MUC LUC
Muc luc 1
Lời nói đầu 2 1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình viphân 5 1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 7 1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 9 1.4 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận
0ð ee 10
2_ Tính ý—bị chặn và tính ¿ổn định của hệ phương trình vi
phân tuyến tính 12
2.1 Tính ¿—bị chặn của hệ phương trình vi phân tuyến tính 12 2.2 Tinh y)—én định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 31
Trang 2LOI NOI DAU
Lý thuyết ổn định toán học là một bộ phận quan trong của lý thuyết phương trình vi phân Ngày nay lý thuyết ổn định có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: vật lý, kinh tế, sinh thái mơi trường Lý thuyết ổn định tốn học phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỷ XIX với sự đóng góp to lớn của nhà toán học người Nga Liapunov
Xét hệ phương trình vi phân trong R"(n € Ñ')
x’ = f(t,x), t>0 (I)
trong đó z = z(/) €IR", ƒ: RT x R* — R* là hàm véctơ cho trước
Khi đó các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận được trình bày đầy đủ và chỉ tiết trong các tài liệu như: Phạm Ngọc Bội (JH|), Nguyễn Thế Hoan, Pham Phu ([3])
Trong không gian hữu hạn chiều, các kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính:
a'(t) = A(t)a(t) + f(t), (ID)
vdi A(t), f(t) lién tục được viết đầy đú và chi tiét (chang han trong [1],[3])
Để nghiên cứu một cách tổng quát các kết quả trên, có ba xu hướng: -Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (II) trong các không gian tổng quát hơn IR” Các kết quả về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính (H) trong không gian Banach được trình bày khá hệ thống bởi nhiều tác giá, chẳng hạn như Daletskii ([6])
-Đưa ra các cách nhìn khác nhằm mục đích mỏ rộng lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính (H) ổn định Theo xu hướng thứ hai, gần đây Akinnyele đã đưa ra khái niệm ¿~ổn định cấp k khi ý thuộc C(R,.,R,)
(R = |0; œ)) tăng, khả vi trên Ry va jim w(t) = b, b € [1; 00) Constantin
đề xuất khái niệm —ổn dinh, y—bi chan cấp k khi ý thuộc C(R R_), dương và không giảm trên R Morchalo đề xuất các khái niệm ổn định, —ốn định đều, ổn định tiệm cận Tiếp theo nhiều tác giả như:
Avamescu, Hallam, Diamamdescu, Phạm Ngọc Đội đã công bố những kết
Trang 3Morchalo dé xuất và dựa trên những kết quả đã đạt được
-Theo xu hướng thứ ba vừa mở rộng hệ phương trình vi phân tuyến tính (H) trong các không gian tổng quát hơn ÏR" và vừa đưa ra các cách nhìn khác nhằm mục đích mở rộng lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính (1T) én định trong các không gian tổng quát hơn R”
Với hướng nghiên cứu trên và với sự hướng dẫn của thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề sau:
(1) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (II) thì khi đó nghiên cứu
tính ¿—bị chặn trên R, với:
e f(t) la Y—kha tich Lobe trên R e f(t) lav— bi chan trén R,
(2) Tính j— ổn định, j— ổn định đều trên R, của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
(3) Tính @— ổn định, j¿— ổn định đều trên lR, của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất mở rộng
(4) Van đề được xét tương tự trên lR_
Với mục đích như trên luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1
Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân
1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 1.4 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng
Chương 2
Tinh w—bi chan và tính —ốn định của hệ phương trình
vi phân tuyến tính
Trang 4Phần cuối của luận văn là kết luận và tài liệu tham khảo
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tụy, chân thành, chu đáo, nhiệt tình của thầy giáo T5 Phạm Ngọc Bội và của các thầy cô giáo PGS TS Tran Van Ân, PGS TS Tạ Khắc Cu, PGS TS Ta Quang Hai, PGS TS Dinh Huy Hoàng, PGS TS Nguyễn Nhụy, TS Phan Lê Na cùng các thầy cơ giáo khoa Tốn và khoa Sau Đại Học Tác giá gửi lời cảm ơn chân
thành đến thầy giáo hướng dẫn và các thầy cô giáo cùng tất cả bạn bè, gia
đình đã động viên giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn này
Trang 5CHUONG 1
MỘT SỐ KIÊN THỨC CƠ BẢN CUA LY THUYET ON ĐỊNH
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân + =ƒ(L+),t30 (1.9 trong đó # = zø(£) €R”, ƒ: IR† x R" — IR” là hàm véctơ cho trước 1.1.1 Định nghĩa ([3]) Hàm z = z(/) € R*” xác định và khả vi trên khoảng (a;Ð) được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) trên (a; b) nếu x(t) = ƒ(,#), với mọi £ > 0
Giả thiết ƒ(, +) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu #(fo) = #o, fạ > 0 luôn có nghiệm duy nhất Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức:
r(t) = 19+ J I(s,2(s))ds
1.1.2 Dinh nghia ({1]) Nghiém 2(t), (a < t < oo) ctia hệ (1.1) được gọi la 6n dink (theo nghia Liapunov) khi £ — œ (nói ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi e > 0, với moi to thudc (a; 00) tén tai 6 = 6(e,to) > 0 sao cho tat cả các nghiệm z(1) ctia hé (1.1) thoa man diéu kién ||y(o) — x(lo)|| < 6 thi xdc dinh trong khoang [to; 00) va ||y(t) — 2(£)|| < ¢ khi to <t < ow
1.1.3 Dinh nghia ((1]) Néu sé 6 ndi trong dinh nghia (1.1.2) có thể chọn
Trang 61.1.4 Dinh nghia ({1]) Nghiém x(t), (a < t < oo) ctia hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm can(theo nghia Liapunov) khi t > oö (nói ngắn gọn là ổn định tiệm cận) nêu
¡, Nghiệm z(/) ổn định,
ñ, Với mọi fạ thuộc (a;oe) bồn tại A = A(fs) > 0 sao cho tất cả các
nghiệm = #(/), tạ £ < œ nếu thỏa mãn điều kiện ||y(lo) — #(o)||< A thì lim |ly(t) ~ z(9|||= 0 Nhận xét: Bằng phép biến đổi (2 — y) => z, hệ phương trình (1.1) đưa được về dạng z'= F(t.z) (1.2)
trong đó #(, 0) = 0 Rõ ràng hệ (1.2) có nghiệm z = 0 Ta gọi nó là hệ quy
đổi Khi đó sự ổn định của một nghiệm #(7) nào đó của hệ (1.1) sẽ đưa về
nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Do đó đối với hệ quy đổi (1.2) ta có thể nói về sự ổn định của nghiệm tầm thường z = 0
-Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ (1.2) ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, với mọi íạ thuộc (a; œ©) tồn tại ở = ổ(£,fạ) > 0 sao cho tất cá các nghiệm #(#) của hệ (1.2) thoả mãn điều kiện ||z(fo)|| < ð thì xác định trong khoảng [to; ) và ||z()|| < e khi tạ <t< %
-Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ (1.2) ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định và với mọi /ạ thuộc (ø;) tồn tại A = A(/o) > 0 sao cho tất cả các
nghiém x = x(t), to < t < œ nếu thỏa mãn điều kiện ||(o)||< A thì lim ||z(#)|| = 0
ioc
1.1.5 Ví dụ Xét phương trình vi phân sau trong R
av’ =ar, l>0
Nghiém a(t) véi x(lo) = 29 cho bởi công thức
a(t) = ape’), £ > to
Néu a < 0 thì với mỗi ¢ > 0, to € Ry chon sé 6 = € > 0 khi đó với bất kỳ nghiệm z = z(/) thoả mãn ||>(o)|| < ä thi ||z()|| = |Jaoe*’—'|| <
|lzo|| < ở = e với mọi £ > fạ Vậy hệ ổn định đều
Vay a < 0 thì hệ ổn định, mặt khác jim lz(/)|| = 0 nên hệ ổn định tiệm
Trang 71.1.6 Bé dé Gronwall-Bellman ([3]) Gid si ham lién tuc duong u(t) trén (a;b) va uới mợi giá trit,s € (a;b) thod man bat dang thitc tich phan
u(t) <u(s) + | f(ts)u(t)ldty],
trong dé f(t) la ham sé thuc liên tục va không âm trên (a;b)
Khu đó, uới a < tạ S t < b đánh giá sau đâu được thoả mãn
— f(h)dh J f(h)dh
w(fo)e *° < u(t) < ulto)ee
1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
x = A(l)r + f(t) (1.3)
a = A()*#, (1.4)
6 day A(t) 14 ma tran hàm liên tuc trén R,, ham f : Ry — R” lién tuc trén R,
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) và hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.4)
1.2.1 Định nghĩa ({3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được
gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm # = #(/) của nó ổn định
1.2.2 Định nghĩa ({3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm # = #(f) của nó ổn định đều
1.2.3 Định nghĩa ([3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm # = (1) của nó ổn định tiệm
cận
1.2.4 Định lý ([3]) Điều kiện cần uà đú để hệ phương trành ti phân tuyến tinh (1.3) én dink vdi 86 hang tu do bat ky f(t) là nghiệm tầm thường
Trang 8Chứng mảnh Điều kiện cần: Gia stt 7 = x(t), (tpg < t < +00) IA mét nghiém
ổn định nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3) Diều đó có nghĩa là với mỗi e > 0 tồn tại ở > 0 sao cho với nghiệm bất kỳ = z(f) của (1.3) khi
(tg <t < +00) ta c6 bat dang thitc Ilu) = z)|| < s (15) khi llu(fo) = z(o)|| < (16) nhưng y(t) = y(t) — z0) (1.7)
là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) và ngược lại một nghiệm ?ÿ(/) có thể biểu diễn được dưới dạng(1.7) Như vậy các bất đẳng thức (1.5) và (1.6)tương đương với bất đẳng thức sau:
|lj(/)|| < e khi íạ < + < +œ, nếu ||ÿ(0o)|| < 6
Từ đó suy ra nghiệm tầm thường #o = 0 của hệ vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định theo Liapunov khi £ — +œ
Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường đo = 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định theo Liapunov khi £ — +oo Khi dé, néu =9) (lạ << +œ) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình vi phan tuyến tính thuần nhất sao cho
|lữo)|| < ð(e o)
thì |lỹ()|| < e khi fạ < + < +œ Như vậy, nếu z(/) là một nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3) và y(t) JA mot nghiệm bất kỳ của hệ đó thì
từ bất đẳng thức ||u(fo) — #(fo)|| < ổ suy ra bất đẳng thức
|lu() — z()|| < e khi tạ << +oœ
Điều đó có nghĩa là nghiệm a(t) én dinh L] 1.2.5 Định lý ([3]) Điều kiện cần uà đú để hệ phương trành ti phân tuyến tính (1.3) ổn định đều uới số hạng tự do bắt kỳ ƒ(L) là nghiệm lầm thường
% = 0, (to < t < +00); to € (a; +00)
Trang 91.2.6 Định lý ([3]) Diều kiện cần uà đú để hệ phương trành ơi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận uới số hạng tự do bất kỳ ƒ(t) là nghiệm tầm thường
% = 0, (lo << +00); lo € (a; +00)
của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ốn định tiệm cận
Việc chứng minh các định lý này, hoàn toàn tương tự như chứng minh định lý trên
1.2.7 Hệ quả ([3|) Hệ phương trầnh ti phân tuyến tính ổn định khi it ra một nghiệm của nó ổn định uà không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nghiệm không ổn định
1.2.8 Hệ quả ([3]) Hệ phương trùnh tuyến tính ổn định khi uà chỉ khá hệ
phương trành ui phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định
1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
1.3.1 Định lý ([H|) Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định khi
uà chỉ khả mỗi mmột nghiệm + = x(t), (a < to <t < +00) của hệ đó bị chặn trén mia truc ty <t < +00
Chứng tránh Điều kiện đủ: Giả sử mỗi một nghiệm của (1.4) là bị chặn
trên [fo;+oe), gọi X(f) = [z;;()} là ma trận cơ bản của hệ (1.4) chuẩn hóa tai to (X(to) = 1) Khi đó mỗi một hàm z;;(f) bị chặn trên [fạ; ©) nén ||X(t)|| < M, t € [ia;o) trong đó M là một hằng số dương Như
đã biết mỗi nghiệm # = z(/) của hệ (1.4) đều có thể biểu diễn dạng tích
x(t) = X(t) (to)
Với bất kỳ số e > 0 cho truéc ta chon 6 = 7, khi d6 rd rang néu
|lz(fo)|[ < 2 thì ||+z(#2)|| < |IX(2|I.|l+(to)|| < e, £ © [to; 00), Như vậy nghiệm x = 0 của hệ (1.4) ổn định Vậy theo định lý (1.2.4) hệ (1.4) là ổn định
Diều kiện cần: Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm z(/) của hệ (1.4) không bị chặn trên [fo; +o©), z(fo) # 0 vì z(/) không phải nghiệm tầm thường của hệ (1.4) Do nghiệm + = 0 của hệ (1.4) ổn định nên với mỗi e > 0, tồn tại
ð >0 sao cho mọi nghiệm #(/) của hệ (1.4) mà |#(/o)|| < ô thì ||z()|| < s, t € [to;00) Xét nghiém x(t) = ment của hệ (1.4) có ||z(fo)|| < ở nhưng không bị chặn, tức là không thỏa mãn ||z()|| < 2, £ € [fa;oo) Diều này
Trang 101.3.2 Dinh ly ([1]) Hé phuong trinh vi phan tuyén tinh thuan nhat (1.4) ổn định tiệm cận khi uà chỉ khi tất cả các nghiệm + = #(†) của nó dần tới không kh¿ t — +00, túc là lim a(t) =0 (1.8) t>+00 Chitng minh Diéu kién di: Gia stt nghiém a(t) tuỳ ý của hệ (1.4) thỏa mãn lim a(t) =0 t++00
Khi d6 a(t) bị chăn Vì vậy theo định lý (1.3.1) hệ (1.4) ổn định Kết hợp với hệ thức (1.8) suy ra z() ổn định tiệm cận Vậy hệ (1.4) ổn định tiệm
cận
Điều kiện cần: Vì hệ (1.4) ổn định tiệm cận nên với nghiệm bất kỳ y(t)
của hệ này tồn tại A = A(fo) > 0 sao cho nếu ||/(o)||< A thì tim |ly(¢l| = 0 (1.9) Dat y(t) = #()zIztmy , khi đó ||y(fo)|| = Ậ$ < A nên ta có (1.9).Từ đó suy ra (1.8) LÌ 1.4 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ x = Ag, (1.10)
trong dé A = [a;,] 1A ma tran hang cd (n x n)
1.4.1 Dinh ly ([3]) Hé vi phan tuyén tinh thuan nhất (1.10)uới ma trận
hang A 6n dinh khi va chi khi tat cả các nghiệm đặc trưng À; = À¡(A) của A đều có phần thực không dương
lteÀ;(A) <0 (7 = 1.2 ,n)
va các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có tước cơ bản
đơn (kúc là nó ứng uới các ô Joocdan chỉ có một phân tủ)
1.4.2 Định lý (3|) Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10) uới ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi uà chỉ khi tắt cả các nghiệm đặc trưng À¡ = À;(A) của A đều có phần thục âm, túc là
Trang 111.4.3 Ví dụ Xét tính ổn định của hệ
ta thay
Vậy giá tri riéng cua A lA Ay = —1 47, Ag = —1—i nén Red 2 < 0 Hé ổn định tiệm cận
Trang 12CHUONG 2
TÍNH ¿- BỊ CHẶN VÀ TÍNH ¿-ƠN ĐỊNH CUA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
2.1 Tính —bị chặn của hệ phương trình vi phân tuyến tính R* là không gian Eucli ø—chiều Chuẩn của ø = (#1.3, , Xn)? được xác định ||z|| = max {|#| |2a| , |#»|} Ma trận thực A cỡ n xn véi chuẩn
|A] = supjejj<i ||A2'l]
Cho w; : Ry > (0;00) , i= 1,2, ,n 1& cc ham lién tuc va wv = diag{yi, H2, Ủa}
Nhận thấy ma trận ¿(/) là ma trận khả nghịch với moi ¢ > 0
2.1.1 Dịnh nghĩa ([7]) Hàm ¿ : R; —› R*" được gọi là —bị chặn trên R, néu w(t)y(t) bị chặn trên R
2.1.2 Chú ý Khi |¿(1)| < e< œ và ló~!(9)| << œ với 0 << œ thì hầm #(/) bị chặn R, tương đương với z(£) là w—bi chan trén R,
2.1.3 Định nghĩa ([7]) Hàm ¿ : R, —› R” được gọi là ¿—khả tích Lobe trên R, nếu ¿(/) đo được và (/)¿(1) khả tích Lơbe trên R¿
Xét hệ phương trình vi phần tuyến tính
x = A(t)x + f(t) (2.1)
với hàm f 1a w—kha tich Lobe trén R,
Cho A(l) lA ma trận hàm vuông cấp n liên tục trên R„ và phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là
y! = A(t)y (2.2)
Ký hiệu Y (0) là ma trận cơ bản của (2.2) chuẩn hóa tại 0 (Y (0) = 1;)
Trang 13Ky hiéu X_ 1a mét khong gian con cia R” sao cho X;@ Xo = R” Giả sử Ạ,ƒ› là các phép chiếu tudng ting cia R” lén X1, Xo ttic IA
P? = P,, P3? = Po, Im P, = Xi, Im Py = Xo
2.1.4 Chi y Khi thay R, bdi R_ trong các định nghĩa (2.1.1) và định
nghĩa (2.1.3), ta có các khái niệm ¿j— bị chặn trên R_ và ¿— khả tích Lơbe trên R_ của hàm y(t)
2.1.5 Bồ đề Massera va Schaffer ([5]) Cho h(t) la ham không âm, khả tích địa phương sao cho i+1 | h(s)ds < é, uới mợi t € R Nếu 0 > 0 thà uới mọi t € TR, Ựự c#S=!h(s)ds < c[1 — e “T1, (2.3) t [ - 0ữ=°9p(s)ds < c[L— e T1, (2.4) JF —©© Chting minh Ta sé chttng minh (2.3), còn chứng mình (2.4) tương tu Từ i+m+1 pet+m-+1 / i eh (s)ds <| t c 00192 h(s)ds Ji+m +m t+m4+1 — / eam h(s ›)Ẳ# < —0m t +m kéo theo % 9° †+m+l / e889 h(s)ds = >| (S“Oh(s)ds <e > eo = fle t m=0 t 9m m=0 L]
2.1.6 Dinh ly Banach ([2]) Néu T la mot song ứnh tuyến tính liên tục
ctia khong gian Banach X lên khéng gian Banach Y, thi todn tử ngược TT lién tuc
Trang 14nhất một nghiệm tÙ— bị chặn trén Ry khi va chi khi cé hang sé duong K sao cho JŒ)Y()PAY}(s)¿'{s) l¿@)Y(0)PạY~1(s)¿~1(s) sSt; , ĐỚI < t<s (2.5) |<kK 0< |< K, vid< Chitng minh Diéu kién can: Dat: Cy = {7 :R, > R": @ la ¿—bị chặn và liên tục trên R,}, B=z:R — R" :z là ¿—khả tích Lơbe trên R.„},
D={r:R, >R": z là liên tục tuyệt đối trên đoạn J C IR,, ¿—bị chặn
trén R,, 7(0) € Xa, #{) — A()z() thuộc B}
Ta nhận thấy Œ„ là không gian Banach với chuẩn llz|lc, = sup |l¿()>0)|l: t>0 và nhận thấy là không gian Banach với chuẩn i= f |Iu(+)z()|ld Tạp D là không gian tuyến tính với chuẩn llr|lo = sup|J¿()z6)|| >0 + |lz' — 40)z|ls
Ta chứng mình (7D, ||.|Íp) là khơng gian Banach Cho {#„}„, ø = 1.2,
là dãy cơ bản trong / thì {z„}„ là dãy co ban trong Œ„ Vì vậy, tồn tại hàm liên tục và bi chan 2 : R, — R” sao cho
lim 7(t)z,(t) = a(t) déu trén R, T—Ằ% Dat Z() = ~!{)#() e Œ„ Từ lIlz„) = #0)|| < l¿ˆ*(9I.Il¿0)z„() = z(Đ|l: suy ra lim #z(/) = #(/) đều trên mọi tập compact của IR Vậy (0) € Xa, noo
Xét dãy, {ƒ„()}.n = 1,2, với ƒ„() = ý()„() — A()#z„(1)) là dãy cơ bản trong L, với L là không gian Banach của tất cả các hàm vectơ khả tích Lơbe trên IR, với chuẩn
Trang 15Vì vậy tồn tại hàm ƒ trong L sao cho tim Í li) = f0)|lM =0 0 Dat ƒ(1) =o (I) f()), do dé (I) € B Cố định ¿ > 0 ta có #( — #(0) = lim (2,,(¢) — 2,,(0)) no t = lim J esos 0 t = lim [ie — A(s)a,(s)) + A(s)an(s)]ds noo 0 t = lim [te6)06) — f(s)] + f(s) + A(s)an(s)}ds noo 0 = |6) + AGs)a(s)las 0
Vay 2'(t) — A(t)z(t) = f(t) € B va Z() là liên tục tuyệt đối trên đoạn J CR, nén 2(t) € D Từ lim #()z„(0) = ¿()#() đều trên R và œ lim f Il60)(02(9— A()32(9) — (#0) — A()8(0)))||dt =0, No 0 Vi vay jim |l>z„ — #|lb = 0 Vay (D,||.||p) 1& không gian Banach Ta xét ánh xạ T:D—HB, Tz=x+“— A(t)z
Ta nhận thấy, 7 là tuyến tính và bị chặn, với ||[T|| < 1 Cho 7+ = 0 thì x’ = A(f)#, œ€ D Diều này chứng tổ z là nghiệm —bị chặn của (2.2)
Ta có #(0) € Xin X¿ = {0} Vậy # = 0 nên toán tử 7' là một-một
Cho f € B va cho x(t) 1a nghiém w—bi chặn trên IR„ của hệ (2.1) Cho
z(t) la nghiém cua bai toan Cauchy
Trang 16Cho nên x(t) — z(t) IA nghiệm của (2.2) với 7›(z(0) — z(0)) = 0, ở đây (0) — z(0) € X¡ Vì vậy a(t) — z(t) la w—bi chan trén R, nén z(t) la ¿—bị
chan trén R, Ta cé z(t) € D va Tz = ƒ Suy ra T là toàn ánh Theo định lý Banach thì 7! cũng là toán tử bị chặn và tồn tại hằng số K = |[T~!||—1
sao cho với ƒ € B va véi nghiém x € /) của hệ (2.1) thi ap|lo()z(0|1< Kf wos (2.6) 0 ?>0 Với s >0, >0,£€R", xét hàm ƒ :R, — R", a2/¿—l At 5 “ltée vdis<t<st+d [= 0 t¢ [s;5+ 6] - thi f € B va ||f||p = o||é|| Khi dé nghiém 2 € D tuong ting 1a s+ổ a= J 60/09 u)du, ỏ đây Y()PBY T14 với Su <Í cứ) — {YPY Tú) — v4i0<u
-Y(Œ)HĐY~"'(u) với <t<u
Ta nhận thấy Œ liên tục đường thang t = u, std llu() r0JI=ll Ƒ #0 ()6(1.w)6='(w)&#u|| < KỊIills = Kl Suy ra llt()Gứ s)#"ˆ(s)£|| < BIE Vay lW(Q)G(t, su71(s)| < K Dó là điều phải chứng minh Điều kiện đủ: Xét hàm r % a(t) = | YŒ)P\Y~}{s)ƒ(s)ds — / Y(t) P2Y \(s)f(s)ds, t > 0 0 t
ở đây f la ham w—kha tich Lobe trén R,, nhận thay x(t) là nghiệm y—bi
Trang 17Từ định lý (2.1.7) ta thu được kết quả sau:
2.1.8 Dinh ly Gia su A(t) là ma tran thuc cén xn én tuc theot € R_ Khi d6 vdi mỗi hàm f la w—kha tich Lobe trén R_ hé (2.1) có ít nhất một nghiém y)—bi chan trén R_ khi va chi khi cé hang sé duong K sao cho
l¿Œ)Y@Œ)DY~}{s)¿~'{s)|< K, tới s <t <0; n
l¿Œ)Y@Œ)PBY}{s)# †{(s)|< K, tới! < s <0 (2-7)
Chiing minh Chiing minh dinh ly nay hoan toàn tương tự như chứng minh trên Khi ta thay P, bdi —P), thay —oo bdi +oœ O 2.1.9 Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.2) với
a 0
Aw =(6 4):
6 day a,b ER
Ma trận cơ bản của hệ phương trình (2.2) chuẩn hoá tại 0 Xét hàm Với các phép chiêu 10 0 0 " =( 5) r= (j t) Ta có vorornyowte)=(% g) wEOY PY) %)= (9 2): Vay WY PYM s)eUs)] <1 WY PYM 9)Us)] <1
Với hàm f(t) = (et e029? khi dé w(t VC )= (1,e “ khả tích Lơbe trên R, nên ƒ là ¿—khả tích Lơbe trên R¿
Trang 182.1.10 Dinh ly ([7]) Gia sz
(1) Ma tran co ban Y(t) cuia (9.2) chuẩn hóa tại 0 thoả mãn điều kiện (a) lim W(L)Y (LP, = 0;
(HwWOYHPY "s)v-(s)| < K, vdi0<s <t; |¿()Y(@)ĐY !(s)¿ 1(s)|< K, tới St < s,
ở đây K hằng số dương va P,, P› là các phép chiếu nói trên (2) Ham f : Ry, > R” la —kha tich Lobe trén Ry b¿ chặn x(t) của (2.1) thỏa mãn Khi d6 véi moi nghiém Ủ lim |l¿(0)z(9)||= 0 Chứng minh Cho #(£) là nghiệm —bị chăn của (2.1) Nên tồn tại hằng M véi moi t > 0 số dugng M sao cho ||(t)a(t)|| < Xét ham y(t) = xí)~Y()Pz(0)= [ YO) “s)fls)do+ [YO PY As) 0 t với mọi t > 0
Ta nhận thấy (0) là nghiệm — bị chặn của (2.2), (0) € Xị Mặt khác,
Trang 19Với £ > ta ta có lit()z(0II< lø(ĐY ni [ru (0)P,|I|Y~1(s)/()|ds + Í lo)Y()P.Y~!@)ø=16)lle(s)/(6)llds + / lu@)Y(ĐP2Y—'(s)0—1(s)LIle(s)/()llds < Ii@9Y0)Pillllst0 ihe freon s)|lds 4 J ear s)||ds <e Vay jim |l¿()+(2)|| = 0 Đó là điều phải chứng minh —oœ
2.1.11 Chú ý ([7|) Điều kiện ƒ là —khả tích Lơbe trên R, không thé
thay thế bởi các điều kiện khác nhẹ hơn chang hạn ƒ là —bị chặn trên R, Ngay cả ƒ là hàm thỏa mãn điều kiện
im |Ie(0)/0)J|=0
Ví dụ sau sẽ mình hoạ cho nhận xét trên:
Trang 20Giả thiết của định lý thoả mãn với K = 1 Khi d6, ta lay f(t) =
(JE+1, (t+1)-?)? thi jm |l¿(¿)ƒ()|| = 0 Mặt khác nghiệm hệ (2.1) là
Nghiệm này là không j—bị chặn trén R, 2.1.13 Chú ý ([7]) Xét hàm ƒŒ)=(Œ+1) E+ YY [von s)||ds = 1 Mặt khác nghiệm của hệ (3) la + (ý n(t+)t+a a(t) = er +1) ?+ 2)
Ta nhận thấy nghiệm #(/) là ¿— bị chặn trên R„ nếu và chỉ nếu cạ = 0 Trong trường hợp này thì jim |l¿()z(9|| = 0
—>%
Ta có
Xét trường hợp f la ham w—bi chặn trén R,
2.1.14 Dinh ly ([4]) Gia sté ma tran co ban Y(t) chuan hod tai 0 cia hé (2.2) thoả mãn
Il¿()Y ()Y1(s)¿'(s)||< Ke2f~®, sới t 3 s 3 0,
trong dé K, y là các hằng số đương
Khi đó uới mỗi hàm ƒ là ¿— bị chặn trên lR, hệ (2.1) có ít nhất một nghiệm
—b¿ chặn trên Ñ„ nếu uà chỉ nếu có các hằng số duong K, va a sao cho
|¿Œ)Y()DBY1(s)¿ 1{s)|< Kie"°H~9, uới 0 € s <
@)Y()DY}(s)¿-1{(s)| < Kie °6-Đ, wi O<t<s
Trang 21véit > 0 Ta chứng minh hàm Z(£) 14 bi chin R, That vay, do f 1a w—bi chan trén R, nén ta cé t1 / ll¿(s)ƒ(s)l|ds < e, với £ 5 0 i thì từ bổ đề (2.1 OU ), ta có t e~°*9|lg(s)ƒ(s)||ds < c(1 — e~2)"” OO MMi) (s)hds < el =") oo ( a Nên hàm #(t) 1a Dat ¡ chặn trén R, a(t) = b1(H)#(t) = | Y()P,Y~'{s)ƒ(s)ds — | ỦY()P;Y~)ƒ(s)ds thì z(2) là /-bị chặn và liên tục trên R, oo
r'(t) = aot f YW)P.Y')/6)4 = ƒ Y()PsY~ˆ(s)ƒ(s)ds]
FY (WAY UFO) FY OPY MOK
= A0)z() + /0)
nên #(/) là nghiệm của hệ (2.1) Suy ra điều kiện đú được chứng minh Điều kiện cần: Đặt
Œụ = {2 :]R, — IR”;z là ¿-bị chặn và liên tục trên R,} Nhận thấy C„ là không gian Banach với chuẩn
llzllc, = sup ll¿)+0)|: t>0
Ta chứng mình hệ (2.1) có duy nhất nghiệm 2(¢) 1a w-bi chan va x(0) €
Xa với ƒ € Œ„ Ngoài ra tồn tại hằng số dương ? không phụ thuộc vào ƒ sao cho
