Tính an pha ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN _ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TÍNH α -ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHƠNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM Chủ nhiệm đề tài: Ths VÕ THÀNH TÀI Long Xuyên, tháng năm 2009 LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập đến vấn đề kỹ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mơ tả phương trình toán học dạng: x& ( t ) = f ( t, x ( t ) , u ( t ) ) x ( t ) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u ( t ) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống, liệu đầu vào có tác động quan trọng làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Như ta hiểu hệ thống điều khiển mô hình tốn học mơ tả phương trình tốn học biểu thị liên hệ vào-ra: x(t) u(t) x& ( t ) = f ( t,x ( t ) ,u ( t ) ) Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho đầu có tính chất mà ta mong muốn Trong đó, tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế,… Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Nói cách giải tích, cho hệ thống mơ tả phương trình tốn học điều khiển, tốn ổn định hóa hệ tìm hàm điều khiển, người ta thường gọi hàm điều khiển ngược (feedback control), u ( t ) = h ( t, x ) cho hệ động lực: ( ) x& ( t ) = f t, x ( t ) , h ( t, x ( t ) ) = F ( t, x ( t ) ) ổn định ổn định tiệm cận trạng thái cân Trong toán ổn định hóa tổng quát, hệ điều khiển thường mơ hình hóa với tác động điều khiển ngược, nhiễu điều khiển, thiết bị điều khiển, quan sát,… thường mô tả theo sơ đồ sau: Thiết bị đầu vào Hệ điều khiển đầu điều khiển u (t) x& = f ( t, x, u ) x (t) Cơ sở lý thuyết sử dụng tốn ổn định hóa lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết ổn định hình thành cơng trình nghiên cứu nhà toán học người Nga A M Lyapunov từ cuối kỷ XIX Trước Lyapunov có số cơng trình nghiên cứu tính ổn định, nhiên phải đến Lyapunov cơng bố cơng trình tiếng “Bài toán tổng quát ổn định chuyển động, 1892” lý thuyết ổn định thực quan tâm có bước tiến mạnh mẽ Vấn đề ổn định phương trình vi phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu giải quyết, kể số tác giả nước như: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, Trần Thị Loan,.v.v… Những định nghĩa tính ổn định Lyapunov đưa kỷ qua nguyên giá trị ngày phát triển Hai phương pháp ông đề xuất phương pháp số mũ đặc trưng phương pháp hàm Lyapunov Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov xem cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định, nội dung phương pháp dựa vào tồn lớp hàm đặc biệt (được gọi hàm Lyapunov) mà tính ổn định hệ cho kiểm tra trực tiếp qua dấu đạo hàm (dọc theo quỹ đạo xét) hàm Lyapunov tương ứng Cùng với phát triển lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỷ gần đây, tính điều khiển hệ động lực khởi xướng cơng trình tiếng Kalman từ năm 60 kỷ XX, chứng minh điều kiện đại số tính điều khiển hệ tuyến tính hữu hạn chiều khơng có hạn chế điều khiển Từ kết Kalman việc nghiên cứu tính điều khiển khơng ngừng phát triển trở thành hướng quan trọng lý thuyết điều khiển hệ động lực Do nhu cầu nghiên cứu tính chất định tính hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi toán ổn định hoá hệ điều khiển Đây nội dung nghiên cứu đề tài PHẦN TĨM TẮT Đề tài nghiên cứu tính α -ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm Dựa phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện đủ cho hệ xét α -ổn định hóa thơng qua nghiệm phương trình Riccati vi phân Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu năm gần Sau phần mở đầu phần nội dung gồm chương: Chương trình bày kiến thức phương trình vi phân, lý thuyết ổn định Lyapunov, tốn ổn định hóa số kết có năm gần Chương nghiên cứu tính α -ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến có chậm dạng: ( ) x& ( t ) = A( t ) x ( t ) + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B( t ) u ( t ) + f t,x ( t ) ,x ( t − h ( t ) ) ,u ( t ) , t ≥ 0, x ( t ) = φ ( t ) ,t ∈[ −h,0] ,h ≥ 0, x ( t ) ∈ n ,u (t)∈ m (1) , A ( t ) , A1 ( t ) ∈ n ×n , B(t) ∈ ≤ h ( t ) ≤ h, h& ( t ) ≤ δ < 1, ∀t ≥ 0, f ( t, x, y, u ) : [ 0, ∞ ) × n n×m × ∃a, b, c > : f ( t, x, y, u ) ≤ a x + b y + c u , ∀ ( x, y, u ) ∈ γ = ε3−1a + Đặt Q(t) = ε1e −2 αh (1 − δ ) n n , φ ∈ C ([ −h, 0] , × × m n → × m n n ), thỏa mãn: b2 + c2 , 3 B ( t ) BT ( t ) − −2 αh A1 ( t ) A1T ( t ) − γI, ε1e (1 − δ ) ε = 2αβ + β2 γ + ε1 + ε he αh + ε3 + 3β2 B + 2βμ ( A ) + 3β2 η2 ( A1 ) −2 αh ε1e (1 − δ ) Định lý Cho trước α > Giả sử tồn số thực dương β, ε1 , ε , ε3 > ma trận P ( t ) ∈ BM + ( 0, ∝ ) thỏa mãn phương trình Riccati vi phân sau: P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) + εI = Khi hệ (1) α -ổn định hóa với điều khiển ngược u ( t ) = − BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ x ( t ) Hơn nữa, nghiệm x ( t, φ ) thỏa mãn điều kiện x ( t, φ ) ≤ Ne −αt φ , ∀t ≥ Với định lý trên, đề tài đưa chứng minh điều kiện đủ tính α -ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm MỤC LỤC Mở đầu Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ CÓ CHẬM 1.1 Phương trình vi phân 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.3 Bài tốn ổn định hóa 1.4 Một vài kết Chương TÍNH α -ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHƠNG ƠTƠNƠM CĨ CHẬM 11 2.1 Các định lý 11 2.2 So sánh với vài kết có 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn đề tài này, trừ trường hợp đặc biệt ký hiệu rõ mục, lại sử dụng ký hiệu sau đây: • tập số thực, + = [ 0, +∞ ) • n khơng gian Euclide n chiều với ký hiệu tích vơ hướng , , chuẩn vộct l ã nìm khụng gian cỏc ma trn ( n ì m ) chiu ã C ([ a, b ] , • n L p ([ 0, T ] , n ) không gian Banach hàm liên tục [a, b] nhận giá trị m ) khơng gian hàm khả tích u (.) : [0, T ] → m với chuẩn p • ⎛T ⎞ p u = ⎜ ∫ u ( s ) ds ⎟ ⎝0 ⎠ T A ma trận chuyển vị ma trận A; ma trận A gọi ma trận đối xứng A = A T ; I ma trận đơn vị λ ( A ) tập giá trị riêng ma trận A • • • P > ma trận P xác định dương P ≥ ma trận P xác định không âm BM + ( 0, ∞ ) tập ma trận hàm đối xứng xác định khơng âm bị chặn • ( 0, ∞ ) MỞ ĐẦU Mục tiêu nội dung nghiên cứu - Mục tiêu nghiên cứu: Tìm điều kiện đủ cho tính α -ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm hay cịn gọi tốn ổn định hóa cho hệ điều khiển, tức tìm hàm điều khiển (đầu vào) cho hệ động lực với điều khiển α -ổn định - Nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu tính α -ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ôtônôm có chậm dạng: ( ) x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B ( t ) u ( t ) + f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết sử dụng lý thuyết phương trình vi phân hàm, lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết điều khiển toán học - Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện đủ cho hệ xét α -ổn định hóa thơng qua nghiệm phương trình Riccati vi phân Trang CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ CĨ CHẬM Chương trình bày kiến thức lý thuyết ổn định Lyapunov, tốn ổn định hóa số kết có năm gần 1.1 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân ⎧⎪ x& ( t ) = f ( t, x ( t ) ) , t ∈ I = [ t , t + b ] ⎨ n ⎪⎩ x ( t ) = x , x ∈ , t ≥ f (.,.) :I × D → n , D = {x ∈ n (1.1) : x − x ≤ a} Nghiệm phương trình vi phân (1.1) hàm x(t) khả vi liên tục thoả mãn: i) ( t, x ( t ) ) ∈ I × D , ii) x(t) thoả mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử f ( t, x ) liên tục I × D Khi nghiệm x(t) hệ (1.1) cho dạng tích phân: t x ( t ) = x + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds t0 Định lý 1.1 (Định lý Picard-Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1), giả sử f (.,.) :I × D → n liên tục theo t ∈ I thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến x ∈ D , tức tồn k > cho f ( t, x1 ) − f ( t, x ) ≤ k x1 − x với t ≥ Khi với ( t , x ) ∈ I × D tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm x ( t ) khoảng [ t − d, t + d ] Định lý 1.2 (Định lý Caratheodory) Giả sử f ( t, x ) hàm đo theo t ∈ I liên tục theo x ∈ D Nếu tồn hàm khả tích m(t) ( t , t + b ) cho f ( t, x ( t ) ) ≤ m ( t ) với ( t, x ) ∈ I × D hệ (1.1) có nghiệm khoảng [ t , t + β ] , β > Chú ý định lý Caratheodory khẳng định tồn nghiệm không Trang Định lý 1.3 (Định lý kéo dài nghiệm) Giả f ∈ C ⎡⎣( a, b ) × D, sử ⎤⎦ , a ≥ , thỏa mãn f ( t, x ) ≤ M ( a, b ) × D Giả sử x ( t ) = x ( t, t , x ) nghiệm f ( t, x1 ) − f ( t, x ) ≤ k x1 − x n (1.1) xác định [ t , β ) , t ∈ ( a, b ) Khi đó, tồn lim x ( t ) := x ( β − ) Hơn t→β ( β , x ( β − ) ) ∈ ( a, b ) × D nghiệm x ( t ) thác triển lên [ t , β + α ) , với α > Chúng ta nhận thấy trình xãy tự nhiên thường có liên quan đến khứ Các hệ phương trình có phụ thuộc chậm thể đặc điểm phụ thuộc vào khứ hệ thống, phần trình bày số khái niệm cho hệ có chậm Xét hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ chậm h ( ≤ h < + ∝ ) Với x (t) : + → n hàm liên tục, đặt x t (θ ) = x ( t + θ ) , ∀θ ∈ [ − h, 0] ký hiệu x t = sup x ( t + θ ) Khi đó, hệ phương trình vi phân có chậm cho θ ∈[ − h,0] dạng: ⎧⎪ x& ( t ) = f ( t, x t ) , t ≥ 0, ⎨ ⎪⎩ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ −h, 0] , f : D → n , D⊂ × C ([ −h, 0] , n (1.2) ) , φ ∈ C ([ −h, 0] , ) , n φ = sup φ ( t ) t∈[ − h,0] Hàm x ( t ) gọi nghiệm phương trình vi phân có chậm (1.2) [ t − h, t + A ] tồn + t0 ∈ i x ∈ C ([ t − h, t + A ] , n A > cho: ) , ( t, x ) ∈ D t ii x(t) thỏa mãn phương trình (1.1) với t ∈ [ t , t + A ] Hệ (1.1) gọi tuyến tính f ( t, φ ) = L ( t, φ ) + h ( t ) , L ( t , φ ) tuyến tính theo φ Hệ (1.1) gọi hệ ôtônôm f ( t, φ ) = g (φ ) , g khơng phụ thuộc theo t Giả sử t = 0, φ ∈ C ([ −h, 0] , n ) cho trước f ( t, φ ) liên tục D Khi đó, nghiệm x(t) hệ (1.1) cho dạng tích phân: x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ −h;0] t x ( t ) = φ ( ) + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds, t ≥ (1.3) Trong phần nghiên cứu giả thiết hàm f hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm, phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu Trang 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.2.1 Các định nghĩa Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân (1.1), giả thiết f ( t, x ) hàm thoả mãn điều kiện cho toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiên ban đầu x ( t ) = x , t ≥ ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho bởi: t x ( t ) = x + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds t0 Định nghĩa 1.1 Nghiệm x ( t ) hệ (1.1) gọi ổn định với ε > , t ≥ , tồn δ > ( δ phụ thuộc vào ε , t0 ) cho nghiệm y ( t ) : y ( t ) = y hệ thoả mãn y − x < δ ta có y ( t ) − x ( t ) < ε Định nghĩa 1.2 Nghiệm x ( t ) hệ (1.1) gọi không ổn định theo Lyapunov t → + ∝ tồn ε > t ≥ cho có nghiệm y ( t ) : y ( t ) = y0 hệ thoả mãn y0 − x < δ có t1 > t để y ( t1 ) − x ( t1 ) ≥ ε Định nghĩa 1.3 Nghiệm x ( t ) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có δ > cho với y − x < δ lim y ( t ) − x ( t ) = t →+∞ Trong định nghĩa 1.3, số δ không phụ thuộc vào t0 ta nói hệ ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.4 Nghiệm x ( t ) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận mũ ổn định tiệm cận có số dương α , M cho với y − x < δ y ( t ) − x ( t ) ≤ M.e −α ( t − t ) x với t ≥ t Xét hệ phương trình vi phân có chậm (1.2) ⎧⎪ x& ( t ) = f ( t, x t ) , t ≥ 0, ⎨ ⎪⎩ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h, 0] , (1.2) Với hệ có chậm tổng qt (1.2) ta ln giả thiết f ( t, ) = 0, ∀t ∈ + Điều đảm bảo cho hệ (1.2) ln có nghiệm Định nghĩa 1.5 Hệ (1.2) gọi ổn định với ε > , với t ∈ + , tồn số δ = δ ( t , ε ) > cho với φ ∈ C ([ − h, 0] , n ) mà φ < δ nghiệm ( t ,φ ) ∈ + x (t) × C ([ −h, 0] , n hệ (1.2) thỏa mãn điều ) nghiệm bất đẳng thức x ( t ) kiện ban < ε , ∀t ≥ t Trang đầu = ⎡⎣ P& ( t ) + A Tα ( t ) P ( t ) + P ( t ) A α ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) P ( t ) ⎤⎦ y ( t ) , y ( t ) + ⎡⎣β2 B ( t ) BT ( t ) + β ( A α ( t ) + A Tα ( t ) ) ⎤⎦ y ( t ) , y ( t ) + P ( t ) A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) + 2β A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) + ⎡⎣ P ( t ) + βI ⎤⎦ f (.) , y ( t ) ( ) & = ε y ( t ) − ε − h& ( t ) y ( t − h ( t ) ) V 1 ≤ ε1 y ( t ) − ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t ) ) 2 Do đó, ta có & ( t, y ) ≤ ⎡ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) P ( t ) + ε I ⎤ y ( t ) , y ( t ) V t ⎦ α α ⎣ + ⎡⎣β2 B ( t ) BT ( t ) + β ( A α ( t ) + A Tα ( t ) ) ⎤⎦ y ( t ) , y ( t ) ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) ε (1 − δ ) + 2β A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) − y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) ε (1 − δ ) + ⎡⎣ P ( t ) + βI ⎤⎦ f (.) , y ( t ) − y ( t − h ( t )) + P ( t ) A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) − Sử dụng bổ đề 1.1 ta thu ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) T + P ( t ) A1,α ( t ) A1,α ( t ) P ( t ) y ( t ) , y ( t ) ε1 (1 − δ ) P ( t ) A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) ≤ ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) 3 + P ( t ) A1,α ( t ) A1,Tα ( t ) P ( t ) y ( t ) , y ( t ) ε1 (1 − δ ) ≤ ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) T 3β2 + A1,α ( t ) A1,α ( t ) y ( t ) , y ( t ) ε1 (1 − δ ) 2β A1,α ( t ) y ( t − h ( t ) ) , y ( t ) ≤ Trang 19 ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) , y ( t − h ( t )) 3β2 + A1,α ( t ) A1,Tα ( t ) y ( t ) , y ( t ) ε1 (1 − δ ) ≤ Để ý thấy ( ⎡⎣ P ( t ) + βI ⎤⎦ f (.) , y ( t ) ≤ ( p + β ) a y ( t ) + beαh y ( t − h ( t ) ) + c u% ( t ) ) y(t) ≤ 2a ( p + β ) y ( t ) + 2b ( p + β ) eαh y ( t − h ( t ) ) y ( t ) + c ( p + β) B y ( t ) 2 Do ta thu & ( t, y ) ≤ ⎡ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ε I ⎤ y ( t ) , y ( t ) V α α t ⎦ ⎣ ⎡ ⎤ 3β2 A1,α ( t ) A1,Tα ( t ) ⎥ y ( t ) , y ( t ) + ⎢β2 B ( t ) BT ( t ) + β ( A α ( t ) + A Tα ( t ) ) + ε1 (1 − δ ) ⎣ ⎦ 2 + ⎡ 2a ( p + β ) + c ( p + β ) B ⎤ y ( t ) + 2b ( p + β ) eαh y ( t − h ( t ) ) y ( t ) ⎣ ⎦ ε (1 − δ ) y ( t − h ( t )) − Sử dụng bổ đề 1.2 ta có 2b ( p + β ) eαh y ( t − h ( t ) ) y ( t ) ≤ ε1 (1 − δ ) y ( t − h ( t )) 3 + b ( p + β ) e αh y ( t ) , ε1 (1 − δ ) B ( t ) BT ( t ) y ( t ) , y ( t ) ≤ B ( A ( t ) + A ( t )) y ( t ) , y ( t ) α T α y(t) , ≤ 2μ ( A α ) y ( t ) , A1,α ( t ) A1,Tα ( t ) y ( t ) , y ( t ) ≤ η2 ( A1,α ) y ( t ) Do & ( t, y ) ≤ ⎡ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ε I ⎤ y ( t ) , y ( t ) V t ⎦ α α ⎣ ⎡ ⎤ 2 b ( p + β ) e αh − c ( p + β ) B ⎥ y ( t ) − ⎢ε − 2a ( p + β ) − ε1 (1 − δ ) ⎣ ⎦ Trang 20 Từ P(t) nghiệm (RDE2), ta có ⎡ ⎤ 2 & ( t, y ) ≤ − ⎢ε − 2a ( p + β ) − V b ( p + β ) e αh − c ( p + β ) B ⎥ y ( t ) , t ε1 (1 − δ ) ⎣ ⎦ ∀t ≥ Hơn nữa, từ điều kiện ( i1 ,i ,i3 ) ta suy & ( t, y ) ≤ 0, ∀t ≥ V t Suy V ( t, y t ) ≤ V ( 0, y ) , ∀t ≥ Mặt khác, từ (3.2) ta có β y ( t ) ≤ V ( t, y t ) ≤ V ( 0, y ) Ước lượng V ( 0, y ) ta V ( 0, y0 ) ≤ ( p + β + hε1 ) φ Suy y(t) ≤ N φ , Do đó, x ( t, φ ) ≤ Ne −αt φ , ∀t ≥ Vậy ta điều phải chứng minh Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm sau ( ) x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B ( t ) u ( t ) + f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , t∈ , với hàm giá trị ban đầu ⎛⎡ ⎤ φ ( t ) ∈ C ⎜ ⎢− , 0⎥ , ⎝⎣ ⎦ ⎞ ⎟ , thời gian chậm ⎠ h ( t ) = sin ( t / ) ⎛a (t) A(t) = ⎜ ⎝ −1 ⎛ − 12 e sin t ⎜ ⎞ ⎟ , A1 ( t ) = ⎜⎜ b(t)⎠ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟, ⎟ − 12 e cost ⎟ ⎠ ⎛ cos t + ⎞ ⎜ ⎟, B(t) = ⎜⎜ sin t + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ Trang 21 ⎛1 ⎞ ⎜ x1 ( t ) sin ⎡⎣ x ( t − h ( t ) ) ⎤⎦ − x ( t − h ( t ) ) sin ⎡⎣ tx1 ( t − h ( t ) ) ⎦⎤ ⎟ f ( ) = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ u ( t ) cos ⎡⎣ tx ( t ) ⎤⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 cos t + 4cos2t+4 ) e − t − − 4e t , ( 2 1⎛1 ⎞ b ( t ) = ⎜ sin t − cos2t+1⎟ e − t − − 4e t 2⎝4 ⎠ a (t) = ( ) Đánh giá f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ta ( ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ≤ 1 x ( t ) + x ( t − h ( t )) + u ( t ) , Do ta có, 1 a= , b= , c= 1 h = , δ = 2 Lấy α = , ta có ⎛ ⎜ sin t ⎛ a ( t ) +1 ⎞ Aα ( t ) = ⎜ ⎟ , A1,α ( t ) = ⎜ b ( t ) + 1⎠ ⎜ ⎝ −1 ⎜ ⎝ μ ( A α ) = 1, B = 3, η ( A1,α ) = ⎞ ⎟ ⎟, ⎟ cost ⎟ ⎠ , Chọn 11 β = , ε1 = 2, ε = + 16 Ta ε = ⎛ cos t + 4cos2t+4 Q(t) = ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ sin t − cos2t+1⎟⎟ ⎠ Nghiệm phương trình (RDE2) ⎛ e− t P(t) = ⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟ ≥ 0, e− t ⎠ ∀t ≥ 0, điều kiện định lý thỏa Trang 22 Vậy nghiệm hệ cho 1-ổn định hóa với điều khiển ngược ⎛ (1 − 4e − t )( cos t + ) 1⎜ u (t) = ⎜ 8⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ x ( t ) −t ⎛ 4e sin t − = ( ) ⎜⎝ ⎟⎟ ⎠⎠ * Chú ý Nghiệm (RDE2) không phụ thuộc vào hệ số a, b, c hàm nhiễu phi tuyến, điều kiện định lý 2.2 cho thấy ổn định hóa hệ điều khiển trường hợp nhiễu phi tuyến nhỏ Tuy nhiên, cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii, định lý cho ta kết tốt kết định lý 2.2 với nhiễu phi tuyến cho trước Đặt Pβ ( t ) = P ( t ) + β I, γ = ε3−1a + ε1e −2 αh (1 − δ ) b2 + c2 μ ( A ) = sup μ ( A ( t ) ) , η ( A1 ) = sup η ( A1 ( t ) ) , t∈ Q(t) = + t∈ + 3 B ( t ) BT ( t ) − −2 αh A ( t ) A1T ( t ) − γI, ε1e (1 − δ ) M = p + β + hε1 + 2h ε , N = M , β ε = 2αβ + β2 γ + ε1 + ε he αh + ε3 + 3β2 B + 2βμ ( A ) + 3β2 η2 ( A1 ) −2 αh ε1e (1 − δ ) Định lý 2.3 Cho trước α > Giả sử tồn số thực dương β, ε1 , ε , ε3 > ma trận P ( t ) ∈ BM + ( 0, ∝ ) thỏa mãn phương trình Riccati vi phân sau: P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) + εI = (RDE3) Khi hệ (2.3) α -ổn định hóa với điều khiển ngược u ( t ) = − BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ x ( t ) Hơn nữa, nghiệm x ( t, φ ) thỏa mãn điều kiện x ( t, φ ) ≤ Ne −αt φ , ∀t ≥ Chứng minh Đặt u ( t ) = K ( t ) x ( t ) , K ( t ) = − BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ , t ≥ Xét hàm Lyapunov – Krasovskii sau V ( t, x t ) = V1 + V2 + V3 + V4 , Trang 23 V1 = P ( t ) x, x , V2 = β x ( t ) , t V3 = ε1 ∫ t −h( t ) V4 = ε ∫ −h e α( s − t ) x ( s ) ds, t ∫ t +τ− h ( t +τ ) e α(s + h − t ) x ( s ) dsdτ Dễ dàng thấy λ1 x ( t ) ≤ V ( t, x t ) ≤ λ x t 2 ∀t ≥ 0, với số dương λ1 , λ Mặt khác, lấy đạo hàm V ( t, x t ) theo t dọc theo nghiệm x(t) hệ (2.3), ta có & +V & = P& ( t ) x ( t ) , x ( t ) + P ( t ) x& ( t ) , x ( t ) + 2β x& ( t ) , x ( t ) V = ( P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ ) x ( t ) , x ( t ) ( ) + β ( A ( t ) + A ( t ) − B ( t ) B ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ ) x ( t ) , x ( t ) + 2β A ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) + 2β f ( t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ) , x ( t ) + P ( t ) A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) + P ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) T T = + ( P& ( t ) + A ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) B ( t ) P ( t ) ) x ( t ) , x ( t ) βP ( t ) B ( t ) B ( t ) x ( t ) , x ( t ) + ⎣⎡ 2β B ( t ) B ( t ) + β ( A ( t ) + A ( t ) ) ⎦⎤ x ( t ) , x ( t ) T T T T T +2 P ( t ) A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) + 2β A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) ( ) +2 Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) ( 2.5) ( ) & = −2αV ( t, x ) + ε x ( t ) − ε e −2 αh ( t ) − h& ( t ) x ( t − h ( t ) ) V 3 t 1 ≤ −2αV3 ( t, x t ) + ε1 x ( t ) − ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t ) ) 2 & = −2αV ( t, x ) + ε he αh x ( t ) V 4 t 2 ( 2.6 ) 2 α τ+ h − h ( t +τ ) ) − ε ∫ ⎣⎡1 − h& ( t + τ ) ⎦⎤ e ( x ( t + τ − h ( t + τ ) ) dτ −h ≤ −2αV4 ( t, x t ) + ε he αh x ( t ) − ε2e 2 αh (1 − δ ) ∫ x ( t + s − h ( t + s ) ) ds −h ≤ −2αV4 ( t, x t ) + ε he αh x ( t ) ( 2.7 ) Do đó, từ (2.5)-(2.7) suy Trang 24 & ( t, x ) + 2αV ( t, x ) = V & + +2αV + V & + 2α V + V & + 2α V + V & + 2α V V t t 1 2 3 4 ( P& ( t ) + A ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) B ( t ) P ( t ) ) x ( t ) , x ( t ) + βP ( t ) B ( t ) B ( t ) x ( t ) , x ( t ) + ⎣⎡ 2β B ( t ) B ( t ) + β ( A ( t ) + A ( t ) ) ⎦⎤ x ( t ) , x ( t ) ≤ T T T T T + P ( t ) A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) + 2β A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) ( ) + Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) + 2α ⎡ P ( t ) x ( t ) , x ( t ) + β x ( t ) ⎤ ⎣ ⎦ + ε1 x ( t ) − ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t ) ) + ε he2 αh x ( t ) 2 ≤ ⎡⎣ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) P ( t ) + 2αP ( t ) ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) + βP ( t ) B ( t ) BT ( t ) x ( t ) , x ( t ) + ⎡⎣ 2β2 B ( t ) BT ( t ) + β ( A ( t ) + A T ( t ) ) ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) + P ( t ) A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) − ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t )) , x ( t − h ( t )) ε1e −2 αh (1 − δ ) + 2β A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) − x ( t − h ( t )) , x ( t − h ( t )) ( ) + Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) + ( 2αβ + ε1 + ε he αh ) x ( t ) − ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t )) , x ( t − h ( t )) ( 2.8) Sử dụng bổ đề 2.1, ta ε1e −2 αh (1 − δ ) P ( t ) A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) − x ( t − h ( t )) , x ( t − h ( t )) 3 ≤ −2 αh P ( t ) A1 ( t ) A1T ( t ) P ( t ) x ( t ) , x ( t ) , ( 2.9 ) ε1e − δ ( ) 2β A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) − ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t )) , x ( t − h ( t )) 3β2 ≤ −2 αh A1 ( t ) A1T ( t ) x ( t ) , x ( t ) ε1e (1 − δ ) ( 2.10 ) Quan sát thấy ( ) Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) ( ≤ x T ( t ) Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ) ≤ 2a x T ( t ) Pβ ( t ) x ( t ) + 2b x T ( t ) Pβ ( t ) x ( t − h ( t ) ) + 2c x T ( t ) Pβ ( t ) u ( t ) ( 2.11) Sử dụng bổ 2.2, ta có Trang 25 ( ) Pβ ( t ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , x ( t ) ≤ ε3−1a x T ( t ) Pβ ( t ) + ε3 x ( t ) + + ε1e −2 αh (1 − δ ) b x T ( t ) Pβ ( t ) 2 ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t ) ) + c x T ( t ) Pβ ( t ) + u ( t ) ⎡ ⎤ b + c ⎥ Pβ2 ( t ) x ( t ) , x ( t ) ≤ ⎢ε3−1a + −2 αh ε1e (1 − δ ) ⎣ ⎦ + ε3 x ( t ) + ε1e −2 αh (1 − δ ) x ( t − h ( t )) + ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ B ( t ) BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) − 2βI ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) ≤ γ ⎡⎣ P ( t ) + 2βP ( t ) + β I ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) + ε3 x ( t ) 2 ε1e −2 αh (1 − δ ) + x ( t − h ( t )) ⎡1 ⎤ + ⎢ P ( t ) B ( t ) B T ( t ) P ( t ) − β P ( t ) B ( t ) B T ( t ) + β B ( t ) BT ( t ) ⎥ x ( t ) , x ( t ) ⎣4 ⎦ ( 2.12 ) Do đó, từ (2.8) – (2.12) suy & ( t, x ) + 2αV ( t, x ) ≤ V t t ≤ ⎣⎡ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) ⎦⎤ x ( t ) , x ( t ) ⎡3 ⎤ PA1A1T P − γP ( t ) ⎥ x ( t ) , x ( t ) − ⎢ P ( t ) B ( t ) B T ( t ) P ( t ) − −2 α h ε1e (1 − δ ) ⎣4 ⎦ ⎡ ⎤ 3β2 A1 ( t ) A1T ( t ) ⎥ x ( t ) , x ( t ) + ⎢3β2 B ( t ) BT ( t ) + β ( A ( t ) + A T ( t ) ) + −2 αh ε1e (1 − δ ) ⎣ ⎦ + ( 2αβ + β2 γ + ε1 + ε he αh + ε3 ) x ( t ) Mặt khác, ta có B ( t ) BT ( t ) x ( t ) , x ( t ) ≤ B ( A ( t ) + A ( t )) x ( t ) , x ( t ) T x(t) , ≤ 2μ ( A ) x ( t ) , A1 ( t ) A1T ( t ) x ( t ) , x ( t ) ≤ η2 ( A1 ) x ( t ) Do đó, Trang 26 & ( t, x ) + 2αV ( t, x ) ≤ V t t ≤ ⎡⎣ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) ⎡ ⎤ 3β2 + ⎢ 2αβ + β2 γ + ε1 + ε he αh + ε3 + 3β2 B + 2βμ ( A ) + −2 αh η2 ( A1 ) ⎥ x ( t ) ε1e (1 − δ ) ⎣ ⎦ ≤ ⎡⎣ P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) + εI ⎤⎦ x ( t ) , x ( t ) Từ P(t) nghiệm phương trình vi phân (RDE2), ta có & ( t, x ) + 2αV ( t, x ) ≤ ∀t ≥ V t t Hay & ( t, x ) ≤ −2αV ( t, x ) ∀t ≥ V t t Suy V ( t, x t ) ≤ V ( 0, x ) e −2 αt , ∀t ≥ Mặt khác, từ đánh giá hàm V ( t, x t ) suy β x ( t ) ≤ V ( t, x t ) , ∀t ≥ 0, Hay x ( t, φ ) ≤ V ( 0, x ) −αt e , β ∀t ≥ Đánh giá V ( 0, x ) ta V ( 0, x ) ≤ ( p + β + hε1 ) φ + ε ∫ −h τ− h ( τ ) ≤ ( p + β + hε1 ) φ + 2h ε φ e α( s + h ) x ( s ) dsdτ ∫ 2 ≤M φ , x ( t, φ ) ≤ Ne −αt φ , t ≥ Vậy ta điều phải chứng minh Ví dụ 2.3 Xét hệ điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm sau ( ) x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B ( t ) u ( t ) + f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , t∈ ⎛⎡ ⎤ với hàm giá trị ban đầu φ ( t ) ∈ C ⎜ ⎢ − , ⎥ , ⎝⎣ ⎦ + , ⎞ ⎟ , thời gian chậm h ( t ) = sin ( t / ) ⎠ Trang 27 ⎛ sin t ⎞ ⎛a (t) ⎜ A(t) = ⎜ ⎟ , A1 ( t ) = ⎜ ⎝ −1 b ( t ) ⎠ ⎜ ⎝ ⎛ ( sin t + 3) ⎜ B(t) = ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟, 2cost ⎟⎠ ⎞ ⎟ ⎟, cos t − 1) ⎟ ( ⎠ ⎛ 2x ( t ) sin ⎡ tx12 ( t − h ( t ) ) ⎤ − 2u1 ( t ) cos ⎡ t x ( t ) ⎤ ⎞ ⎣ ⎦⎟ ⎣ ⎦ , f ( ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ 2x t h t sin x t x t h t − − ( ) ) ⎣ ( ) ( ( ) )⎦ 1( ⎝ ⎠ 11 ⎞ ⎛3 a ( t ) = e −4t ⎜ sin t + ⎟ − 5e 4t , b ( t ) = e −4t cos t − 