(2) (2) (2 2)n 1nnn 1 n n
2.6.Toán tử đẳng cự, toán tử Unita
Định nghĩa 2.5. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn.
Ánh xạ A∈L (E, F) được gọi là toán tử đẳng cự nếu Ax = x với mọi
x E∈ . Nếu A là toàn ánh thì A được gọi là toán tử Unita.
Giả sử E là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {en}. Khi đó ánh xạ: n n n n 1 n 1 n 1 x ∞ e Ax ∞ e + = = =∑ξ → =∑ξ
là đẳng cự vì x 2 = Ax 2 =∑ ξn 2nhưng không là Unita vì e1∉A(E).
Định lí 2.15. Giả A là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
a)A là toán tử đặng cự b)A liên tục và A A I∗ E
=
c) Ax, Ay = x, y với mọix, y E∈ tức là A bảo toàn tích vô hướng.
Chứng minh.
a) ⇒ b): Bởi vì A∗ A là toán tử dương và
A∗ Ax Ax, x− = A∗ Ax, x − x, x = Ax,Ax − x, x =0 với mọi x E∈ nên theo hệ quả 2.10 A A I∗
= .
b) ⇒ c): Theo b) x, y Ax, y A∗ Ax, y Ax,Ay ,
= = =
nghĩa là có c)
c) ⇒ a): Trong c) thay x = y ta có a).
Định lí 2.16. Nếu A là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F thì các điều kiện sau đây tương đương:
c) A A∗ IF = d)A liên tục và A∗ A−1 = Chứng minh. a) ⇒ b): Hiển nhiên. b) ⇒ c): Theo định lí 2.15 A A I∗ E = do đó: 1 1 1 E F A A =A A∗ ∗ A A− A I A− A A− I = = = c) ⇒d): Hiển nhiên.
d) ⇒e): x, y = A−1 Ax, y = A∗ Ax, y = Ax,Ay và hiển nhiên A là toàn ánh.