Ia" œ„ ST||ƒlc,- (2.9) Thật vậy, giả sử ƒ € C„ Từ giả thiết tồn tại nghiệm z() là ¿-bị chặn
của hệ (2.1) Giả sử z(f) là nghiệm của bài toán Cauchy
Trang 22Nghiém y(t) 1A w-bi chặn xác dinh trén X, Nhung z = 2 + y 1a nghiém y-bi chan của hệ (2.1) với
Pịiz(0) = Pz(0) — P?z(0) = 0
Vậy z(0) € X¿ Nên nghiệm z(f) là ¿-bị chặn của hệ (2.1) với z(0) € Xa Ta chứng mình tính duy nhất Cho z(/) và (0) là nghiệm #-bị chăn của
hệ (2.1) với #(0) € X2,y(0) € Xo Vay x — y 1a nghiệm -bị chặn của hệ
(2.2) và z(0) — (0) € Xa Nhưng z(0) — (0) € Ä Ta có (0) = (0), vậy
#= U
Tà chứng mình bất đẳng thức (2.9) Xét ánh xạ 7 : Œụ — Cụ được xác
định 7ƒ = z, với # là nghiệm /-bị chặn của hệ (2.1) với z(0) € Xa Ta chứng minh 7' liên tục Thật vậy
Giả sử z„ — Tƒ,, ƒ„ — ƒ và z„ — x Cô định í(, ta có
tim | | [f(s) = ƒ(5)}l
noo
< im, [ lớ"'@)JIll(s)f2(s) — 8(6) (s)|lds noo (2.10)
< lim If — fle sự lẻ"1()|ds = 0 noo 0
Mat khac
lim || | A(s)[an(s) — #(5)]4s|
< Jim / IA(s)~!(s)|ll0(s)+„(s) — 0(s)z(6)|lds — (A1)
Trang 23Vay #(£) là nghiệm ctia (2.1) Ti a(t) la y-bi chan trén R, va x(0) = lim z„(0) € Xa œ=—>% Ta có + = T/ Theo định lý đồ thị đóng nên 7 liên tục Suy ra (2.9) được chứng minh Đặt G(1.s) = Y()ĐYTl(s) với0<s<t —Y()ĐaY~l(s) với )D<t<s Néu f € Cy, f(t) =0 véit > t > 0, thi th - #(#) = G(.s)ƒ(s)ds (2.12) /0 là nghiệm của hệ (2.1) Mặt khác # € Cụ, từ
ú(@)#@) = [ vorwry (s)u1(s)ub(s)f(s)ds, véi t > tị Lại có, #(0) = —Ï›, % Y~!(s)ƒ(s)ds e X; Vậy
l#llc, < rl/llc, (2.13)
Cho z là nghiệm không tầm thường của hệ (2.2) và cho a(/) là hàm thực lién tuc sao cho 0 < a(t) < 1 véi moi £ >0, a(t) = 0 với Lt > tg, a(t) = 1
với 0 <ty <t<t) < ty Dat
FO =orO|leOrO|l",
thi fe 7 Từ (2.12) và (2.13), ta có
| , #(G(@,5)#(s)|l0(s)#(s)|| ˆ4s|| <r, Veit >to >0 (2.14)
Từ tính liên tục thì (2.14) vẫn đúng trong trường hdp t = s
Trang 24uy
wor ors [ llus(u)Y (wEl| du <r, voi0 St < hy (2.16)
t
Do về trái của (2.16) liên tục theo í¡ Cho f¡ — eo nên
wor rel [hwy wei-tae <r (2.17) Với 1 < s ta có [ e0YG)P| tá < [T lle)Y()B| 4 a8) Kết hợp bất đẳng thức (2.18) với (2.17) ta nhận được OY WPael| < rf | "`" Js Dặt £ = Y~!(s)#@~!{s)u thì —1 I¿Œ)Y()ĐY~{s)¿{(s)u| < 4Í lú(0)Y(w)Y~(s)07'(s)u| lau] 8 % " <r [atu | cụ, = +rK|ul Jay l¿Œ)Y(Œ)DY~}{s)¿~'{s)| < +rK, với ! < s Với £ > s ta có % [ lu¿(¿)Y (u) PoE || tdu < / lu¿(¿)Y (u) ‡|[ˆ “du (2.19) 8 Kết hợp bất đẳng thức (2.19) với (2.17) ta nhận được
wor eral <r{ f° joy eltdu ` t
Trang 25Vay lW()Y (PY "(su "(s)| < yrKe™™), voit > s Vi vay Wit) ¥ L)PLY"(s)b1(s)| < (1+ yr) Ke), véit > s Tương tự, từ bất đẳng thức (2.15), ta có Il¿Œ)Y0)ĐY~'(s)¿~'{s)| < +rK[L — e 2=], với t > s, sử dụng bất đẳng thức này với f — s > h, trong đó 1+2 h= 7 Nog ( + *) 1+ r Véi t —s < h, ta cé IớŒ)Y@Œ)BY{(s)/ †(s)| < e(1 + 2yr)K, voi moi t > s Vay
Wor) )Y(ĐY~'(s)¿=}{s)| < (1+ 2 )K c '~9 với 0<&s&<t, OY ORY) (s)| < œ vr Ke" ¬ục * với O<t<s 2.1.15 Chú ý Hoàn toàn tương tự ta có định lý sau:
2.1.16 Định lý Giả sử ma trận cơ bản Y (I) chuẩn hoá tại 0 của hệ (2.2) thoa man
OY OY U(sv-\(s)[]| < Ke, vdis <4 <0
trong dé K, y là các hằng số đương
Khi đó uới mỗi hừm ƒ là ¿T— bị chặn trên R_ hệ (2.1) có ít nhất một nghiệm —b¿ chặn trên l_ nếu uà chủ nếu có các hằng số dương K\ tà œ sao cho
l(t) Y(t) PaY"(s)u1(s)| < Kye"), udi s <4 <0; _ 2.20 lilt) Y(t) PLY 1(s)u1(s)| < Kye), vdi tt S s <0 (2.20)
Trang 26Ma trận cơ bản của phương trình (2.2) chuẩn hóa tại 0 là Xét hàm Ta có , z—1/232j—1 et 0 W(DY (HY “(s)"(s) = 0 tes]: Vay lléứ)YŒ)Y~*(s)¿~'{(s)||< et=9, Với các phép chiếu 10 0 0 " =[ 5) r= (4 t): “Ta có " veor~ory oe) =(% 9) veov(ory (ore) = (N 25): Vay WY ORY Us)e-Us)] < l0)Y(0)P;Y~!@)6—1(4)| < e0 s( Với hàm ƒ(/) = (e;e-”)T ta có |l¿(Œ) chặn trén R, Vay hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1) đã cho là ¿—bị chặn trên R¿ t) || < 1 nén ƒ là hàm y—bi 2.1.18 Dinh ly ((9]) Gia sd:
1 Nghiém co bén chuan hod tai 0 ctia hé (2.2) thod man diéu kién:
lW(t)Y (PLY '(s)ut(s)| < Ke"), vi 0S 8 <t; \u(t)Y (t) oY 1(s)u1(s)| < Kee), vehi OX t <5,
Trang 272 Ham lién tuc va — bị chặn ƒ :IR — R" thoả man một trong các điều kién sau: a, File (t)||dt hoi tu t+1 b, lim f |ke(s)f(s)||ds = 0 Khi dé uới mọi nghiệm a(t) la —b‡ chăn của hệ (2.1) thi jim |l¿()z()|| = 0
Chitng minh Gia sit ham ƒ thoả mãn điều kiện b của giả thiết 2, nên tồn
tại hằng số dương C sao cho
[te 5)||ds < Œ, với £ > 0
