luận văn tổng lũy thừa của các số nguyên

luận văn tổng lũy thừa của các số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————-NGUYỄN MẠNH HÙNG

TỔNG LUỸ THỪA CỦA CÁC SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Mục lục

1.1 Mệnh đề 5

1.2 Định nghĩa 6

1.3 Định lý 10

2 Các đa thức Faulhaber 16 2.1 Định lý 16

2.2 Nhận xét 20

2.3 Hệ quả 20

3 Quan hệ đa thức giữa σi và σj 24 3.1 Phương pháp khử biến để tìm các quan hệ giữa σivà σj 24

3.2 Dùng kết thức để tìm các quan hệ giữa σivà σj: 26

4 Iđêan các đa thức và mối quan hệ giữa các kết thức 31 4.1 Định lý 32

4.2 Ví dụ về quan hệ giữa R( σ3, σ5) và R*( σ3, σ5) 33

4.3 Iđêan các đa thức 35

4.4 Bổ đề 36

4.5 Định lý 37

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo củatrường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảngdạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập, và

đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức để làm nền tảng cho quá trình viết luậnvăn này

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trườngĐại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS Vũ ThếKhôi, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướngdẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn,tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡtôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên, khoa Sau đại học, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡtôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả

về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình

Ở đây, ta tổng quát hoá các tổng luỹ thừa có dạng như trên.

Với n, k ∈ N∗, khi đó ta có tổng luỹ thừa: σk(n) = 1k + 2k + 3k + + nk

Theo ví dụ như trên chúng ta thấy rằng : σ3 = σ2

ij = {(σi(n), σj(n)) : n = 1, 2, }

Bài luận văn này được viết dựa trên bài báo của Beardon, A F., Sums ofPowers of Integers, Amer Math Monthly, 103 (1996), no 3, 201 - 213 Vàcác kết quả : từ Ví dụ 1.2.1 đến Ví dụ 1.2.5 ; Ví dụ 1.3.2 đến Ví dụ 1.3.8 ; Ví

dụ 2.3.1 đến Ví dụ 2.3.6 ; Ví dụ 3.1.1 đến Ví dụ 3.1.4 và Ví dụ 4.2 ở trongluận văn là do chúng tôi tự tính toán

Bố cục luận văn được chia thành 4 chương :

• Chương 1: Các số Bernoulli

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan đến dãy

số Bernoulli : định nghĩa, công thức xác định, đi tìm một số hạng đầucủa dãy số Bernoulli và từ đó đưa ra các tính chất và hệ quả của chúng.Cuối cùng kết hợp với sự khai triển của hàm f(t) ở mệnh đề 1.2.7, takhẳng định được rằng các σk(n) là đa thức biến n có hệ số liên quanđến các số Bernoulli

• Chương 2 : Các đa thức Faulhaber

Trong chương này chúng tôi trình bày các sự biểu diễn của σk qua σ1

trong cả hai trường hợp k lẻ và k chẵn Dựa vào kết quả đó, tìm một sốmối quan hệ ban đầu củaσk và σ1 ứng với những giá trị k cụ thể, và từmối quan hệ này ta thu được các đa thức gọi là các đa thức Faulhaber

• Chương 3 : Quan hệ đa thức giữa σi và σj

Ở đây chúng tôi trình bày mối liên quan giữa σi và σj bất kì, và cáchtìm mối quan hệ này bằng phương pháp khử biến Bằng cách tính toánthông thường theo phương pháp đại số chúng tôi tìm được các mối quan

hệ này với các trường hợp k có giá trị nhỏ Để có được một kết quả tổngquát, chúng tôi trình bày trong chương này một phương pháp dùng kếtthức khử n hoặc σ1 để tìm mối quan hệ giữa σi và σj

• Chương 4 : Iđêan các đa thức và mối quan hệ giữa các kết thức

Với những điều đã biết về kết thức ở chương 3, ta gọi kết thức thu đượckhi khử n từσi và σj là R(f,g) và kết thức thu được khi khử σ1 từσi và

σj là R*(f,g) Ở chương này chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa haikết thức này và lý thuyết về iđêan các đa thức

