Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
2.3. Toán tử tự liên hợp compact
Bây giờ ta xét một toán tử A vừa đối xứng vừa hoàn toàn liên tục (tức toán tử tự liên hợp compact) trong không gian Hilbert E.
Định lí 2.6. Một toán tử tự liên hợp compact A bao giờ cũng có một trị riêng
λ với λ = A . Chứng minh. Vì A tự liên hợp nên: x 1 A sup Ax, x = = . Ta lấy một dãy xn với: xn =1, Ax , xn n → A .
Bằng cách thay, nếu cần, dãy xn bởi một dãy con, ta có thể giả thiết rằng bản thân dãy Ax , x hn n ội tụ, chẳng hạn Ax , xn n → λ λ = ±( A ).
Ta có: 0≤ Axn − λxn 2 = Axn − λx , Axn n − λxn 2 2 2 n n n n Ax 2 Ax , x x = − λ + λ 2 2 2 2 2 n n A 2 Ax , x 2 0 ≤ − λ + λ → λ − λ + λ = Vậy Axn − λxn →0.
Nhưng do A hoàn toàn liên tục nên có một dãy {Axnk}hội tụ, vì vậy dãy {λxnk} hội tụ và dãy { }xnk cũng hội tụ,chẳng hạn xnk →e.
n nn n
Ae e lim (Ax x ) 0,
→∞
− λ = − λ =
chứng tỏ rằng là một trị riêng và e là một vectơ riêng.
Định lí 2.7. Tập các trị riêng của một toán tử tự liên hợp compact cùng lắm là đếm được. Nếu là đếm được thì tập đó làm thành một dãy hội tụ đến 0.
Chứng minh.
Theo tính chất chung của các toán tử tự liên hợp, các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau phải trực giao.
Do đó, với mỗi n cho trước chỉ có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối vượt quá 1
n (vì nếu có vô số trị riêng ấy thì sẽ có một hệ trực chuẩn vô hạn vectơ riêng tương ứng trái với tính chất các toán tử hoàn toàn liên tục). Cho nên chỉ có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1, rồi chỉ có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối gồm giữa 1 và 1
2, chỉ có một số hữu hạn trị riêng có giá trị tuyệt đối gồm giữa 1
2 và 1
3, v.v…
Định lí 2.8. (Hilbert). Nếu A là một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục thì mọi x E∈ đều có thể biểu diễn thành một tổng trực giao:
j jj 1 j 1
x ∞ x,e e z
=
=∑ + (*)
trong đó mỗi ej là một vectơ riêng ứng với một trị riêng khác 0, và Az = 0. Do đó mọi phần tử có dạng Ax đều phân tích ra được theo các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác 0:
j j j j j j 1 j 1 Ax Ax,e e x,e e . ∞ ∞ = = =∑ =∑λ (**) Chứng minh.
Đương nhiên ta có thể coi như A >0, vì trường hợp A = 0 tầm thường. Theo kết quả trên, tập các trị riêng khác 0 của A không rỗng và cùng
lắm là đếm được, mặt khác theo tính chất toán tử hoàn toàn liên tục, không gian con riêng ứng với mỗi trị riêng ấy là hữu hạn chiều.
Ta lấy trong mỗi không gian con riêng này một cơ sở trực chuẩn (gồm một số hữu hạn phần tử) {e , e , , e , 1 2 … n …} là hợp của tất cả các cơ sở có được như vậy.
Theo tính chất của toán tử tự liên hợp (tính chất (ii) mục 2.1.3), { }e n cũng là một hệ trực chuẩn. Cho λn là trị riêng ứng với en (nếu en, em cùng thuộc một không gian con riêng thì λ = λn m).
Như vậy dãy { }λn bao gồm tất cả các trị riêng khác 0, mỗi trị riêng được lặp lại một số lần bằng thứ nguyên của không gian con riêng tương ứng.
Gọi M là bao tuyến tính của hệ { }e , N là bù trực giao của nó. Vì M n
đương nhiên là không gian con bất biến đối với A, nên theo tính chất của toán tử đối xứng (tính chất (iii, mục 2.1.3), N cũng bất biến đối với A. Mà N là không gian con đóng của E, nên bản thân nó cũng là một không gian Hilbert.
