Tính ổn định của hệ phương trình vi phân và ví dụ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ***** KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ VÍ DỤ Giáo viên hướng dẫn: TS Lê Hải Trung Sinh viên thực hiện: Lê Đan Hà Lớp: 10ST Đà Nẵng, tháng năm 2014 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4 Nội dung đề tài KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2 Nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3 Phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình vi phân 1.3.1 1.3.2 Phương pháp đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao Phương pháp Euler 11 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 15 2.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 15 2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 20 2.2.1 2.2.2 Các định lý tổng quát ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 21 Các hệ 26 2.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.4 2.5 27 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận 30 Tiêu chuẩn Hurwitz 33 2.5.1 Đa thức Hurwitz 33 2.5.2 Tiêu chuẩn Hurwitz 34 2.5.3 Tiêu chuẩn Hurwitz hệ phương trình vi phân 35 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Lê Hải Trung, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô bạn Khoa tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết phương trình vi phân Nó ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác nhau, kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học môi trường học Với lý đó, phát triển mạnh mẽ hai hướng ứng dụng lý thuyết Những kết thành tựu đạt lĩnh vực nhiều sâu sắc, nhiên, khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, tơi trình bày khái niệm nhất, số kết kinh điển lý thuyết giới hạn khái niệm ổn định theo Lyapunov Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, định lý liên quan ứng dụng tiêu chuẩn Hurwitz vào việc xét tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu + Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức + Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn + Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Nội dung đề tài Đề tài trình bày hai chương Chương I: Kiến thức mở đầu Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương II: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương trình bày khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov kết chủ yếu loại ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân cấp hệ có dạng  dy1   = f1 (t, y1 , y2 , , yn )   dt     dy2 = f (t, y , y , , y ) 2 n dt         dyn = fn (t, y1 , y2 , , yn ) dt (1.1) t biến số độc lập, y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), , yn = yn (t) hàm phải tìm Các hàm fi (i = 1, 2, , n) xác định miền G không gian Rn+1 Nghiệm hệ hàm y1 = ϕ1 (t), y2 = ϕ2 (t), , yn = ϕn (t) (1.2) xác định khoảng I, cho ∀t ∈ I, thay (1.2) vào (1.1) ta đồng thức Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có dạng  dy1   = a11 (t)y1 + a12 (t)y2 + + a1n (t)yn   dt     dy2 = a (t)y + a (t)y + + a (t)y 21 22 2n n dt         dyn = an1 (t)y1 + an2 (t)y2 + + ann (t)yn dt (1.3) hệ số aij (i, j = 1, 2, , n) liên tục khoảng (a, b) Khi đó, với x0 ∈ (a, b); (y10 , y20 , , yn0 ) ∈ R, tồn nghiệm y(t) = (y1 (t), y2 (t), , yn (t)) hệ (1.3) xác định khoảng (a, b) thỏa mãn điều kiện ban đầu y1 (t0 ) = y10 ; y2 (t0 ) = y20 ; , yn (t0 ) = yn0 Hệ phương trình (1.3) viết dạng vector sau: dY = A(t)Y dt 1.2 (1.4) Nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 (Hệ nghiệm bản) Hệ n nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (1.4) gọi hệ nghiệm Hệ phương trình (1.3) (hoặc tương đương phương trình (1.4)) có vơ số hệ nghiệm Định lý 1.2.1 Giả sử Y1 (t), Y2 (t), , Yn (t) hệ nghiệm (1.3) Khi đó, biểu thức Y (t) = C1 Y1 (t) + C2 Y2 (t) + + Cn Yn (t) nghiệm tổng quát hệ phương trình đó, với C1 , C2 , , Cn số tùy ý 1.3 Phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình vi phân 1.3.1 Phương pháp đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao Xét hệ phương trình vi phân cấp  dy1   = f1 (t, y1 , y2 , , yn )   dt     dy2 = f (t, y , y , , y ) 2 n dt         dyn = fn (t, y1 , y2 , , yn ) dt (1.5) fi (i = 1, 2, , n) liên tục có đạo hàm riêng theo tất biến đến cấp n − miền G ∈ Rn Xét nghiệm hệ (1.5) có dạng y1 (t), y2 (t), , yn (t), thay vào hệ phương trình (1.5) ta hệ đơng thức theo t Đồng thức