Chương 1

Các số Bernoulli

1.1 Mệnh đề

Các σk(n) là các đa thức bậc k + 1 theo n

Chứng minh :Ta chứng minh quy nạp theo k

Trước hết ta xét một số giá trị ban đầu của k để cho thấy rằng mệnh đềđúng với các giá trị k này

Bây giờ ta giả sử mệnh đề đúng với σk−1(n) là đa thức có bậc là k

Ta cần chứng minh đúng với σk(n) có bậc k + 1

σr(n) + (k + 1)σk(n).Rút σk(n) từ đẳng thức trên ta được σk(n) là đa thức bậc k + 1 theo n.Vậy các σk(n) là các đa thức bậc k + 1 theo n

!

Bj = 0.Dãy số trên được gọi là dãy số Bernoulli

( Xem tài liệu tham khảo [3]- trang 229 )

Một số số hạng đầu của dãy số Bernoulli:

!

Bj = 0

thành phần bậc 2 trở lên theo t đều bằng 0.

2!

tk−2(k−2)! + + bk−1 tk−1

(k−1)!

t11!

Bjnk+1−j.( Xem tài liệu tham khảo [3] - trang 234 )

+ e1t = 1 + 1t1! + 12!t + 13!t + + 1m!t +

+ e2t = 1 + 2t1! + 222!t2 + 233!t3 + + 2mm!tm +

+ e3t = 1 + 3t

1! + 32t22! + 33t3

P

j=0

k + 1j

!

Bjnk+1−j

#

tkk! =

!

Bj(z + 1)k+1−j

Từ định lý trên ta rút ra được các hệ quả sau

Hệ quả 1.3.1 Ta thấy rằng σk(z) là đa thức bậc k + 1 và σk(0) = 0,

= 12



+ 316

Khi đó σk phân tích theo σ2 và phần còn lại là đa thức theo σ1.

k

−(m−1)m2 k



k Pkr=0

k

r − m 2

k Pkr=0

!

m 2

mr m 2

!

m 2

!h

2σk+r+1h1 + (−1)k−r+1i+ σk+rh1 + (−1)k−rii (2.2)

Ta thấy: với k chẵn

+) Nếu k − r + 1 chẵn ⇔r lẻ k + r + 1 chẵn

+) Nếu k − r chẵn ⇔ r chẵn k + r chẵn

Các đa thứcFk được nói đến trong Định lý 2.1 gọi là các đa thức Faulhaber.

Từ định lý trên, ta có thể suy ra trực tiếp được nhận xét sau

Các kết quả thu được từ (2.3) đến (2.6) cho chúng ta biết F3; F5; F7; F9,

để tìm được F4; F6; F8 ta thay lần lượt k = 2, k = 3, k = 4 vào (2.2), đượcthể hiện qua quá trình tính toán chi tiết của chúng tôi ở các ví dụ sau

Ví dụ 2.3.4 Với k = 2, thay vào (2.2) ta có :

!h

!h

= σ2

120σ3

1 − 6σ1+ 1 − 120σ2

1 + 60σ1− 104

Chương 3

3.1 Phương pháp khử biến để tìm các quan hệ giữa

σivà σj.

Một số đường cong đại số được tham số hoá bằng cách đặt x = f (t) và

y = g(t), trong đó f, g là các đa thức và ta đi tìm cách khử t để có được mốiquan hệ đa thức giữa x và y Cách thu được mối quan hệ đa thức này đượcgọi là phương pháp khử biến

Ta sử dụng phương pháp khử biến để tìm các quan hệ giữa σi và σj:

Ví dụ 3.1.1 Tìm quan hệ giữa σ1và σ2:

Ta có σ1 = n(n+1)2 ; σ2 = n(n+1)(2n+1)6

Khi đó : σ2 = σ1(2n+1)3 ⇒ σ2

2 = σ2 1

(2n+1)2

9 = σ2

1

4n(n+1)+1 9

⇒ 9σ2

2 = σ2

1(8σ1+ 1) = 8σ3

1 + σ2 1

Chú ý: Ta có thể biểu diễn được:

f (x) = a0xn + + an−1x + an và g (x) = b0xm + + bm−1x + bm

có một nghiệm chung giả sử là x0.