Vậy ta có thể xét toán tử A thu hẹp trong N: dĩ nhiên trong N toán tử A cũng đối xứng và hoàn toàn liên tục nên theo định lí 2.6 nó phải có một trị riêng λvới λ = A N (chuẩn của A xét trong N).
Nhưng theo cách xây dựng của ta, dãy { }λn đã bao gồm tất cả các trị riêng khác 0 rồi, cho nên λ =0, tức là A N =0. Do đó Az = 0 với mọi
z N.∈
Đến đây ta có thể hoàn thành chứng minh định lí. Thật vậy, cho một vectơ x E∈ .
Vì hệ { }e là trực chuẩn nên chuỗi Fourier n j j j
x,e e
∑ của x hội tụ và
j jj j
z x= −∑ x,e e trực giao với mọi en. Vậy z ∈N và do đó Az = 0.
Hệ quả 2.8. (Chính hệ quả này cũng có khi gọi là định lí Hilbert). Trong không gian Hilbert tách được mọi toán tử tự liên hợp compact đều có một hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng.
Chứng minh.
Không gian con N vừa xác định ở trên là không gian con riêng ứng với trị riêng 0 (nếuN≠{ }0 ).
Vì E tách được nên N cũng tách được và có một hệ trực chuẩn đầy đủ { }fm . Hệ này cùng với { }e ln ập thành một hệ trực chuẩn đầy đủ trong E (vì nếu x trực giao với mọi en và mọi fm thì theo (*), x = 0).
Định lí 2.9. Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert là hoàn toàn liên tục khi và chỉ khi nó là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy toán tử thoái hóa.
Chứng minh. ( )⇒ :
Hiển nhiên, do mỗi toán tử thoái hóa là hoàn toàn liên tục và giới hạn của một dãy toán tử hoàn toàn liên tục cũng hoàn toàn liên tục.
( )⇐ : Cho A là một toán tử hoàn toàn liên tục. Toán tử A∗ A cũng hoàn toàn liên tục và tự liên hợp vì:
A∗ Ax, y = Ax,A y = x,A∗ Ay .
Vậy theo định lí Hilbert có một hệ trực chuẩn vectơ riêng { }en của
A∗ A sao cho A∗ Aen = λn ne ,λ →0 (n→ ∞) và với mọi x E∈ ta có:
j jj 1 j 1 x ∞ x,e e z = =∑ + , trong đó A Az 0∗ = .
Áp dụng toán tử A cho đẳng thức trên và chú ý rằng Az = 0 vì: Az,Az = A∗ Az,z =0 ta được j j j 1 Ax ∞ x,e Ae = =∑ . Các hệ thức Ae ,Ae A∗ Ae ,e e ,e = = λ chứng tỏ rằng các
Ta hãy xác định toán tử An bởi: n n j j j 1 A x x,e Ae . = =∑
Rõ ràng An là toán tử thoái hóa vì miền trị của nó nằm trong không gian n chiều sinh bởi các Aej (j = 1, 2, …, n).
Vì Aej 2 = λ →j 0 (j→ ∞)ta có thể chọn n đủ lớn để 2 2 j
Ae < ε với mọi j > n. Khi ấy:
( n) 2 j j 2 j 2 j 2 j n 1 j n 1 A A x x,e Ae x,e Ae ∞ ∞ = + = + − = ∑ = ∑ 2 j 2 2 j n 1 x,e x . ∞ = + ≤ ε ∑ ≤ ε Cho nên A A− n ≤ ε. Do đó A A− n →0.
Chú ý: Chứng minh vừa rồi cho thấy rằng bất cứ toán tử hoàn toàn liên tục
nào cũng có dạng: j j j 1 Ax ∞ x,e Ae , = =∑
trong đó { }e là một hệ trực chuẩn. n A e là một hệ trực giao và { }n j
Ae →0 (j→ ∞).
Cách biểu diễn đó cũng là đặc trưng của toán tử hoàn toàn liên tục, vì nếu A có thể biểu diễn dưới dạng đó, thì đoạn cuối chứng minh trên đã cho
thấy rằng n
n
A lim A
→∞
= , trong đó An là toán tử thoái hóa xác định bởi:
n n j j j 1 A x x,e Ae . = =∑ Đặt Aej = λj je , với ej =1, ta có thể viết: j j j j 1 Ax ∞ x,e e . = =∑λ
Công thức này mở rộng công thức (**) của toán tử hoàn toàn liên tục đối xứng.