Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI BCH HNG NHUNG G-KHUNG V G-C S RIESZ TRONG KHễNG GIAN HILBERT LUN VN THC S TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI BCH HNG NHUNG G-KHUNG V G-C S RIESZ TRONG KHễNG GIAN HILBERT Chuyờn ngnh : Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN QUNH NGA H NI, 2015 Li cm n Tụi xin c by t lũng bit n chõn thnh ti cụ giỏo TS Nguyn Qunh Nga ó tn tõm truyn th kin thc v hng dn tụi hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng H Ni, thỏng 11 nm 2015 Tỏc gi Bch Hng Nhung Li cam oan Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s ch bo v hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun vn, tụi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 11 nm 2015 Tỏc gi Bch Hng Nhung Mc lc M u 1 Khung v c s Riesz khụng gian Hilbert 1.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Hilbert 1.2 Khung khụng gian Hilbert 1.3 C s Riesz khụng gian Hilbert 22 1.4 Cỏc c trng ca khung v c s Riesz 27 G-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert 2.1 32 Khỏi nim v cỏc vớ d v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert 32 2.2 Toỏn t g-khung v g-khung i ngu 37 2.3 Cỏc c trng ca g-khung , g-c s Riesz v g-c s trc chun 43 2.4 d ca g-khung 56 2.5 ng dng ca g-khung 61 2.5.1 Phõn gii nguyờn t ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn 2.5.2 Xõy dng cỏc khung qua cỏc g-khung Kt lun Ti liu tham kho 61 62 65 66 M u Lớ chn ti Trong nghiờn cu cỏc khụng gian vect, mt nhng khỏi nim quan trng nht l khỏi nim c s, nh ú mi vect khụng gian cú th vit nh t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t c s, nh ú mi vect khụng gian cú th vit nh t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t c s Tuy nhiờn, iu kin tr thnh c s l khỏ cht: khụng cho phộp s ph thuc tuyn tớnh gia cỏc phn t c s iu ny lm cho khú tỡm hoc thm l khụng tỡm c cỏc c s tha mt s iu kin b sung õy l lý chỳng ta i tỡm mt cụng c khỏc linh hot hn v khung chớnh l mt cụng c nh vy Khung cho phộp ta biu din mi phn t khụng gian nh mt t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t khung nhng khụng ũi hi tớnh c lp tuyn tớnh gia cỏc phn t khung Khung c gii thiu vo nm 1952 bi Duffin v Schaeffer [5] nghiờn cu chui Fourier khụng iu hũa Cng ng toỏn hc ó khụng nhn tm quan trng ca cỏc khỏi nim ny, phi mt gn 30 nm trc cụng trỡnh tip theo xut hin Vo nm 1980, Young [10] ó vit cun sỏch cú nhng kt qu c bn v khung, li ng cnh chui Fourier khụng iu hũa Nm 1986, bi bỏo Daubechies,Grossmann v Meyer [3] i, lý thuyt khung mi bt ca u c quan tõm rng rói Khung cú nhiu ng dng x lý tớn hiu, lý thuyt mt mó, nộn d liu Gn õy cú mt s cỏc khỏi nim tng quỏt húa khỏi nim khung c a ra, vớ d nh cỏc khung ca cỏc khụng gian [1] (Frames of subspaces), cỏc gi khung [6] (Pseudo frames) Tt c cỏc khỏi nim tng quỏt húa ny u ó c chng minh l hu ớch nhiu ng dng Cỏc khỏi nim ny u cú th xem nh cỏc trng hp c bit ca g- khung v nhiu tớnh cht c bn ca khung cũn ỳng cho g-khung Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert trờn, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo TS Nguyn Qunh Nga, tụi ó mnh dn chn ti nghiờn cu "G-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert " thc hin lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu ti nhm nghiờn cu, trỡnh by v cỏc g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Nhim v nghiờn cu Cỏc kin thc c s cn thit: Mt s khỏi nim v kt qu v khung khụng gian Hilbert, c s Riesz khụng gian Hilbert, toỏn t khung v khung i ngu, mi liờn h gia khung v