Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

1 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng trong giải tích cũng như trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Trong đó người ta đã giành một mảng để nghiên cứu không gian Hilbert. Không gian Hilbert là một dạng tổng quát của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc. Các không gian Hilbert cung cấp một khung để hệ thống hóa và khái quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kỳ của các hàm số trực giao và của phép biến đổi Fourier, đó là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm. Trong chương trình học bộ môn Giải tích hàm sinh viên đã được tìm hiểu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, đó là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích hàm. Tương tự như trong không gian Banach thì trong không gian Hilbert các toán tử tuyến tính bị chặn cũng được nghiên cứu với các tính chất tương tự. Chẳng hạn như các tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp, toán tử compact, phổ của toán tử, hay nếu một toán tử tuyến tính là bị chặn theo định lý đồ thị đóng trong lý thuyết về không gian Banach thì toán tử đó có đồ thị đóng và được định nghĩa trên toàn bộ không gian Hilbert Các tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn như tác giả Đậu Thế Cấp, Nguyễn Xuân Liêm, Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Hoàng Tụy, Tuy nhiên có tác giả nghiên cứu về toán tử này, có tác giả lại nghiên cứu về toán tử khác, hay mỗi tác giả nghiên cứu một vài tính chất khác nhau. Chưa ai tổng hợp lại tất cả các tính chất của các toán tử ấy. Để biết được các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert có tính chất gì giống và khác so với tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, và để tìm hiểu, nghiên cứu, chứng minh rõ các tính 2 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ chất đó thì em xin lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận: “ Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert ”. Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, em đã tìm hiểu các khái niệm và các tính chất cơ bản, chứng minh chi tiết một số bổ đề, mệnh đề, định lí đã có trong tài liệu. Sau đó là làm rõ các tính chất thông qua một số bài tập được đưa ra. 2. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert cùng với bài tập áp dụng. Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp tài liệu cho sinh viên ngành toán, đặc biệt là sinh viên ngành sư phạm toán. 3. Mục tiêu nghiên cứu Chứng minh rõ các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Minh họa qua các bài tập cụ thể. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chứng minh các tính chất của toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert, xây dựng hệ thống bài tập áp dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến toán tử trong không gian Hilbert rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu. Phương pháp lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Các tính chất của toán tử tuyến tính Phạm vi: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 3 