Ta có các phương trình sau cũng có nghiệm là x0 :

Và ta có :

R (f, g) =

Ở đây ta bỏ qua các thành phần bằng 0, và đường chéo của R(f, g) có sựxuất hiện m lần của a0 và n lần của bm.

Ta thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm chung của f và g thì R(f, g) = 0.( Điều này được trình bày chi tiết ở tài liệu tham khảo số [1]; [2]; [4] trang

Hai đa thức này có một nghiệm chung, cụ thể là t = n

Khi đó chúng ta có với mỗi n :

(−6σ2)2

Ta thấy rằng hệ số của σ13 là - 32 không chứa σ2 và hệ số của σ22 là 36không chứa σ2

Chúng tôi đã chứng minh kết quả dưới đây :

Mệnh đề 3.2.1 Với số nguyên i và j và 1 ≤ i < j, thì P (x, y) là một đathức với hệ số nguyên và hệ số hằng bằng không, và có bậc j + 1 đối với x

và i + 1 đối với y, với số hạng có số mũ cao nhất của x và y có hệ số hằng,sao cho P(σi, σj) = 0

Tuy nhiên vấn đề chưa dừng lại ở đây Nếu ta áp dụng phương pháp nàyvới trường hợp i = 3 và i = 5, chúng ta thu được một đa thức P (x, y) bậc

6 đối với σ3 và bậc 4 đối với σ5 sao cho : P(σ3, σ5) = 0

Có thể tìm đa thức P một cách dễ dàng như mối quan hệ đã được giớithiệu T(σ3, σ5) = 0; T(x,y) = 16x3 − x2 − 6xy − 9y2

Rõ ràng kết quả thu được bằng cách khử n từ biểu thức σ3(n) và σ5(n) cho

ta một định thức cỡ 10x10 Mặt khác nếu chúng ta viết σ3, σ5 là đa thứctheo σ1 và sau đó khử σ1 chúng ta có được một định thức cỡ nhỏ hơn 5x5,sau khi khai triển định thức ta được kết quả giới thiệu ở trên

Tương tự ta áp dụng cho bất kì cặp (σi, σj) với i, j là 2 số nguyên lẻ,trong trường hợp này việc khử σ1 sẽ tốt hơn là khử n

Bây giờ giả sử có i, j đều là chẵn.Chúng ta có thể viết σi2 và σj2 là đa thứctheo σ1 và sau đó sử dụng kết thức trên để có được mối quan hệ giữa σi2

và σj2 thể hiện ở định thức cỡ (i + j + 2)(i + j + 2), sẽ được bậc của σi là

2(j + 1) và bậc của σj là 2(i + 1)

Khi đó, nếu chúng ta khử n giữa các đa thức σi và σj của n, chúng ta cóđược một định thức kích thước tương tự nhưng với các yếu tố liên quan đến

sử dụng kết thức để khử σ1 và khi đó thu được mối quan hệ thứ hai kí hiệu

là R*(σi, σj) = 0 giữa σi và σj Trong phần này chúng ta mô tả chính xácmối quan hệ giữa R(σi, σj) và R*(σi, σj)

(Xem tài liệu tham khảo [4] trang 198 - 200)

Giả sử một đường cong đại số được tham số hoá bởi x = f (t), y = g(t),trong đó f và g là các đa thức Nếu mỗi điểm của đường cong tương ứng với

d giá trị của t, khi đó định lý của Luroth ( Chi tiết ở tài liệu tham khảo số

[4], trang 198 - 200 ) đảm bảo rằng có một đa thức φ có bậc là d và đa thức

4.1 Định lý

Với các kí hiệu như trên, ta cóR(f, g) = c.R(f1, g1)d, với c là một hằng số

Sau đây là ý tưởng chứng minh định lý :

Chúng ta sẽ làm việc với số phức để cho tất cả các đa thức có thể phân tíchthành tích các nhân tử tuyến tính

Giả sử đầu tiên rằng f và g bất kì là hai đa thức biến phức :

(Các chi tiết có thể tìm thấy trong tài liệu số [4] trang 86 )