c s Riesz, cỏc c trng ca khung v c s Riesz Khỏi nim v cỏc vớ d v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert, toỏn t g-khung v g-khung i ngu, mi liờn h gia g-khung v g-c s Riesz, s d ca g-khung, ng dng ca g-khung i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Nghiờn cu v khung, c s Riesz, g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc ca gii tớch hm nghiờn cu Thu thp ti liu cỏc bi bỏo v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht úng gúp mi Lun trỡnh by mt cỏch tng quan v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Chng Khung v c s Riesz khụng gian Hilbert Khung c gii thiu vo nm 1952 bi Duffin v Schaeffer [6] nghiờn cu chui Fourier khụng iu hũa Cng ng toỏn hc ó khụng nhn tm quan trng ca cỏc khỏi nim ny, phi mt gn 30 nm trc cụng trỡnh tip theo xut hin Vo nm 1980, Young [10] ó vit cun sỏch cú nhng kt qu c bn v khung, li ng cnh chui Fourier khụng iu hũa Nm 1986, bi bỏo ca Daubechies, Grossmann v Meyer [4] i, lý thuyt khung mi bt u c quan tõm rng rói Khung cú nhiu ng dng x lý tớn hiu, lý thuyt mt mó, nộn d liu Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by cỏc khỏi nim c bn chun b cho chng sau Ni dung ca chng ny c trớch dn t cỏc ti liu tham kho [2]-[5], [9], [10] 1.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Hilbert Toỏn t tuyn tớnh T t khụng gian Hilbert !K vo khụng gian Hilbert X l liờn tc v ch nú b chn, ngha l, tn ti hng s c > cho T:r|| < c \\x\\, vi mi X r K (1.1) Ký hiu L(JK : X) l tt c cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t K vo % Khi *K = % thỡ c) c ký hiu n gin l L(IK) Chun ca T L(!H, 3C) c nh ngha l hng s c nh nht tha (1.1) Núi mt cỏch tng ng, ||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1} = sup {||Ta;|| : X 3, ||a;|| = 1} Mnh 1.1.1 Gi s %, L, % cỏc khụng gian Hilbert Nu T L(! K,3C) thỡ tn ti nht mt phn tT* L(K,X) cho (T*x, y) = (x, Ty), (x e X, y e 'K) Hn na, i) (aS + bT =óS* + bT* ii) (RS = S*R* Ui) (T* = T iv) r = I v) Nu T kh nghch thỡ T* cng kh nghch v (T -1 )* = (T*) , ú S,T G L(Ji, %), R & L(x,Ê) v a,b G c Toỏn t T* Mnh 1.1.1 c gi l toỏn t liờn hp ca toỏn t T Mnh 1.1.2 Gi s T v s L(X,L) Khi ú i) ||Ta;|| < IIX II ||a:|| ,Va: E K IISTII < IISII ||T|| in) ii) ||T|| = ||T*|| iv) ||TT*|| = ||T|| H qu 2.3.3 D ó y {Aj} Êj l g-c s Riesz ca i vi {Vj}- eJ nu v ch nu tn ti g-c s trc chun ca v mt toỏn t tuyn tớnh b chn kh nghch T trờn cho Aj = Q j T , j G I Chng minh Gi { e j k } k G K l mt c s trc chun ca Gi s {Aj} eJ l g-c s Riesz ca i vi Theo nh lý 2.3.1, phn 1, { U j fc} - e j kK , l c s Riesz ca u Theo (2.13), j f = Ê (/, u j k ) e j ỡ k Gi u f l mt c s trc chun khỏc ca v nh ngha L j'k J jl,kKj toỏn t T trờn u bi T*u - = Uj k- Rừ rng T l kh nghch, b chn nh ngha Qj : > Vj bi Qjf = ( f i u đ k ) e j k m i f u keKi Rừ rng Qj l toỏn t tuyn tớnh v \\Q jf\\ = ,\{ / ^ )\ = W f f y f e u Núi cỏch khỏc, Qj e L (U, V j ) Hn na, vi bt k f e u , Q T f = (/,^) = Ê (/,* jzSMKj 1, {Aj} , la g-cd sd Riesz la cd sd Riesz Lai theo Dinh ly 2.3.1, phan Dinh ly 2.3.2 Mot day {Aj E L (U, Vj)} JgJJ la mot g-khung cua U ddi vdi { V j } j G j k h i v a c h i k h i A Q ' {9j}je$ jS j (2 20 ) jeJ la mot toan tx( tuyen tinh bi chan hoan toan xac dinh tit U, cdc can cua g-khung la M va ||ô)) = u - 52 = /,/ e (2.20) l mt ng phụi tuyn tớnh cho t Q f = {aj}- eJ Khi ú ta cú A\\a\\ < \\Qa\\ < B\\a\\ (2.23) l l i l l = I I q V I I < | | < | | [ | / l l / e u, vi mi a = K} jeJ ({Vj} jeJ ) t 2 f = QeJ Qli fmt = jel 'g-c Ê A ' i s a , Riesz f e U i vi {Vj} eJ vi cỏc cn Chng minh Nu {Aj} v B, theo nh lý 2.3.2, Q : c nh ngha bi (2.20), l toỏn t tuyn tớnh b chn, ton ỏnh v I I Q I I < \[ Vi Do ú, ta c mi = e I ({Vjljej) , t (2.2), ta c (zx4>/) 2 l l / l l = [] =A ||a|| < ||Qa|| < II II Nu Qa = vi l thỡ ^4IIII < ||Qa|| = O.T ú = -.9 phay núi cỏch khỏc Q l n ỏnh E K-A /> < E IM ll A j/ll jel Do ú toỏn t Q l _mt j e J ng phụi tuyn tớnh 2 E Iivf 110*11*11/11* i i A bi / i r (2.20) l mt ng Ngc li nu [...]