Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

Trong chương trình học bộ môn Giải tích hàm sinh viên đã được tìm hiểu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, đó là một trong những vấn đề cơ bản của Giải

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng trong giải tích cũng như trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học Trong đó người ta đã giành một mảng để nghiên cứu không gian Hilbert Không gian Hilbert là một dạng tổng quát của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc Các không gian Hilbert cung cấp một khung để hệ thống hóa và khái quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kỳ của các hàm số trực giao và của phép biến đổi Fourier, đó là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm

Trong chương trình học bộ môn Giải tích hàm sinh viên đã được tìm hiểu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, đó

là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích hàm Tương tự như trong không gian Banach thì trong không gian Hilbert các toán tử tuyến tính bị chặn cũng được nghiên cứu với các tính chất tương tự Chẳng hạn như các tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp, toán tử compact, phổ của toán tử, hay nếu một toán tử tuyến tính là bị chặn theo định lý đồ thị đóng trong lý thuyết về không gian Banach thì toán tử đó có đồ thị đóng và được định nghĩa trên toàn bộ không gian Hilbert

Các tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian

Hilbert này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả Chẳng hạn như tác giả Đậu Thế Cấp, Nguyễn Xuân Liêm, Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Hoàng Tụy,

Tuy nhiên có tác giả nghiên cứu về toán tử này, có tác giả lại nghiên cứu về toán tử khác, hay mỗi tác giả nghiên cứu một vài tính chất khác nhau Chưa ai tổng hợp lại tất cả các tính chất của các toán tử ấy

Để biết được các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert có tính chất gì giống và khác so với tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn

chất đó thì em xin lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận: “ Toán tử tuyến

tính bị chặn trong không gian Hilbert ” Với mục đích đó, dựa vào các tài

liệu tham khảo, em đã tìm hiểu các khái niệm và các tính chất cơ bản, chứng minh chi tiết một số bổ đề, mệnh đề, định lí đã có trong tài liệu Sau đó là làm

rõ các tính chất thông qua một số bài tập được đưa ra

2 Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert cùng với bài tập áp dụng

Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp tài liệu cho sinh viên ngành toán, đặc biệt

là sinh viên ngành sư phạm toán

3 Mục tiêu nghiên cứu

Chứng minh rõ các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Minh họa qua các bài tập cụ thể

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu chứng minh các tính chất của toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert, xây dựng hệ thống bài tập áp dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình

có liên quan đến toán tử trong không gian Hilbert rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu Phương pháp lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung

và hình thức của khóa luận

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Các tính chất của toán tử tuyến tính

Phạm vi: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Chương 1 Không gian Hilbert

1.1 Khái niệm không gian Hilbert

iv) φ x, λy φ x, yv)

Nếu = ℝ thì v) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên

không gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã biết

Bổ đề 1.1 Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và n i i

Bổ đề 1.2 Giả sử E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và {a1, a2, …, an}

là một cơ sở của E Khi đó mỗi dạng Hermite φ trên E hoàn toàn được xác định bởi các giá trị αij = φ(ai , aj), trong đó αij = α , i, j = 1, …, n ij

Định nghĩa 1.2 Dạng Hermite trên E được gọi là dương nếu ϕ(x, x 0) ≥ với mọi x ∈ E

Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz) Nếu φ là một dạng Hermite

dương trên E thì φ x, y( )2≤ φ x, x φ y, y( ) ( ) với mọi x, y ∈ E

Trường hợp ϕ(x, x)> hoàn toàn tương tự 0

Nếu ϕ(x,x)=ϕ(y,y)= thì thay 0 λ = −φ x, y ( ) vào bất đẳng thức đầu tiên ta có:

(x y, x y) (x, x) (x, y) (y, x) (y, y)

= ϕ(x, x) 2Re (x, y)+ ϕ + ϕ(y, y)

1.1.2 Tích vô hướng và không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3 Một dạng Hermite φ được gọi là xác định dương nếu

ϕ > với mọi x E∈ , x 0≠ Một dạng Hermite xác định dương còn được gọi là một tích vô hướng

Bổ đề 1.5 Một dạng Hermite dương φ trên E là một tích vô hướng nếu và chỉ

nếu ϕ(x, y)= với mọi y E0 ∈ thì x= 0

Chứng minh

Nếu φ là một tích vô hướng thì ϕ(x, x)> với mọi 0 x 0≠ Vì vậy nếuϕ(x, y)= với mọi y thì 0 ϕ(x, x)= , do đó x = 0 0

Ngược lại nếu điều kiện bổ đề thỏa mãn thì mọi x 0≠ tồn tại y

đểϕ(x, y)≠ Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có: 0

φ x, x φ y, y ≥ φ x, y > 0

Vì vậy ϕ(x, x)>0

Định nghĩa 1.4 Không gian vectơ E cùng với một tích vô hướng , trên nó

gọi là không gian tiền Hilbert

Sau đây ta kí hiệu ϕ(x, y) bởi x, y và gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y

Với mọi x E∈ ta đặt x = x, y Ta chứng minh đây là một chuẩn trên E Thật vậy, với cách đặt như trên thì bất đẳng thức Cauchy – Schwartz có dạng: x, y ≤ x y , x, y E∀ ∈

i) x ≥ 0, ∀ ∈ và vì x E là tích vô hướng, nên nếu x = thì 0 x 0= ii) xλ = λ λx, x = λλ x, x = λ x , λ ∈ℂ, x E∀ ∈

Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng Một không gian

tiền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng)

Nếu không gian định chuẩn này là đầy thì E gọi là không gian Hilbert

Định lí 1.1 Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục

trên E E×

Chứng minh Cho(x , y0 0)∈ × tùy ý E E

Bất đẳng thức Cauchy – Schwartz cho ta:

x, y − x , y = x, y − x , y + x , y − x , y

= x x , y− 0 + x, y y− 0

≤ x x− 0 y + x0 y y− 0 →0,khi x → x0 , y → y0

Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau kí hiệu x ⊥ nếu x, yy = 0

Do y, x = x, y nên nếu x⊥ thì yy ⊥ x

Định lí 1.2 (Pythagore) Nếu x⊥ trong không gian tiền Hilbert thì y

x + y = x + y Một cách tổng quát nếu x1, …, xn∈E với xi ⊥xj = 0 với mọi i j thì

Cho x1, …, xn ∈E với xi ⊥ xj = 0 với mọi i j.≠

Từ x1+ … +xn 1− +xn = x , x1 n + … + x , xn 1− n =0, áp dụng giả thiết quy nạp ta có:

Bổ đề 1.6 (Đẳng thức hình bình hành) Với mọi vectơ x và y thuộc không

gian tiền Hilbert đều có đẳng thức:

ii) Đẳng thức hình bình hành cũng là điều kiện đủ để không gian định chuẩn E là không gian tiền Hilbert, có nghĩa là chuẩn của E sẽ được sinh bởi tích vô hướng

Ví dụ 1.1 (Không gian Euclide n – chiều) Xét không gian vectơ

một không gian Hilbert

Ví dụ 1.2 (Không gian ℓ2) Xét không gian Banach các dãy số bình phương

xác định một tích vô hướng trên ℓ2

Mặt khác, do x 2 = x, x , x∈ℓ2 nên ℓ2là đầy với chuẩn này và do

đó ℓ2là một không gian Hilbert

Ví dụ 1.3 (Không gian L2(X, Σ, µ )) Giả sử (X, Σ, µ ) là không gian đo với độ

đo µ Xét không gian Banach L2(X, Σ, µ ) Cũng dễ kiểm lại rằng công thức

X

f , g =∫ f (x)g(x)d (x), f , gµ ∈ L2(X, Σ, µ )

xác định một tích vô hướng trên L2(X, Σ, µ )

Vì L2(X, Σ, µ ) là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng:

( 2 )12

f = ∫ f dµ = f ,f , f ∈ L2(X, Σ, µ )

Nên L2(X, Σ, µ ) là một không gian Hilbert

Từ định nghĩa này ta có thể suy ra các tính chất đơn giản sau đây:

i) Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x Ta có x ⊥ x khi và chỉ khi x 0=

Vectơ 0 trực giao với mọi vectơ x

ii) Nếu x⊥y , y , , y1 2 … n thì x⊥α y1 1+α y2 2 + … +α y n n

Thật vậy, x,α y1 1+α2 2y + … +αnyn =α1 x , y1 1 + … +α1 x , yn n = 0

iii) Nếu x ⊥ yn , yn → y ( n → ∞ ) thì x ⊥ y

Thật vậy, n

n

x, y lim x, y 0

→∞

= = (tính chất liên tục của tích vô hướng)

