Luận văn toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN èNH TH TON T NA XC NH DNG TRấN KHễNG GIAN HILBERT Chuyn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS. Nguyn Nng Tõm H Ni, 2014 LI CM N Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, Trng i hc S phm H Ni 2, ó hng dn v ch bo tn tỡnh tụi hon thnh lun ny. Xin chõn thnh cm n cỏc Thy cụ ca trng i hc S phm H Ni ó truyn th kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc va qua. Xin cm n cỏc bn bố ng nghip v gia ỡnh ó chia s, giỳp , ng viờn, to mi iu kin thun li tụi hon thin lun ny. H Ni, thỏng 10 nm 20l Nguyn ỡnh Th LI CAM OAN Tụi xin cam oan bn lun ny tụi thc hin di s hng dn ca PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, Trng i hc S phm H Ni 2. Trong thc hin lun vn, tụi ó k tha thnh qu khao hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 10 nm 2014 Nguyn ỡnh Th CC Kí HIU THNG DNG R ng thng thc hp rng M giỏ tr tuyt i ca X H Khụng gian Hilbert RN khụng gian Hilbert n-chiu 11-11 chun khụng gian Hilbert (,) tớch vụ hng INT c phn ca c C bao úng ca c DC biờn ca c S PA N C khụng gian sinh bi c XY X trc giao vi y S1- phn bự trc giao ca s H* khụng gian liờn hp ca H R{T), RANA nh ca toỏn t T N(T), KERT ht nhõn ca toỏn t T A* toỏn t liờn hp ca toỏn t A K* nún i ngu ca nún K nún orthan khụng õm Mm GLCP(T, K , Q ) bi toỏn bự tuyn tớnh suy rng Inf/ cn di ỳng ca ỏnh x / Sup / cn trờn ỳng ca ỏnh x / Mc lc 1.1.1. V 1.1.2. c trng ca toỏn t na xỏc nh dng trờn Ti liu tham kho M U 1. Lý chn ti Trong lý thuyt toỏn t trờn khụng gian Hilbert, tớnh na xỏc nh dng l mt khỏi nim quan trng. Nú cú vai trũ ln nghiờn cu ca nhiu lnh vc, chng hn nh: Phng trỡnh o hm riờng, bt ng thc bin phõn, lý thuyt ti u, V.V Khỏi nim ny ó cú nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu v s dng; xem [5], [6] v cỏc ti liu dn ú. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nhng kin thc ó hc, mi quan h v nhng ng dng ca toỏn gii tớch, c bit l Lý thuyt toỏn t v ng dng, c s ng viờn ca PGS.TS Nguyn Nng Tõm, tụi chn ti " T O N T N A X C N H D N G T R ấ N K H ễ N G G I A N H I L B E R T " nghiờn cu. 2. Mc ớch nghiờn cu t c mt s hiu bit tt v Toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert v ng dng nhng tớnh cht ca chỳng vo Bi toỏn bự tuyn tớnh. 3. Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu khỏi nim v nhng tớnh cht ca Toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert. Kho sỏt ng dng ca Toỏn t na xỏc nh dng vo Bi toỏn bự tuyn tớnh. 4. i tng v phm vi nghiờn cu - Phm vi nghiờn cu: Toỏn t khụng gian Hilbert. - i tng nghiờn cu: Toỏn t na xỏc nh dng v ng dng. 5. Phng phỏp nghiờn cu - Tỡm hiu ti liu: Cỏc bi bỏo ó c ng v sỏch ó in liờn quan mt thit n toỏn t na xỏc nh dng v ng dng. - S dng cỏc phng phỏp ca Toỏn gii tớch. 6. Gi thit khoa hc (D kin úng gúp mi) - Mt tng quan v toỏn t na xỏc nh dng v mt s ng dng. Chng Kin thc chun b Ni dung chớnh ca chng bao gm mt s kin thc c s v khụng gian Hilbert thc v toỏn t n tuyn tớnh trờn khụng gian Hilbert. Nhng ni dung trỡnh by chng ny ch yu ly t [1] v [6]. 