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng những ý tưởng này để chứng minh định lý.Cho f, g, f1, g1 và φ là các đa thức trong định lý và giả sử rằng có bậc

md, nd, n, m và d tương ứng

Chúng tôi kí hiệu các nghiệm của f1 bởi α1, , αn và các nghiệm của

φ(z) = αj bởi x1j, xdj.Khi đó các nghiệm của f chính là những con số xij

với i = 1, , d và j = 1, n

Tương tự ta biểu thị các nghiệm của g1 bởi β1, , βm và các nghiệm của

φ(z) = βs bởi y1s, yds.Khi đó các nghiệm của g chính là những con số yrs

với r = 1, , d và s = 1, m

Cuối cùng chúng tôi sử dụngA1, A2, A3, A4để biểu thị các hằng số (chúng

ta không cần để ý đến các hằng số này)

Theo đoạn đầu tiên trong chứng minh ta có :

Trong các lý luận trước đó, chúng tôi đã bày tỏ σi được biểu diễn theo hai

đa thức : một đa thức theo n và một đa thức theo σ1 Bây giờ ta xét một ví

Hai đa thức này có nghiệm chung là t = σ1 , khi đó ta có :

R*(σ3, σ5) =

Từ hai kết quả trên ta nhận thấy rằng mối quan hệ đa thức thu được từ

R(σ3, σ5) là bằng bình phương mối quan hệ đa thức thu được từ R*(σ3, σ5)

4.3 Iđêan các đa thức

Trong phần này chúng ta mô tả tất cả các đa thức T với hệ số nguyên

mà T(σi, σj) = 0, với mỗi cặp i và j đặc trưng thoả mãn 1 ≤ i < j Để làmđược điều này, chúng tôi mượn một ý tưởng từ hình học đại số và nghiên cứu

họ của các đa thức triệt tiêu trên một tập hợp cho trước

(Để biết thêm chi tiết, đôc giả xem tại tài liệu số [2])

Chúng tôi biểu thị các số nguyên bởi Z, và các vành của các đa thức với hệ

số nguyên của hai biến x, y bởi Z[x, y] Một điều quan trọng ở đây là chúng

ta cần khoảng Z[x, y] là một miền nhân tử hoá duy nhất, điều này có nghĩa

là bất kì đa thức trong Z[x, y] có thể phân tích được thành tích của các đathức bất khả quy một cách duy nhất, sai khác một thứ tự và nhân tử (- 1),cách phân tích này là duy nhất

(Chi tiết tại tài liệu số [1] trang 172 - 176)

Điều mà chúng tôi muốn nói đến ở đây là nghiên cứu họ :

Γ = {T ∈ Z[x, y] : T (σ1, σj) = 0}

mà chúng ta có thể viết lại như sau :

Γ = nT ∈ Z[x, y] : T = 0 trên Pij

o

Ở đâyP

ij được đưa ra là tập hợp các điểm{(σi(n) , σj(n)) ∈ R2 : n = 1, 2, }

Bây giờ ta cho E là tập con bất kì khác rỗng của R2 và ta xác định :

I (E) = T ∈ Z[x, y] : T = 0 trên E

Tập I(E) được biết đến trong lý thuyết vành như là một iđêan, nó đượcđóng dưới phép cộng và tíchT1T2 ∈ I (E)với bất kì một trong haiTi ∈ I(E)

Chúng tôi muốn nghiên cứu các trường hợp mà theo đó I(E) bao gồm tất

cả các đa thức bội số của một đa thức T0(x, y), khi đó I(E) là iđêan chínhsinh bởi T0

Chúng ta có các kết quả sau :

4.4 Bổ đề

Cho f và g là đa thức khác hằng với hệ số hữu tỉ với biến số thực, và cho

E = {(f (n) , g (n)) : n = 1, 2, } Khi đó I(E) được sinh bởi một đa thứcbất khả quy không tầm thường trong Z[x, y]

Chứng minh : Chúng ta thấy rằng có một đa thức P hai biến mà với mọi

số nguyên n, P (f (n) , g (n)) = 0 Đa thức P này có thể thu được từ kếtthức của f và g Khi đó nếu f và g có hệ số hữu tỉ thì P có thể biến đổi thành

