TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ———————o0o——————– Khóa luận tốt nghiệp TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN THỊ LOAN Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ GÁI Lớp: K60A HÀ NỘI 5 - 2014 Mục lục Lời nói đầu iv Một số kí hiệu viết tắt v 1 Các kiến thức liên quan 1 1.1 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phương trình vi phân với trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tích phân Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Một số kiến thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Nội dung 10 2.1 Tính ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục . . . . . . 12 2.3 Mạng nơron Cohen-Grossberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo 31 i Mở đầu Từ công trình mở đầu của Hopfield năm 1982 [14], một vài lớp mô hình mạng nơron đã trở thành đối tượng nghiên cứu do những ứng dụng rộng rãi của chúng trong nhiều lĩnh vực khoa học như tối ưu hóa tổ hợp, nhận dạng mẫu hình, xử lí tín hiệu và hình ảnh, liên kết bộ nhớ. Năm 1983, Cohen và Grossberg [3] đã đề xuất và nghiên cứu mạng nơron nhân tạo được mô tả bới hệ phương trình vi phân thường (ODEs) ˙x i = −k i (x i )  b i (x i ) − n  j=1 a ij f j (x j )  , i = 1, . . . , n (0.1) và năm 1984 Hopfield nghiên cứu trường hợp riêng của (0.1) với k i ≡ 1 , ˙x i = −b i x i + n  j=1 a ij f j (x j ), i = 1, . . . , n. (0.2) Để hiện thực hóa, các phương trình phân mô tả mạng nơron được gắn thêm trễ thời gian để đưa vào tính toán thời gian truyền dẫn tín hiệu dọc theo các tế bào thần kinh hoặc trong mạng nơron nhân tạo là sự truyền đạt thông tin thời gian giữa các mạch khuếch đại. Năm 1989, Marcus và Westervelt [2] lần đầu tiên đưa ra một trễ rời rạc trong mô hình Hopfield (0.2) và nhận xét rằng trễ này có thể làm mất tính ổn định cuả hệ, nó cũng có thể dẫn tới những dáng điệu tuần hoàn, tái tạo các diện mạo sinh học liên quan tới mạch nơron điều khiển các hoạt động nhịp nhàng như thở, tim đập, di chuyển. Trong hơn hai thập kỉ, một vài dạng tổng quát có hoặc không có trễ của mô hình (0.1) được đưa ra bao gồm hệ thống mạng nơron tĩnh, mạng nơron tế bào, mạng nơron liên kết bộ nhớ hai chiều,. . . Mới đây, việc nghiên cứu về các phương trình vi phân có trễ (DDEs) mô tả mạng nơron sinh học hoặc nhân tạo đã thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học cũng như các nhà khoa học khác và rất nhiều các ấn phẩm có giá trị đã được giới thiệu. Trong công trình này các tác giả nghiên cứu về tính ổn định toàn cục của một lớp các mô ii MỤC LỤC iii hình mạng nơron Cohen-Grossberg ô tô nôm với trễ phân phối vô hạn có dạng: ˙x i (t) = −a i (x i (t))  b i (x i (t)) + n  j=1 p  p=1 f (p) ij  0  −∞ g (p) ij (x j (t + s))dη (p) ij (s)   , i = 1, . . . , n. (0.3) Dễ thấy rằng mô hình này đã được đề cập ở trên. Các kết quả ở đây mở rộng các nghiên cứu phần trước cho trường hợp trễ phân phối bị chặn. Trên thực tế, mô hình Cohen-Grossberg (0.3) được xét ở đây như một trường hợp riêng của một họ rất nhiều DDEs có dạng ˙x i (t) = −ρ i (t, x t )[b i (x i (t)) + f i (x t )], i = 1, . . . , n, (0.4) trong đó ρ i , b i , f i là các hàm thực liên tục, ρ i dương và x t xác định bởi x t (s) = x(t + s) với s ≤ 0. Đối với DDEs có trễ vô hạn, việc chọn một không gian pha Banach chấp nhận được (thường gọi là không gian