1.1. Khụng gian Hilbert Cho H l khụng gian vộc t trờn trng s thc R. nh ngha 1.1.1. T A G I M I N H X H X H -> R (x,y) (x,y) l mt tớch vụ hng trờn H nu cỏc iu kin sau õy tha mn: Vi mi x , y, z G H v a G R ) { x , y } = ( y, x ) , ii) (ax, y) = a (x,y), U i ) ( x , y + z ) = (X , y ) + ( X , z ) , iv) (x,x) > 0, (x,x} = v ch X = 0. S ( x , y ) c gi l tớch vụ hng ca X v y. Khụng gian vộc t H cựng vi mt tớch vụ hng xỏc nh c gi l khụng gian cú tớch vụ hng hoc khụng gian tin Hilbert, v thng c vit l (H , .)). Mnh 1.1.1. Cho khụng gian vộc t H cựng vi mt tớch vụ hng (.,.) xỏc nh. Khi ú cụng thc ||a;|| = Y / ( X , X } xỏc nh mt chun trờn H. nh ngha 1.1.2. Nu khụng gian cú tớch vụ hng ( H , (.,.)) vi chun xỏc nh nh trờn l mt khụng gian , thỡ ta gi ( H , (.,.)) l mt khụng gian Hilbert v kớ hiu n gin l H. Ta gi s chiu ca H l s chiu ca khụng gian Hilbert (H , kớ hiu bi dimH. Nu dimH < oo thỡ ta núi H l hu hn chiu, trỏi li ta núi H l vụ hn chiu. Ta gi mi khụng gian tuyn tớnh úng ca khụng gian Hbert H l khụng gian Hilbert ca khụng gian H. V D 1.1.1. Ly H M71. Vi X = (:ci, ., X N ) , Y = (Y I , ., Y n) G H biu thc x ( ,y) n = XiVi I= xỏc nh mt tớch vụ hng trờn khụng gian Mn v vi chun \\x\\ = y / ( X , x ) Rn tr thnh mt khụng gian Hilbert hu hn chiu. V D 1.1.2. Ký hiu L l khụng gian vộc t cỏc dóy s X = ( X N ) cho 00 chui s \ X N \ hi t. \ / X = (X n) Ê ,Vy = (Y n) Ê ta t (1.1) 00 D dng thy h thc (1.1) tha cỏc iu tớch vụ hng. Khụng gian L vi chun sinh bi tớch vụ hng (1.1) 00 l mt khụng gian v khụng gian vộc t / cựng vi tớch vụ hng (1.1) l mt khụng gian Hilbert. nh lý 1.1.1. (Bt ng thc Cauchuy - Schawartz) Cho H l khụng gian tin Hilbert. Ta luụn cú bt ng thc sau: \ { x , y ) \ < ( x , x ) { y , y ) {\/x,y e H). nh lý 1.1.2. Cho H khụng gian Hlbert. Kh ú, : H X H > R. l mt hm liờn tc. nh ngha 1.1.3. Tp M c H c gi l li nu vi mi x,y Ê M, on thng ni X , y u nm M. Núi cỏch khỏc, M c H l li v ch khi: \/x, y Ê M, VA Ê [0,1] ta cú Xx + (1 A) y Ê M. nh ngha 1.1.4. Mt hp M H l kh li nu M bao hm mt hp m c trự mt M. X + T X l nghim ca GLCP(T, , ) vi mi T ^ 0. Bng tớnh b chn ca nghim chỳng ta cú X = 0. Vy ( a ) = > (6). () => (): Gi s (b) khụng suy (c). Dự Q ( * T ( K )) hoc Q ( * T ( K ) ) . Trong c hai trng hp u { Q N } cho Q N ( K * T ( K ) ) v Q N Ơ Q ( N oo). Khi thay i n thỡ tn ti vi ||Ên|| = v a R cho () < ô < (c). (c) => (d): Gi s (c) ỳng, rừ rng GLCP ( T, K , Q ) chp nhn c . Gi s cú Ê cho Ê K , T Ê e * , (TÊ,Ê) = v (,Ê) = 0. Vi bt kỡ Z & K * - T ( K ) thỡ z = k * T k ( k * (a) ỳng theo nh lớ (2.2.2). Nht xột v nh lớ 2.2.4 : i) Khi H = R N v K = M s tng ng gia (a) v (c) trựng vi kt qu ca Mangasrian [10]. ii) Gi s rng K * cú phn khỏc rng v T l ng dng cng trờn K . Gi thit rng tn ti mt X e K cho T X + Q e I N T K * . Borwein ([2]) ó ch rng bi toỏn GLCP ( T, K , Q ) cú nghim compact, cú th rng. Vỡ T X + Q e I N T K * suy Q I N T [ K * T ( K ) ] , nh lý 2.2.4 v bn cht ó ch rng GLCP( T, K , Q ) cú nghim khỏc rng. iii) Vi khụng gian hu hn chiu tớnh compact ca nghim tng ng vi tớnh b chn, bi vỡ nghim ca bi toỏn GLCP(T, K , Q ) luụn úng. iv) Trong [12] chng minh kt qu nhiu i vi cỏc toỏn t n iu xỏc nh trờn cỏc khụng gian phn x. C H í 4. Trong trng hp hu hn chiu, tớnh compact ca nghim tng ng vi tớnh b chn v úng. Vỡ vy, nghim ca GLCP(T, K , Q ) luụn luụn úng. Khi xột trờn Mn ta cú nh lý sau: nh lý 2.2.5. (nh lý 2.1 ca [7]) Cho A l mt hỡnh nún li úng khỏc rng mt ma trn M G Knxn l ng dng cng khỏc rng trờn A, mt vộc t p e M n . Thỡ cỏc iu sau l tng ng: (a) Tp nghim ca G L C P ( M , p : A) l khỏc rng v b chn. (b) p mÊ((0+A)* M A ) . (c)Tn ti Ê > cho vi mi M' e M nxn v p' Ê M n vi max {\\M M II , II p >||} < Ê, nghim ca GLCP(M',p', A) khỏc rng. Di õy chỳng ta trỡnh by mt c trng ca nún a din cỏc khụng gian hu hn chiu. nh lý 2.2.6. ([6], tr. 337) Vi dmH < oo cỏc mnh sau l tng ng: i) Tn ti mt toỏn t s : H > H cho S ( K ) khụng úng. ii) Tn ti mt phộp chiu trc giao p : H > H cho P ( K ) l khụng úng. U) Tn ti toỏn t p : H -- H l ng dng cng trờn K v q E H cho GLCP(T,K,q) l chp nhn nhng khụng cú nghim. iv) K khụng phi l a din. V) Tn ti toỏn t chiu p : H > H vi dim( R a n P ) = m P { K ) l khụng úng. C H N G M I N H , ) = > ): Gi s ) ỳng. Vỡ H / K E R S ng cu vi Ran S (vỡ D I M H < oo) v : H Ơ H / K E R S l ỏnh x thng nờn + K E R S khụng úng H . Kớ hiu P l phộp chiu trc giao t H lờn (K E R S )-L. Vỡ K E R P = K E R S nờn + K E R P khụng úng. Vỡ vy P ( K ) khụng úng H . Ta cú ). ) A I ) : Gi s P l phộp chiu lờn H cho P ( K ) khụng úng H . Kớ hiu l im gii hn ca P ( K ) m khụng thuc P { K ) . t Q = v kớ hiu I l toỏn t ng nht trờn H . Ta ch T P ( K P ( K ) = H . Kớ hiu L l nún li úng (khụng nht thit l P ( K ) ) : Gi s phn chng rng L * L H - Ly X E H m X L * L ú theo nh lý tỏch ([9]) tn ti 0, A G H v a R cho (a,x) < a < (a,w) (a,v) V G L, w G L*. (2.15) Vỡ L * L l mt nún ta cú th ly = 0. t W = (2.15) ta nhn c < ~{A,V) (V G L) suy A G L * . Cho W = A , V = v nhc li rng ta ó ly = 0, (2.15) cho < (A, A) suy = 0, mõu thun vi 0. Nh vy P ( K * ) P ( K ) = ú bi toỏn GLCP(/, P ( K ) , Q ) chp nhn c. Gi s rng GLCP(/, P { K ) , Q ) Cể nghim. Khi ú tn to P e P ( K ) cho ( p + q , v ) > 0; vi V & P ( K ) v (p + q,p)= 0. Vi q = u , ta cú vi bt k V Ê P{K)'IIV - w|| = ||t! - p\\ + \\p - u\\ + 2{v p , p u) > IIp w|| 2, bi vỡ ( v p , p ự ) = { v, p ự ) ( p , p u ) > 0. Vỡ U thuc bao úng ca [ P ( K ) ] \ P ( K ) , iu ny khụng th xy ra, ú GLCP , P ( K ) , Q ) khụng th cú nghim. Vỡ Q R A N P v P l mt phộp chiu, bi toỏn GLCP , P ( K ) , Q ) chp nhn c (tng ng cú nghim) tng ng bỏi toỏn GLCP ( P, K , Q ) chp nhn c (tng ng cú nghim). Nh vy ta thy rng bi toỏn GLCP( P, K , Q ) chp nhn c nhng khụng cú nghim. Cui cựng, P ng dng cng trờn K vỡ cỏc phộp chiu luụn l n iu H I ) =>- I V ) : Suy t nh lý 2.2.1. iv) = > V ) : Theo kt qu ca [11]. v ) I ) : Hin nhiờn. Tip theo chỳng ta trỡnh by mt s vớ d minh cho ng dng ca nh lý 2.2.2: V D 2.2.1. Vớ d ny ch rng nu thiu iu kin (iii) nh lý 2.2.2 thỡ GLCP( T, P ( K ) , Q ) khụng gii c. Cho oo = ( x i , x 2, .) : H x n =Ê lx= n=1 , vi tớch vụ hng cho trc 00 ( x , y ) = ' x n y n . 