Ta nói một vectơ x trực giao với một tập M ⊂ E nếu x trực giao với

mọi phần tử của M Từ các tính chất ii) iii) ta suy ra: Tập tất cả các vectơ

trực giao với một tập M ⊂ E cho trước làm thành một không gian con đóng

của E Không gian con này thường được kí hiệu M⊥ và gọi là phần bù trực giao của M

iv) Nếu tập M trù mật trong E thì M⊥ gồm một phần tử duy nhất là 0,

v) Nếu x ⊥ y thì x y+ 2 = x 2 + y 2 (định lí Pythagore)

Tổng quát hơn nếu có các vectơ x1, x2, …, xn từng đôi một trực giao nhau và

n i

Định nghĩa 1.5 Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E là một tập

con A các vectơ khác 0 của E sao cho hai vectơ khác nhau bất kì của A đều trực giao với nhau

Bổ đề 1.7 Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert là độc lập tuyến

Σα a , a Σ

Vì a > 0 nên αj j = 0 với j = 1, …, n Từ đó A độc lập tuyến tính

Định lí 1.3 Giả sử là một dãy vectơ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert E Khi đó tồn tại các số α , nni > ≥ sao cho các vectơ i 1

x , y

y

= − Với vectơ yn như vậy yn ⊥ yj với j = 1, …, n – 1

Theo giả thiết quy nạp không gian sinh bởi x1, …, xn-1, do đó tồn tại các

là trực chuẩn hóa của hệ A Nếu hệ A toàn vẹn thì hệ B toàn vẹn

Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert E được gọi là hệ trực chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn của E

Nhận xét:

i) Mọi hệ trực chuẩn trong E là độc lập tuyến tính

ii) Một hệ trực chuẩn A trong E đầy đủ nếu và chỉ nếu x,a =0 với mọi x A∈ kéo theo x 0=

Định lí 1.4 Nếu E là không gian Hilbert hữu hạn n – chiều trên trường thì

mọi hệ trực chuẩn đầy đủ của E là một cơ sở (Hamen) của E và E đẳng cấu

Hilbert với không gian Euclide n – chiều n

Chứng minh

Nếu A là một hệ trực chuẩn đầy đủ thì A độc lập tuyến tính nên có không quá n vectơ Không gian con sinh bởi A là đóng và trù mật trong E nên

Giả sử e1, …, en là một cơ sở trực chuẩn của E

1.3.2 Khai triển trực chuẩn

Bổ đề 1.8 Giả sử { }e là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert E Khi i

∑ với mọi x E∈ (bất đẳng thức Bessel)

b) Với mọi ( )λ ∈ ℓ chuỗi i 2 i i

∑ Do n tùy ý nên ta có bất đẳng thức Bessel

b) Vì không gian E đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh dãy các tổng

Do hệ { }e đầy đủ nên x y 0j − = hay x= y

b) Vì tích vô hướng lien tục nên theo a)

Định lí 1.6 Nếu { }e là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert E thì n

các điều kiện sau đây tương đương:

Ta còn phải chứng minh b) ⇒ a) và d) ⇒ a) Từ b) hoặc d) ta đều suy ra

i

x,e = với mọi i thì x = 0, do đó ta có b) ⇒ a) và d) ⇒ a) 0

Định lí 1.7 Trong một không gian Hilbert E vô hạn chiều các điều kiện sau

đây là tương đương:

a) E khả li

b) E có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính

c) E có một cơ sở trực chuẩn đếm được

d) E đẳng cấu với ℓ2

Chứng minh

a) ⇒ b): Do E là không gian định chuẩn nên ta có E khả li thì trong E

tồn tại một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) toàn vẹn độc lập tuyến tính

b) ⇒ c): Theo định lí 1.3,

Để chứng minh các phần còn lại ta kí hiệu = (0, …, 0, 1, 0, … 0) (1 ở

Khi đó ℓ2 khả li và do đó d) ⇒ a)

c) ⇒ d): Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của E

Với mỗi a = (an) ∈ℓ2theo bổ đề 8b) i i

∑ kéo theo ai = 0 với mọi i, do đó là đơn ánh

Với mọi x ∈ E theo định lí 1.5a):

Hiển nhiên, φ(z) = x nên φ là song ánh Vậy φ đẳng cấu đại số ℓ lên E 2

1.4 Tổng Hilbert của các không gian Hilbert

1.4.1 Tổng Hilbert của các không gian Hilbert

Giả sử {En} là một dãy các không gian Hilbert, x , y là tích vô n nhướng trong En Giả sử E là tập tất cả các dãy x = (x1, x2, …) trong đó xn ∈ En

sao cho chuỗi 2

Nếu y = (y1, y2, …) là một dãy nữa thuộc E thì theo đẳng thức hình bình hành ta có:

Vậy x, y là tích vô hướng

Không gian tiền Hilbert E với tích vô hướng đã chỉ ra gọi là tổng Hilbert của các không gian Hilbert En

Định lí 1.8 Tổng Hilbert của các không gian Hilbert là một không gian

Hilbert

Chứng minh

Ta còn phải chỉ ra E đầy đủ Giả sử (m) (m)

x là một dãy Cauchy trong En Gọi giới hạn của dãy { }( )m

x trong En là yn Cũng theo bất đẳng thức trên với mọi N:

a) Nếu đặt En = với mọi n thì theo định nghĩa, tổng Hilbert trong

trường hợp này chính là ℓ2 Nhờ định nghĩa trên ta cũng kết luận được ℓ2 là không gian Hilbert

b) Với mỗi xn ∈ En đặt J xn( ) (n = 0,…, 0, x , 0,n …, 0) ta được ánh xạ

Jn: En → E Dễ dàng thấy rằng Jn là đẳng cấu (Hilbert) En lên một không gian con đóng E’n của E

Từ định nghĩa tích vô hướng trên E ta cũng thấy rằng nếu m n≠ thì

E’m ⊥ E’n Với mọi x=( )xn ∈E chuỗi n n

Do đó tổng trực tiếp đại số của các không gian E’n trù mật trong E

1.4.2 Tổng Hilbert của các không gian con đóng

Mỗi không gian Hilbert có thể xem là tổng Hilbert của các không gian con đóng của nó

Định lí 1.9 Giả sử F là một không gian Hilbert và {Fn} là một dãy các không gian con đóng của nó sao cho

a) Fm ⊥ Fn với mọi m n≠

b) Tổng đại số các Fn trù mật trong F

Nếu E là tổng Hilbert của các không gian Fn thì tồn tại duy nhất một đẳng cấu không gian F lên không gian E sao cho, trên mỗi Fn đẳng cấu này trùng với phép nhúng tự nhiên Jn của không gian con Fn vào E

Với mọi x ∈ G ta có x = x1 + … + xk trong đó xi∈ Fi Do đó bằng cách đặt φ(x) = J1(x) + … + Jk(x) ta được một ánh xạ φ: G → E

Dễ dàng kiểm tra φ là đẳng cấu Hilbert không gian tiền Hilbert G lên không gian con φ(G) của E và ϕ|Fn=J n Ta có φ(G) trù mật trong E

Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ Φ: F → E mở rộng của φ Do tính liên tục của tích vô hướng nên Φ là một đẳng cấu Hilbert không gian F lên không gian Hilbert con Φ(F) của E Vậy Φ là đẳng cấu muốn tìm Do φ là ánh xạ duy nhất có tính chất đã nêu trên nên Φ là duy nhất

Tiểu kết chương 1

Chương 1 đã trình bày những kiến thức cơ sở của không gian Hilbert, bên cạnh đó là một số tính chất được thừa nhận và một số tính chất được chứng minh Những kiến thức được trình bày trong chương này sẽ bổ trợ cho việc hoàn thiện các kiến thức ở chương tiếp theo

Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

2.1 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp

2.1.1 Toán tử liên hợp

Ta kí hiệu L (E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với E là không gian Hilbert

Định nghĩa 2.1 Với mọi A ∈L (E) ta gọi A∗

∈L (E) là toán tử liên hợp của

A nếu Ax, y = x, A y ,∗ với mọi x, y ∈ E

Định lí 2.1 Với mọi A ∈L (E) ánh xạ liên hợp A∗

tồn tại và duy nhất, hơn nữa: A A∗

Ax, y = x, A y∗ với mọi x ∈ E

Do tính duy nhất của A y∗ nên ta dễ dàng kiểm tra A∗ là tuyến tính từ

Với mọi A, B ∈L (E), λ ∈ ta có:

i) (A )∗ ∗ =Aii) (A B)+ ∗ =A∗+B∗

= tức là Ax, y = x, Ay với mọi x, y ∈ E

Định lí 2.2 Toán tử A ∈ L (E) là tự liên hợp nếu và chỉ nếu Ax, x ∈ ℝ với

2.1.3 Trị riêng và vectơ riêng

Nếu A là toán tử tự liên hợp thì:

