Luận văn bài toán bù trong không gian hilbert

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI A N H TU N B I TO N B TRO NG K H ễNG G IA N HILBERT LUN VN TH C s TO N HC H N i - 2016 B G I O D C V O T O TR NG I HC s PH M H NI A N H TU N B I TO N B TRO NG K H ễNG G IA N HILBERT C h u y n n g n h : T o ỏ n g i i tớc h M ó s: 6 LUN VN TH C s TO N HC N g i h n g d n k h o a h c : P G S T S N G U Y N N N G T M H N i - 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PG S.TS Nguyn Nng Tõm Trng HSP H Ni II ó hng dn tụi hon th n h lun ny Tụi cng xin chõn th n h cỏm n cỏc Thy cụ ging viờn ca trng HSP H Ni ó truyn th kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng va qua Tụi xin cm n c quan, bn bố ng nghip, gia ỡnh ó chia s, giỳp ừ, ng viờn to mi iu kin thun li tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2016 T ỏc g i A nh T un Li cam oan Tụi xin cam oan rng cỏc kt qu lun l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2016 T ỏc g i A nh T un Mc LC Trang Li c m n Li c m n ii C C K H I U T H N G D N G V P h n m u vi C h n g M t s k i n th c c h u n b 1.1 Khỏi nim v khụng gian H i l b e r t 1.2 Tụpụ yu khụng gian H i l b e r t 1.3 Toỏn t khụng gian H ilbert C h n g B i to ỏ n b ự t r o n g k h ụ n g g ia n H ilb e r t h u h n c h i u 2.1 10 Khỏi nim v bi toỏn bự khụng gian Hilbert hu hn c h i u iii 10 2.2 S tn ti nghim cho bi toỏn bự khụng gian H ilbert hu hn c h i u 2.3 T ớnh cht nghim ca bi toỏn bự khụng gian H ilbert hu hn c h i u 2.4 12 16 Bi toỏn bự tuyn tớnh khụng gian Hilbert hu hn c h i u C h n g B i t o ỏ n b ự tr o n g k h ụ n g g ia n H ilb e r t 20 23 3.1 Khỏi nim v bi toỏn bự khụng gian H i l b e r t 23 3.2 S tn ti nghim cho bi toỏn bự khụng gian Hilbert 3.3 T ớnh cht nghim cho bi toỏn bự khụng gian H i l b e r t 3.4 24 29 Bi toỏn bự tuyn tớnh khụng gian H i l b e r t 35 K t lu n 45 T i li u t h a m k h o 46 IV C C K H I U T H N G D N G A toỏn t A* toỏn t liờn hp ca toỏn t A K nún K* nún i ngu ca K H khụng gian H ilbert H* khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc Rn khụng gian Hilbert n chiu chun khụng gian H ilbert (x,y) tớch vụ hng ca hai vector X v y T X y tớch vụ hng ca hai vector X v y X-Ly X trc giao vi y s 1- phn bự trc giao ca s X-Ly X trc giao vi y d(E) biờn ca E dK (E ) biờn ca E K int(C) phn ca c ntK (c ) phn ca c K Ec phn bự ca E M u L ý d o c h n t i Nhiu bi toỏn xut hin m t s lnh vc (vớ d nh: Kinh t, Lý thuyt trũ chi, Quy hoch toỏn hc, C hc, Lý thuyt n hi, K th u t, Nhng bi toỏn cõn bng) cú th p h ỏt biu di cựng dng nh sau: Cho H l m t khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng (, ) v K l m t nún li úng H vi nún i ngu K* = {y Ê H : ( x , y ) > 0,Vx Ê K } Bi toỏn bự N C P ( f , K ) xỏc nh bi ỏnh x / t K vo H l tỡm X Ê K cho / (X) Ê K* v ( / (x) , x ) = Bi toỏn trờn c gi l bi toỏn bự v (hỡnh nh) cú ngun gc t nh lý Kuhn-Tucker (v iu kin cn cc tr) ti u phi tuyn Vỡ bi toỏn bự cú nhiu ng dng lý thuyt cng nh thc t, nhiu tỏc gi v ngoi