5e 4t 2⎠ ⎝2 ( ) Đánh giá f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ta ( ) f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) ≤ x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) + u ( t ) 1 Do ta có h = , δ = , a = 2, b = 2, c = 2, 2 μ ( A ) = 2, B = 8, η ( A1 ) = Lấy α = , ta có β= 3e ⎛ 14 95 ⎞ , ε1 = , ε = ⎜ + − ⎟ , ε3 = 1, 16 ⎝ e 64e ⎠ ⎛ 3sin t + 11 ⎞ Khi đó, ta có γ = 16, ε = 10, Q ( t ) = ⎜ ⎟ cos t ⎠ ⎝ Nghiệm phương trình (RDE2) ⎛ e −4t P(t) = ⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟ ≥ 0, e −4t ⎠ ∀t ≥ 0, Vậy nghiệm hệ cho 1-ổn định hóa với điều khiển ngược ⎛ ⎛ −4t ⎞ ⎜ ( sin t + 3) ⎜ − e ⎟ ⎝ ⎠ u (t) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ x ( t ) ⎛ −4t ⎞ ⎟ ( cos t + ) ⎜⎝ − e ⎟⎠ ⎟ ⎠ Trang 28 2.2 So sánh với vài kết có 2.2.1 So sánh kết đạt với định lý luận án tiến sĩ Nguyễn Mạnh Linh (2006) Định lý 3.5 luận án tiến sĩ Nguyễn Mạnh Linh (2006) Định lý 2.3 đề tài Phương trình điều khiển: Phương trình điều khiển: ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ + A1 ( t ) x ( t − h ) + B ( t ) u ( t ) ⎪ ⎨ + f ( t, x ( t ) , x ( t − h ) , u ( t ) ) , t ≥ ⎪ ⎪ ⎩ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h, 0] h độ chậm ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ ⎪⎪ + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B ( t ) u ( t ) ⎨ ⎪ + f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , t ≥ 0, ⎪ ⎪⎩ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ −h, 0] , h ≥ 0, ( ) h ( t ) hàm thời gian chậm thỏa mãn: (Độ chậm h) ≤ h ( t ) ≤ h, h& ( t ) ≤ δ < 1, ∀t ≥ Điều kiện α -ổn định hóa thơng qua Điều kiện α -ổn định hóa thơng qua tính điều khiển hệ tồn nghiệm phương trình ⎡⎣ A ( t ) , B ( t ) ⎤⎦ Điều kiện suy Riccati vi phân: P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) phương trình Riccati vi phân: − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) + εI = P& ( t ) + A T P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − P ( t ) B ( t ) BT ( t ) P ( t ) + Q ( t ) = có nghiệm P ( t ) ∈ BM + ( 0, ∞ ) Hàm nhiễu phi tuyến thỏa mãn: f ( t, x, y, u ) ≤ a ( t ) x Hàm nhiễu phi tuyến thỏa mãn: f ( t, x, y, u ) ≤ a x + a1 y + b u + a1 ( t ) y + b ( t ) u Trong định lý, f ( t, x, y, u ) cịn bị ràng buộc điều kiện Khơng bị ràng buộc b = sup b ( t ) t∈ + a1 = sup a1 ( t ) , a = sup A ( t ) đủ bé t∈ + t∈ + Trang 29 2.2.2 So sánh kết đạt với định lý luận án tiến sĩ Phan Thanh Nam (2008) Định lý 3.1 án tiến sĩ Định lý 2.1 đề tài Phan Thanh Nam (2008) Phương trình điều khiển: ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ m ⎪ ⎨ + ∑ Ai ( t ) x ( t − h i ) + B ( t ) u ( t ) , t ≥ ⎪ i =1 ⎪ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h, 0] , h ≥ 0, ⎩ h = max {h i : i = 1, 2, , n} , Phương trình điều khiển: ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ m ⎪+ A ( t ) x ( t − h ) + B ( t ) u ( t ) i ⎪ ∑ i ⎨ i =1 ⎪+ f ( t, x ( t ) , x ( t − h ) , , x ( t − h ) , u ( t ) ) m ⎪ ⎪ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h, 0] , h ≥ 0, ⎩ Điều kiện α -ổn định hóa thơng qua Điều kiện α -ổn định hóa thơng tồn nghiệm phương trình Riccati qua tồn nghiệm phương trình vi phân: Riccati vi phân: P& ( t ) + A T0,α ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ + ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ A 0,α ( t ) − ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ B ( t ) BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ P&β ( t ) + A T0,α ( t ) Pβ ( t ) + Pβ ( t ) A 0,α ( t ) − Pβ ( t ) Q ( t ) Pβ ( t ) + εI = m + ∑ ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ A i,α ( t ) A i,Tα ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ i =1 + mI = Khơng có hàm nhiễu phi tuyến Hàm nhiễu phi tuyến: f ( t, x ( t ) , x ( t − h1 ) , , x ( t − h m ) , u ( t ) ) đủ bé Định lý 3.1 án tiến sĩ Định lý 2.3 đề tài Phan Thanh Nam (2008) Phương trình điều khiển: ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ m ⎪ ⎨ + ∑ Ai ( t ) x ( t − h i ) + B ( t ) u ( t ) , t ≥ ⎪ i =1 ⎪ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h, 0] , h ≥ 0, ⎩ Phương trình điều khiển: ⎧ x& ( t ) = A ( t ) x ( t ) ⎪ ⎪⎪ + A1 ( t ) x ( t − h ( t ) ) + B ( t ) u ( t ) ⎨ ⎪ + f t, x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , u ( t ) , t ≥ 0, ⎪ ⎪⎩ x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ −h, 0] , h ≥ 0, ( ) Trang 30 h = max {h i : i = 1, 2, , n} , (Độ chậm h) h ( t ) hàm thời gian chậm thỏa mãn: ≤ h ( t ) ≤ h, h& ( t ) ≤ δ < 1, ∀t ≥ Điều kiện α -ổn định hóa thơng qua Điều kiện α -ổn định hóa thơng tồn nghiệm phương trình Riccati qua tồn nghiệm phương trình vi phân: Riccati vi phân: P& ( t ) + A T0,α ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ + ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ A 0,α ( t ) P& ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) − ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ B ( t ) BT ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ − P ( t ) Q ( t ) P ( t ) + ( α + βγ ) P ( t ) + εI = m + ∑ ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ A i,α ( t ) A i,Tα ( t ) ⎡⎣ P ( t ) + I ⎤⎦ i =1 + mI = Khơng có hàm nhiễu phi tuyến Hàm nhiễu phi tuyến thỏa mãn: f ( t, x, y, u ) ≤ a x + b y + c u Trong định lý, f ( t, x, y, u ) không bị ràng buộc điều kiện a, b, c đủ bé Trang 31 KẾT LUẬN Ngoài phần tổng quan trình bày chương 1, đề tài thu kết sau đây: - Liệt kê vài kết có tính ổn định hóa cho số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển - Đưa chứng minh điều kiện đủ tính α -ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ôtônôm có chậm - So sánh điều kiện đưa đề tài với vài kết có để thấy kết đạt đề tài khác vài kết có Đề nghị: Để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển với ma trận A, A1 , B ma trận hệ số để thuận lợi việc sử dụng Matlab để tìm ma trận đối xứng xác định dương P, nghiên cứu hướng sau: - Nghiên cứu đưa điều kiện đủ cho hệ phương trình vi phân điều khiển thơng qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính, hệ: x& ( t ) = Ax ( t ) + A1x ( t − h ) + Bu ( t ) + f ( t, x ( t ) , x ( t − h ) , u ( t ) ) - Nghiên cứu toán ổn định hóa α -ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển có chậm điều khiển u ( t − h ) , hệ: x& ( t ) = Ax ( t ) + A1x ( t − h ) + Bu ( t ) + B1u ( t − h ) + f ( t, x ( t ) , x ( t − h ) , u ( t ) , u ( t − h ) ) Trang 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bellman, R 1960 Introduction to Matrix Analysis McGraw-Hill book company, INC Demidovic, B.P 1967 Những giảng lý thuyết Toán học ổn định Nauka, Moscow (Bản dịch tiếng Việt, Vũ Tuấn-Cấn Văn Tuất, Phòng tư liệu, Đại học Sư phạm Hà Nội) Freiling, G and Ionescu, V and Jank, G 2003 Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory Basel, Birkhauser Hale, J K 1997 Theory of Function Differential Equations Spinger Verlag, New York Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu 2000 Cơ sơ phương trình vi phân lý thuyết ổn định NXB GD, Hà Nội Nguyễn Mạnh Linh 2006 Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ động lực phi tuyến Luận án tiến sĩ Toán học Viện Toán học, Hà Nội Phan Thanh Nam 2008 Một số tính chất định tính hệ phương trình vi phân có chậm Luận án tiến sĩ Tốn học Viện Tốn học, Hà Nội Vũ Ngọc Phát 2001 “Stabilization of linear continuous time-varying systems with state delays in Hilbert spaces” Electronic Journal of Differential Equation No.67:1-13 Vũ Ngọc Phát Phan Thanh Nam 2005 “Exponential stability criteria of linear non-autonomous systems with multiple delays” Electronic Journal of Differential Equation Yoshizawa, T 1966 Stability Theory by Lyapunov’s Second Method The mathematical society of Japan Zabczyk, J 1992 Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhauser, Berlin Trang 33 ... cho tính α -ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm hay cịn gọi tốn ổn định hóa cho hệ điều khiển, tức tìm hàm điều khiển (đầu vào) cho hệ động lực với điều khiển. .. thuyết điều khiển hệ động lực Do nhu cầu nghiên cứu tính chất định tính hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hố hệ điều khiển Đây... hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến khơng ơtơnơm có chậm - So sánh điều kiện đưa đề tài với vài kết có để thấy kết đạt đề tài khác vài kết có Đề nghị: Để xét tính ổn định hệ phương trình