dy1 (t) = f1 [t, y1 (t), y2 , , yn ] dt (1.6) Vi phân (1.6) theo t, ta có d2 y1 (t) ∂f1 = + dt2 ∂t Đặt n i=1 ∂f1 dyi ∂f1 = + ∂yi dt ∂t n i=1 ∂f1 fi ∂yi n ∂f ∂f1 + fi = F2 (t, y1 , y2 , , yn ), suy ∂yi i=1 ∂yi d2 y1 (t) = F2 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)] dt2 Vi phân đồng thức (1.7) theo t lần nữa, ta d3 y1 (t) ∂F2 = + dt3 ∂t n i=1 ∂F2 dyi ∂F2 = + ∂yi dt ∂t n i=1 ∂F2 fi ∂yi (1.7) Đặt n ∂F ∂F2 + fi = F3 (t, y1 , y2 , , yn ), suy ∂t i=1 ∂yi d3 y1 (t) = F3 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)] dt3 (1.8) Tiếp tục trình n − lần, ta nhận dn y1 (t) = Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)] dtn (1.9) Vi phân đồng thức (1.9) theo t lần nữa, ta dn y1 (t) ∂Fn−1 = + dtn ∂t n i=1 ∂Fn−1 dyi ∂Fn−1 = + ∂yi dt ∂t n i=1 ∂Fn−1 fi ∂yi n ∂F ∂Fn−1 n−1 + fi = Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)], suy Đặt ∂t i=1 ∂yi dn y1 (t) = Fn [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)] dtn (1.10) Như vậy, gộp phương trình từ (1.6) đến (1.10), ta hệ phương trình  dy1 (t)    = f1 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)]   dt     d y1 (t) = F [t, y (t), y (t), , y (t)] 2 n dt2 (1.11)        dn−1 y1 (t)   = Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), , yn (t)] dtn−1 Giả sử miền xét biến (t, y1 , y2 , , yn ), định thức D(f1 , F2 , , Fn ) = D(y1 , y2 , , yn ) dy1 d2 y1 dn−1 y1 Từ hệ (1.11) ta biểu diễn y1 , y2 , , yn theo t, y1 , , , , n−1 dt dt2 dt Thay giá trị y2 , , yn vào (1.10), ta thu phương trình vi phân cấp n y1 dn y1 (t) dy1 d2 y1 dn−1 y1 = Φ t, y , , , , dtn dt dt2 dtn−1 (1.12) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử Z = Z(t) (t0 < t < +∞) nghiệm ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng (2.8) Tức với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho nghiệm Y = Y (t) nghiệm (2.8) t → +∞, ta có bất đẳng thức Y (t) − Z(t) < ε Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (2.17) Vì Y˜ (t) = Y (t) − Z(t) nên bất đẳng thức (2.17) tương đương với bất đẳng thức sau Y˜ (t) < ε t0 < t < ∞ Y˜ (t0 ) < δ Từ suy ra, nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định theo Lyapunov t → +∞ Điều kiện đủ Giả sử nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định theo Lyapunov t → +∞ Khi đó, Y˜ ≡ Y˜ (t) (t0 ≤ t < +∞) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính cho Y˜ (t0 ) < δ(ε) Y˜ (t) < ε t0 ≤ t < +∞ Mà Y˜ (t) = Y (t) − Z(t), với Z(t) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng (2.8) Y (t) nghiệm hệ 24 Từ suy Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ ⇒ Y (t) − Z(t) < ε t0 ≤ t < +∞ Tức nghiệm Z(t) ổn định t → +∞ Định lý 2.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận khi nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định tiệm cận t → +∞ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng (2.1) có nghiệm Z(t) ổn định tiệm cận Tức là, i Với ε > 0, tồn δ > cho với nghiệm Y = Y (t) hệ phương trình vi phân khơng t → +∞ thỏa điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (2.18) Y (t) − Z(t) < ε (2.19) ii Với t thuộc khoảng (a, +∞), tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho với Y (t) (t0 ≤ t < +∞) Y (t0 ) − Z(t0 ) < ∆ ⇒ lim t→+∞ Y (t) − Z(t) = (2.20) Ta có Y˜ (t) = Y (t)−Z(t) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Do bất đẳng thức (2.18) (2.19) tương đương với bất đẳng thức Y˜ (t) < ε t → +∞ 25 Y˜ (t0 ) < δ Và (8) ⇔ Y˜ (t0 ) < ∆ ⇒ lim t→+∞ Y˜ (t) = Suy nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định tiệm cận Điều kiện đủ Giả sử nghiệm tầm thường Y˜ (t0 ) = Y˜0 ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn đinh tiệm cận theo Lyapunov t → +∞ Khi đó, Y˜ (t) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính thỏa điều kiện Y˜ (t0 ) < δ Y˜ (t) < ε với t0 ≤ t < +∞ lim t→+∞ Y˜ (t) = Y˜ (t0 ) < ∆ với ∆ = ∆(t0 ) > Thì suy Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ Y (t) − Z(t) < ε (với δ > 0) lim t→+∞ Y (t) − Z(t) = Y (t0 ) − Z(t0 ) < ∆ (với ∆ = ∆t > 0) (Vì Y˜ (t) = Y (t)−Z(t), Z(t) nghiệm hệ phương trình vi phân khơng Y (t) nghiệm hệ này.) Do đó, nghiệm Z(t) ổn định tiệm cận t → +∞ 2.2.2 Các hệ Hệ Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định khơng ổn định nghiệm khơng ổn 26 định Hệ Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định khi hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định Hệ Điều kiện cần đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) với số hạng tự F (t) ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (2.11) ổn định 2.