71= Cho l hỡnh nún dng L (tc l, mi X N > vi X = ( X I , X , ) Ê LT ). t V = a(l, , , .), v = /3 (7 , . ) ú a, /3, c chn cho A , S S > , ||w|| = ||;|| = v (U , V ) = 0. Chỳng ta nh ngha mt toỏn t chiu p : l , bng p : X > ( X , u ) u + ( X , V } V. Vỡ P mt phộp chiu, P n iu trờn L v ú ng dng cng trờn . Hn na, t tớnh liờn tc ca P suy tớnh na liờn tc di yu ca ỏnh x X - {PX, Nu X). K E R P , thỡ (X , V ) = nờn mt vi thnh phn ca X phi õm. iu ch K E R P ny = {0}. Mc dự tỏch c, chỳng ta cú G bao úng - yu X E |||| l}. = Cho E N l ký hiu phn t L vi v trớ th n v nhng ch khỏc. t Q = U sau ú, cho N > 1, /n \ /n \ /. N ( - e n , u ) u + ( - e n , v j v = + - - V. (2.16) Vỡ V G (= I 2) , nờn ta cú [P { ( N / S S ) E N ) + Q ] G Nh vy GLCP(P, , Q ) chp nhn c v chỳng ta ó kim tra tt c cỏc iu kin ca nh lý 2.2.2 loi b mng ca Gi s, cú mt A Ê vi ( P a + q : x ) >0 ( \ f x e I 2) , v ( P a + q , a ) = 0. Bt ng thc ( P A + Q , (N/SS) E N ) >0 (n = 1, 2, .) ch , . a (, ) + (, V) > vi = 2,3, . . Nờn ( , ) > 1. Bõy gi { + q , ) = quy v |(a,w) | + |(a,ợ; ) | - (,) = , Vỡ ( , ) > , suy (a , v ) = . Do a G } v tt c s a vo ca V l ng dng ngt, nờn phi cú A = ú ( , X ) = (Q , X ) = ( P A + Q , X ) >0 vi X Ê Nhng ( U , E ) = \ S S < nờn chỳng ta cú mt mõu thun, nh vy, GLCP( P, L , Q ) khụng gii c. C H í 5. : Cho N > oo (2.16) chỳng ta thy rng G bao úng [p(/^)]. Tuy nhiờn khụng thuc P ^ ) ' - nđu c Px = (X, u)u + (x,v) V = vi X Ê 12 , thỡ (x, V) = 0, suy ổ - v ú = P X = 0. Nh vy, nh ca di P khụng úng. V D 2.2.2. : Vớ d ny ch rng nu iu kin (iv) nh lý 2.2.2 b qua thỡ kt qu khụng ỳng; tng t vớ d cho thy iu kin (iii) trog nh lý 2.2.3 khụng th b b qua. Cho H = M 3, T ( x , y , z ) = ( x , y , 0), = { ( x , y , z ) : x , z > 0, x z > y } . t Q = (1,1,0) v X = (1, 1,1). Thỡ l mt hỡnh nún li úng vi * = V X G K . Do T X + Q = (2,0,0) G * , Q L C P { T, K , Q ) l chp nhn c. Tn ti mt phộp chiu T n iu trờn M3 v ng dng cng trờn K . Bõy gi gi s K = (X , Y , Z ) l nghim bt k ca GLCP(T, K , Q ) . Thỡ T K + Q = (x+1,2/ +1,0) G * (= ) ú = -1. Vỡ 2X Z > Y = 1, nờn cú mt X > ( T K + Q , K ) = X ( X + 1) + Y ( Y + 1) = X ( X + 1) > 0. Nh vy GLCP( T, K , Q ) khụng gii c. Chỳng ta thy rng K n K e r T n {}-1 = {(0, 0, z ) : z M} {0} J (T + Q đ Q ) K = {[ X + Y , X + Y , 0) : X = Y = hoc X > o} . Tp hp th hai khụng úng, vỡ (1,2,0) l mt im gii hn ca (T + Q (8) Q ) K v khụng thuc (T + Q < S > Q ) K . Nh vy, iu kin (iv) nh lý 2.2.2 cng nh iu kin (iii) nh lý 2.2.3 u khụng tha món. Cỏc vớ d c a phn trờn dn n d oỏn rng, nu nh ca nún qua toỏn t m khụng úng thỡ bi toỏn GLCP tng ng khụng nht thit cú nghim. iu ny ỳng nu khụng gian l hu hn chiu. (Dng nh kt lun tng t cng ỳng vi khụng gian vụ hn chiu nhng chỳng ta khụng rừ iu ny). kt thỳc chng ny chỳng ta nờu li cỏc chỳ ý cú tớnh kt lun v cỏc bi toỏn m [6]: C H í 6. Cho D I M H < oo v cho T ng dng cng trờn K . Gi s rng GLCP(T, K , Q ) l chp nhn c, tc l Q e [ K * T { K ) \ . Khi ú cỏc kt qu ca chỳng ta chng t rng: Nu Q G I N T K * T ( K ) ] thỡ nghim ca GLCP(T, K , Q ) khỏc rng v compact. Nu Q G D ( K * T ( K ) ) , (T + Q Q ) K l úng, v T l t liờn hp thỡ nghim ca GLCP(T, K , Q ) l khỏc rng v khụng b chn. Bi toỏn 1. Tớnh t liờn hp ca T cú th b (ii) hay nh lý 2.2.3 khụng? C H í . nh lý 2.2.3 cng cú th chng minh bng cỏch cc tiu húa mt phim hm bc hai. C H í 8. nh lý 2.2.4 ch rng D I M H < oo v T l ng dng cng, nghim ca GLCP(T, K , Q ) khỏc rng v compact tng ng vi s tn ti ca mt Ê > cho GLCP(T, K , Q ' ) cú nghim khỏc rng (compact) II ' II < Ê. Bi toỏn 2. nh lý 2.2.6 cú ỳng H l vụ hn chiu khụng? K