Tình ổn định của lỹ thừa của họ tiến hóa các toản tử tuyến tính bị chặn trên không gian banach

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Huy Việt TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HĨA CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRÊN KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi đến Thầy PGS TS Lê Hồn Hóa lời cảm ơn sâu sắc chân thành tận tình giúp đỡ bảo Thầy dành cho suốt thời gian làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Tơn Đức Thắng tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ Phịng Khoa học-Cơng nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin kính gửi đến UBND tỉnh Tiền Giang, Sở Nội vụ, Sở Giáo Dục Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Chợ Gạo lời cảm ơn chân thành giúp đỡ tạo điều kiện thuận tiện để học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cô trường THPT Chợ Gạo đặc biệt Thầy Tổ Toán; bạn học viên cao học Tốn K18 ln động viên, khuyến khích giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Sau tơi xin kính gửi đến gia đình tơi người thân tất tình cảm u thương lòng tri ơn sâu sắc nhất, nơi tạo cho niềm tin nghị lực chỗ dựa vững giúp tơi hồn thành luận văn Vì kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận xét bảo Q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn đồng nghiệp LỜI CAM ĐOAN Mặc dù q trình làm luận văn này, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học tác giả luận văn khóa trước, tơi có sử dụng số kết chứng minh để hoàn thành luận văn tơi xin cam đoan khơng chép luận văn có tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết ổn định đề tài nhiều tác giả nghiên cứu Tuy nhiên đề tài rộng nên viết tơi muốn tìm hiểu nghiên cứu tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa q-tuần hồn tốn tử tuyến tính bị chặn U  U  t , s  : t  s  0 nửa nhóm tiến hóa T  T  t  : t  0 kết có liên quan đến nghiệm toán Cauchy: u '  t   A t  u  t  , t  s   u  s   x, x  X Mục đích: Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa qtuần hồn tốn tử tuyến tính bị chặn, tính ổn định lũy thừa nửa nhóm tiến hóa đặc trưng tích phân cho tính ổn định lũy thừa nửa nhóm họ tiến hóa khơng gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Toàn luận văn trình bày gồm chương mục sau: Phần mở đầu giới thiệu lý chọn đề tài, mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu với ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, bao gồm ký hiệu sử dụng luận văn, khái niệm họ tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach kết thừa nhận Chương nhằm nghiên cứu trình bày tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach, gồm mục cụ thể sau: Mục 2.1: Trích từ báo [1], nghiên cứu trình bày định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm tiến hóa hàm tuần hồn xác định nửa đường thẳng Cho X không gian Banach phức Chúng ta chứng minh nửa nhóm tiến hóa T  T  t  : t  0 APPo    , X  liên tục mạnh Sau chứng minh vài tính chất tổng qt nửa nhóm tiến hóa số ứng dụng lý thuyết bất đẳng thức Mục 2.2: Trích từ báo [2], nghiên cứu trình bày tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa q-tuần hồn tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach Trong đó, chứng minh họ tiến hóa q-tuần hồn U  U  t , s  : t  s  0 tốn tử tuyến tính bị chặn ổn định lũy thừa t sup t 0 e  i  U  t ,   f   d   M   , f   ,   , f  Pq    , X  (f hàm liên tục q-tuần hồn   ) Mục 2.3: Trích từ báo [3], nghiên cứu trình bày đặc trưng tích phân cho tính ổn định lũy thừa nửa nhóm họ tiến hóa khơng gian Banach Cụ thể, cho U  U  t , s t  s  họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh X; J hàm không âm xác định nón dương tất hàm bị chặn địa phương nhận giá trị thực   :  0;   Khi chứng minh họ U ổn định lũy thừa với ta có:   sup J U  s  , s  x   s0 x X , Phần cuối kết thu luận văn Sau phần tài liệu tham khảo Trong luận văn, số kết sử dụng phát biểu dạng định lí bổ đề khơng chứng minh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Kết tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa có liên quan đến tính ổn định tiệm cận nghiệm tốn Cauchy tuyến tính chỉnh khơng tự sinh: u '  t   A  t  u  t  , t  s   u  s   x, x  X Trong trường hợp tự sinh, chẳng hạn U  t , s   T  t  s  với T  t t 0 nửa nhóm tiến hóa liên tục mạnh ta nhận định lí Datko, Littman, Neerven, Pazy Rolewicz: định lí Datko-Pazy, … Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KÝ HIỆU Cho X không gian Banach phức L(X) đại số Banach tất toán tử tuyến tính X, A  L ( X ) Các ký hiệu:  tập hợp số thực không âm chuẩn vectơ toán tử   A phổ toán tử tuyến tính A X   A : C \   A tập giải A Bán kính phổ A r  A  : sup   :     A Biên phổ: s  A  : sup Re    :     A  BUC( I, X), I ,    không gian Banach tất hàm liên tục đều, bị chặn I nhận giá trị X với chuẩn sup AP( I, X) bao đóng tuyến tính BUC( I, X), tập gồm hàm: t  e i  t x : I  X ,   , x  X BUC(  , X) không gian tất hàm liên tục đường thẳng thực, bị chặn lấy giá trị X với chuẩn sup Co  , X  không gian BUC(  , X) gồm tất hàm f thỏa mãn: lim f  t   t  AP(  , X) không gian gồm hầu hết tất hàm tuần hồn, khơng gian đóng bé BUC(  , X) bao gồm hàm có dạng: t  e x ,   , x  X it AAPo    , X  không gian tất hàm h cho: h(0) = tồn f  Co    , X  , g  AP    , X  cho: h = f + g Coo    , X  không gian Co    , X  bao gồm tất hàm f cho f(0) = Pq( I, X) tập gồm tất hàm liên tục f : I  X cho: f  t  q   f  t  với t  I q đó, q > Pqo    , X  không gian tất hàm f   , nhận giá trị X, q-tuần hoàn cho: f(0) = 1.2 KHÁI NIỆM HỌ TIẾN HÓA 1.2.1 Định nghĩa 1: Cho q >   t, s     :t  s  Một ánh xạ U :   L  X  gọi họ tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn X nếu:  i U  t, s   U  t , r  U  r, s  , t  s  r   ii U t , t   id (id ánh xạ đồng X)  iii  x  X ,  t, s   U  t , s  x :   L  X  Nếu họ tiến hóa U thỏa mãn thêm điều kiện:  iv U  t  q, s  q   U  t , s  , t  s  U gọi họ tiến hóa q-tuần hồn 1.2.2 Định nghĩa 2: liên tục Một họ tiến hóa U gọi bị chặn lũy thừa tồn    M   cho: U  t , s   M  e t  s  , t  s  (1) Một họ tiến hóa U gọi ổn định lũy thừa (1) thỏa với số âm  1.2.3 Các kết thừa nhận: 1.2.3.1 Kết 1: Nếu họ tiến hóa U thỏa điều kiện: U  t , s   U  t  s,0  , t  s    họ T  U  t ,  : t   L  X  nửa nhóm liên tục mạnh X 1.2.3.2 Kết 2: Cho T  T  t t 0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X tồn p  1;   cho với x  X có:   p T  t  x dt  M  p , x    (2) T ổn định lũy thừa 1.2.3.3 Kết 3:   Cho T  T  t  t 0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X Nếu tồn hàm liên tục không giảm t >  : 0;     0;   cho   t   với     T  t  x  dt : M   x   , x  X (3) nửa nhóm T ổn định lũy thừa 1.2.3.4 Kết 4: Nửa nhóm liên tục mạnh T X ổn định