TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Mục lục Lời nói đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu nhiên . . . . . . 4 1.3 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Một vài kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên 14 2.1 Tính ổn định theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính không ổn định . 17 2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 p-ổn định mũ và q-ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính 34 3.1 Hệ một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 p-ổn định mũ và q-không ổn định mũ . . . . . . . . . . . 40 3.3 Ổn định đều theo nghĩa rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính với hệ số hằng . 53 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 i LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các phương trình vi phân được đặt nền móng bởi A. Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỉ XIX. Lý thuyết này phát triển mạnh kể từ đó và ngày càng được ứng dụng nhiều để phân tích các quá trình thực tiễn. Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Trần Quang Vinh, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên”, luận văn này nghiên cứu sự biến thiên của nghiệm của hệ phương trình vi phân thường với vế phải ngẫu nhiên. Cấu trúc của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này liệt kê các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa chuyển động Brown, tích phân ngẫu nhiên và một số tính chất của nó; khái niệm về quá trình Markov; khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên và công thức vi phân Itô; phát biểu một vài kết quả bổ trợ cho các nghiên cứu ở chương 2 và chương 3. Chương 2: Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Mục đích của chương này là nghiên cứu các loại ổn định của phương trình Itô: dX(t) = b(t, X)dt + k  r=1 σ r (t, X)dξ r (t). Ta giả sử rằng X(t), b(t, x) và σ r (t, x) là các vectơ trong R l , và ξ r (t) là quá trình Wiener độc lập. Hơn nữa, ta giả sử các hệ số của phương trình thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong mọi miền bị chặn của x, tức là: k  r=1 |σ r (t, x) −σ r (t, y)| + |b(t, x) −b(t, y)| < B|x −y|. Các định lý 2.1, 2.5 và 2.8 là sự khái quát hóa những hệ ngẫu nhiên của phương pháp Lyapunov thứ 2. Tất cả chúng đều yêu cầu điều kiện hàm 1 Lyapunov phải trơn đều theo t và x trong một lân cận của x = 0, có thể trừ ra tại điểm x = 0. Ở chương này, ta sẽ xét thêm tính ổn định theo xác suất theo nghĩa mạnh, chính xác là ta sẽ biểu diễn những điều kiện ổn định không chỉ cho trường hợp |X(t)| → 0 theo xác suất đều theo t, mà còn trường hợp sup t>0 |X(t)| → 0 theo xác suất khi |X(0)| → 0. Chương 3: Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này dành cho những nghiên cứu chi tiết về hệ tuyến tính. Trong chương này, ta sẽ chứng minh rằng tính ổn định hoặc không ổn định của hệ ngẫu nhiên tuyến tính với hệ số độc lập thời gian được xác định bởi dấu của kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên đã biết, phân phối dừng của một quá trình Markov đã biết trong không gian l-chiều. Kỳ vọng này sẽ bằng lim t→∞ ln |X(t)| t -là số mũ Lyapunov của hệ tuyến tính. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Quang Vinh, người đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ tác giả trong việc nắm bắt kiến thức cũng như trong việc định hình hoàn thiện bản luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán - tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình tác giả học tập tại khoa. Luận văn cũng được hoàn thành nhờ sự quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp cao học xác suất K20, mọi người đã luôn bên cạnh để động viên và cho tác giả những lời khuyên bổ ích. Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 2012 Học viên Lê Phương Thanh 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1. Cho T là 1 tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , X t là một biến ngẫu nhiên thì X = (X t , t ∈ T) được gọi là hàm ngẫu nhiên với tham biến t ∈ T . (i) Nếu T là tập đếm được thì X = (X t , t ∈ T ) được gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc. (ii) Nếu T là 1 khoảng của đường thẳng thực thì X = (X t , t ∈ T ) được gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. Định nghĩa 1.2. Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ∈ T) trên không gian xác suất (Ω, F, P), với mỗi ω ∈ Ω cố định, X · (ω) : T → R được gọi là quỹ đạo của quá trình. Quá trình X = (X t , t ∈ T) được gọi là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục (liên tục phải, liên tục trái). Nghĩa là: P {ω : X · (ω) là hàm liên tục (liên tục phải, liên tục trái) đối với t ∈ T } = 1. Quá trình X = (X t , t ∈ T) được gọi là quá trình đo được nếu ánh xạ X : Ω × T → R là đo được đối với σ- đại số tích F × Γ, ở đây Γ là σ- đại số các tập con của T . Quá trình X = (X t , t ∈ T ) được gọi là quá trình có số gia độc lập nếu với mọi t 0 < t 1 < < t n ; t k ∈ T ; k = 1, , n; những biến ngẫu nhiên X t 0 ; X t 1 −X t 0 ; X t 2 −X t 1 ; ; X t n −X t n−1 là những biến ngẫu nhiên độc lập. 3 Định nghĩa 1.3. Một lọc (F t , t  0) là 1 họ tăng các σ- đại số con của F; nghĩa là với mọi 0 < t < s < ∞ thì F t ⊂ F s ⊂ F. Quá trình X = (X t , t ∈ T) được gọi là tương thích với lọc (F t , t  0) nếu ∀t  0 X t là F t - đo được. Lọc nhỏ nhất mà đối với nó X tương thích được gọi là lọc sinh bởi X. Kí hiệu F X t , nghĩa là : F X t = σ(X s , s  t) Lọc F X t được gọi là lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên (X t , t ∈ T). 1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4. Một quá trình ngẫu nhiên B(t, ω) được gọi là một chuyển động Brown nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. P {ω : B(0, ω) = 0)} = 1 2. Với 0  s  t bất kì, biến ngẫu nhiên B(t) − B(s) có phân phối chuẩn kì vọng 0 và variance t −s nghĩa là P {a  B(t) −B(s)  b} = 1  2π(t −s)  b a e −x 2 /2(t−s) dx 3. B(t, ω)có số gia độc lập, tức là với bất kì 0  t 1 < t 2 < < t n các biến ngẫu nhiên B(t 1 ), B(t 2 ) −B(t 1 ), , B(t n ) −B(t n−1 ) độc lập. 4. Hầu tất cả các quỹ đạo của B(t, ω) liên tục, nghĩa là: P {ω : B(., ω) liên tục} = 1. Định nghĩa 1.5. Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ sở; L 2 [a, b] là không gian Hilbert của tất cả các hàm bình phương khả tích trên [a,b]. B(t, ω) là một chuyển động Brown. Với mỗi f ∈ L 2 [a, b] giới hạn I(f) = lim n→∞ I(f n ) trong L 2 (Ω)(với {f n } ∞ n=1 là dãy hàm bước nhảy hội tụ đến f trong L 2 [a, b]) được gọi là tích phân Wiener của f và ta kí hiệu: I(f)(ω) =   b a f(t)dB(t)  (ω); ω ∈ Ω hcc 4 để đơn giản ta kí hiệu là  b a f(t)dB(t) hoặc  b a f(t)dB(t, ω). Định nghĩa 1.6. (Tích phân Itô) Cho B(t) là một chuyển động Brown thích nghi với lọc {F t ; a  t  b} sao cho biến ngẫu nhiên B(t) − B(s) độc lập với σ- trường F s . Kí hiệu L 2 ad ([a, b]×Ω) là không gian các quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) với a  t  b, ω ∈ Ω thỏa mãn các điều kiện: 1. f(t, ω) thích nghi với lọc {F t }; 2.  b a E(|f(t)| 2 )dt < ∞. Với f làm 1 hàm bất kỳ trong L 2 ad ([a, b] × Ω), tồn tại 1 dãy hàm bước nhảy {f n (t); n = 1} trong L 2 ad ([a, b] ×Ω) sao cho lim n→∞  b a E(|f(t) −f n (t)| 2 )dt = 0. Ta có E(|I(f n ) −I(f m )| 2 ) =  b a E(|f n (t) −f m (t)| 2 )dt → 0 khi m, n → ∞. ( Ở đây I(f n ) =  n i=1 ξ i−1 (B(t i ) −B(t i−1 ))) Do vậy, dãy I(f n ) là một dãy Cauchy trong L 2 (Ω) và ta có giới hạn I(f) = lim n→∞ I(f n ) trong L 2 (Ω). Giới hạn này được gọi là tích phân Itô của hàm f và được kí hiệu  b a f(t)dB(t). Định lý 1.1. Cho f, g ∈ L 2 ad ([a, b] ×Ω); α, β là hai số thực. Khi đó: 1. E  b a f(t)dB(t) = 0. 2. E|  b a f(t)dB(t)| 2 = E  b a |f(t)| 2 dt. 3.  b a (αf(t) + βg(t))dB(t) = α  b a f(t)dB(t) + β  b a g(t)dB(t). 4. E(  b a f(t)dB(t) ·  b a g(t))dB(t)) =  b a E(f(t).g(t))dt. 5 Định lý 1.2. (Tính chất Martingale) Giả sử f ∈ L 2 ad ([a, b]×Ω) khi đó quá trình ngẫu nhiên X(t) =  t a f(s)dB(s); a  t  b là một martingale với lọc {F t ; a  t  b}. Định lý 1.3. (Tính chất liên tục) Giả sử f ∈ L 2 ad ([a, b] × Ω) khi đó quá trình ngẫu nhiên X(t) =  t a f(s)dB(s); a  t  b là liên tục, nghĩa là tất cả các quỹ đạo chuyển động của nó là các hàm liên tục trên khoảng [a, b]. 1.3 Quá trình Markov Xét quá trình Markov với không gian trạng thái E bất kì, (E, A) là không gian đo. Một quá trình F t -tương thích X = {X t } t0 được gọi là quá trình markov nếu tính markov sau được thỏa mãn: ∀0  s  t < ∞ và A ∈ A có: P (X t+s ∈ A|F t = P (X t+s ∈ A|F t ). Nghĩa là: nếu ta biết trạng thái của hệ tại thời điểm hiện tại t thì mọi thông tin về hành vi của hệ trong quá khứ không còn ảnh hưởng đến sự biến đổi trong tương lai của hệ. Kí hiệu P (s, x, t, A) = P (X t ∈ A|X s = x) là xác suất để hệ tại thời điểm s đang ở trạng thái x sang thời điểm t rơi vào tập A. Ta gọi P (s, x, t, A) là xác suất chuyển. Hàm P (s, x, t, A) được xác định trên 0  s  t < ∞; x ∈ E, A ∈ A với những tính chất sau: 1. Với mỗi 0  s  t < ∞ và A ∈ A P (s, X(s); t, A) = P (X(t) ∈ A|X(s)). 2. Với mỗi s  t, x ∈ E, P (s, x, t, ·) là một độ đo xác suất trên E. 3. Với mỗi s  t, A ∈ A hàm P (s, ·, t, A) là một hàm đo được trên E. 4. Phương trình Chapman-Komogorov P (s, x, t, A) =  E ˙ P (s, x, u, dy) · P(u, y, t, A). 6 Quá trình markov X(t) được gọi là thuần nhất nếu xác suất chuyển P (s, x, t, A) chỉ phụ thuộc vào hiệu số t −s nghĩa là: P (s + u, x, t + u, A) = P (s, x, t, A) ∀u. Khi đó P (s, x, t, A) có dạng P (s, x, t, A) = P(t − s, x, A). Ở đó P (t, x, A) = P (X s+t ∈ A|X s = x) là xác suất để hệ tại thời điểm s ở trạng thái x sau một khoảng thời gian t ( tại thời điểm t + s) rơi vào A. Phương trình Chapman-Komogorov khi đó có dạng: P (t + s, x, A) =  E P (t, x, dy)P (s, y, A). 1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Cho ξ(t, ω) là một quá trình Wiener trên khoảng [a, b], xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ). Cho  N t (t  0) là một họ các σ-đại số các tập trong F thỏa mãn các điều kiện sau: 1.  N t 1 ⊂  N t 2 nếu t 1 < t 2 . 2. ξ(t) là biến ngẫu nhiên  N t - đo được với mỗi t  0. 