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ Chương 1. Không gian Hilbert 1.1. Khái niệm không gian Hilbert 1.1.1. Dạng Hermite Định nghĩa 1.1. Cho E là một  – không gian vectơ. Một dạng Hermite trên E là một hàm φ: E×E →  thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 φ x x , y φ x , y φ x ,y ii) φ x, y y φ x, y φ x, y iii) φ λx , y λφ x , y iv) φ x, λy φ x, y v) i φ x, y φ y,x ) + = + + = + = = = λ với mọi x, x 1 , x 2 , y, y 1 , y 2 ∈ E, λ ∈  . Dễ dàng thấy rằng ii) và iv) là hệ quả của các điều kiện còn lại. 4 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ Nếu  = ℝ thì v) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên không gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã biết. Bổ đề 1.1. Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và n i i i 1 x x , = = α ∑ m j j j 1 y y = = β ∑ là các t ổ h ợ p tuy ế n tính các vect ơ thu ộ c E. Khi đ ó: n m j i i j i 1 j 1 (x, y) (x , y ). = = ϕ = α β ϕ ∑∑ Ch ứ ng minh. Theo i) và ii) ta có: n m i i j j i 1 j 1 (x,y) ( x , y ) = = ϕ = ϕ α β ∑∑ T ừ đ ó theo iii) và iv) n m j i i j i 1 j 1 (x,y) (x ,y ) = = ϕ = α β ϕ ∑∑ . Bổ đề 1.2. Gi ả s ử E là m ộ t không gian vect ơ h ữ u h ạ n chi ề u và {a 1 , a 2 , …, a n } là m ộ t c ơ s ở c ủ a E. Khi đ ó m ỗ i d ạ ng Hermite φ trên E hoàn toàn đượ c xác đị nh b ở i các giá tr ị α ij = φ (a i , a j ), trong đ ó α ij = ij α , i, j = 1, …, n. Ch ứ ng minh. Gi ả s ử φ là m ộ t d ạ ng Hermite trên E. Đặ t φ (a i , a j ) = α ij , theo v) ij ij α = α , v ớ i i, j = 1, …, n. Ng ượ c l ạ i, n ế u có các s ố α ij th ỏ a mãn ij ij α = α , v ớ i i, j = 1, …, n. Gi ả s ử x và y ∈ E, n n i i j j i 1 j 1 x a , y a = = = λ = µ ∑ ∑ . Đặ t n i j ij i 1 (x,y) a = ϕ = λ µ ∑ D ễ dàng ki ể m tra φ là m ộ t d ạ ng Hermite trên E và φ (a i , a j ) = α ij v ớ i i, j = 1, …, n. 5 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ Định nghĩa 1.2. D ạ ng Hermite trên E đượ c g ọ i là d ươ ng n ế u ( ) x, x 0 ϕ ≥ với mọi x ∈ E. Bổ đề 1.3. (B ấ t đẳ ng th ứ c Cauchy - Schwartz). N ế u φ là m ộ t d ạ ng Hermite d ươ ng trên E thì ( ) ( ) ( ) 2 φ x,y φ x, x φ y, y ≤ v ớ i m ọ i x, y ∈ E. Ch ứ ng minh . V ớ i m ọ i λ ∈  ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y, x y x, x x, y x, y y, y 0, ϕ + λ + λ = ϕ + λϕ + λ ϕ + λλϕ ≥ trong đ ó, ( ) x,x ϕ và ( ) y,y ϕ là các s ố th ự c không âm. N ế u ( ) 0 y,y ϕ > thì thay (x,y) (y,y) ϕ λ = − ϕ vào b ấ t đẳ ng th ứ c trên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 φ x,x φ y, y φ x, y φ x, y 0 φ x, y φ x,x φ y, y − ≥ ⇔ ≤ Tr ườ ng h ợ p ( ) 0 x,x ϕ > hoàn toàn t ươ ng t ự . N ế u ( ) ( ) x,x y 0 y, ϕ ϕ = = thì thay ( ) φ x, y λ = − vào b ấ t đẳ ng th ứ c đầ u tiên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 φ x, y 0 φ x, y 0 φ x, x φ y,y . − ≥ ⇔ = = Bổ đề 1.4. (B ấ t đẳ ng th ứ c Minkowski). N ế u φ là d ạ ng Hermite d ươ ng thì ( ) ( ) ( ) φ x y,x y φ x, x φ y, y + + ≤ + v ớ i m ọ i x, y ∈ E. Ch ứ ng minh. Theo b ổ đề 3, ( ) ( ) ( ) ( ) Re φ x, y φ x, y φ x, x φ y, y ≤ ≤ . T ừ đ ó theo i) và ii) ta đượ c: 6 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ (x y,x y) (x, x) (x, y) (y, x) (y, y) ϕ + + = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ (x, x) 2Re (x, y) (y, y) = ϕ + ϕ + ϕ (x,x) 2 (x, x) (y, y) (y, y) = ϕ + ϕ ϕ + ϕ 2 ( (x,x) (y, y)) . = ϕ + ϕ 1.1.2. Tích vô hướng và không gian Hilbert Định nghĩa 1.3. M ộ t d ạ ng Hermite φ đượ c g ọ i là xác đị nh d ươ ng n ế u ( ) x, x 0 ϕ > v ớ i m ọ i x E ∈ , x 0 ≠ . M ộ t d ạ ng Hermite xác đị nh d ươ ng còn đượ c g ọ i là m ộ t tích vô h ướ ng. Bổ đề 1.5. M ộ t d ạ ng Hermite d ươ ng φ trên E là m ộ t tích vô h ướ ng n ế u và ch ỉ n ế u ( ) x, y 0 ϕ = v ớ i m ọ i y E ∈ thì x 0 = . Ch ứ ng minh. N ế u φ là m ộ t tích vô h ướ ng thì ( ) x, x 0 ϕ > v ớ i m ọ i x 0 ≠ . Vì v ậ y n ế u ( ) x, y 0 ϕ = v ớ i m ọ i y thì ( ) x, x 0 ϕ = , do đ ó x = 0. Ng ượ c l ạ i n ế u đ i ề u ki ệ n b ổ đề th ỏ a mãn thì m ọ i x 0 ≠ t ồ n t ạ i y để ( ) x, y 0 ϕ ≠ . Theo b ấ t đẳ ng th ứ c Cauchy – Schwartz ta có: ( ) ( ) ( ) 2 φ x,x φ y, y φ x, y 0 ≥ > . Vì v ậ y ( ) x, x 0 ϕ > . Định nghĩa 1.4. Không gian vect ơ E cùng v ớ i m ộ t tích vô h ướ ng , trên nó g ọ i là không gian ti ề n Hilbert. Sau đ ây ta kí hi ệ u ( ) x, y ϕ b ở i x, y và g ọ i là tích vô h ướ ng c ủ a hai vect ơ x và y. V ớ i m ọ i x E ∈ ta đặ t x x, y = . Ta ch ứ ng minh đ ây là m ộ t chu ẩ n trên E. Th ậ t v ậ y, v ớ i cách đặ t nh ư trên thì b ấ t đẳ ng th ứ c Cauchy – Schwartz có d ạ ng: x, y x y , ≤ x, y E ∀ ∈ . Còn b ấ t đẳ ng th ứ c Minkowski đượ c vi ế t là: x y x y . + ≤ + M ặ t khác, hi ể n nhiên 7 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ i) x 0, x E ≥ ∀ ∈ và vì là tích vô h ướ ng, nên n ế u x 0 = thì x 0 = . ii) x x, x x,x x , λ = λ λ = λλ = λ λ ∈ ℂ , x E ∀ ∈ . Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Một không gian ti ền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng). Nếu không gian định chuẩn này là đầy thì E gọi là không gian Hilbert. Định lí 1.1. Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên E E × . Chứng minh. Cho ( ) 0 0 x , y E E ∈ × tùy ý. B ất đẳng thức Cauchy – Schwartz cho ta: 0 0 0 0 0 0 x, y x , y x, y x , y x , y x , y − = − + − 0 0 x x , y x, y y = − + − 0 0 0 x x y x y y 0, ≤ − + − → khi x → x 0 , y → y 0 . Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau kí hiệu x y ⊥ nếu x, y 0 = . Do y,x x, y = nên nếu x y ⊥ thì y x ⊥ . Định lí 1.2. (Pythagore). Nếu x y ⊥ trong không gian tiền Hilbert thì 2 2 2 x y x y . + = + M ột cách tổng quát nếu x 1 , …, x n E ∈ với i j x x 0 ⊥ = với mọi i j thì 2 n n 2 i i i 1 i 1 x x = = = ∑ ∑ . Chứng minh. Nếu x 1 ⊥ x 2 thì: 8 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ 2 1 2 1 2 1 2 x x x x , x x + = + + 1 1 1 2 2 1 2 2 x ,x x ,x x ,x x ,x = + + + 2 2 1 2 . x x= + Gi ả sử đẳng thức được chứng minh tới i j n –1 2, x x , i j. ≥ ⊥ ≠ Cho x 1 , …, x n E ∈ với x i ⊥ x j = 0 với mọi i j. ≠ T ừ 1 n 1 n 1 n n 1 n x x x x , x x ,x 0, − − +…+ + = + …+ = áp d ụng giả thiết quy n ạp ta có: ( ) 2 2 1 n 1 n 1 n x x x x x − +…+ = +…+ + 2 2 1 n 1 n x x x − = +…+ + 2 2 2 1 n 1 n x . x x − = + …+ + Bổ đề 1.6. (Đẳng thức hình bình hành). Với mọi vectơ x và y thuộc không gian ti ền Hilbert đều có đẳng thức: ( ) 2 2 2 2 x y x y 2 x y . + + − = + Chứng minh. Ta có 2 2 x y x