lũy thừa tồn không gian Banach E     0;   có tính chất lim t   0;t  E   cho T   x  E , x  X 1.2.3.5 Kết 5:   Cho U = U  t , s  : t  s   họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn X Với t0 F  Co  , X  , hàm s  T (t ) F  s  : U  s, s  t  F  s  t  :   X thuộc Co  , X  họ T  T  t  : t  0 nửa nhóm liên tục mạnh Co  , X  1.2.3.6 Kết 6:   Nếu U = U  t , s  : t  s   họ tiến hóa q-tuần hồn, t  G  AP  , X  hàm s   S (t )G  s  : U  s, s  t  G  s  t  :   X   thuộc AP  , X  họ tham số S  S  t  : t  nửa nhóm liên tục mạnh AP  , X  1.2.3.7 Kết 7: 2.3 ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN CHO TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA CÁC NỬA NHÓM VÀ CÁC HỌ TIẾN HÓA TRÊN KHƠNG GIAN BANACH 2.3.1 Một tổng qt hóa định lí DATKO-PAZY 2.3.1.1 Bổ đề 7: Cho T = { T(t): t  } nửa nhóm bị chặn địa phương không gian Banach X Nếu với x  X tồn t(x) > cho T(t(x))x = T ổn định lũy thừa Chứng minh: Dễ thấy T bị chặn Thật vậy, T khơng bị chặn tồn dãy số thực dương (tn) với tn   cho T  tn    Theo định lí bị chặn suy tồn x  X cho T  tn  x   Điều trái với giả thiết Vậy T bị chặn Với v > ta có nửa nhóm {evtT(t)} thỏa giả thiết bổ đề bị chặn  vt Từ suy ra: T  t   Me , t  Vậy T ổn định lũy thừa 2.3.1.2 Bổ đề 8: Cho T = { T(t): t  } nửa nhóm bị chặn địa phương cho với x  X ánh xạ t  T  t  x liên tục  0;   Nếu tồn số dương h < q < cho với x  X tồn t  x    0; h  với T  t  x   x  q x nửa nhóm T ổn định lũy thừa Chứng minh: Lấy x  X cố định t1   0; h cho T  t1  x  q x Khi tồn t2   0; h  cho: T  t2  t1  x  q T  t1  x  q2 x Suy tồn dãy (tn) với  tn  h cho: T  sn  x  q n x , đó: sn : t1   tn Nếu sn   với t   sn ; sn 1  ta có t < (n + 1)h n T  t  x  Mq x  Me  ln( q ) e ln( q ) h x T ổn định lũy thừa Nếu dãy  sn  bị chặn, gọi t(x) giới hạn dãy  sn  Do tính liên tục nên suy T(t(x)) = theo bổ đề suy T ổn định lũy thừa 2.3.1.3 Định lí 5: Gọi M loc 0;    không gian tất hàm thực bị chặn địa phương     0;   với tôpô hội tụ tập bị chặn M loc     nón  dương Giả sử J : M loc       0;   ánh xạ có tính chất :  J không giảm Với số thực dương  J lim t    1     0;t Nếu T nửa nhóm không gian Banach X bổ đề cho :   sup J T . x : K J   (16) x 1 T ổn định lũy thừa Chứng minh: Giả sử T không ổn định lũy thừa Khi với h > < q < tồn xo  X , xo  cho : T  t  xo  q với t   0; h  Từ suy :  K J  J T . xo   J q.10;h   Điều mâu thuẫn với (16) Vậy T ổn định lũy thừa 2.3.1.4 Hệ 3: Cho T = { T(t): t  } nửa nhóm khơng gian Banach X bổ đề  p    Nếu  p T  t  x dt : M  p, x    nhóm T ổn định lũy thừa (17) với x X nửa Chứng minh: Với số dương cố định h xét tốn tử tuyến tính bị chặn t  Th x : X  Lp    , X  xác định : T  t  x, 0t h 0, th Th x  t    Với x X ta có: h Th x Lp    , X    p    T  t  x dt  0   M  p, x  p p Theo định lí bị chặn suy tồn số dương Cp cho : Th x Lp    , X   Cp x với x X Bây dễ dàng suy bất đẳng thức :  p sup  T  t  x dt  K p   , x 1 Kp số dương  p Chọn J  f  :  f  t  dt áp dụng định lí suy điều cần chứng minh 2.3.1.5 Hệ 4: Cho T = { T(t): t  } nửa nhóm khơng gian Banach X bổ đề Nếu tồn hàm không giảm  :  0;     0;   cho  t >    T  t  x  dt : M   x   , x  X (18)  t   với nửa nhóm T ổn định lũy thừa Chứng minh: Giả sử thay      ,  1   tăng ngặt   , khơng ta hàm: t     u  du,  t   t    t  :  ,  at  at   a , t  1 đ ó: a :   u  du Lấy x X cố định, N số nguyên dương cho