t lun chng Chng ó trỡnh by cỏc khỏi nim v cỏc tớnh cht v toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert v ng dng ca chỳng vo vic gii bi toỏn bự tuyn tớnh. Kt lun Lun ó trỡnh by mt cỏch cú h thng cỏc ni dung sau: Khỏi nim v nhng tớnh cht c bn ca toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert. ng dng ca toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert vo bi toỏn bự tuyn tớnh suy rng. Nhng mi quan h xut hin cỏc kt qu ó trỡnh by. Trỡnh by c mt cỏch cú h thng mt s kt qu v toỏn t na xỏc nh dng trờn khụng gian Hilbert v ng dng cho bi toỏn bự tuyn tớnh suy rng trờn khụng gian Hilbert. Mt s kt qu tng quỏt ó c din gii v tớnh toỏn li mt cỏch chi tit. Vỡ kh nng v iu kin cú hn, lun chc chn khụng th trỏnh c thiu sút. Kớnh mong cỏc thy cụ v cỏc ng nghip gúp ý kin em cú iu kin chnh sa lun c tt hn. Ti liờu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Vn Lu (1999), G I I T C H H M , Nh xut bn Khoa hc v K thut H Ni. [B]Ti liu ting Anh [2] J. M. Borwein (1984), Generalized linear compemetaty problems treated without the fixed point theory, JOTA 43 p. 343-356. [3] R. w. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (1992), T H E LINEAR C O M P L E M E N TA R I T Y P R O B L E M , Acad. Press, New York. [4] M. S. Gowda (1985), Cone characterizations of positive semidefi- nite operators on a Hilbert space, Linear Algebra and its applications 64, 77 - 83. [5] M. S. Gowda (1986), A C H A R A C T E R I Z A T I O N O F P O S I T I V E SEMIDEFINITE OPERATORS ON A HILBERT S PA C E , Journal of Optimization theory and Applications 3, 419-425. [6] M. S. Gowda, T. I. Seidman (1990), Generalized linead c o m p l e m e n t a r i t y p ro b l e m s , Mathematical Programming 46, 329- 340. [...]... các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert vào việc giải bài toán bù tuyến tính Các kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6] 2.1 Toán tử nửa xác định dương 2.1.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.1.1 ([1], tr 253) (Toán tử nửa xác định dương) Toán tử tuyến tính liên tục T trên không gian Hilbert H được gọi là nửa xác định dương, ký hiệu T... tới một toán tử trên không gian Hilbert, và giải một bài toán bù tuyến tính cho một toán tử xác định trên không gian Hilbert, đồng thời nêu ra sự tổng quát của định lý Moreau Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng, dưới điều kiện đã biết, một toán tử trên không gian Hilbert là nửa xác định dương bất cứ khi nào nó là nửa xác định dương cộng trên một nón lồi, đóng và nửa xác định dương trên cực nón Bắt đầu... về định nghĩa và tính chất của không gian Hilbert, toán tử trong không gian Hilbert, không gian đối ngẫu, tôpô yếu Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương sau Chương 2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chất liên quan đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert. .. Hilbert H' Toán tử B từ không gian H' vào không gian H gọi là toán tử liên hợp với toán tứ A, nếu { A x , y ) = { x , B y ) , Va; G H , Vy G H' Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A* Định lý 1.