fading memory) được đặt biệt quan tâm nhằm mục đích thu được các kết quả thông dụng về tính đặt đúng bài toán giá trị ban đầu. Đó về sự tồn tại, tính duy nhất và tính thác triển của các nghiệm, tính compact tương đối của các quỹ đạo dương bị chặn. Ở đây, để đơn giản hóa ta luôn giả sử rẳng các điều kiện ban đầu bị chặn trên (−∞, 0]. Điều này thường mặc định trong các tài liệu về hệ thống mạng nơron với trễ không bị chặn và là lí do tại sao trong hầu hết các bài viết việc lựa chọn không gian pha một cách rõ ràng không được đề cập đến. Bản luận văn này được viết dựa theo nội dung chính của công trình nói trên. Bố cục luận văn được chia như sau: Chương 1: Trình bày các kiến thức liên quan về không gian hàm chấp nhận được, tích phân Riemann-Stieltjes, M- ma trận. Chương 2 gồm 4 phần: Phần 1 thiết lập điều kiện tổng quát cho tính bị chặn của các nghiệm và sự tồn tại, tính ổn định đều của nghiệm không. Phần 2 giới thiệu các kết quả chính của luận văn về sự tồn tại, tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của một điểm cân bằng đối với một lớp DDEs với trễ vô hạn (0.4). Phần 3 đưa ra các kết quả được áp dụng để thiết lập các tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng đối với mô hình mạng nơron (0.3). Phần 4 dành cho các ứng dụng của các tiêu chuẩn đối với từng mô hình riêng. Trong suốt phần này là sự so sánh các kết quả đạt được trong luân văn MỤC LỤC iv với các tài liệu khác, chỉ ra sự tiến bộ trong phương pháp của chúng ta khi áp dụng cho một vài mô hình khác nhau. Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của thầy cô, gia đình và bạn bè. Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo-TS. Trần Thị Loan người đã trược tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình thực hiện đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè và những người thân luôn động viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28/4/2014 Sinh viên NGUYỄN THỊ GÁI Một số kí hiệu viết tắt x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n . x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ∈ R n là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân có trễ. |.| là chuẩn cố định trong R n . |x| = max{|x i | : i = 1, . . . , n}. ODEs: Các phương trình vi phân thường. DDEs: Các phương trình vi phân có trễ. FDE : Phương trình vi phân hàm. UC g : Không gian hàm chấp nhận được UC g = {φ ∈ C((−∞, 0]; R n ) : sup s≤0 |φ(s)| g(s) < ∞, |φ(s)| g(s) liên tục đều trên (−∞, 0]} BC (hay BC g ): BC = BC((−∞, 0]; R n ) là không gian con của UC g . . g : Chuẩn trong không gian UC g cho bởi ||ϕ|| g = sup s≤0 |φ(s)| g(s) . ||.|| ∞ là chuẩn trong không gian BC, ||φ|| ∞ = sup s≤0 |φ(s)|. Với véc tơ a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ R n ta cũng kí hiệu a là hàm hằng ϕ(s) ≡ a trong BC, hoặc UC g . u>0: kí hiệu véc tơ u = (u 1 , . . . , u n ) T với u i > 0, ∀i = 1, . . . , n. v Chương 1 Các kiến thức liên quan 1.1 Không gian hàm chấp nhận được Kí hiệu |.| là một chuẩn trong R n . Ta giả sử rằng: (M1) B là không gian vectơ thực của: (i) các hàm liên tục ánh xạ từ (−∞, 0] vào R n với φ = ψ trong B nếu φ(s) = ψ(s) trên (−∞, 0]. hoặc (ii) Các hàm đo được ánh xạ từ (−∞, 0] vào R n với các phần tử φ = ψ (hoặc φ tương đương với ψ ) trong B nếu φ(s) = ψ(s) hầu khắp nơi trên (−∞, 0] và φ(0) = ψ(0). (M2) B được cho với chuẩn |.