Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
2.2. Toán tử hoàn toàn liên tục (toán tử compact)
Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert E thì x ≤K kéo theo Ax ≤ A K, nghĩa là A bất biến mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn.
Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert E là hoàn toàn liên tục nếu nó biến một tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn.
Vì không gian Hilbert đủ, nên một tập con đóng của nó là hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi nó là compact.
Vậy cũng có thể nói một toán tử tuyến tính A là hoàn toàn liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn, đóng, thành tập compact.
Định lí 2.3. Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục, toán tử B liên tục (tức là bị chặn) thì các toán tử A B, B A cũng hoàn toàn liên tục.
Chứng minh.
Từ xn ≤K ta suy ra sự tồn tại một dãy {Axnk}hội tụ, và do B liên tục nên dãy {B Axnk} cũng hội tụ. Vậy B A hoàn toàn liên tục.
Mặt khác từ xn ≤K ta suy ra Bxn ≤ B .K , do đó phải có một dãy
{ABxnk}hội tụ. Vậy A B cũng hoàn toàn liên tục.
Định lí 2.4. Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục thì các toán tử A , A A ,∗ ∗
A A∗
cũng hoàn toàn liên tục.
Chứng minh.
Việc A A , A A∗ ∗ cũng hoàn toàn liên tục suy ra ngay từ tính chất i) và từ A∗ = A (do đó A∗
bị chặn).
Ta chứng minh A∗ hoàn toàn liên tục. Nếu xn ≤K thì vì A A∗ hoàn toàn liên tục nên có một dãy {A A x∗ nk}hội tụ, ta có:
k k k k k k 2 n n n n n n A x∗ A x∗ (A x∗ A x , A x∗ ∗ A x )∗ − = − − k k k k n n n n (A A x∗ A A x , x∗ x ) = − − k k k k n n n n A A x∗ A A x∗ x x 0 (k,h ), ≤ − − → → ∞
Vì {A A x∗ nk} đã hội tụ thì phải là dãy cơ bản và:
k k k k
n n n n
x −x ≤ x + x ≤2K.
Vậy {A x∗ nk}là dãy cơ bản, do đó hội tụ (E là không gian đủ).
Định lí 2.5. Nếu các toán tử An hoàn toàn liên tục và An −A →0 thì toán tử A cũng hoàn toàn liên tục.
Cho một tập đóng và bị chặn M⊂E, chẳng hạn xn ≤K với mọi
x M∈ . Vì An hoàn toàn liên tục nên các tập Vn ={A x : x Mn ∈ }compact. Với 0
ε > cho trước ta có thể lấy n0 đủ lớn để An0 A . K ε − < Khi ấy: 0 0 n n A x Ax A A . x .K K ε − ≤ − < = ε với mọi x,
nên V là một n0 ε −lưới compact cho V={Ax : x M∈ }.
Vậy bản thân V cũng compact. Do đó A hoàn toàn liên tục.