Gia stt x(t) lA w—bi chan nghiệm của (2.1) Tồn tại hằng số dương Àƒ
Trang 28Nén tich phan |Y00BY '6)/6) hội tụ t Ta nhận thay ham y(t) kha vi lién tuc trén Ry V6i t > 0 ta có #0) =#'0)= Y'0)Pa(0) ~ YO [rw PY s)J(s)ds -YORYOFO Y0 [ nY "6 ¬ s)ds — Y()PsY~'()ƒ0) = A()z() + ƒ(@) — A@)Y()hz(0 (t)Y (t) ) f rv) 1 ds 0 + A(t)Y (t) / PoY~"(s)f(s)ds —¥(t)(Pi + PY "(t)F() 1 = A(t)y (0)
Vay ham y(t) la nghiém cia hệ phương trình (2.2)
Trang 29Như vậy, hàm z(£) là nghiệm ¿¿— bị chặn của hệ phương trình tuyến tính
(2.2)
Mặt khác, Pig(0) = 0 Ta c6 y(t) = ¥(t)y(0) = ¥ (t)P.y(0)
Trang 30Vay lim |le()z()||= 0,
Giả sử ƒ thỏa mãn điều kiện a của giả thiết 2, áp dụng định lý (2.1.10)
Do e~? < 1 với œ > 0 nên từ giả thiết 1 của định lý suy ra giả thiết b của định lý (2.1.10) thỏa mãn
Mặt khác từ |¿j()Y()PBÄY~!(s)¿~!(s)| < Ke~*E~* với 0 < s <f suy
ra |U()Y()P| < Ke~°*f=*|Y(s)ú(s)| với 0 < s < f Cho £ — o ta
có |ý(Œ)Y()P| — 0 suy ra giả thiết a của định lý (2.1.10) thoả mãn Điều kiện 2.a+ của định lý chính là điều kiện 2 của định lý (2.1.10) Nên
jim |l¿()z(#)|| = 0 Oo
2.1.19 Chu y ([9]) Néu ham ƒ không thoả mãn điều kiện 2 của định lý
thì
Him [WOx(OIl 40
Điều đó có thể thấy qua ví dụ sau:
Trang 312.2 Tính Y:—6n định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét tính ổn định của hệ t x = A(# + / I(t, s,a(s))ds (2.21) 0 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng y' = A(t)y (2.22)
2.2.1 Dinh nghia ((8]) Nghiệm tầm thường X(¿) =0, (0 < £ < oo) của
hệ phương trình (2.21) được gọi là ý—ổn định trên R„ nếu với mọi e > 0, với mọi lo € Ry ton bại số ổ = ổ(c,fo) > 0 sao cho tất cả các nghiệm
#() của hệ (2.21) thoả mãn điều kiện ||l¿(o)#(fo)|| < ä thì xác định trong khoảng [ío, ) và |l¿(1)z(Đ|| < e với mọi t > to
Nghiệm tầm thường X (/) = 0 của phương trình (2.21) được gọi là ¿—~ổn định đều trên IR, nếu —ổn định trên IR„ và số ở không phụ thuộc vào íạ 2.2.2 Chú ý Rõ ràng khái niệm /~ổn định là tổng quát hơn khái niệm ổn định, vì khi chọn hàm # là hàm hằng nhận giá trị J, (ma trận đơn vị cấp m) thì khi đó khái niệm ¿ổn định là khái niệm ổn định
2.2.3 Định lý ([S]) Cho Y(f) là ma trận cơ bản của hệ (2.22) chuẩn hóa tại 0 Thà
a,Nghiém tam thường X (t) = 0 của hệ (2.22) là )—ốn định trên Ñ, nếu
uà chỉ nếu tồn tại hằng số đương K sao cho |È()Y(L| < K tưới mợi
t>0
b,Nghiệm tam thường X (L) = 0 của hệ (2.22) la y—6n định đều trên Ry nếu tà chỉ nếu tồn tại hằng số đương FÍ sao cho |¿(1)Y(1)Y~}{(s}¿~1{s)| K vi moeid<s<t<o
Chitng minh Diéu kién cần: Nghiệm của hệ (2.22) lấy giá trị € Ñ" với
a >0 là (0) = Y()Y~!{a)w với ! > 0
Giả sử nghiệm tầm thường của hệ (2.22) là ¿ổn định trên IR„ Thì với é = 1 va ty = 0, tén tai 0 > 0 sao cho nghiệm (/) của (2.22) thoả mãn |l¿(0)z(0)|| < ä thì thoả mãn
Ilúứ)Y)(¿()Y(0))“*¿(0)z(0)|| < 1 với £ >0
Trang 32Cho u € R” sao cho |lu|| < 1 Néu lay LO) = 44-1(0)u thi ta c6 |l¿(0)z(0)|| < ả Vậy OY OO )Y (0))-*$ul| < 1 véi t > 0 Cho nén
l¿()Y (0)(0(0)Y(0))=1| < $ với £ >0 Vậy |)Y()| < K với t >0,
Diều kiện đủ: Giả sử |¿ (i )Y(t)| < K véit > 0 Véi moi e > 0 và với mọi
to € Ry, cho d(¢, to) = eK | |(u (to) ¥ (to)) 1-1 Khi đó |ab(to) ¥ (to)| < 6 va v6i moi t > lo ta cé
IlúŒ)w)l| = |ltứ)Y Œ)(¿Œø)Y (6))°¿()w06)|| < s:
Vậy nghiệm của hệ (2.22) là ¿j—ổn định trên R Mệnh đề (b) được chứng mình tương tự LÌ 2.2.4 Ví dụ ([8]) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.22) với 1 -l ° 4 Na 3) thi e'sint e'cost 0 Y(t)= | —e'cost etsint 0 0 0 c7 là ma trận cơ bản của hệ (2.22) Bởi vì Y(/) là không bị chặn trên lR¿; nên theo định lý (1.3.1) Hệ (2.22) không ổn định xe e? 0 0 w(t) = Ñ _† 2 | Lo ‘0 er) thì với mọi Ö < s < f< œ ta có cos(E— s) —sin(f— s) 0Ö w(t)Y (t)Y 1(s)u1(s) = [sin(f—s) cos(t—s) 0 0 0 1
Nên |l¿()Y()Y~!{s)¿~}1{s)|| < 1 theo định lý (2.2.3) Hệ (2.22) là —
định đều trên IR
2.2.5 Định lý (|8]) Cho Y(Œ) là ma trận cơ bản của (2.22) chuẩn hóa tại
Trang 33(i) ee <M, véi moi t > 0 † 9ƒ v(s)|Y~1(s)ý~!s)¿()Y(Đ|Pds < AM, tới mợi t >0 0 thi hé Ẳ 22) là ¿— ổn định trên ïÑ Chứng mnh Giả sử định lý thỏa mãn (1), xét p = 1 Đặt j() = |ú()Y@)[-1 với | > 0 Từ đồng nhất thức t t ( / £(s)w(s)ds)0()Y() = / £(s)0()Y (QY (syd) (s)¥ (s)q(s)ds 0 0 Nên ta có ( eis)a(s)as) wt ¥ 0 < j £(s)ld()Y()Y~1(s)#=1(4)|.lp(s)Y (s)|q(s)ds 0 = J z)l0)Y@Y“'(s)”16)lds 0 t Khi đó hàm vô hướng A(t) = f y(s)q(s)ds théa man bat dang thtic 0 h(t)q {(t) < M, với t > 0 Ta cé h'(t) = y(t)q(t) > M~ty(t)h(t) véi t > 0 Cho nên h() >b(H)ec ` vait>h>0 Vì vậy ~Af—! ƒ 2(s)ds lú()Y()|=47!10)< Mh-l(h)ec * ,vớt>h >0