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dY = A(t)Y dt (2.21) A(t) liên tục khoảng (a, +∞) Định lý sau cho ta thấy tính ổn định hệ (2.21) tương đương với tính giới nội tất nghiệm Định lý 2.3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.21) ổn định theo Lyapunov nghiệm Y = Y (t) (t0 ≤ t < +∞) hệ bị chặn nửa trục t0 ≤ t < +∞ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ (2.21) có nghiệm Z(t) khơng giới nội [t0 , +∞), dĩ nhiên Z(t0 ) = Cố định hai số dương ε δ, ta xét nghiệm Y (t) = Z(t) δ Z(t0 ) Rõ ràng Y (t0 ) = 27 δ t0 đó, ta có Y (t1 ) = Z(t1 ) δ 0, an = Một đa thức rõ ràng khơng có nghiệm tầm thường ta gọi đa thức đa thức chuẩn bậc n (n ≥ 1) Định lý 2.5.1 Nếu đa thức chuẩn đa thức Hurwitz tất hệ số dương Nhận xét Dễ dàng chứng minh đa thức chuẩn bậc hai f (z) = a0 + a1 z + a2 z (2.29) điều kiện định lý điều kiện đủ, tức a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, đa thứ (2.29) đa thức Hurwitz Đối với đa thức chuẩn bậc lớn hai, từ tính dương hệ số nó, nói chung khơng thể suy đa thức đa thức Hurwitz 33 Ví dụ Đa thức f (z) = 30 + 4z + z + z có hệ số dương (30, 4, 1, 1) song khơng phải đa thức Hurwitz nghiệm z1 = −3, z2 = + 3i, z3 = − 3i Kết hợp với định lý 2.4.2, ta suy muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính (2.24) ta cần khẳng định đa thức đặc trưng ma trận A det(λE − A) = đa thức Hurwitz 2.5.2 Tiêu chuẩn Hurwitz Ta xét đa thức chuẩn f (z) = a0 + a1 z + + an z n (2.30) a0 > 0, an = (n ≥ 1) Lập (n × n) - ma trận Hurwitz  a1 a0 0    a3 a2 a1 a0     a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 an         (2.31) quy ước as = với s < s > n Định lý 2.5.2 (Định lý Hurwitz) Điều kiện cần đủ để đa thức chuẩn (2.30) đa thức Hurwitz tất định thức chéo ma trận 34 Hurwitz dương, tức    ∆1 = a1 > 0,       a a   ∆2 = > 0, a3 a2           ∆n = an ∆n−1 > (2.32) Ta không chứng minh định lý mà dùng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận phương trình vi phân tuyến tính với hệ số (2.32) cịn gọi điều kiện Hurwitz 2.5.3 Tiêu chuẩn Hurwitz hệ phương trình vi phân Giả sử dY = AY dt (2.33) hệ tuyến tính với ma trận thực A = [ajk ] có phương trình đặc trưng ma trận A det(λE − A) = (2.34) Khi đó, hệ (2.33) ổn định tiệm cận vế trái phương trình đặc trưng (2.34) đa thức Hurwitz Ví dụ 2.5 Xác định miền ổn định tiệm cận hệ  dx   = −x + αy + β    dt dy = −αx − y + αz  dt     dz = −βx − αy − z dt 35 (2.35) Lời giải Phương trình đặc trưng hệ có dạng λ+1 −α −β α λ+1 −α β α λ+1 =0 ⇔ (λ + 1)(λ2 + 2λ + + 2α2 + β ) = ⇔ f (λ) = Hệ (2.35) ổn định tiệm cận f (λ) đa thức Hurwitz Mà + 2α2 + β > ∀α, β ∈ R Vậy với α β, hệ (2.35) ổn định tiệm cận Ví dụ 2.6 Ta xét lại hệ phương trình vi phân Ví dụ 1.3    dx = 3x + 2y dt dy   = −x − y dt với đa thức đặc trưng f (λ) = λ2 − 4λ + Dễ thấy f (λ) đa thức Hurwitz Vậy hệ phương trình vi phân khơng ổn định 36 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết sau: Trình bày khái niệm lý thuyết ổn định đưa số ví dụ Trình bày định lý tổng quát ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ Trình bày định lý tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận Ngồi ra, luận văn nói thêm đa thức Hurwitz tiêu chuẩn Hurwitz Cuối cùng, luận văn đề cập đến việc ứng dụng tiêu chuẩn Hurwitz để chứng minh ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính số ví dụ minh họa 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở Phương trình vi phân Lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục (2009) [2] Phan Huy Thiện, Phương trình vi phân, NXB Giáo Dục Việt Nam (2011) [3] Lê Hải Trung, Giáo trình Phương trình vi phân (2010) 38 ... nghiệm khơng ổn 26 định Hệ Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định khi hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng ổn định Hệ Điều kiện cần đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) với... hạng tự F (t) ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (2.11) ổn định 2.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dY = A(t)Y... +∞) Định nghĩa 2.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định ổn định tiệm cận t → +∞ 2.2.1 Các định lý tổng quát ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính