Luận văn tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G U Y N HONG THO T N H N N H C A CC K H U N G V C S RIESZ L U N V N T H C S T O N H C H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G U Y N HONG THO TNH N NH CA CC K H U N G V C S RIESZ L U N V N T H C S T O N H C C h u y n n g n h : T o ỏn gii tớc h M ó s: 60 46 01 02 N gi h n g d n k h o a h c T S N g u y n Q u n h N g a H NI, 2015 Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga Tụi xin by t s kớnh trng v lũng bit n sõu sc i vi cụ, ngi ó giao ti v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny ng thi tụi xin gi li cm n ti cỏc Thy, Cụ trng i hc S phm H Ni 2, Vin Toỏn hc H Ni, ó trang b kin thc v phng phỏp nghiờn cu tụi hon thnh khúa hc V cui cựng, tụi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, th lp Toỏn gii tớch K17 (t l)-trng i hc S phm H Ni ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng nm 2015 T ỏc g i N g u y n H o n g T h o Li cam oan Tụi xin cam oan, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti " T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R iesz" c hon thnh di s hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga v bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi lũng bit n trõn trng nht H Ni, thỏng nm 2015 T ỏc g i N g u y n H o n g T h o M c lc M u C h n g K i n th c ch u n b 1.1 Phộp bin i Fourier 4 P h ộ p bin i Fourier tro n g khụ ng gian L (Kd) P h ộ p bin i Fourier tro n g khụng gian L (Kd) Khung khụng gian Hilbert 1.3 C S Riesz 14 1.4 Khung hm s m 19 1.5 Khung súng nh 27 C h n g T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R iesz 31 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz tng quỏt 31 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz hm s mu 49 2.3 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz súng nh 58 ro T i liu th a m k h o 71 M u Lý d o ch n t i C s trc giao cho phộp biu din mi phn t ca khụng gian Hilbert thnh mt chui vụ hn ú l cỏch d nht biu din mt vộc t phc qua cỏc vộc t n gin hn õy l bi toỏn thng xuyờn xut hin nhiu lnh vc ca toỏn hc, vt lý v k thut nh gii tớch iu ho, phng trỡnh vi phõn, c lng t, x lý tớn hiu v hỡnh nh Mc dự v lý thuyt d thc hin nhng khai trin theo chui trc giao ụi gp rc ri Vớ d nh khụng phi luụn luụn d dng tỡm mt c s trc giao v cú nhng trng hp khai trin theo chui trc giao hay thm theo chui sinh bi cỏc c s tng quỏt hn khụng phi l mt phng phỏp biu din thớch hp Khung cú nhiu tớnh cht mong c ca cỏc c s nhng li khỏc c s mt khớa cnh rt quan trng: chỳng cú th ph thuc tuyn tớnh v ú tớnh nht ca biu din ca cỏc c s b mt i Chớnh tớnh tha ny ca khung cú nhng ng dng quan trng, vớ d nh x lý tớn hiu v hỡnh nh bi vỡ nú m bo tớnh bn vng: cht lng ca tớn hiu b nh hng ớt bi ting n v tớn hiu cú th khụi phc li t mu cú chớnh xỏc tng i thp Khung c a bi Duffin v Schaeffer [5] vo nm 1952 h nghiờn cu chui Fourier khụng iu ho Tuy nhiờn phi n nm 1986 sau bi bỏo ca Daubechies, Grossmann v Meyer [4] thỡ khung mi nhn c s quan tõm rng rói ca cng ng cỏc nh khoa hc Cho H l mt khụng gian Hilbert kh ly Mt dóy { f n } nN H c gi l mt khung nu tn ti cỏc hng s A,B > hu hn cho vi mi / H ta cú ^ I I / I I2< E I / ô ) I 2< B | | / I I nN Mt khung c gi l mt c s Riesz nu sau b i mt phn t bt k ca dóy thỡ nú khụng cũn l khung na Bi toỏn n nh ca cỏc khung v c s Riesz c t nh sau: Cho mt dóy {#*.} theo mt ngha no ú gn vi khung hay c s Riesz {fk} Ta cn tỡm cỏc iu kin m bo rng {gk} cng l mt khung hay c s Riesz Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v bi toỏn n nh trờn, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca Cụ giỏo, TS Nguyn Qunh Nga, tụi ó mnh dn chn nghiờn cu ti T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R i e s z thc hin lun tt nghip chng trỡnh o to thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch M c ớch n g h iờ n c u ti ny nhm nghiờn cu, trỡnh by v tớnh n nh ca cỏc khung tng quỏt, tớnh n nh ca cỏc khung v c s hm s m, tớnh n nh ca cỏc khung v c s súng nh N h i m v n g h iờ n c u - Tỡm hiu v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz i t n g v p h m vi n g h iờ n c u - i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c s cn thit: Mt s khỏi nim v kt qu v khung khụng gian Hilbert, c s Riesz, khung hm s m, khung súng nh.Tớnh n nh ca cỏc khung tng quỏt, tớnh n nh ca cỏc khung v c s hm s m, tớnh n nh ca cỏc khung v c s súng nh - Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz P h n g p h ỏ p n g h iờ n c u - S dng cỏc kin thc ca gii tớch hm nghiờn cu - Thu thp ti liu cỏc bi bỏo v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz - Tng hp, phõn tớch, h th n g cỏc khỏi nim, tớnh cht ú n g gúp m i c a lu n Trỡnh by mt cỏch tng quan v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz Chng K in thc chun bi Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by cỏc khỏi nim c bn chun b cho chng sau Ni dung ca chng ny c trớch dn t cỏc ti liu tham kho[l]-[3],[8] 1.1 P h ộp bin i Fourier Ta s dng cỏc kớ hiu sau lun Lp (Rd) := / : > C |/ o c v J I/ (x)|p dx < oo ú < p < oo Lp (Rrf) l khụng gian Banach vi chun l L (Rd) := { / : C |/ o c v3C , I/ (x)| < c h.k.n } L (Rd) l khụng gian Banach vi chun l ll/lli- (R-) : = esssup|/(rc)| R1* inf {C\ \f (x) I < c h.k.n } 1.1.1 P h ộ p b i n i F o u rie r tr o n g k h ụ n g g ian L l (Mrf) n h n g h a 1.1.1 Phộp bin i Fourier ca mt hm f L (Rrf) uc cho bi cụng thc ; (w) = ) (o>) := e - 2"ô*" 1/ (x) dx, jR d d ú (,) = k= x kUk, X = { 2, ,xd), = (wi,c2 , -,U d) Mt s tớnh cht c bn ca / (c) vi / g L (Rd) c cho hai nh lý sau n h lớ 1.1.2 Cho f e L (md) Khi ú i) s L (R), v ỡ | | / | | ^ (4) < ll/lli.(ằ-) ; ii) f liờn tc u trờn Mỏ; i i i ) / (c) > k h i c > 0 nh lớ 1.1.3 Nu /, f (u) ni) T (E bf ) (w) = / (w - b) IV) (D af ) h (w) = {2) f (w) ú Taf (t) := f ( t - a ) , Ebf := (>/ ( t ) d õy ta ó s dng ký hiu 0Ja = U)jai , D a = a "? =1 ú = ( a i ,a 2, - , a d) v UI = (wi,2, ,Ud) ( t) 1.1.2 P h ộ p b i n i F o u rie r tr o n g k h ụ n g g ian L (Rd) n h lớ 1.1.4 Cho / i (Rd) C\L2 (Rd) Kh ú phộp bin i Fourier ca f l / L (Mỏ) v tha ng nht thc Parseral f L 2(Rd) l l / l l i 2(Rd) T nh lý ny ta thy phộp bin i Fourier T : L (Rrf) CỡL2 (]Rỏ) ằ L (Rỏ) l toỏn t tuyn tớnh b chn Do L (Rd) CỡL2 (Rrf) l trự m t L (Rd) nờn T cú th thỏc trin lờn ton b L (Rd) m bo ton chun C th hn, nu / L (Rrf) 56 Theo ú s k z d (e**(M> _ gi(A)b,i>) < (J\ + J L r) < (s L + B ia + B L ^ E M fcezd ngha l: { e i e ^ Xk^ } k&d l dóy Bessel vi cn B = ( s L + B f t l + s L ) ) Do Zi l c s trc chun ca L (/) nờn ỏp dng nh lớ 2.2.3 v H qu 2.1.2 ta thu c H q u 2.2.4 Gi s \ki Afc;| < L, L = 1, 2, ,d v L < Nu B d(L) < thỡ {e*(Afc^,fc 7aỹ} l mt c s Riesz L 2( I ) vi cỏc cn khung ^1 B d{L) 2^ v ^1 + B d{L) 2^ iu kin B d(L) < phỏt biu ca H qu 2.2.4 cú gỡú hi nng n B sau s hu ớch phn tip theo, a chn trờn v chn di cho B d(L) cng nh mt iu kin (nhng khụng phi iu kin cn)cho B ộ{L) < m d kim tra hn B 2.2.5 Ta cú ỡ\2(-l) (ỡ) Nờ u < Bi { L ) < thỡ B ỡ (L) ( l 4- ọ , ( i ) * y < B d (L) < (L); - /1 o;9d_1 \ () Cho < a < Nu < L < 7r-1cs-1 7= I thỡ V2 B d{L) < OL 57 C h n g m in h (i) Ta chng minh bng quy np theo d Bc quy np c chng minh nh sau Bi+1 (L) = {B ỡ (L + B i ( i ) ( l + B i ( i ) 1) ) > ( f l , (L) ( l + _ f _ (Ê,)>)''"1 + B i ( L ý ( l + _ l \ 2d = B ! (L) ( l + B i ớL ) ^ v B i+ (Ê) < { ^ B ^ L + B i ( i ) ( l + a ^ B , ^ ) * ) ) < [ ^ B ^ L + B i { L ( l + 3- 1) ) < (ỡ^B ^L + = (ii) T gi thit kộo theo cos(ttL + > ^ (1 a 1_rf) Do ú cos{tL ) sin(L) > o;91_d, tc l B i ( L ) < o;91_d T (i) suy iu phi chng minh N h n x ột: Vi a = d = 1, iu kin B 2.2.5(ii) rỳt gn thnh < ! / < - - Vi d = 1, H qu 2.2.4 cũn c bit n vi tờn khỏc nh nh lớ \ Kadec Tuy nhiờn, ú khụng cho bit cỏc cn khung - iu kiờn L < - c bit n l iu kiờn Kadec-Levinson Vic nghiờn cu tớnh n nh ca {eanớ} z bt u t Paley v Wiener, hai ụng ó ch {e*Anớ} z l mt c s Riesz L (7T, 7r) vi iu kin \Xn n\ < L < 7T-2.Sau ú, Kadec ch 1~2 cú th c thay bng Ta bit rng vi d = 1, L khụng th bng Vy iu ny cú ỳng 58 vi d > khụng cha bit Chng minh khụng gian mt chiu da trờn tớnh cht tng ca cỏc hm nguyờn mt bin phc v c bit da trờn s kin rng ngoi tr hm khụng, cỏc khụng im ca cỏc hm nh vy khụng cú im gii hn hu hn.iu ny l khụng nht thit cho trng hp cỏc hm nguyờn cú nhiu hn mt bin phc lm cho vic tng quỏt húa trc tip ca chng minh trng hp mt chiu l khụng th Ta cú th m rng nh lý ca Kadec cho khung n h lớ 2.2.6 Cho { X k ) k ^ i ^ k ) l hai dóy s thc Gi s rng z l mt khung ca L (7T,7r) vi cc cn A , B Nu tn ti hng s L < 1/4 cho Iik Afc| < L, \/k e z v cos (ttL) + sin {kL) < \ V B thỡ {eA4a:}fc z l mt khung ca L (7T,7r) vi cỏc cn -A ^1 - ^ ^ ( cos (7rL) + sin (-7rZ/))^ , B(2 cos (tL) + sin (tL))2 Bõy gi chỳng ta chuyn sang nghiờn cu tớnh n nh ca mt lp khung v c s Riesz c bit khỏc, ú l cu trỳc súng nh Ni dung ca mc 2.3 trỡnh by da trờn ti liu tham kho [6] 2.3 T ớnh n nh ca cỏc khung v c s R iesz súng nh Trong mc ny a ký hiu s thc dng c nh, ú b l s thc dng thnh thong cú th thay i Cho mt hm : R d > c , v j , k e z d, bỡjỡk(x) := adj/2(aj x - bk), v $6 := { bJớk , j , k e z d} Cho 59 mt dóy s c nh {Aj kỡj, G Md, PJk '= a^ 2{ai x b\j k), v := {]3 e ^ }- Nu khụng cú gỡ nhm ln, ch s di s b b qua Hai nh lớ u tiờn mc ny nghiờn cu nh hng ca nhiu ti dóy ly mu ban u bng cỏch thay dóy s nguyờn bi dóy s kộp n h lớ 2.3.1 Cho II( + h) ()\\ ^ c\h\a , ú < a ^ 1, v cho s := b2" C k - V I j,kZd Nu mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(M.) vi cỏc cn A v , v ụ < A, thỡ mt khung súng nh(c s Riesz súng nh) L2(M) vi cỏc cn ^1 ypx'j A v ^1 + B C h n g m in h II4 > i A x ) - {} } ( )\\ = a d l \\4>{a x - b k ) - ( - bXj,t )\2 = II { ) - ( + b k - < b2 C k - |2 Do ú \\ ) - II2 < 2 j,kợid _ A^ i 2a = j,kZd v khng nh c rỳt t nh lớ 2.1.7 v nh lớ 2.1.9 Nu a = (ai, a 2, ad) G R d thỡ ta kớ hiu |a|i = |i + Ia2\ + + |ad| nh lý tip theo khụng yờu cu bt k thụng tin v hng s ũ: n h lớ 2.3.2 Gi s II( + h) ()| ^ c \ h \a, ú < a ^ Dt ! := 2C[2 + (27r)d/2], 02 := 7rd/42(d+1)/2||>||, 60 v 1/2 M .= {2*)-* ! Ê I * - V I '(4a)/(4+d) j,kZd 1/2 4/(4+d) j,kGZd v gi s rng A; Xj k\i ^ vi j , k z Nu M < A v $ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2{Mỏ) vúi cc cn A v B thỡ mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(Rd) vi cỏc cn ^1 A v ( l + B Chng minh ca nh lớ ny da trờn b sau: B 2.3.3 Cho f e L 2{Md); x , h e R , k e z +, e{x) := (27r)-rf/2e-la:l2/2; ek{x) := kde{kx), v A kf := / * ejfe, ú ký hiu tớch chp Khi ú \\Akf ( x + h) - A t f ( x )II < fc(i+2)/2e~(i2EEici.*2j k Nhng mZd Do ú, ta ó ch {j k ' jk ,j,k a } l mt dóy Bessel vi cn ( B / ) 2\\ ỡ)||2, v t nh lớ 2.1.6 v nh lớ 2.1.8 suy iu phi chng minh Mt hm (x) Ê L 2(Rỏ) c gi lm trc giao i vi a nu vi cp j, m e z d m j m y bt k cỏch chn v A e Mỏ, cỏc hm (aj x + ụ) v (amx + A) trc giao L 2(R.d) iu ny cng ging nh núi rng vi mi cp j , m m j m ỡ v bt k cỏch chn v A cỏc hm exp(a-J'27rô(a:, ))(a~:ix) v exp(a_m2-7rz(x, X))(a~mx) l trc giao L 2{Rd) nh lớ 2.3.5 Nu $ := { j k,j, k zd} l mt dóy na trc giao L 2(Rd), cho ch yu b chn v supp{} cha mt on I cú dng [0,1/0] + h, thỡ l trc giao i vúi a C h n g m in h Ly A e tựy ý Nu {ck, k Ê z d} l dóy cỏc h s 64 Fourier cua e2 (i>A); thi lim N>00 / lim 0(f)e 27ri(i,A} oo / 2iri(t,bk} dt dt \k\^N < IHIằ N lim too / 32ni(t,\) - Ê cfce 2irbi(k,t) dt = \ k \Z N Dieu keo theo 0(i)e27r^i,A^ nam bao dong cua bao tuyen tinh cua {^o,fc, k G Z d} va do vdi bat ky j G Md, (i)e a 32,rl(i >A) thuoc bao dong cua bao tuyen tinh cua & Zd} Vi $ la mia true giao, suy dieu phai chiing minh D in h li 2.3.6 Cho := k G Z d} la khung song nho (cO sd Riesz song nho) L 2(Rd) vdi cac can A va B cho 4>Ê L 2(Md) la true giao doi vdi a Vdi r G 7Ld, cho Ir := [7rr,7r(r + 2)], ^ := L := sup{|fc - Aj)Jfe|, j, k e Z d} < Sr := ess sup{|0(i)|, t G J r} < oo, ,= m = 9d~1B 1(L) y - ' (2/ 1' (2/ ^rez r ' v Kb)d ' ^rez r v Kb)d ' A/eô $ /a mot khung song nho(cO sd Riesz song nho) L 2(Rd) ixft can A va B , va M < A (dac biet, neu Mi < A), thi la mot khung song nho (cd sd Riesz song nho) L 2(Rd) vdi cac can ^1 va ( l + ^ f ) B A 65 C h n g m in h B 2.2.5(i) kộo theo M < M Ký hiu II ||r := II IIl ) ch i cj l dóy s hu hn tựy ý T gi thit v tớnh ng c ca bin i Fourier suy =3 =E ci M h * - ^ {? ) k ^ C h k - )*) Nhng ci h , k - ] Pk) dt - / J c jk{t){e 2TT{bk,t} _ 2Ti(b\j k, dt dớ = Ito i =E / W *)I2 reZ Jớ< (27r6)d Ê s, c fc^e -2TTè(6fc,i} _ e -2wi{bXjớk,t}^ ^ C jfc (e dt e reZ = ( ằ r dE ^ rez Cj k i e * ^ e*( x i - kt ỡ ) Bi vỡ |fc - (-Aj_*)| = I- fc - Aj_fc| < ỡ t := ( Ê reZ s?) dng nh lớ 2.2.3, ta thy rng (2ib)~i S 1Bi (L) \cỡ , t ? 1/2 v ỏp 66 Do ú cM j , k - Pi,k) j < (2ttb)-dS 2B d(L) k lc;-fc|2 j k t nh lớ 2.1.6 v nh lớ 2.1.8 suy iu phi chng minh V d Cho a ^ l mt s nguyờn, v cho trc b > Gi s := { jk j k e Z} l mt c s trc chun L2(R) cho ch yu b chn v supp{0} cha mt khong cú dng [0,1/0] + h Do ú, nh lý 2.3.5 kộo theo (x) trc giao i vi a Cho n > l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi a Theo phiờn bn nhiu chiu ca nh lý ly mu th hai, tha I( t ) 4>{t)\ ^ A|^(i)| hu khp mi ni Nu X < (A / B n dy /2 v $ l khung súng nh (c s Riesz súng nh) L2(Rd) vi cỏc cn A v B, thỡ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(R d) vi cỏc cn [1 A(ndB / A y / 2]2A v [1 + A(nd/ B / 2]2B 67 C h n g m in h Cho / l phn t bt k thuc L2(Rrf), v cho p ( x ) l hm bt k L 2(Rỏ) cho supp(p) c In v p ch yu b chn Bi vỡ {bd/2(2/n)d/2e~27rin 1(b^x^j Ê z d} l mt c s trc chun ca L 2(In) v f{a j t)p(t) thuc L n), cụng thc Plancherel v ng thc Bessel kộo theo \ ( f Pb/n,j,k)\2 = \ f , ( P b / ni j , k ) ) \ j,kld j,knid Y, a~ờj Y, j ,d f{t)p{a-j t ) e - 2wia~in~1{bkt}dt kZd (bk,t)d t jZd kZd 7" ^ a*i.-i (n/2)i \f(aH)m\2dt In Theo phiờn bn nhiu chiu ca nh lý ly mu th hai {b/nj kjj k E l mt khung súng nh vi cỏc cn n dA v n dB Do ú, ỏp dng ng thc trờn t phi qua trỏi vi p = ta thu c Y ^ a H - ^ n l \f(at)(t)\2dt < nrf | | / | | jZd 7" Bõy gi cng ỏp dng ng thc nh th t trỏi qua phi, nhng vi p = ' tõ thu c V \ ( f ^ , ^ ~ ' b , j, k) \ ^ j,k%d \ { f ỡ b / n , j , k ~ '4}b / n, j , k ) \ j,kld ^ adjb~d{n/2)d If ( a j t)[{t) - {t)]\2dt jr- zHd d In < A2 ^ ajb {n/^)J jZd If { a j t)(t)\2dt ^ X2n dB\\f\\2 7" p dng nh lớ 1.6 v nh lớ 1.8 suy iu phi chng minh 68 Cui cựng, phng phỏp chng minh dựng nh lý trc cho phộp ta chng minh nh lý v tớnh n nh ca khung súng nh v c s Riesz súng nh di nhiu ca dóy ly mu n h lớ 2.3.8 Cho a ^ l mt s nguyờn v cho L 2(M.d) cho ch yu b chn v supp{} cha mt khong cú dng In \ [(n /2 )(l/ ), (n/2)(l/& )]; vi n s nguyờn t cựng vi a Cho |Ajfc k\ ^ L , a := (-7T/ n ) d(A, B), v M := B (n /)dB d(L) Gi s hoc L < - v B d(L) < a, hoc a ^ v o;9l-d' L < 7T cos 1 4' Nu $ mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(Rỏ) vi cỏc cn v B, thỡ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L2(R) vi cỏc cn (1 M / A ) 2A v (1 + M / B ) 2B C h n g m in h Nu a ^ v L < 7T cos 1 - d1-*' V2 , thỡ B 2.2.5 (ii) kộo theo B d(L) < a Cho / l phn t tựy ý thuc L 2(Rd) Tin hnh nh chng minh ca nh lý trc, ta thy J ớZd \f(aH){t)\2dt < B ll/ll2 (2.11) " Ngoi Ê Ê l ,0 ^ - < , , * > ! = j,kZd j,kZd = Ysa'dj'2 f(aj jZd kZd In 2tin 1(bk,t) _ TTn 1(bXk,t) ]dt 69 T nh lớ 2.2.3 suy {e 2lin e 2lin 1^)Afcớ)J k e z rf} l mt dóy Bessel L n) vi cn (n/2r)db~dB d(L) Do ú ^2 kZd e ~2 ni n 1(bk,t) _ e ~2rin 1{bXk ,t)-( / ( aJớ)[...]... ngha khung nh sau: n h n g h a 1.2.2 Mt dóy hai hng S O < < 5 < 0 0 trong H l mt khung nu tn ti sao cho 00 ^ll/ll2 5_1) v/ e H, k= l chui hi t khụng iu kin vi mi f H C h n g m in h Gi s / G i S dng cỏc tớnh cht ca toỏn t khung trong B 1.2.9 ta cú 00 / = 5 S - 1/ = Y =1 oo /