Trang 34X(f) =0 của hệ (2.22) là j—ốn định trên R, Vậy hệ (2.22) là ý¿—~ốn định
trên IR
Dinh lý được chứng minh trong trường hợp này
Trang 35Bởi vì l¿()Y Œ)| là hàm liên tục trén (0; 1] nén tén tai hang số dương K sao cho |j(1)Y()| < K với mọi / > 0, theo định lý (2.2.3) Nghiệm tầm thường X(f) = 0 của hệ (2.22) là j—ổn định trên R, Vậy hệ (2.22) là j—ốn định trên R¿ Giả sử định lý thỏa mãn điều kiện (//) thì chứng minh hoàn toàn tương tự như trên L] Xét hệ phương trình #' = (A() + B())z (2.23)
và hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần tương ứng (2.22) Dịnh lý sau
đây là mối liên hệ giữa tính j—ổn định (ổn định đều) của hệ (2.23) với tính ¿—ổn định (ổn định đều) của hệ (2.22)
2.2.6 Định lý (|S]) Giá sử B() là ma trận hàm cỡ n x m: liên tục tới
tL> 0 Nếu hệ phương trành ơi phân tuyến tính (2.22) là —ốn định đều
trén Ry va
[wba t@ld < +00
0
thi hé (2.23) cting w—Oon dinh déu trén Ry
Trang 36vdi t > ty > 0, Ap dung bo dé (1.1.6) Kf W()BUs)lds Ile()z(0)lI< KlloŒo)z0)lle 5 Vit > ty Dat L = ƒ l¿(Œ)B()¿~1(9)|dt, ta có 0
Ild(0)()l| < K|ld(Œo)#(o)||e“”, với mọi t > ty > 0
Với mọi £ > 0, với mọi íạ € ÏR, tồn tại số ð = ee KE > 0 sao cho
tất cả các nghiệm z(/) của hệ (2.23) thoả mãn điều kiện ||l¿(fo)#(o)|| < 6 thì xác định trong khoảng [/¿,) và |l¿()z(9||< K|l¿Œo)#(o)||eŸ" < z với mọi ứ > fọ, theo định nghĩa (2.2.1) nên nghiệm tầm thudng X(t) = 0
(0 <f< œ) của hệ phương trình (2.23) là ¿ổn định đều trên ïR
Vậy hệ (2.23) là ¿ổn định đều trên IR
O 2.2.7 Chú ý (8|) Nếu hệ (2.22) chỉ là —ốn định trên R, thì hệ (2.23)
không thể là j—ốn định trên R„
Ví dụ sau sẽ minh hoạ cho nhận xét trên:
2.2.8 Vi du ([8]) Cho a € R sao cho 1 < 2a << 1+e7" va cho a 0 A(t) = ( 0 sinln(t+1)+cosIn(t +1) — 2a) thi (+1) e 0 Y()= ( 0 cứ#1)[sinh een-4) là ma trận cơ bản của hệ (2.22) Cho m xà [ 0 WO = ( 0 i) 1 0 u(t)Y(t) = b ".—
Trang 37la w—6n dinh trén Ry Vé6i moi0 <s <t< om tacé leKOYOY WI = (5 grurser) véi f(t) = (f+ 1) sin In ( + 1) — 24t Nhan thay lim [f(tne* — 1) — f(tn — 1)] = 00, trong dé t, = c(nTÙ$ và — lực 7 a = arccos va
Vậy |ui(t)Y¥ (uw '(s)Y—1(s)| là không bị chặn với 0 < s < lt < 00, ti dinh ly (2.2.3) nén hé (2.22) la khong 7—6n dinh déu trén R, Lay 0 0 30) = («eo 0) thì eTsŒ#1) 0 Yi(Œ) = e(t+1)[sin In (t+1)—2a} cm cŒ#1)[sin H (I+1)—2a] 1 là ma trận cơ bản của hệ (2.23), ta có 1 0 vn) = e(¢+1)[sin In (t+-1)—2a] ‘f enssinins dg e(t+1)[sin In (t+1)—2a] 1
Trang 38Vay |w(t)Yi(t)| 1& không bi chan trén R, Nén theo dinh ly (2.2.3), nghiệm tầm thường X (/) = 0 của hệ (2.23) là không —ổn định trên IR
Vậy hệ (2.23) là không _-ốn định trên R
2.2.9 Chú ý Dịnh lý này không còn đúng nữa nếu thay điều kiện:
œ
| lớ(s)B(s)¿~'{s)|ds < +
0
bằng điều kiện (/)B()}¿~1!{0) — 0 khi £ — © Ví dụ sau đây mình hoạ cho nhận xét trên
2.2.10 Ví du ([8]) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.22) cho 0 1 mm 1 sin (+1) cos (+1) Y(t) = ( _._ớu _ (+1) cos (+1)—sin (+1) (+1) sỉn (+1)+cos (+1) thì (+1)? (+1)? là ma trận cơ bản của hệ (2.22) Cho ig) _ ft+1 0 ) = ( 0 bia): Ta có
Trang 39là ma trận cơ bản của hệ (2.23) nên sint cost cost —sint/~ 0)Ÿ0) = (+1) ( Vậy hệ (2.23) là không —ổn định (đều) trên R„ Mặt khác * | 0(s)B(s)¿~Ì{s)ds = +00 va im l¿Œ)B0@)¿"'(9)|=0 0 2.2.11 Dinh ly ([8]) Giá sở:
1 Ton tai ham yp: Ry — (0.00) va hang s6 duong M sao cho ma trén cd ban Y(t) ctia hé (2.22) chuan héa tai 0 thỏa mãn điều kiện
J eoOr Oreos <M, véi 0 Vi > 0
9 B(L) là ma trận hàm cðn x liên tục trên Ry sao cho sup£ˆ'())|¿)80)¿~*0)| t>0
là số đủ nhỏ
Thà hệ phương trành tuyến tính (2.23) là —ốn định trên R.,
Trang 40+ file (0Y()Y~1(s)07s)6(3)B(3)#7=1(s)0(s)#(3)|lds, với Ví > íọ Ta đặt b=sup¿ !()|lé@)B@)¿"1(@)|< AT}, >0 với 7' > ứạ và € [íạ 7] ta có IltŒ)z(ĐII < l¿@)Y)|.|Y~°0ø)¿~°0)| 0(/6)zu||+Mb sụp |le(f)#()l to<t<T Nén sụp |l#(0)#(0)||< (L— Mb)-"N|Y—* (to) (to) (to) oll toSt<T Vậy hệ (2.23) là g—~ổn dinh trén R,
2.2.12 Chú ý ([8]) Giả thiết của định lý
sup (OW OBOYE (WH) <M có thể thay bằng lim #ˆ”(0)|¿0)BŒ)#ˆ”()| = 0 Dịnh lý này không còn đúng nữa nếu thay giả thiết t J« (s)|W(QY (HY 1(s)u1(s)|ds < M, Vi > 0
bởi giả thiết hệ (2.22) 1a y—6n dinh (déu)trén R, Ví dụ sau đây mình hoạ cho nhận xét trên:
2.2.13 Vi du ([8]) Xét hệ phương trình tuyến tính (2.22) cho A(/) = Og