ông để lại sách Ars Conjectandi (1713), việc sử dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli, giải trọn vẹn tốn Đặc biệt, ơng khẳng định khơng đến 10 phút để tính tổng với lũy thừa bậc 10 1000 số nguyên dương (1654 1704) Ngày nay, số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng lũy thừa nói đóng vai trị quan trọng nhiều ngành khác Toán học, đặc biệt lý thuyết số đại giải tích adic Chúng tiếp tục nghiên cứu nhiều nhà Toán học đưa nhiều kết thú vị Chẳng hạn giá trị hàm số zeta ( ) = tính qua số Bernoulli sau (2 ) = (−1) ⋅ = 1,2, … 2 số Bernoulli thứ Chính vậy, tơi định chọn đề tài “Số Bernoulli tổng lũy thừa” đề tài luận văn thạc sĩ Toán học để trình bày số nghiên cứu gần số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng lũy thừa Luận văn gồm có chương sau: Chương Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli số ứng dụng chúng Đặc biệt chương làm rõ chứng minh Định lý C.von Staudt and T.Claussen Chương Tổng lũy thừa Chương trình bày tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa cơng thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Tiếp theo, chương trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng lũy thừa Chương Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng Đặc biệt làm rõ chứng minh Định lý đồng dư thức C.von Staudt and T.Claussen Các kết chương trình bày theo tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4] 1.1 Số Bernoulli Trong mục trình bày định nghĩa số tính chất số Bernoulli Định nghĩa 1.1.1 Số Bernoulli thứ ( ∈ ℕ), kí hiệu , số hữu tỷ định nghĩa quy nạp sau { 0=1, ∑( =0 +1 ) =0( ≥1) Dựa vào Định nghĩa 1.1.1 ta có Từ ta tính Tiếp theo ta đến số tính chất số Bernoulli Bổ đề 1.1.2 Số Bernoulli thứ , kí hiệu , xác định hàm sau ∞ −1 =∑ ! , (| | < ) =0 Chứng minh Ta có ∞ −1 =∑ ! ( ∈ℚ), =0 ∞ −1=∑ =1 Suy ∞ ∞ =∑ =1 ! ∑ ! =0 Đồng hệ số hai vế, ta n Do đó= với ≥ 0, hay =0 Vậy Bổ đề chứng minh 1 Mệnh đề 1.1.3 Với ∈ ℕ ∖ {0}, +1 = Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.2, ta có ( ):= ∞ + = 1+∑ −1 ! =2 Vì ( ) = (− ) nên ( ) hàm số chẵn Do hệ số lũy thừa bậc lẻ t vế phải phải 0, hay +1 = Vậy Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.4 Với ≥ 1, tổng ( ): = + + ⋯ + ( − 1) thỏa mãn +1 ( + 1) ( ) = ∑ ( Chứng minh Vì =∑ ( ) +1− ) =0 ∞ ∞ =∑ , =0 ! =0 ! nên 1+ +⋯+ =∑ ∞ =0 Lại có, ( ) ! 26 Định lý 2.2.1 Cho ≥ mẫu số tổng lũy thừa thứ Khi ta có tính chất: (i) Nếu (ii) Đặt khác ∣ + ≤ +1∣ q (iii) Với số chẵn ≥ 1, khơng chia hết cho số phương số lẻ = − 1, với ≥ (iv) Nếu ∣ Chứng minh Với = 0: Với ≥ 1: = = = Khi tính chất thỏa mãn (i), (ii): Ở đầu Chương ta biết = denom( ( )) Từ Mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề 2.1.7 ta suy T ( x )  ( n 1) n    +1, số nguyên Đặt = BCNN( , +1,1 ,…, +1,2 +1, ) 27 Vì +1, khơng chia hết cho số phương khác nên Lại có, ( ) ∈ ℚ[ ] đa thức đơn khởi (theo Mệnh đề 2.1.6) nên số nguyên dương nhỏ thỏa mãn ⋅ ( ) ∈ ℤ[ ], hay = denom( ( )) Từ suy Do = ( + 1) , ( + 1) ∣ chia hết cho số phương khác Lại có, theo cách đặt Mệnh đề 2.1.7, Theo Mệnh đề 2.1.8 Mệnh đề 2.1.9 định nghĩa tập hợp +1, ≤ max( Mệnh đề 2.1.7 ta có +1) ≤ + số lẻ Vậy tính chất (i), (ii) chứng minh = , với (iii): Đặt + = Ta chứng minh ≥ Theo phần chứng minh ta có m1  Pm , k q k 1 n Do • • Nếu Nếu = 2∤ ≥ số chẵn , hay ∉ ∉ = 2,1 = ∅ = số lẻ , (∀1 ≤ < ) −1 =⋃ 28 , = ,1 −2 ∪⋃ −1 ∪⋃ , , = ⋃ −2 , =1 Do theo Mệnh đề 2.1.11 ta có 2∉ ∣ ( ), hay = ( ≥ 1) = ( + 1) , ∀ ≥ Do với ≥ 1, số chẵn số lẻ = − 1, với ≥ Tính chất (iii) đươc chứng minh (iv): Nếu Nếu = = = 1, (iv) = q2   p  = 2, (iv) pP3 Nếu = Nếu ≥ đặt M  , (iv) Vì +1= p, với P qn m nên để chứng minh tính chất (iv) ta cần chứng minh max( • Nếu max( )≤ • Nếu )≤ = ≥ , ) ≤ số chẵn thỏa mãn ≤ ={ ta cần chứng minh max( số lẻ max( , nếu ≤ − số lẻ; , với số chẵn; ) ≤ Ta chia làm hai trường hợp Trường hợp số chẵn: ≥ số lẻ Theo Mệnh đề 2.1.8 ta có ≥ nên 29 max( , ) ≤ ( + 1, = Do max( , )≤ Trường hợp số lẻ: max( ≥ số chẵn Theo Mệnh đề 2.1.9 ta có , ) ≤ ( + 1, = Do max( , Tính chất (iv) chứng minh )≤ Vậy Định lý chứng minh Bổ đề 2.2.2 Cho số nguyên tố lẻ số nguyên thỏa mãn 1≤ ≤ Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.3, ta có p 1   x  1 x0 • Nếu ( − 1) ∤ p 1  ( x  1)m  x m x0  ( mod p) (theo Mệnh đề 1.3.3) ≥ Khi 30 Suy • ∑ −1 1≤ ≤ Nếu ( − 1) ∣ số chẵn Khi ( ( − 1)) ≡ ( mod ) −1 −1 ∑( −1) ≡−1− =0 Lại có theo Mệnh đề 1.3.3, −1 ∑( − 1) ≡ ∑ ≡ −1 ( mod ) =0 Suy ∑ 1≤ ≤ Vậy Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.3 Cố định số nguyên mẫu số tổng lũy thừa thứ ≥ cho Đặt  q n Khi =∏ , ≤ số phụ thuộc vào ={ với số nguyên tố lẻ ≤ , ế sau =2 −1, ≥0; 31 ế ∤( ={ Chứng minh Nếu = với ≥ thỏa mãn = − 1, ≥ kéo theo số lẻ, suy = Nếu = = 1, khơng xảy trường hợp = Nếu > số nguyên tố lẻ thỏa mãn ≤ ta cố định ≥ (vì ≤ ≤ 2) Đặt = + ={ số lẻ; số chẵn Theo phần chứng minh Định lý 2.2.1 ta có m1 q  Pm  n Do ∤ hay Đặt  L m 1   p 1  Vì ∤ − Pm , k k1 khi và − số chẵn nên ∤ ∤ , , , ∀ = 2,4, ⋯ L  m 1 m m    p   p 1  Theo Mệnh đề 2.1.7, ∣ Do − , ( − 1) ∣ ∤ ( ) ườ ℎợ ò =0⇔ 32 ∤ ∤ ⇔ ⇔ , , ∀ = 2,4, … , ∣ ( ), với ( − 1) ∣ , ∀ = 2,4, … , − − ⇔ ∣ ( ( −1)),∀ = 1,2,…, Từ Bổ đề 2.2.2, ta có ∑ ( ( − 1) ) ≡ 1≤ < Suy =0⇔ ∣( Xét trường hợp ∣( )⇔ Điều tương đương với ( − 1) ) với = 1,2, … , − = 1, ta có ∣ ( −1)⋯( −( −2)) −1 =0⇔ ∤ ( + 1) Vậy +1 ∤ ( + 2) − ∣ ( ( − 1) ) ∀ = 2,3, … , Vậy Định lý chứng minh Định lý 2.2.4 Cho số nguyên ≥ mẫu số tổng lũy thừa thứ ( ) tổng chữ số khai triển − adic Đặt ={ Khi Đặc biệt, ( = ∏ ) ≥0 không bị chặn ( +1)≥ ≤ Gọi Chứng minh Cố định ≥ đặt =∏ 33 + Theo Định lý 2.2.3, = ≤ Do để chứng minh Định lý ta cần chứng minh với số nguyên tố ≤ , = ( ) ≥ Nếu Nếu < = 1, suy loại trường hợp ≥ ≥ Khi ta chia làm hai trường hợp • Trường hợp 2: Theo Định lý 2.2.3 ta có = = − 1, với ≥ Điều tương đương với = , hay ( ) = Do • Trường hợp , với ≤ Giả sử = Đặt L   ∣( = Vì vậy, = tồn số , ≤ Suy ∤( [( ( ( − 1)) + hay ( )= ( − 1) ( − 1)), ( − 1) ) với ∀ = 1,2, … , )] = 0, ( − ( − 1)) − ( ) ( ( − 1)) + cho ≤ = 0, −1 ( − ( − 1)) 34 Vì ≥ ( ( − 1)) ≡ ( − 1) ( mod ( − 1)) nên ( ( − 1)) ≥ − nên ≤ > ( − 1) Do Suy Vậy ( ) ≥ ( )= ( − ( − 1)) ≥ ( ( − 1)) + ( − ( − 1)) ≥ ( ) ≥ Vì ≤ nên ≤ < (do ≥ 3) Do =0+1+⋯+ , ≥ 1, < < ≤ < , = 0,1, … , − Ta lại có ( − 1) = với ≤ , < , = 0,1, ⋯ , Vì ≤ ≤ nên ,0 + ,1 + ⋯ + , > ( − 1), , Theo Bổ đề 2.1.10, ta có :=( Để chứng minh = ta chứng minh ≡ ( mod ), với số thỏa mãn ≤ ≤ Đặt ′ ′ Vì ( )= + + ⋯ + (i) ( ) = − 1, với = (ii) (iii) ≥ > ≥ ′ + ′ +⋯+ ′ ′ , với = 0,1, … , − ′ = −1 = { , ( − 1) − nên ta có tính chất sau: Vì ( )≡ 35 ( mod ( − 1)) nên ( − 1) ∣ Lại có, theo tính chất (iii) > ′ , suy ≤ ≤ Suy > Khi đặt ( 0′, 1′, … , ′) = ( Vì ,0, ,1, …, , ) ≡( Hay = Để hoàn thành việc chứng minh Định lý, ta cần chứng minh ( ) triển − adic ≥0 không bị chặn Thật vậy, cho số nguyên tố lẻ suy ( 0+1)=( suy ( +1)=( Điều đảm bảo ∣ =( −2)+2 , −1)+2= =2 − 2, suy chẵn = Khi khai −1)+1= Điều đảm bảo ∣ Tương tự, cho số nguyên tố lẻ = − 2, suy =( −2)+ , lẻ = Khi khai triển − adic +1> Từ suy ( ) ≥0 không bị chặn Vậy Định lý chứng minh Cơng thức có liên hệ sâu sắc với đa thức Bernoulli ( ) Do ta tính cách mô tả mẫu số đa thức Định lý 2.2.5 Với ≥ 1, đặt = denom( ( )) 36 Khi giá trị (i)Nếu = thì= thỏa mãn tính chất sau: Nếu ≥ số lẻ (ii) =∏ +1 ≤2 ( )≥ Nếu ≥ số chẵn (iii) ( −1)∣ =∏ ×∏ ( −1)∤ +1 ≤3 ( )≥ Đặc biệt, với số chẵn ≥ 1, denom( ) ∣ denom( ( )) Chứng minh Từ Định nghĩa 2.1.1, Định nghĩa 2.1.3 Định lý 2.2.1, với ≥ ta có −1 = −1 = (i) Nếu = B1  Suy B1 ( x )  chẵn denom( 1) ∣ denom( (ii) 1( )) x Nếu ≥ số lẻ thì= Khi = denom( ( )) = −1 =∏ ( )≥ ≤ −1 (theo định lý 2.2.4) = 2, số 37 =∏ +1 ≤2 ( )≥ Theo tính chất (iii) Định lý 2.2.1 = 1, hay denom( ) ∣ denom( ( )) (iii) −1 số lẻ = , ≥ Do ≥ số lẻ Nếu ≥ số chẵn đặt D = denom( ) Ta có = denom( ( )) = denom[( = BCNN(denom( ( ) − ), denom( )) = BCNN( −1, D) = D × UCLN( = −1, ()− )+ −1 số chẵn, số chẵn Hơn = nên denom( ] D) −1 ∏×∏=∏×∏ ( −1)∣ Ta lại có, = BCNN( −1, ( p 1)∣n D ) nên D ∣ Hơn nữa, theo Định lý 1.3.4, Dn   p nên ∣ D , số chẵn Vậy Định lý chứng minh Ví dụ 2.2.6 (i)Với = 2= ×∏ ∏ ( −1)∣2 (ii) Với = =2⋅3× ∏ =6 ) 38 =∏ 3=∏ =2 ≤ (iii) Với = (3)≥ 4= ∏ ×∏ =2⋅3⋅5× ∏ ( −1)∣4 (iv) Với = 4=∏ ≤ (5)≥ =∏ =6 =30 39 Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau: Trình bày chi tiết có hệ thống số kết số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng (Mệnh đề 1.1.4, Mệnh đề 1.3.1, Mệnh đề 1.3.2, Mệnh đề 1.3.3) Trình bày rõ Định lý C.von Staudt and T.Clausen (Định lý 1.3.4) Trình bày số mệnh đề liên quan tổng lũy thừa mẫu số tổng lũy thừa (Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8, Mệnh đề 2.1.9, Mệnh đề 2.1.11) Trình bày số kết quan trọng mẫu số tổng lũy thừa (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.4) Trình bày mối liên hệ mẫu số tổng lũy thừa với đa thức Bernoulli (Định lý 2.2.5) 40 Tài liệu tham khảo [1] N J Fine, Binomial coefficients modulo a prime, Amer Math Monthly 54 (1947) 589 – 592 [2] K MacMillan, J Sondow, Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascaal’s identiy, Amer Math Monthly 118 (2011) 549 – 551 [3] Bernd C Kellner and Jonathan Sondow, Power-Sum Denominators, The American Mathematical Monthly, Vol 124, No (October 2017), pp 695 – 709 [4] K Irelend and M Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, N Y [5] Z H Sun (1997), Congruences for Bernoulli numbers and Bernoulli polynomial, Discerete Math 163, 153 – 163 [6] P Bachmann, Niedere Zahlentheorie Part 2, Teubner, Leipzig, 1910; Part and Part reprinted in one volume, Chelsea, New York, 1968 [7] C Hermite, Extrait d’une lettre M Borchardt, J Reine Angew Math 81 (1876) 93 – 95 ... Chương Tổng lũy thừa Chương trình bày tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa công thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Tiếp theo, chương trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng. .. Tổng luỹ thừa Chương trình bày định nghĩa tổng lũy thừa, mẫu số tổng lũy thừa cơng thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli Sau trình bày số kết gần tổng lũy thừa, đặc biệt mẫu số tổng lũy. .. Một số kết mẫu số tổng lũy thừa Trong mục trình bày số định lý quan trọng mẫu số tổng lũy thừa, mối liên hệ mẫu số tổng lũy thừa với đa thức Bernoulli 26 Định lý 2.2.1 Cho ≥ mẫu số tổng lũy thừa