| B . (M3) B là không gian đầy với chuẩn |.| B . Như vậy không gian B với chuẩn |.| B là một không gian Banach. Kí hiệu là (B, |.| B ) hay đơn giản là B. Nếu x : (−∞, A) → R n , 0 < A ≤ ∞ thì với bất kì t ∈ [0, A) ta xác định x t : (−∞, 0] → R n cho bởi x t (s) = x(t + s), s ≤ 0. Định nghĩa 1.1.1. Không gian B (như định nghĩa trên) được gọi là chấp nhận được nếu tồn tại các hằng số K, J > 0 và một hàm liên tục M : [0, ∞) → [0, ∞) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: Cho 0 ≤ a < A ≤ ∞, nếu x : (−∞, A) → R n xác định trên (−∞, A) và liên tục trên [a, A) với x a ∈ B thì với mọi t ∈ [a, A) ta có: 1 Chương 1. Các kiến thức liên quan 2 (N1) x t ∈ B; (N2) x t ∈ B liên tục theo t với chuẩn |.| B ; (N3) |x t | B ≤ K max a≤s≤t |x(s)| + M(t − a)|x a | B ; (N4) |φ(0)| ≤ J|φ| B với mọi φ trong B. Ví dụ 1.1.1. Cho g : (−∞, 0] → [1, +∞) là hàm cho trước và các điều kiện sau: (g1) g là hàm liên tục không tăng và g(0) = 1; (g2) lim u→0 g(s + u) g(s) = 1 đều trên (−∞, 0]; (g3) g(s) → ∞ khi s → −∞. Với g thỏa mãn (g1): Kí hiệu C := C((−∞, 0], R n ) là không gian vectơ các hàm liên tục ánh xạ từ (−∞, 0] vào R n . Định nghĩa C g :=  φ ∈ C : sup s≤0 |φ(s)| g(s) < ∞  . Cho φ ∈ C g , ta định nghĩa chuẩn của φ bởi: |φ| g := |φ| C g := sup s≤0 |φ(s)| g(s) . Khi đó, (C g , |.| g ) là không gian Banach. Tuy nhiên C g không phải là không gian hàm chấp nhận được. Để chỉ ra một không gian hàm chấp nhận được liên quan tới C g ta xét không gian sau, thường được biết đến là không gian "fading memory"[11]: UC g := {φ ∈ C g : φ g liên tục đều trên (−∞, 0]} hay UC g = {φ ∈ C((−∞, 0]; R n ) : sup s≤0 |φ(s)| g(s) < ∞, |φ(s)| g(s) liên tục đều trên (−∞, 0]}, với g thỏa mãn các giả thiết (g1)-(g3). Không gian UC g với chuẩn ||φ|| g = sup s≤0 |φ(s)| g(s) , là một không gian Banach. Chương 1. Các kiến thức liên quan 3 Chứng minh. Thật vậy: Lấy {φ n } là dãy Cauchy trong UC g suy ra ∀ε > 0, ∃n 0 sao cho ∀m, n > n 0 thì ||φ n −φ m || g < ε hay sup s≤0 |(φ n − φ m )(s) g(s) < ε. Cố định s 0 ∈ (−∞, 0] ta có |(φ n − φ m )(s 0 )| g(s 0 ) < ε, ∀m, n ≥ n 0 hay |(φ n − φ m )(s 0 )| < εg(s 0 ), ∀m, n ≥ n 0 , (1.1) do đó dãy điểm {φ n (s 0 )} hội tụ trong R n . Đặt φ(s 0 ) = lim n→∞ φ n (s 0 ). Ta xây dựng ánh xạ: φ : (−∞, 0] → R n s → φ(s) Ta chứng minh φ ∈ UC g + Chứng minh φ liên tục Từ (1.1), cho m → ∞ suy ra |φ n (s) − φ(s)| g(s) ≤ ε, ∀n ≥ n 0 , ∀s ≤ 0. (1.2) Xét s 0 ∈ (−∞, 0]), do g liên tục nên bị chặn trên [s 0 − 1, s 0 + 1] nên giả sử rằng g(s) ≤ M, ∀s ∈ [s 0 − 1, s 0 + 1]. Trong (1.2), thay ε = ε 3M ta có |φ n (s) − φ(s)| g(s) ≤ ε 3M , ∀n ≥ n 0 , ∀s ≤ 0. Do φ n 0 liên tục tại s nên ∃δ thỏa mãn 0 < δ < 1 sao cho |φ n 0 (s) − φ n 0 (s 0 )| ≤ ε 3 , ∀s ∈ [s 0 − δ, s 0 + δ]. Khi đó, ∀s ∈ (−∞, 0] : |s − s 0 | < δ ta có |φ(s) − φ(s 0 )| ≤ |φ(s) − φ n 0 (s)| + |φ n 0 (s) − φ n 0 (s 0 )| + |φ n 0 (s 0 ) − φ(s 0 )| ≤ ε 3M + ε 3 + ε 3M ≤ ε Vậy φ liên tục. +Chứng minh sup s≤0 |φ(s)| g(s) < ∞. Chương 1. Các kiến thức liên quan 4 ∀n ≥ n 0 ta có |φ(s)| g(s) < |φ(s) − φ n (s)| g(s) + |φ n (s)| g(s) < ε + |φ n (s)| g(s) suy ra với mỗi ε > 0 : sup s≤0 |φ(s)| g(s) < ε + sup s≤0 |φ n (s)| g(s) < ∞. +Chứng minh φ(s) g(s) là liên tục đều Theo giả thiết ta có : ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho     φ n (s) g(s) − φ n (s  ) g(s  )     < ε, ∀s, s  ∈ (−∞, 0] thