Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
2.1.3. Trị riêng và vectơ riêng
Nếu A là toán tử tự liên hợp thì:
x 1
A sup Ax, x .
=
=
Một không gian con M chứa trong E gọi là bất biến đối với một toán tử A khi Ax ∈ M với mọi x ∈ M.
Dĩ nhiên E và {0} là hai không gian bất biến đối với mọi toán tử.
Ta nói một số λ là trị riêng của toán tử A, nếu phương trình A = λx có nghiệm x không tầm thường (nghĩa là x 0≠ ). Khi ấy nghiệm x này gọi là một
vectơ riêng của A ứng với trị riêng λ.
Ta có các tính chất:
i) Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứng với cùng một trị riêng λ làm thành (cùng với phần tử 0) một không gian con
đóng của E bất biến đối với A. Không gian con này gọi là không gian con riêng ứng với trị riêng λ.
Thật vậy, nếu Ax = λx, Ay = λy thì:
A(αx, βy) = αAx + βAy = λ(αx + βy),
chứng tỏ rằng αx + βy cũng là vectơ riêng ứng với trị riêng λ, miễn là nó khác không.
ii) Nếu A là một toán tử tự liên hợp thì các vectơ riêng của A ứng với hai giá trị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao với nhau. Do đó hai không gian con riêng khác nhau trực giao với nhau.
Thật vậy, cho λ và là µ hai trị riêng khác nhau, x, y là hai vectơ riêng ứng với chúng:
Ax = λx, Ay = y. Vì A là đối xứng:
Ax, y = x, Ay
nên λ(x, y) = µ (x, y) hay (λ − µ)(x, y) = 0, do đó x, y =0.
iii) Nếu A là một toán tử tự liên hợp thì phần bù trực giao của mọi
không gian con bất biến đối với A cũng bất biến đối với A.
Thật vậy, cho M là không gian con bất biến đối với A, M⊥
là phần bù trực giao của M.
Với mọi x M, y M⊥
∈ ∈ ta có x, Ay = Ax, y =0 vì Ax M∈ .
Vậy Ay trực giao với mọi vectơ M, tức là Ay M∈ ⊥ chứng tỏ M⊥ bất biến.