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H' Khỉ đó tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tứ A từ không gian H' vào không gian H Định lý 1.2.4 Cho Ả là toán tử tuyến tính... nửa xác định dương sau: Định lý 2.1.3 ([8], Định lý 3.1) Cho T là ma trận cấp n X n trên Mn ; và K là một nón lồi, đóng trong R n Giả sử rằng (i) T là nửa xác định dương cộng trên K, (ii) T là nửa xác định dương trên K T, và (ỉii) (T + T * ) K là đ ó n g trong R n Khi đó, T là nửa xác định dương trên R n Nội dung trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát kết quả trên (định lý 2.1.3) tới một toán tử trên. .. là nửa xác định dương trên H □ C H Ú Ý 2 Trong hệ quả 2.4, nếu T là xác định dương trên K T thì T là xác định dương trên H khi và chỉ khi Q ( X ) là nửa liên tục dưới yếu trên K Khi xét trong Rn, ta được một phần của định lý 3.6 của [8] Hệ quả 2.5 ([ị], tr 83) Giả sử rằng (ỉ) T là nửa xác định dương trên к , (гг) T là bức trên к т , và (Hi) (т + т*)к là đóng trong H Thì T là nửa xác định dương trên. .. T * ) là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian hilbert H , và K là một nón lồi đóng trong H Chúng ta nói rằng (1) T là nửa xác định dương trên K nếu ( T X , X ) > 0 (Vz e K ) (2) T là nửa xác định dương cộng trên K nếu T là nửa xác định dương trên K và X e K , { T X , X ) = 0 (T 4- T * ) X = 0 (3) T là xác định dương trên K nếu (T X , X ) > 0 ( \ / X e K , X Ỷ 0)(4) T là bức trên K nếu có... chúng ta chỉ ra rằng, dưới điều kiện đã biết, một toán tử trên không gian Hilbert là nửa xác định dương bất cứ khi nào nó là nửa xác định dương cộng trên một nón lồi, đóng và nửa xác định dương trên cực nón (đối với toán tử) Kết quả này là sự tổng quát từ kết quả của Han và Mangasarian trên ma trận (xem định lý 2.1.3) Trong phần này, P biểu thị toán tử chiếu từ H lên bao đóng của miền (T + T * ) Chúng... 4, A bị chặn Nhờ định lý (1.2.1) ta suy ra A là toán tử bị chặn thì liên tục Hay đối với các toán tử tuyến tính các A là toán tử khái niệm liên tục và bị chặn là tương đương Định lý 1.2.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H Nếu toán tử A liên tục thì Định nghĩa 1.2.4 Giả sử H là không gian Hilbert và A : H —»■ H là toán tứ tuyến tính (bị chặn hoăc không bị chặn)... T = K T+T* , và khi K là không gian con, KT = [(T + T*)K]L Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh một cách tổng quát định lý 2.1.3 khi K là một không gian con Định lý 2.1.4 ([4], tr 79) Cho s là một không gian con của không gian Hilbert H T (với liên hợp T*) là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H Giả sử rằng (i) T là nửa xác định dương cộng trên s, (ii) T là nửa xác định dương trên S T và (ỉỉỉ) (T + T . . 1.2.2. Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H'. Toán tử B từ không gian H' vào không gian H gọi là toán tử. tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert. Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xác định dương vào Bài toán bù tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử. một không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính f : H —>■ M được gọi là phiếm, hàm tuyến tính xác đ ị n h trên H. Định nghĩa 1.3.2. (Không gian đối ngẫu) Cho H là không gian Hilbert. Không gian