x 1

A sup Ax, x

=

=

Một không gian con M chứa trong E gọi là bất biến đối với một toán tử

A khi Ax ∈ M với mọi x ∈ M

Dĩ nhiên E và {0} là hai không gian bất biến đối với mọi toán tử

Ta nói một số λ là trị riêng của toán tử A, nếu phương trình A = λx có

nghiệm x không tầm thường (nghĩa là x 0≠ ) Khi ấy nghiệm x này gọi là một

vectơ riêng của A ứng với trị riêng λ

Ta có các tính chất:

i) Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứng với cùng một trị riêng λ làm thành (cùng với phần tử 0) một không gian con đóng của E bất biến đối với A Không gian con này gọi là không gian con riêng ứng với trị riêng λ

Thật vậy, nếu Ax = λx, Ay = λy thì:

A(αx, βy) = αAx + βAy = λ(αx + βy), chứng tỏ rằng αx + βy cũng là vectơ riêng ứng với trị riêng λ, miễn là nó khác không

ii) Nếu A là một toán tử tự liên hợp thì các vectơ riêng của A ứng với hai giá trị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao với nhau Do đó hai không gian con riêng khác nhau trực giao với nhau

Thật vậy, cho λ và là µ hai trị riêng khác nhau, x, y là hai vectơ riêng ứng với chúng:

Ax = λx, Ay = y

Vì A là đối xứng:

Ax, y = x, Aynên λ(x, y) = µ (x, y) hay (λ − µ)(x, y) = 0, do đó x, y = 0

iii) Nếu A là một toán tử tự liên hợp thì phần bù trực giao của mọi không gian con bất biến đối với A cũng bất biến đối với A

Thật vậy, cho M là không gian con bất biến đối với A, M⊥

là phần bù trực giao của M

Với mọi x M, y M⊥

∈ ∈ ta có x, Ay = Ax, y = vì 0 Ax M∈ Vậy Ay trực giao với mọi vectơ M, tức là Ay M∈ ⊥ chứng tỏ M⊥ bất biến

2.2 Toán tử hoàn toàn liên tục (toán tử compact)

Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert E thì

x ≤K kéo theo Ax ≤ A K, nghĩa là A bất biến mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn

Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert E là hoàn toàn liên tục nếu nó biến một tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn

Vì không gian Hilbert đủ, nên một tập con đóng của nó là hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi nó là compact

Vậy cũng có thể nói một toán tử tuyến tính A là hoàn toàn liên tục nếu

nó biến mỗi tập bị chặn, đóng, thành tập compact

Nghĩa là nếu x ≤K n 1, 2, ( = ) kéo theo sự tồn tại một dãy {Ax } hội tụ

Định lí 2.3 Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục, toán tử B liên tục (tức là bị

chặn) thì các toán tử A B, B A cũng hoàn toàn liên tục

Chứng minh

Từ xn ≤K ta suy ra sự tồn tại một dãy {Axn k}hội tụ, và do B liên tục nên dãy {B Axn k} cũng hội tụ Vậy B A hoàn toàn liên tục

Mặt khác từ xn ≤K ta suy ra Bxn ≤ B K , do đó phải có một dãy

{ABxn k}hội tụ Vậy A B cũng hoàn toàn liên tục

Định lí 2.4 Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục thì các toán tử A , A A ,∗ ∗

Định lí 2.5 Nếu các toán tử An hoàn toàn liên tục và An −A → thì toán tử 0

A cũng hoàn toàn liên tục

Cho một tập đóng và bị chặn M⊂E, chẳng hạn xn ≤K với mọi

x M∈ Vì An hoàn toàn liên tục nên các tập Vn ={A x : x Mn ∈ }compact Với 0

ε > cho trước ta có thể lấy n0 đủ lớn để An0 A

nên V là một ε − lưới compact cho n0 V={Ax : x M∈ }

Vậy bản thân V cũng compact Do đó A hoàn toàn liên tục

2.3 Toán tử tự liên hợp compact

Bây giờ ta xét một toán tử A vừa đối xứng vừa hoàn toàn liên tục (tức toán tử tự liên hợp compact) trong không gian Hilbert E

Định lí 2.6 Một toán tử tự liên hợp compact A bao giờ cũng có một trị riêng

Ta lấy một dãy xn với: xn =1, Ax , xn n → A

Bằng cách thay, nếu cần, dãy xn bởi một dãy con, ta có thể giả thiết rằng bản thân dãy Ax , x hội tụ, chẳng hạn n n Ax , xn n → λ λ = ±( A )

n n n

Ae e lim (Ax x ) 0,

→∞

chứng tỏ rằng là một trị riêng và e là một vectơ riêng

Định lí 2.7 Tập các trị riêng của một toán tử tự liên hợp compact cùng lắm là

đếm được Nếu là đếm được thì tập đó làm thành một dãy hội tụ đến 0

n (vì nếu có vô số trị riêng ấy thì sẽ có một hệ trực chuẩn

vô hạn vectơ riêng tương ứng trái với tính chất các toán tử hoàn toàn liên tục) Cho nên chỉ có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1, rồi chỉ

có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối gồm giữa 1 và 1

Định lí 2.8 (Hilbert) Nếu A là một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục thì

mọi x E∈ đều có thể biểu diễn thành một tổng trực giao:

Do đó mọi phần tử có dạng Ax đều phân tích ra được theo các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác 0:

lắm là đếm được, mặt khác theo tính chất toán tử hoàn toàn liên tục, không gian con riêng ứng với mỗi trị riêng ấy là hữu hạn chiều

Ta lấy trong mỗi không gian con riêng này một cơ sở trực chuẩn (gồm một số hữu hạn phần tử) {e , e , , e , 1 2 … n … là hợp của tất cả các cơ sở có }

được như vậy

Theo tính chất của toán tử tự liên hợp (tính chất (ii) mục 2.1.3), { }e ncũng là một hệ trực chuẩn Cho λ là trị riêng ứng với en n (nếu en, em cùng thuộc một không gian con riêng thì λ = λ ) n m

Như vậy dãy { }λn bao gồm tất cả các trị riêng khác 0, mỗi trị riêng được lặp lại một số lần bằng thứ nguyên của không gian con riêng tương ứng Gọi M là bao tuyến tính của hệ { }e , N là bù trực giao của nó Vì M n

đương nhiên là không gian con bất biến đối với A, nên theo tính chất của toán

tử đối xứng (tính chất (iii, mục 2.1.3), N cũng bất biến đối với A Mà N là không gian con đóng của E, nên bản thân nó cũng là một không gian Hilbert

Vậy ta có thể xét toán tử A thu hẹp trong N: dĩ nhiên trong N toán tử A cũng đối xứng và hoàn toàn liên tục nên theo định lí 2.6 nó phải có một trị riêng λ với λ = A N (chuẩn của A xét trong N)

Nhưng theo cách xây dựng của ta, dãy { }λn đã bao gồm tất cả các trị riêng khác 0 rồi, cho nên λ = , tức là 0 A N = Do đó Az = 0 với mọi 0

z N.∈

Đến đây ta có thể hoàn thành chứng minh định lí

Thật vậy, cho một vectơ x E∈

Vì hệ { }e là trực chuẩn nên chuỗi Fourier n j j

j

x,e e

∑ của x hội tụ và

j j j

z x= −∑ x,e e trực giao với mọi en Vậy z ∈N và do đó Az = 0

Như thế (*) đã được xác lập và áp dụng toán tử A cho hai vế của nó ta

Hệ quả 2.8 (Chính hệ quả này cũng có khi gọi là định lí Hilbert) Trong

không gian Hilbert tách được mọi toán tử tự liên hợp compact đều có một hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng

Chứng minh

Không gian con N vừa xác định ở trên là không gian con riêng ứng với trị riêng 0 (nếuN≠{ }0 )

Vì E tách được nên N cũng tách được và có một hệ trực chuẩn đầy đủ

{ }fm Hệ này cùng với { }e lập thành một hệ trực chuẩn đầy đủ trong E (vì nnếu x trực giao với mọi en và mọi fm thì theo (*), x = 0)

Định lí 2.9 Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert là hoàn toàn liên

tục khi và chỉ khi nó là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy toán tử thoái hóa

Ta hãy xác định toán tử An bởi:

Rõ ràng An là toán tử thoái hóa vì miền trị của nó nằm trong không gian

n chiều sinh bởi các Aej (j = 1, 2, …, n)

Vì Aej 2 = λ →j 0 (j→ ∞ ta có thể chọn n đủ lớn để ) Aej 2 < ε với 2mọi j > n Khi ấy:

Công thức này mở rộng công thức (**) của toán tử hoàn toàn liên tục đối xứng

Định lí 2.10 (Bất đẳng thức Cauchy – Schwartz tổng quát) Nếu A ∈ L (E) là

toán tử dương thì Ax, y ≤ Ax, x Ay, y với mọi x, y E∈

Chứng minh

Vì A dương nên x, y = Ax, y là một dạng Hermite dương trên E Từ

đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz:

Ta viết A≥ 0 nếu A là toán tử dương và viết A ≥ B hoặc B ≤ A nếu A – B ≥ 0

Định lí 2.11 Quan hệ ≤ là một số thứ tự trong lớp các ánh xạ tự liên hợp của

L (E) Ngoài ra, nếu A ≥ B và C là tự liên hợp thì A + C ≥ B + C, nếu A ≥ 0

Hiển nhiên quan hệ trên là phản xạ và bắc cầu Bây giờ ta chứng minh tiên đề phản đối xứng, nếu A ≥ B và B ≤ A thì (A B) x, x− = với mọi 0

x E∈ Theo hệ quả 2.10, A – B = 0 hay A = B

Định lí 2.12 Mọi dãy đơn điệu tăng các toán tử tự liên hợp { }A ⊂ L (E) n

bị chặn bởi một toán tử tự liên hợp B ∈L (E) đều hội tụ theo điểm đến một toán tử tự liên hợp A ∈ L (E)

Chứng minh

Thay dãy { }A bởi dãy n {A – A ta có thể coi dãy là dãy các toán tử n 1}

dương Bởi vì A x, xn ≤ Bx, x với mọi n,

và với m ≥ n thì:

A x, x − A x, x = (A −A ) x, x ≥0,tức là dãy { A x, x đơn điệu và bị chặn, do đó hội tụ n }

Với mọi x E, x∈ = theo hệ quả 2.10 ta có: 1

Theo định lí Banach – Steinhaus, A∈L (E)

Vì mọi A tự liên hợp và tính liên tục của tích vô hướng ta suy ra

Định lí 2.13 Với mọi toán tử dương A tồn tại duy nhất toán tử dương φ

sao cho φ2 = A Toán tử φ gọi là căn dương của toán tử A và kí hiệu là

Ta sẽ chứng minh dãy { }ψn hội tụ đến ψ Khi đó theo (b) ψ là

nghiệm của (a) và do đó căn của A tồn tại và bằng I – ψ

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng ψ và n ψn 1− biểu diễn được dưới dạng một đa thức của B với hệ số thực dương

Theo giả thiết quy nạp ψ là một đa thức của B với hệ số thực ndương nên theo (b) ta có ngay ψn 1+ cũng là một đa thức của B với hệ số thực dương Theo quy nạp ta có điều mong muốn

Do { }ψn là một dãy tăng bị chặn của các toán tử tự liên hợp nên

theo định lí 2.12 dãy { }ψn hội tụ đến một toán tử ψ

Ta chứng minh tính duy nhất Giả sử φ’ là một căn khác của A

Vì φ’2 = A nên φ’A = Aφ’ (= φ’3) nghĩa là φ’ giao hoán được với A Từ

các đa thức của B Đặc biệt φ’ giao hoán được với φ Nhờ điều này với mọi x E∈ ta có:

0 = (A – A)x = (φ2 – φ’2)x = (φ + φ’)(φ – φ’)x = (φ + φ’)y

trong đó y = φx – φ’x Vì vậy:

0= ϕ + ϕ' y, y = ϕy, y + ϕ' y, y Bởi vì φ và φ’ dương nên từ đó:

y, y ' y, y 0

Từ đó φy = φ’y do hệ quả 2.10

Bây giờ với mọi x E,∈

(ϕ − ϕ' x) 2 = (ϕ − ϕ' x, x)2 = ϕ − ϕ( ' y, x) =0,Vậy (φ – φ’)x = 0 và φ = φ’

Hệ quả 2.13

a) Nếu B giao hoán được với A thì B giao hoán được với A

b) Nếu A và B là các toán tử dương giao hoán được với nhau thì

A Blà một toán tử dương

Chứng minh

a) Nếu B giao hoán được với A thì B giao hoán được với C = I – A Theo chứng minh định lí 2.13, A là giới hạn của một dãy các đa thức của C nên B giao hoán được với A