3. Số gia ξ(t + h) − ξ(t) của quá trình ξ(t) độc lập với mọi biến cố A ∈  N t . Vi phân ngẫu nhiên Itô dX(t) của quá trình  N t - đo được X(t) được định nghĩa như sau: dX(t) = b(t)dt + k  r=1 σ r (t)dξ r (t). Trong đó b(t) ∈ R l là vectơ ngẫu nhiên  N t - đo được. σ 1 (t), , σ k (t) là các vectơ trong R l mà các thành phần của nó σ ij (t); i = 1, , l; j = 1, , k là  N t - đo được với mỗi t cố định. ξ 1 (t), , ξ k (t) là các quá trình Wiener  N t - đo được độc lập sao cho các biến ngẫu nhiên ξ i (t + h) − ξ i (t) độc lập với mọi phần tử trong  N t 7 với h > 0. Ta có ∀a < t 1 < t 2 < b X(t 2 ) −X(t 1 ) =  t 2 t 1 b(t)dt + k  r=1  t 2 t 1 σ r (t)dξ r (t). Kí hiệu σ ∗ (t) là ma trận liên hợp của σ(t) và A(t) = σ(t).σ ∗ (t). Ta có công thức Itô sau đây: Định lý 1.4. Nếu hàm u(t, x), (t ∈ [a, b], x ∈ R l ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 theo x, cấp 1 theo t, và quá trình X(t) nhận giá trị trong R l có vi phân Itô dX(t) = b(t)dt + k  r=1 σ r (t)dξ r (t), Khi đó quá trình η(t) = u(t, X(t)) cũng có vi phân Itô và dη(t) =  ∂u(t, X(t)) ∂t + l  i=1 b i (t) ∂u(t, X(t)) ∂x i + 1 2 l  i=1 l  j=1 a ij (t) ∂ 2 u(t, X(t)) ∂x i ∂x j  dt (1.1) + l  i=1 k  r=1 σ ri (t) ∂u(t, X(t)) ∂x i dξ r (t). Định lý 1.5. Kí hiệu C 2 : lớp các hàm số trên E khả vi liên tục 2 lần theo các biến x 1 , , x l và khả vi liên tục theo t. Cho V ∈ C 2 khi đó ta có: V (t, X(t)) −V (s, X(s)) =  t s LV (u, X(u))du + k  r=1 l  i=1  t s σ r i ∂V ∂x i dξ r (u). (1.2) Ở đây LV (s, x) = ∂V (s, x) ∂s + l  i=1 b i (s, x) ∂V (s, x) ∂x + 1 2 l  i,j=1 a ij (s, x) ∂ 2 V (s, x) ∂x i ∂x j 8 Bổ đề 1.6. Cho X(u) là một quá trình thỏa mãn: X(t) = X(t 0 ) +  t t 0 b(s, X(s))ds + k  r=1  t t 0 σ r (s, X(s))dξ r (s). trên khoảng hữu hạn [s, T ], V ∈ C 2 , biến ngẫu nhiên τ U là thời điểm mà tại đó quỹ đạo của quá trình X(u) lần đầu tiên đi ra ngoài lân cận bị chặn U, đặt τ U (t) = min(τ U , t). Hơn nữa giả sử rằng: P {X(s) ∈ U} = 1. Khi đó E[V (τ U (t), X(τ U (t))) −V (s, X(s))] = E  τ U (t) s LV (u, X(u))du. 1.5 Một vài kết quả bổ trợ Định nghĩa 1.7. Cho U là một miền xác định với bao đóng  U trong không gian E = I × R l và tập U ε (0) = {(t, x) : |x| < ε}. Ta nói rằng một hàm V (t, x) là thuộc lớp C 0 2 (U) (kí hiệu V (t, x) ∈ C 0 2 (U)) nếu nó khả vi liên tục hai lần theo biến x và khả vi liên tục theo t ∈ U, có thể trừ ra tập x = 0, và nó liên tục trong tập đóng  U \U ε (0) với mọi ε > 0. Định nghĩa 1.8. Cho (Ω, U, P) là một không gian xác suất, M t ⊂ U là một họ σ-đại số các biến cố trong Ω, xác định với mỗi t ≥ 0, sao cho M s ⊂ M t với s < t. Cho y(t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên với kỳ vọng hữu hạn Ey(t, ω), sao cho y(t, ω) = y(t) là một biến ngẫu nhiên M t -đo được đối với mỗi t. Một họ (y(t, ω), M t ) được gọi là một martingale trên nếu với bất kì s < t ta có: E(y(t)|M t ) ≤ y(s) (P −hcc). (1.3) Nếu trong (1.3) thay dấu bất đẳng thức bởi dấu đẳng thức, ta nhận được định nghĩa của một martingale. Xét hệ: dX(t) = b(t, X)dt + k  r=1 σ r (t, X)dξ r (t). (1.4) 9 [...]... Trường hợp được xét nhiều nhất là p -ổn định với p = 1 (ổn định theo trung bình) và p = 2 (ổn định theo trung bình bình phương) Hai định lí sau đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính p -ổn định mũ của hệ ngẫu nhiên với hàm Lyapunov Chúng ta có thể nhận được bằng cách khái quát hóa từ những định lí đã biết với hệ tất định Định lý 2.14 Nghiệm tầm thường của hệ (2.22) là p -ổn định mũ với 0 t ≥ 0 nếu tồn tại... không ổn định Định nghĩa 2.3 Nghiệm tầm thường của hệ (2.22) được gọi là