... linh hoạt hơn Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2 Các kết quả... giá trị của V nên X = V ^ y là nghiệm của phương trình V x = y Tất cả các nghiệm của phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó 2 thuộc nhân KerV của V Do v^y £ (KerV)" L nên Từ đó X có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi z — 0 1.2 □ Khung trong không gian Hilbert Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không. .. Với mọi / G ÍK, ta có / = s-iss-if = Ễ (s-ìf,h)s-ìft = Ễ k=l k=l ị\f\ị2 = ư , f ) = Ễ { f , S - ì f l ) ( s - ì f l , f ) = Ễ ( f , s - i f k ) k=1 Từ đó * fe=l là khung Parseval Khung fk} thường được g i là khung chặt chính tắc liên kết với khung {fk}^ = i • 1.3 n Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong IK là một họ có trong đó dạng {Ueỵ}°£ = l , là một cơ sở trực... chúng ta điều khẳng định ngược lại Mệnh đề 1.3.4 Nếu {/fc}^! là một cơ sở Riesz của J{ thì {/fc}^! là một khung chính xác Chứng minh Do { f k } k L i là một cơ sở Riesz nên nếu ta bỏ đi một phần tử bất kỳ thì họ sẽ trở thành không đầy đủ Do đó họ sẽ không còn là một khung nữa 1.4 □ Các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tra dãy { f k } k L ị là khung, ta... 1.3.1, một cơ sở Riesz {/fc}^! của cũng là một khung của 3Í và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Phần còn lại suy ra từ sự phân tích khung (1.6) kết hợp với phần duy nhất của Định lý 1.3.1 □ Mệnh đề 1.3.3 Nếu { f k } ^ L i là khung chính xác, thì {/к }^=1 và { s - 1 là song trực giao và { f k } k L ị là cơ sở Riesz của ĨC 26 Chứng minh Giả thiết { f k } k L ị là khung chính xác và cố định... trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụ linh... khung đối ngẫu của {/*;} Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần tử trong J Ï c ó thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng 17 Định lý 1.2.2 G i ả s ử { f k } k L i là một khung với toán tử khung là s Khi đó 00 ( 1 6) / = £... Định nghĩa 1.2.2 Một dãy trong là một khung nếu tồn tại hai hằng S 0 O < A < B < 0 0 s a o c h o 00 A ll/ll2 < E K/,/i)|2 < B ll/ll2, V/ e Ji (1.4) i= 1 Các số A , B được g i là các cận của khung Chúng không là duy nhất Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực... ra rằng {/fc} fc ^„- thỏa mãn điều kiên khung dưới với cân dưới —, l + (7 rõ ràng { f k } ] c ^ j cũng thỏa mãn điều kiện khung trên □ Định nghĩa 1.2.5 1) Khung { f k } k L ị được g i là khung chính xác nếu nó không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tử nào của nó bị loại bỏ 2) Khung {fk}ĩ = i được g i là thừa nếu nó vẫn còn khung nếu ta loại bỏ đi một phần tử nào đó của khung Bổ đề 1.2.4 [3] Giả sử... tồn tại của cận khung dưới dương Ả và cận khung trên hữu hạn B Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan oo trọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tốt cho XI \ ( f i f k ) I sẽ k=1 làm cho ta lấy một giá trị lớn hơn của в so với yêu cầu, nhưng ước lượng dưới không tốt có thể dễ dàng làm cho không thể tìm thấy một giá trị của A mà có thể sử dụng cho mọi / € ĩ í Bây giờ ta phát biểu