M   x   N lấy tN Với   t  N ; t  u0 ta có: e N 1t  N ;t   u  T  t  x  e t  1t  N ;t   u  T  t    T   x  M T u  x Và đó:  T t  x N   Me N   t  T t  x     t  N  Me N    M  x   du    T t  x  Me N       1   Suy ra:   Vì T  t  x  Me N với tN T bị chặn Theo [10, Bổ đề 3.2.1] suy tồn không gian Orlicz E thỏa lim 10,t  t  E   cho với x  X thỏa (18), ánh xạ t  T  t  x thuộc vào E Với hàm thực bị chặn không âm f, ta đặt: J  f  : sup 10;t  f t 0   J T . x  sup 10;t  T . x t 0  T   x với x X E E , ta có: E  Theo hệ suy tồn số dương K độc lập với x cho:   sup J T . x : K   theo định lí suy điều cần chứng minh x 1 2.3.2 Trường hợp không tự sinh 2.3.2.1 Bổ đề 9: Cho U  U  t , s t  s 0 Banach X Nếu với s0 x X họ tiến hóa bị chặn lũy thừa không gian   tồn t(x) > cho U s  t  x  , s x  với họ U ổn định lũy thừa Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tồn M 0 cho : sup U  s  t , s   M với t  s0 Thật vậy, giả sử trái lại tồn dãy số thực dương (tn) với tn   U  s  tn , s    cho lim n  Theo định lí bị chặn suy tồn x  X cho : U  s  tn , s  x   n   (mâu thuẫn với giả thiết) Từ ta nhận họ e  v t s  U t, s  t  s 0 thỏa giả thiết bổ đề : U  t , s   Me  v t  s  với t  s Do U ổn định lũy thừa 2.3.2.2 Bổ đề 10: Cho U  U  t , s t  s 0 họ tiến hóa bị chặn lũy thừa không gian Banach X cho với y  X s  ánh xạ : t  U  s  t , s  y :      liên tục  0;  Nếu tồn số thực dương h q < cho với t  x    0; h  x X tồn có tính chất : sup U  s  t  x  , s  x  q x họ U ổn định lũy thừa s0 Chứng minh: Lấy x  X cố định t1   0; h cho sup U  s  t1  x  , s  x  q x s0 Khi tồn t2   0; h  cho: sup U  s  (t2  t1 )( x), s  x s 0  q U  s  t1  x  , s  x  q sup U  s  t1  x  , s  x s 0  q2 x Suy tồn dãy (tn) với  tn  h cho: sup U  s  sn ( x ), s  x  q n x , đó: s0 sn : t1   tn Nếu sn   với t   sn ; sn 1  ta có t < (n + 1)h n sup T  t  x  Mq x  Me  ln( q ) e ln( q ) h x s 0 T ổn định lũy thừa Nếu dãy  sn  bị chặn, gọi t(x) giới hạn dãy  sn  Do tính liên tục   nên suy U s  t  x  , s x  theo bổ đề suy T ổn định lũy thừa 2.3.2.3 Định lí 6:   Cho U  U  t , s  t s0 họ tiến hóa bị chặn lũy thừa khơng gian Banach X bổ đề 10 gọi J hàm định lí Nếu tồn r > cho :   supsup J U  s  , s  x : L  J , r    (19) s 0 x r họ tiến hố U ổn định lũy thừa Chứng minh: Giả sử họ U không ổn định lũy thừa Khi với số thực dương h q   0;1 tồn xo  X v so  cho: U  so  t , so  xo  q  Do đó:  L  J , r   J U  so  t , so  rxo   J rq.10;h  với h > 0, mâu thuẫn với (19) 2.3.2.4 Định lí 7:  với t  0; h  Cho J định lí Giả sử J nửa liên tục lồi theo nghĩa Jensen( nghĩa J  f  g   J  f   J  g  với f g thuộc Cho U họ tiến hóa bổ đề 10 Nếu tập  M loc      tất x  X mà  sup J U  s  , s  x   tập phạm trù thứ hai X U ổn định lũy thừa s0 Chứng minh: Lấy s  cố định Ánh xạ x  U  s  , s  x : X  M loc     liên tục Điều tương đương với ánh xạ   x   s  x  : J U  s  , s  x : X   0;   nửa liên tục     Với số tự nhiên dương k, tập X k  s  : x  X : J U  s  , s  x  k đóng ảnh ngược khoảng đóng  0; k  qua ánh xạ  s Rõ ràng tập    X k : x  X : sup J U  s  , s  x  k s 0    X k  s s0 tập đóng  hợp tất tập Xk Vì  tập phạm trù thứ hai nên tồn tập X ko có phần khác rỗng Lấy xo  X ro  cho B  xo , ro   X ko   Dễ dàng thấy B  0,  ro  chứa X k , nghĩa là: o    sup sup J U  s  , s  x  ko s 0 x  r o Thật vậy, với x  X mà x  ro ta có:  1  J  U  s  , s   x  2    1    J  U  s  , s   x  xo   xo   2   1  J   U  s  , s  x  xo   U  s  , s  xo 2  J U  s  , s  x  xo   J U  s  , s  xo         ko 2.3.2.5 Hệ 5:   Cho U  U  t , s  t s0 Banach X cho với  0;  họ tiến hóa bị chặn theo số mũ không gian x  X ánh xạ t  U  s  t , s  x liên tục với s  Xét bất đẳng thức sau: Tồn  p  1;   cho p sup  U  s  t , s  x dt  , x  X s 0 Tồn không gian hàm E( E không gian Banach) thỏa lim 10,t  t  E   cho với s  với x  X ánh xạ U  s  , s  x thuộc E với x  X ta có: sup U  s  , s  x s 0 E   Tồn hàm không giảm  :  0;    0;   với  t   với t > cho:    sup   U  s  t , s  x dt  , x  X s 0 Nếu phát biểu họ U ổn định lũy thừa KẾT LUẬN Qua luận văn tác giả thật bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu buổi họp nhóm q trình học tập Qua luận văn tác giả hiểu biết thêm tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach vốn có liên quan mật thiết đến họ nghiệm toán Cauchy Tuy nhiên, kiến thức tác giả hạn chế nên mong giúp đỡ bảo thêm Q Thầy Cơ Hội đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Buse (2002), A spectral mapping theorem for evolution semigroups on asymptotically almost periodic functions defined on half line, Vol 2002(2002), No 70, pp 1-11 [2] C Buse (2002), Exponential stability for periodic evolution families of bounded linear operators, West University of Timisoara, BD V Parvan 4, Timisoara, Romania [3] C Buse, N.S Barnett, P Cerone, and S.S Dragomir (2004), Integral characterizations for exponential stability of semigroups and evolution families on Banach spaces, West University of Timisoara, Timisoara, 1900, BD V Parvan NR 4, Romania [4] R R Kallman and G C Rota, On the inequality f '  f f " , Inequalities II, O Shisha, Ed., Academic Press, New-York, 1970, pp 187-192 [5] C Buse, O Jitianu, C Preda, , Exponential stability for solutions of linear differential equations with periodic coefficients, International Journal of Differential Equations and Applications, to appear [6] Daners D., Koch Medina P., Abstract Evolution Equations, Periodic Problems and Applications, Pitman Research Notes, 1992 [7] Nagel R., (ed), One-parameter semigroups of positive operators, Springer Lect Notes in Math 1184 (1996) [8] Buse C., On the Perron-Bellman theorem for evolutionary processes with exponential growth in Banach spaces, New-Zealand Journal of Mathematics, 27 (1998), 183-190 [9] Reghis M., and Buse C., On the Perron-Bellman theorem for Co-semigroups and periodic evolutionary processes in Banach spaces, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, (1998), 155-166 [10] J M A M van Neerven, Lower semicontinuity and the theorem of Datko and Pazy, Integr Equ Oper Theory, 42(2002), 482-492 ... tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa qtuần hồn tốn tử tuyến tính bị chặn, tính ổn định lũy thừa nửa nhóm tiến hóa đặc trưng tích phân cho tính ổn định lũy thừa nửa nhóm họ tiến hóa khơng gian Banach. .. tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach kết thừa nhận Chương nhằm nghiên cứu trình bày tính ổn định lũy thừa họ tiến hóa tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach, gồm mục cụ thể... cho tính ổn định lũy thừa nửa nhóm họ tiến hóa không gian Banach Cụ thể, cho U  U  t , s t  s  họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh X; J hàm không âm xác định nón dương tất hàm bị chặn