nc ó v ang quan tõm nghiờn cu theo nhiu hng, nhiu khớa cnh Sau hc c cỏc kin thc v Toỏn gii tớch, vi mong mun tỡm hiu sõu hn v cỏc kin thc ó hc, mi quan h v ng dng ca chỳng Tụi ó chn ti nghiờn cu Bi toỏn bự khụng gian H ilbert M c ớc h n g h iờ n c u T ỡm h iu v m t s ni d u n g c a b i to ỏ n b ự tro n g k h ụ n g gian H ilb e rt N h i m v n g h iờ n c u Nghiờn cu m t s ni dung nh tớnh ca Bi toỏn bự khụng gian Hilbert i t n g v p h m vi n g h iờ n c u Bi toỏn bự khụng gian Hilbert P h n g p h ỏ p n g h iờ n c u Dựng phng phỏp ca gii tớch hm v gii tớch bin phõn G i t h u y t k h o a h c Nu nghiờn cu v lm rừ c khỏi nim bi toỏn bự cng nh tng hp, h thng c m t s kt qu ó c cỏc nh khoa hc nghiờn cu v cụng b v bi toỏn bự khụng gian Hilbert thỡ chỳng ta cú thờm nhng hiu bit mi v Toỏn gii tớch VII Chng M t s kin thc chun b Ni dung chớnh ca chng bao gm m t s kin thc c s v khụng gian Hilbert v m t s toỏn t trờn khụng gian Hilbert Nhng kin thc chng ny c ly t [1], [2] 1.1 K h ỏi n im v k h ụn g gian H ilb ert Cho H l khụng gian vector trờn trng s thc R n h n g h a 1.1.1 Ta gi mi ỏnh x H X H R; (x, y ) I ^ (x, y } l m t tớch vụ hng trờn H nu cỏc iu kin sau õy c tha m ón vi \ f x : y, z H : a M *) (x ,y) = (y,x) ii) (ax, y) = a (x , y ) Ui) (x + y , z ) = (x, z) + (y, z) Cho A ( u ) l h t t c cỏc khụng gian hu hn chiu u ca H vi u e u Cho K = { x v \ u c V G A (u)} v S = {x Nu X G eK I (x, f { u )) < ( u, /( ô ) ) } thỡ (z - u j ( u ) ) > Vỡ vy (a; u, f ( x ) ) > v ú, K u c s y u c ;4(u) i vi U G -A(w), cho èC/C l úng yu ca K Sau ú h {KU)\U G A (u)} cú tớnh cht giao hu hn T j4 ( w), sau ú n s l com pact yu v Kớ c s vi V / G KUJ ^ Cho UA{) XG P'1 KU;, Ue A { u ) bng lp lun tng t nh chng minh ca nh lý 3.3.7, chỳng ta cú (ổ x , f ( x ) ) > 0,Vx G X Do ú theo H qu 3.3.6, chỳng ta cú, f ( x ) G K* v ( x j ( x ) } = 34 B i to ỏ n bự tu y n tớn h tro n g k h ụn g gian H ilb ert n h n g h a 3.4.1 ([3], tr.4) Cho H l khụng gian H ilbert, K l mt nún li H Bi toỏn, tỡm X e K cho ( T x + q, k) > 0, (VA; e K ) v ( T x + g, x) = 0, ú T l m t toỏn t tuyn tớnh trờn H v q l m t phn t ca H , c gi l bi toỏn bự tuyn tớnh trờn khụng gian H ilbert kớ hiu, L C P ( T , K , q ) n h n g h a ([3], tr 7) Bi toỏn L C P ( T , K , q ) c gi l chp nhn c nu tn ti X G K cho T x + q G K*, ú K* = { x G H : (x, k) > , VA; G K* } Nu X & K cho T x + q G -ftT* thỡ ta núi X chp nhn c i vi bi toỏn L C P (T , K , q) Ta s nghiờn cu s tn ti nghim v tớnh cht n nh ca bi toỏn bự tuyn tớnh khụng gian Hilbert n h lý ([3], ớr.12) Cho K l m t a din v T l m t toỏn t ng dng tng cng trờn K Nu bi toỏn bự tuyn tớnh L C P ( T , K , q ) chp nhn c thỡ nú cú nghim C h n g m in h Nu d im H < oo bng cỏch s dng phộp bin i bo ton tớch cú hng, ta cú th gi s rng H = Mn vi n no ú v s dng tớch vụ hng thụng thng trờn R n 35 Vỡ K l m t nún a din, tn ti s nguyờn dng m v ỏnh x tuyn tớnh B : R m > R n cho B(R) = K D thy rng T B * T B l m t toỏn t ng dng cng trờn R Vỡ bi toỏn bự tuyn tớnh L C P (T , K , q) chp nhn c, nờn tn ti x E K cho ( T x + q, k) ^ vi k K Vi phn t Xq E R b t k tha món, B x = x 0, ta cú: f x + B*q, x ^ = (B * (Tx + q), x) = ((Tx + q ) , B x ) > , vi mi X & M Nh vy, L C P r ,R * +ỡ B*q^ chp nhn c Vy tn ti X G R cho, ( túc + B * q ,x ^ > 0, X E v ( T x + B * q,x = R ỳt gn cụng thc trờn ta c 36 (T (B x + q), B x )) > O, X Ê R v (T (B x + q) , B x ) = Nh vy B x l nghim ca L C P n h lý 4 ([3], tr l3 ) Gi s rng i) T l m t toỏn t ng dng cng trờn K, ii) nh x X I ^ (T x , x ) l na liờn tc di yu trờn K , iii) K l nún mng, iv) { k Ê K \ T k Ê K*, ( Tk, k) = v (q, k) = 0} = {0} Khi ú, nu L C P ( T , K , q) chp nhn c thỡ nghim ca L C P ( T , K , q) khỏc rng v compact yu C h n g m in h Trc tiờn chỳng ta s ch s tn ti nghim Ly Xo l chp nhn c i vi L C P ( T , K , q ) Ta cú th gi s rng 0, Xo Vỡ l m t nghim ca bi toỏn Khi ú, theo (iii), {^ Ê K\ ||x|| = 1} khỏc rng v kh li Kớ hiu {eo, El, Ê25 } l trự m t ca {xo Ê K\ II^ = 1} vi eo = M kớ kiu K n l nún li úng sinh bi {eo, ei, Ê , , en} Ta M cú mi K n l nún a din cha X o Vỡ K n c K , theo i) T l ng dng cng trờn K n vi mi n = 1,2, , Bõy gi ta c nh n Vỡ Xo l chp nhn c i vi L C P (T, K n, q), theo nh lý 3.4.3 tn ti x n Ê K n cho (T x n + q, k) > vi k Ê K n v ( T x n + q , x n} = Ta khng nh rng, dóy {x n} b chn n 00 T h t vy, nu {xn} khụng b chn thỡ, khụng gim tng quỏt, ta cú th gi s rng ||a;n || > 0 37 Khi ú ta cú: (T u n + qn, u n) = vi (n = 1, ,3 , ) ~ Qn Trong ú u n := v qn := I Il*^n|| llầnll Vi {u Ê K \ ||x|| < 1} l li úng, b chn khụng gian Hilbert H , ta cú {un} (hoc m t dóy ca nú) hi t yu n m t phn t d Ê K Theo ii), ta nhn c (T d , d ) < v theo i), suy T d = T*d Bõy gi theo i), suy {d ^n) ( ^ n ỡ ^ới) 0' Do ú (q, d) < Vỡ b t k k E K cú th vit di dng: k = lim kn vi n >00 kn K n, ta cú (T d , k } > 0, vi mi k K , ngha l T d G K* Vỡ L C P (T , K , q) chp nhn c, ta suy (TXo + q,d) > T ú ta cú (q, d) > - ( T x 0, d) = - ( x0, T T d ) > Ta nhn c (q , d ) = Nh vy, d Ê { x G K \ T x Ê K *, (q, x) = 0} Theo iv) iu ny suy d = 0, ngha l thuc bao úng yu ca { x Ê K : ||ổ || = 1} iu ny m õu thun vi iii) Nh vy, dóy { x n} (hoc m t dóy ca nú) b chn Khụng gim tớnh tng quỏt, ta cú th gi 38 s rng dóy {xn} hi t yu n phn t xừ G K Bõy gi theo ii), ta cú ('T xq + q, Xo) < Hn th na, s dng cỏch vit k = lim kn vi kn G K n, ta c (T x + , k) > vi tựy ý k G K Vỡ vy, l m t nghim ca bi toỏn L C P (T , K , q) Cui cựng, bng cỏch lp lun tng t ta ch nghim ca bi toỏn L C P (T , K , q) b chn: Gi s nú khụng b chn, bng cỏch tng t nh ó thc hin, ta cú th xõy dng m t phn t d G K tha món: (T u n + qn, u n) = vi n = 1, 2, , , v theo iii) s dn n m õu thun Vỡ nghim ca L C P ( T : K , q) úng yu K ta suy nú l com pact yu n h lý ([3], ớr.14) Cho d m H < oo v gi s T , K, q tha món: i) T l m t t liờn hp ii) T ng dng cng trờn K in ) (T + q q) (K) l úng Nu bi toỏn L C P ( T :K , q ) chp nhn c thỡ nú cú nghim C h n g m ỡn h t M := K e r T n {}"1 Nu M = {0} th ỡ theo nh lý 3.4.3 ta cú iu phi chng minh Vy gi s rng M ^ {0} Kớ hiu p l phộp chiu trc giao t H lờn M R a n T + S p a n {} Vỡ (T x + , k) = ( T P x + , P k ) 39 (x:k & K ) , ta nhn thy s tn ti nghim ca L C P (T , P ( K ) , q ) Theo iii) K + n q1 K e r ( T + q đ q) = K + K e r T = K + K e r P l úng, vy P ( K ) úng T ii) d thy T l ng dng cng trờn P ( K ) v cui cựng ta cú P ( K ) C \K erT C \qL c R a n P n K e r P = {0} Nh vy, t t c cỏc iu kin ca nh lý (3.4.3) u tha m ón cho bi toỏn L C P ( T , P ( K ) , q) v ú nú cú nghim Do ú bi toỏn L C P (T , K , q ) cú nghim V d ([3], tr 17) Vớ d ny ch rng, nu b qua iu kin iii) nh lý (3.4.5) thỡ L C P (T , K , q) cú th khụng cú nghim Ly { 00 = ( x 1, x 2, x 3, ) \xn e K, ^ x l < 00 X n=l 00 vi tớch vụ hng cho bi: (X , y) = Y2 x ny n Ly l nún dng i n=l (ngha l, mi xn > vi ( x i , x 2, ) X = / 1 49 V ú a, ò, \ J _/ H V ( x , u ) v Vỡ phộp chiu t i 2) t 1 23 \ )' c chn cho a, ò > , ||w|| = \\v\\ v (U, V) Chỳng ta xỏc nh toỏn t chiu trờn c p p : t ằ t bi P : n iu trờn v ú p X > > (x, u) u + ng dng cng Cng t tớnh n iu ca p X I ^ Ê K e r P thỡ (u , v ) = v m t th n h phn { Px , x } Nu no ú ca X X suy tớnh na liờn tc di yu ca toỏn phi ph l s õm iu ú ch n K e r P = {0} 40 Tuy Ê \ kh li, ta cú: thuc bao úng yu ca {:r Ê%\ IM I = l } K hiu en l phn t ca Ê2 vi l thnh phn th n, cỏc thnh phn cũn li u bng t q := u K h i ú vi n > ta cú, S P iKp e'n ^j = n \ n \ a - e n, u u + \ - p en,v7 ) V = u + v V v G 1%( = Ê2) ta cú, / pn p ( ^ ấn) + q e (^2 ) Nh vy L C P ( P , Ê , ) chp nhn c v ta ó kim tra tt c cỏc iu kin ca nh lý 3.4.5 ngoi tr tớnh mng ca nún Ê2 Gi s cú a (Ê2 ) vi { Pa + q, x) > vi tt c X {P a + q,a) = Bt ng thc: p ^ P a + q, en ^ > (n = 1, 2, 3, ) cho ta Oi (a, u ) + (a,u) u > (n 2, 3, ) pn v vy, (a, u) > Bõy gi (P a + q,a) = 0, tr thnh |(,M)|2 + \{a,v)\2 - (a , u ) = 0, 41 (^2 ) v v ( a, u) > 1, nờn ta cú {a, V) n h lý ([3], tr 18) Vi d m H < oo cỏc mnh sau l tng ng i) Tn ti m t toỏn t s :H >H cho S(H) khụng úng; ii) Tn ti m t phộp chiu trc giao p : H H cho P( K) l khụng úng; Ui) Tn ti toỏn t p : H H l ng dng cng trờn K v q G K cho L C P (T ,K ,q) l chp nhn nhng khụng cú nghim; iv) K khụng phi l a din; v) Tn ti toỏn t chiu p : H Ơ H vi dim (R anP )= m P (K ) l khụng úng C h n g m i n h , i) => ii) Gi s i) ỳng Vỡ H / K e r S ng cu vi R a n S (vỡ d m H < oo) v p i : H -> H / K e r S l ỏnh x thng nờn K + K e r S khụng úng trờn H Kớ hiu p l phộp chiu trc giao lờn ( K e r S ) Vỡ K e r P K e r S nờn K + K e r P khụng úng Vỡ vy P { K ) khụng úng H Ta cú ii) ii) => iii) Gi s p l phộp chiu lờn H cho P ( K ) khụng úng 42 H Kớ hiu u l im gii hn ca P ( K ) m khụng thuc P ( K ) t q = u v kớ hiu I l toỏn t ng nht trờn H Ta ch P ( K P (K ) = H Kớ hiu L l nún li úng (khụng nht thit l P ( K ) ) Gi s phn chng rng L* L ^ H Ly X X G L* L ú theo nh lý tỏch tn ti a 0) a Ê H v a G H m R cho (a , x ) < a < {a,ỹj} (a, v) V G L, ĩJ E L* Vỡ L* L l m t nún ta cú th ly a = Cho U) = ta nhn c < (a, v) V L suy a G L* Cho U) = a, V = v nhc li rng ta ó ly a = 0, cho ta < (a, a), suy a = 0, m õu thun vi fl / Nh vy P (K *) P (K ) = H vi bi toỏn L C P , P ( K ) , q ) chp nhn c Gi s L C P , P ( K ) , q ) cú nghim Khi ú tn ti P G P (K ) cho (p + q, v) > 0, vi V G P (K ) v {p + q,p) = Vi q = u, ta cú vi b t k V G P (K) : Ik - v \\2 = lk - p ||2 + IlV - u\\2 + (v - p ,p - u) > \\p - u \I2, 43 bi vỡ (v p ,p u) = ( v, p u) {p,p u) > Vỡ u thuc bao úng ca [p (K )] \ p (K ), iu ny khụng th xy ra, ú L C P ( I , P ( K ) , q ) khụng th cú nghim Vỡ q G R a n P v p l m t phộp chiu , bi toỏn L C P i P ( K ) , q) chp nhn c (tng ng cú nghim) tng ng bi toỏn L C P ( P , K , q) chp nhn c (tng ng cú nghim) Nh vy ta thy rng bi toỏn L C P (P , K , q) chp nhn c nhng khụng cú nghim Cui cựng, p ng dng cng trờn K vỡ cỏc phộp chiu luụn l n iu iii) => iv) suy t nh lý 3.4.3 iv) =k v) theo kt qu ca nh lý 3.4.3 v) i) hin nhiờn Kt lun Trong chng 3, ó trỡnh by m t s kt qu v bi toỏn bự khụng gian Hilbert 44 K t lun Lun ó trỡn h by c m t cỏch h thng m t s kt qu cho bi toỏn bự khụng gian Hilbert hu hn chiu v khụng gian Hilbert vụ hn chiu Mt s kt qu tng quỏt ó c din gii v tớnh toỏn li m t cỏch chi tit, bao gm: 1) Trỡnh by cỏc kin thc v kt qu liờn quan n khụng gian Hilbert 2) Trỡnh by m t s kt qu v bi toỏn bự khụng gian Hilbert 3) Trỡnh by m t s vớ d m inh cho cỏc kin thc liờn quan T I LIU THAM KHO T i li u ti n g V i t [1] u Th Cp (2000), Gii tớch hm, NXB Giỏo dc [2] Nguyn Vn Hin, Lờ Dng Mu, Nguyn Hu in, Giỏo trỡnh gii tớch li ng dng, NXB HQG H Ni nm 2014 T i li u ti n g A n h [3] M s Gowda, T I Seidman (1990), Generalized Linear Complemenư tarity Probrems, M atham atic Program m ing 46, p.329-340 [4] Patrick T HARKER and Jong-Shi PANG Finite-dim ensional variaư tional inequality and nonlinear, algorithm s and applications M atheư m atical Program m ing 48 (1990) 161-220 [5] s K aram ardian Generalized Complementarity Problem 1, No 3, 1971 [6] N D Yen, G M Lee N N Tam, Quadratic Programming and A ffine Variational Inequalities, Springer Verlag, 2005 [7] R.w C ottle and J c Yao Pseudo-M onotone Complementarity Probư lems in Hilbert Space, November 1992 46 B G I O D C V O T O TRNG HSP H NI CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc BIấN BN HP HI NG CHM LUN VN THC s Tờn ti lun vn: B i toỏn bự khụng g ia n H ilbert Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch, mó s: 60 46 01 02, khúa: - Ngi thc hin: Anh Tun Bo v ngy 31/7/2016 theo Quyt nh thnh lp Hi ng chm lun vón thc s s: 648/Q-HSPHN2 ngy 22/6/2016 ca Hiu trng Trng H SPH N 2; Ti Hi ng chm lun thc s Trng HSP H Ni I THNH VIấN CA HI NG .6 ^ ,r n S L ^ .V iA ^ Ê ^ ? ^ Ê Ch tch Hi ng .Tớ? t^U.V^Xr? U viờn th ký U viờn phn bin X ^ è ^ W ^ ^ ằ } * U viờn phn bin X?5* ^.V^ è^ ớa L i ằ U viờn II I BIU D BO V LUN VN: Scanned by CamScanner III CHNG TRèNH LM VIC Tỏc gi lun bỏo cỏo kt qu N C K H ( g h i túm t t ) y ^vớ) _ T~ !tỡyL w ^ V r L Vrtx èJL*A x i : K T H i Viớre/r br C ỏ c ý kin phn bin: - N g i ph n bin ( G hi tú m t t) ôV: $$ if $ ự ,