y x y,x y x y,x y + + − = + + + − − x, x x, y y, x y, y x,x + + + = + ( ) 2 2 x,y y,x y,y 2 x y . − − + = + Nhận xét: i) Nếu xét hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ x và y thì vế trái c ủa đẳng thức trên chính là tổng bình phương độ dài hai đường chéo của hình bình hành còn v ế phải chính là tổng bình phương các cạnh của hình bình hành đó. 9 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ ii) Đẳng thức hình bình hành cũng là điều kiện đủ để không gian định chu ẩn E là không gian tiền Hilbert, có nghĩa là chuẩn của E sẽ được sinh bởi tích vô h ướng. Ví dụ 1.1. (Không gian Euclide n – chiều). Xét không gian vectơ ( ) { } n 1 n 1 n x x , , x : x , , x . = = … … ∈ C C Khi đó dễ thấy công thức: n j 1 n 1 nj j 1 x, y x y , x (x , ,x ), y (y , , y ) = = = = ∈ ∑ ℂ xác định một tích vô hướng trên ℂ . Bởi vì ℂ là đầy và do đó n C là đầy với m ọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide: 1 n 2 2 j j 1 x x x,x =   = =     ∑ , nên n C là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2. (Không gian 2 ℓ ). Xét không gian Banach các dãy số bình phương khả tổng. 1 n 2 2 2 n n 1 n 2 n 1 x {x } : x x . ≥ ≥       = = = < +∞           ∑ ℓ Vì 2 2 n n n n n 1 n 1 n 1 x y x y ∞ ∞ ∞ = = = ≤ + ∑ ∑ ∑ nên dễ thấy, công thức: n 2 n n 1 x, y x y , x, y ∞ = = ∈ ∑ ℓ xác định một tích vô hướng trên 2 ℓ . M ặt khác, do 2 x x, x , x = ∈ 2 ℓ nên 2 ℓ là đầy với chuẩn này và do đó 2 ℓ là một không gian Hilbert. 10 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ Ví dụ 1.3. (Không gian L 2 (X, Σ , µ )). Giả sử (X, Σ , µ ) là không gian đo với độ đo µ . Xét không gian Banach L 2 (X, Σ , µ ). Cũng dễ kiểm lại rằng công thức X f , g f(x)g(x)d (x), f, g = µ ∈ ∫ L 2 (X, Σ , µ ). xác định một tích vô hướng trên L 2 (X, Σ , µ ). Vì L 2 (X, Σ , µ ) là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng: ( ) 1 2 2 2 X f f d f ,f , f = µ = ∈ ∫ L 2 (X, Σ , µ ). [...]... chứng tỏ M ⊥ bất biến 2.2 Toán tử hoàn toàn liên tục (toán tử compact) Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert E thì x ≤ K kéo theo Ax ≤ A K , nghĩa là A bất biến mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert E là hoàn toàn liên tục nếu nó biến một tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn Vì không gian Hilbert đủ, nên một tập... đó là một số tính chất được thừa nhận và một số tính chất được chứng minh Những kiến thức được trình bày trong chương này sẽ bổ trợ cho việc hoàn thiện các kiến thức ở chương tiếp theo Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ 26 Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 2.1.1 Toán tử liên hợp Ta kí hiệu L (E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục... các không gian E’n trù mật trong E 1.4.2 Tổng Hilbert của các không gian con đóng Mỗi không gian Hilbert có thể xem là tổng Hilbert của các không gian con đóng của nó Định lí 1.9 Giả sử F là một không gian Hilbert và {Fn} là một dãy các không gian con đóng của nó sao cho a) Fm ⊥ Fn với mọi m ≠ n b) Tổng đại số các Fn trù mật trong F Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ 24 Nếu E là tổng Hilbert của các không gian. .. toàn bị