đa thức có hệ số nguyên

Chúng ta có thể chọn P là bất khả quy, giả sử rằng P = P1 Pl, ở đây

Pj là những nhân tử bất khả quy của P Khi đó phải có ít nhất một trongnhững nhân tử Pj sao cho đa thức Pj(f (n) , g (n)) triệt tiêu tại vô hạn giátrị số nguyên n Nó cho thấy rằng đa thức Pj(f (x) , g (x)) có vô số nghiệm

và bị triệt tiêu với mọi x, và do đó cũng cho tất cả số nguyên n.Vậy tồn tạimột đa thức bất khả quy trong P trong Z[x, y] sao cho P (f, g) = 0

Bây giờ chúng ta phải chỉ ra rằng P là ước của bất kì đa thức T trong

Z[x, y] mà T (f, g) = 0 Đầu tiên chúng ta thấy rằng P và T là các đa thứcbiến y có hệ số của đa thức theo x Và sau đó chúng tôi tính toán các kếtthức của P và T bằng cách loại bỏ biến y

Kết thức thu được là một đa thứcR(x), và khi đó có đa thứcA(x, y), B(x, y)

trong Z[x, y] thoả mãn :

A(x, y)P (x, y) + B(x, y)T (x, y) = R(x)

Ở đây coi các đa thức trên theo biến y, khi đó ta có :

deg(B) < deg(P ) và deg(A) < deg(T )

(Xem chi tiết tài liệu số [1], Mệnh đề 4.2.4, trang 179 và trang 192)

Khi P (f (n) , g (n)) và T (f (n) , g (n)) triệt tiêu với mỗi số nguyên n,chúng ta thấy rằng R(n) = 0 với mỗi số nguyên n Khi đó R là đa thức không

và do đó P (x, y) là ước của tích B(x, y)T (x, y) Khi P là bất khả quy, nó sẽ

là ước của B hoặc T và do deg(B) < deg(P), nên P không thể là ước của Bsuy ra P là ước của T

Khi đó ta kết luận được I(E) là iđêan chính sinh bởi P

4.5 Định lý

Nếu i và j là các số nguyên với 1 ≤ i ≤ j Khi đó có một đa thức bất khảquy khác hằng Tij trong Z[x, y] sao cho Tij(σi, σj) = 0

Hơn nữa, Tij chia hết P với bất kì P trong Z[x, y] mà P (σi, σj) = 0

Từ kết quả này cho thấy rằng mối quan hệ giữa đa thức σi và σj là một

hệ quả của mối quan hệ Tij(σi, σj) = 0

Ví dụ như T13(x, y) = 1 − x2

Do đó nếu P (σ1, σ3) = 0 thì P chứa nhân tử y − x2 và quan hệ

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại chi tiết một số kết quả về tổngcác lũy thừa dựa theo tài liệu số [5] Sơ lược một số khái niệm về tổng lũythừa của các số nguyên kí hiệu bởi σk(n) là đa thức bậc k + 1 theo biến n.Khái niệm về dãy số Bernoulli và trình bày cách chứng minh rất rõ ràng các

số Bernoulli có liên quan đến hệ số của các đa thức σk(n)

Sau đó ở chương 2, chúng tôi đã trình bày chứng minh định lý 2.1 rấtquan trọng về sự biểu diễn của các σk qua σ1:

Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh tập

I (E) = T ∈Z[x, y] : T = 0 trên E là iđêan chính và dựa vào đó trìnhbày các cơ sở lý thuyết về iđêan các đa thức

... data-page="40">

Kết luận< /h2>

Trong luận văn chúng tơi trình bày lại chi tiết số kết tổngcác lũy thừa dựa theo tài liệu số [5] Sơ lược số khái niệm tổng lũythừa số nguyên kí hiệu σk(n)... Với số nguyên i j ≤ i < j, P (x, y) đathức với hệ số nguyên hệ số khơng, có bậc j + x

và i + y, với số hạng có số mũ cao x y có hệ số hằng,sao cho P(σi, σj) =

Tuy... data-page="30">

Chứng minh cuả Pascal’s (1.1) cho thấy hệ số n trong

σk(n) số hữu tỉ, qua bước quy đồng mẫu số ta khẳngđịnh hệ số đa thức P số nguyên Kết cho thấy P

đa thức bậc j +