Chương 2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
2.1. Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 1.Toán tử liên hợp
2.1.1. Toán tử liên hợp
Ta kí hiệu L (E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với E là không gian Hilbert.
Định nghĩa 2.1. Với mọi A ∈L (E) ta gọi A∗
∈L (E) là toán tử liên hợp của A nếu Ax, y = x, A y ,∗ với mọi x, y ∈ E.
Định lí 2.1. Với mọi A ∈L (E) ánh xạ liên hợp A∗
tồn tại và duy nhất, hơn nữa: A A∗
= .
Chứng minh.
Do tính xác định dương của tích vô hướng ta có ngay A∗ là duy nhất nếu nó tồn tại.
Bởi vì x→ Ax, y là một phiếm hàm tuyến tính liên tục nên tồn tại duy nhất A y E∗
∈ sao cho:
Ax, y = x, A y∗ với mọi x ∈ E.
Do tính duy nhất của A y∗ nên ta dễ dàng kiểm tra A∗ là tuyến tính từ E vào E.
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz với mọi x, y ∈ E:
x, A y∗ Ax, y Ax y A x y = ≤ ≤ Với x = A y∗ thì: A y∗ ≤ A y , do đó A∗ ∈L (E) và A∗ A ≤ .
Với mọi A, B ∈L (E), λ ∈ ta có: i) (A )∗ ∗ =A ii) (A B)+ ∗ =A∗+B∗ iii) ( A)α ∗ = αA∗ iv) (A B)∗ B A∗ ∗ = 2.1.2. Toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 2.2. Toán tử A∈ L (E) được gọi là toán tử tự liên hợp nếu
A A ,∗
= tức là Ax, y = x, Ay với mọi x, y ∈ E.
Định lí 2.2. Toán tử A ∈ L (E) là tự liên hợp nếu và chỉ nếu Ax, x ∈ ℝ với
mọi x ∈ E.
Chứng minh.
Nếu A = A∗ thì với mọi x ∈ E, Ax, x = x, Ax = Ax, x , do đó
Ax, x ∈ℝ.
Ngược lại, từ các đẳng thức:
suy ra:
Ax, y + Ay, x =2s, −i Ax, y +i Ay, x =2t, trong đó s và t ∈ℝ.
Từ đó
Ax, y = +s it, Ay, x = −s it. Bởi vì
Ay, x = y, A x∗ = A x, y∗ = −s it, do đó A x, y∗ s it Ax, y
= + = với mọi x, y ∈ E, tức là A∗
= A.