chặn khi và chỉ khi nó là compact Vậy cũng có thể nói một toán tử tuyến tính A là hoàn toàn liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn, đóng, thành tập compact { } Nghĩa là nếu x n ≤ K ( n = 1, 2, ) kéo theo sự tồn tại một dãy Ax n k hội tụ Ta có các tính chất sau: Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ 30 Định lí 2.3 Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục, toán tử B liên tục (tức là bị chặn) thì các toán tử A B,... trong E (vì nếu x trực giao với mọi en và mọi fm thì theo (*), x = 0) Định lí 2.9 Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert là hoàn toàn liên tục khi và chỉ khi nó là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy toán tử thoái hóa Chứng minh ( ⇒ ) : Hiển nhiên, do mỗi toán tử thoái hóa là hoàn toàn liên tục và giới hạn của một dãy toán tử hoàn toàn liên tục cũng hoàn toàn liên tục ( ⇐) : Cho A là một toán. .. m → 0 Nhưng không gian Hilbert là không gian đủ, cho nên điều này cũng có nghĩa là s n có giới hạn khi và chỉ khi σ n có giới hạn 1.2.2 Hệ trực giao Định nghĩa 1.5 Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E là một tập con A các vectơ khác 0 của E sao cho hai vectơ khác nhau bất kì của A đều trực giao với nhau Bổ đề 1.7 Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert là độc lập tuyến tính Chứng... do đó x, x > 0 n =1 Vậy x, y là tích vô hướng Không gian tiền Hilbert E với tích vô hướng đã chỉ ra gọi là tổng Hilbert của các không gian Hilbert En Định lí 1.8 Tổng Hilbert của các không gian Hilbert là một không gian Hilbert Chứng minh Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ 22 Ta còn phải chỉ ra E đầy đủ Giả sử x (m) = x (m) và {x (m) } là một dãy n m Cauchy trong E, nghĩa là mọi ε > 0 tồn tại m0 sao cho... mọi toán tử Ta nói một số λ là trị riêng của toán tử A, nếu phương trình A = λx có nghiệm x không tầm thường (nghĩa là x ≠ 0 ) Khi ấy nghiệm x này gọi là một vectơ riêng của A ứng với trị riêng λ Ta có các tính chất: i) Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứng với cùng một trị riêng λ làm thành (cùng với phần tử 0) một không gian con đóng của E bất biến đối với A Không gian. .. một đẳng cấu không gian F lên không gian E sao cho, trên mỗi Fn đẳng cấu này trùng với phép nhúng tự nhiên Jn của không gian con Fn vào E Chứng minh Kí hiệu G là tổng đại số của các Fn trong F Với mọi x ∈ G ta có x = x1 + … + xk trong đó xi ∈ Fi Do đó bằng cách đặt φ(x) = J1(x) + … + Jk(x) ta được một ánh xạ φ: G → E Dễ dàng kiểm tra φ là đẳng cấu Hilbert không gian tiền Hilbert G lên không gian con φ(G)...11 Nên L2(X, Σ, µ ) là một không gian Hilbert 1.2 Hệ trực giao 1.2.1 Vectơ trực giao Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng ta có thể định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian ℝ 3 thông thường Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert E trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ y, nếu x, y = 0 Từ định nghĩa này ta có thể suy ra các tính chất đơn giản sau đây: i) Nếu x ⊥ . là làm rõ các tính chất thông qua một số bài tập được đưa ra. 2. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không