q-không ổn định mũ (q > 0) nếu E|X s,x (t)|−q < A|x|−q exp{−α(t − s)}, với các hằng số dương A và α nào đó Nếu ta thay p bởi −q và thay một lân cận của 0 bởi một lân cận của điểm vô hạn thì ta có định nghĩa q-không ổn định và q-không ổn định tiệm cận Rõ ràng, q-không ổn định tiệm cận với q > 0 nào đó sẽ kéo theo tính không ổn định. .. đó 2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu Định lý 2.11 Giả thiết rằng các hệ số của phương trình dX s,x (t) = b(t, X s,x )dt + σ(t, X s,x )dξ(t), (2.9) liên tục theo t, x trong Rl , với các đạo hàm bị chặn liên tục cấp 2 và các cấp lớn hơn 2 theo x1 , , xl Khi đó nghiệm X s,x (t) của phương trình (2.9) khả vi liên tục hai lần theo nghĩa trung bình bình phương. .. 2.7 Khẳng định tương tự được suy ra hệ quả của định lý 2.5 cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định như sau: (1) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.7), (2.8) và (2.1) đúng trong miền {t > 0} × Ur (2) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.8) đúng và hơn nữa sup LV < 0 với bất kỳ ε > 0 ε EV (t, X s,x (t)) > V (s, x) 33 Chương 3 Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính 3.1 Hệ một chiều Trong chương này ta sẽ nghiên cứu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất mà các hệ số bị nhiễu bởi các nhiễu trắng Gaussian ηi (t) ˙j Hệ này được vi t dưới dạng sau: dXi = dt l (bj (t) + ηi... yêu cầu về tính trơn của V (t, x) và chứng minh (2.25), ta áp dụng hệ quả 2.3 và (2.29) Cuối cùng, sử dụng (2.15) ta dễ dàng ước lượng t+T ∂ E|X t,x (u)|p du ∂xi ∂V (t, x) = ∂xi t t+T k1 |x|p−1 exp{k2 (u − t)}du = k4 |x|p−1 ≤ t Tương tự ta có thể chứng minh được khẳng định thứ hai của (2.26) Bổ đề sau đây rất hữu ích cho vi c nghiên cứu sự ổn định của hệ ngẫu nhiên Bổ đề 2.16 Giả sử các hệ số b(t,... hai định lí sau: Định lý 1.12 Nếu (y(t, ω), Mt , t ≥ 0) là một martingale dương, thì giới hạn y∞ = lim y(t, ω) t→∞ 12 tồn tại hầu chắc chắn và hữu hạn Hơn nữa, Ey∞ = lim Ey(t, ω) t→∞ Định lý 1.13 Nếu (y(t, ω), Mt , t ≥ 0) là một martingale liên tục hầu chắc chắn, khi đó với bất kỳ k > 0, p ≥ 1 P sup |y(t, ω)| > k t0 ≤t≤T 13 ≤ E|y(T, ω)|p kp Chương 2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. thiết của định lí 2.1 và có giới hạn trên vô cùng bé cũng đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định tiệm cận Từ điều này và định lí 2.3 kéo theo mệnh đề sau: "Giả sử rằng các hệ số b và σr độc lập với t và điều kiện không suy biến (2.1) được thỏa mãn Khi đó, nếu nghiệm của (1.4) ổn định theo xác suất, thì nó cũng ổn định tiệm cận theo xác suất" Mệnh đề này có thể được khái quát hóa cho những hệ không... ∂xi ∂2 X s,x (t), ∂xi ∂xj do đó cũng liên tục đối với x theo nghĩa trung bình bình phương Chúng được xác định bởi hệ thu được bằng cách lấy vi phân (2.9) theo x Ở đây ta chỉ xét trường hợp số chiều của không gian l = 1 Dễ thấy quá trình ngẫu nhiên Yx,∆x (t) = 1 [X x,x+∆x (t) − X s,x (t)] ∆x 22 là một nghiệm của phương trình t Xz,∆x (t) = 1 + t A(x, ∆x, u)Yx,∆x (u)du + s B(x, ∆x, u)Yx,∆x (u)dξ(u) s (2.10) . ω)| p k p . 13 Chương 2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên 2.1 Tính ổn định theo xác suất Một nghiệm X(t, ω) ≡ 0 của phương trình: dX(t) = b(t,. không ổn định của hệ ngẫu nhiên tuyến tính với hệ số độc lập thời gian được xác định bởi dấu của kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên đã biết, phân phối dừng của