Số bernoulli, đa thức bernoulli và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn đầu tiên, xin gởi tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mực nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tơi suốt q trình học cao học đặc biệt thực luận văn Nhờ thầy, tơi hồn thành tốt luận văn qua tơi học từ thầy cách làm việc khoa học Tiếp đến xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, TS Phạm Thị Thu Thủy Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy để trang bị cho kiến thức bước đường nghiên cứu tốn học Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập suốt trình học cao học Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tơi lửa đam mê tốn học từ tơi cịn sinh viên sư phạm Thầy theo sát bước từ lúc trường đến Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ Những người ủng hộ định đời Nhờ họ tơi có thêm nghị lực để vượt qua khó khăn suốt q trình học tập Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, xin gởi đến vợ gái u tơi Chính họ chỗ dựa tinh thần vững cho suốt q trình học cao học hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018 Đỗ Cao Trí MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường 1.2 Chuẩn phi Archimede 1.3 Trường số p – adic p 1.4 Phân phối p – adic 10 1.5 Độ đo tích phân p – adic 13 CHƯƠNG SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI 15 2.1 Số Bernoulli đa thức Bernoulli 15 2.2 Tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli 17 2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa thức Bernoulli .21 CHƯƠNG : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI 30 3.1 Ứng dụng số Bernoulli để tính khai triển Laurent tan cot 30 3.2 Khai triển Fourier đa thức Bernoulli 31 3.3 Zeta – hàm số học 36 3.4 Độ đo tích phân Bernoulli 38 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số nguyên : Tập số hữu tỉ : Tập số thực p : Tập số ngun p – dic • : Chuẩn thơng thường • : Chuẩn p – adic B (a , r ) B [a , r ] a+(p : Hình cầu mở tâm a bán kính r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r : Khoảng p p p : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + ( pN ) x : Số Bernoulli thứ k B : Đa thức Bernoulli thứ (bậc ) k B (x ) : Tổ hợp chập k n phần tử n   µ f µ ∎ : Phân phối Bernoulli thứ k : Tích phân hàm f ứng với độ đo µ : Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Các số Bernoulli nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1704 ) phát minh nghiên cứu ơng tìm cơng thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m n -1 số nguyên dương Bằng số Bernoulli đa thức Bernoulli, ông giải trọn vẹn tốn ơng tự hào viết lại (trong Ars Conjectandi) ông không 15 phút để tính tổng lũy thừa bậc 10 1000 số nguyên dương Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học toán học, số Bernoulli đa thức Bernoulli đóng vai trị quan trọng nhiều ngành khác toán học Đặc biệt lý thuyết số đại giải tích p – adic, chẳng hạn, ta có cơng thức tính zeta – hàm hàm số học  (s ) s = qua số Bernoulli sau 2k  ζ (2 k ) = ( −1)   , với k = 1; 2;3 , B2 số Bernoulli thứ 2k k Chính định chọn đề tài “Số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng” để khảo sát, nghiên cứu thêm số Bernoulli, đa thức Bernoulli ứng dụng chúng lý thuyết số đại giải tích p – adic Luận văn gồm chương sau Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn trường, khái niệm chuẩn phi Archimede số kiến thức cần cho chương sau Chương : Số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình số tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli Đặc biệt chương chứng minh số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa thức Bernoulli đồng dư thức Von Staud – Clausen, đồng dư thức Kummer Chương : Ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli để tính zeta – hàm số học xây dựng độ đo p – adic, đặc biệt độ đo tích phân Bernoulli CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p – adic p vá tính chất Đặc biệt chương trình bày tóm tắt số kết độ đo tích phân p – adic cần cho ứng dụng sau Các kết chương trình bày theo tài liệu tham khảo [2] [3] 1.1 Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường gọi chuẩn F Định nghĩa 1.1.1 Cho F trường, ánh xạ • :F→ thỏa điều kiện sau i) x ≥ 0, ∀ x ∈ F ; x = ⇔ x = ii) xy = x y , ∀x , y ∈ F iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F Ví dụ 1.1.2 Các trường số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa điều kiện chuẩn nên giá trị tuyệt đối chuẩn Cho F trường, ánh xạ , , gọi chuẩn giá trị tuyệt đối, ký hiệu 0, x = x= 1, x ≠ Là chuẩn trường F gọi chuẩn tầm thường Mệnh đề 1.1.3 (Các tính chất chuẩn) Cho i) chuẩn trường F có đơn vị Khi với x ∈ F ta có = −1 =1 x ii) n iii) x −1 • Nhận xét : Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường i) Tức ta có µ B ,0 40 ii) µ B,1 a+ ( Vậy ta có µ B ,1 = µMazur Nhận xét 3.4.4 Vì p Do µ µ Ta biết phân phối Bernoulli độ đo đo Tuy nhiên, ta “chuẩn hóa” phân phối Bernoulli để độ đo gọi độ đo Bernoulli sau α = a + a p + + a { }N Định nghĩa 3.4.5 Giả sử ánh xạ µB , k ,α µ k ,α (U ) = µ B , k k Ta có định lý quan trọng sau (U ) −α −k µB, ( αU Định lý 3.4.6 Chứng minh  α ∈ , α ≠ 1, α Trướ ∉  p có đ c o hết ta V biết µB , i k phâ n phố i p nên p Hơn nữa, ta ng h µk ,α độ k k ,α phân phối = ta 41 ( ) , µ µ µ U Rõ ràng µ0,α Tiếp theo, ta chứng minh Mệnh đề 3.4.7 Chứng minh Ta có ( ) ( ) αa  ∈  pN    nên µ1,α a + ( p N ) = µ B ,1 a + ( p N ) − = = Trong  Nếu p ≠ Nếu ∈ α p ≤ Vậ y ta l n c ó1 ( mo d 1,α µ ( 2)  nên p N (1 /  Mặt khác, với tập mở compact U ⊂ p hợp hữu hạn rời khoảng Ii , tức U = Ii 42 Từ ta có µ1,α Để chứng minh Bổ đề 3.4.8 Giả sử dk k( B ) Khi x ( d k µk ,α a + ( p Chứng minh Ta có k Do d k µ k ,α =d ( ( dk µB,k   Chú ý αa≡ {  43 (a + ( p dk µ k ,α N N  a N (k −1)  ≡dkp    k a  ≡ dk  Nk p −k −α N p  a k ≡dk −k −α  N   p   ≡dk  −1 kα a 1,α k k −1 ≡ d ka Bây giờ, ta chứng minh ( µk ,α a + (pN k −1 ) bị chặn Thật vậy, theo bổ đề 3.4.8, ta có ) µ (  a k dµ Tức ta có Theo mệnh đề 3.4.7 µ chặn Vậy µk ,α  ) a + (pN ) ∎ k ,α ( bị Định lý 3.4.9 Nếu f : →p p f ∫ p Chứng minh Theo định nghĩa ta có Theo bổ đề 3.4.8, với N ( d k µk ,α a + ( d =d Chú ý với N ∈ a=0 lim p N N →∞ Do ta có p lim d N →∞ Hay ta có d ∫f (x ) k, (x ) d ∫f (x )x k −1 1,α (x p p ∎ 45 Hệ 3.4.10 Với k ∈ Bk Chứng minh Với k α ta có µ k ,α ( Theo Định lý 3.4.9 ta có p )=µ ( B,k = 1.µ ∫ p Nhưng ta lại có k ,α ∫ 1.µ = lim N p Vậy nên ta có ∫ k x p Hệ 3.4.10 cho ta mối liên hệ tích phân ứng với độ đo Bernoulli hàm với Bk Nhờ hệ này, chứng minh lại tính chất số Bernoulli mà ta chứng minh chương Tuy nhiên, khn khổ luận văn nên ta giới thiệu kết mà không chứng minh lại Cụ thể, ta có mệnh đề sau x Nếu a ∈ (Sylvester-Lipschitz) Nếu (Kummer) Cho k1, k2 chẵn, k1 ≡ k2 ≢ (mod p – 1) Bk ≡ Bk (Adam) Nếu k ≢ (mod p – ) (mod p) (Von Staudt – Clausen) Với k chẵn ta có k1k2 47 KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi trình bày đầy đủ tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli Đặc biệt chúng tơi trình bày chi tiết ứng dụng số Bernoulli, đa thức Bernoulli việc xây dựng zeta – hàm số học độ đo p – adic Ứng dụng số Bernoulli, đa thức Bernoulli nhiều, chẳng hạn việc xây dựng zeta – hàm p – adic, gama – hàm,v.v…, nhiên khuôn khổ luận văn khơng trình bày đây, hy vọng tiếp tục nghiên cứu vấn đề thời gian tới 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO K Ireland and M Rosen (1982), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, New York Neal Koblitz (1996), P – adic Numers, P – adic Analysis, and zeta – Functions, Springer, New York W H Schikhof (1984), Ultrametric Calculus, Cambridge University Press, Cambridge Z H Sun (1997), Congruences for Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials, Discrete Math 163, 153 – 163 ... CHƯƠNG SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI 15 2.1 Số Bernoulli đa thức Bernoulli 15 2.2 Tính chất số Bernoulli đa thức Bernoulli 17 2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli đa. .. số Bernoulli đa thức Bernoulli đồng dư thức Von Staud – Clausen, đồng dư thức Kummer Chương : Ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli Chương trình bày ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli để... : SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI Trong chương này, giới thiệu số Bernoulli, đa thức Bernoulli chứng minh số tính chất chúng Đặc biệt, chúng tơi chứng minh số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli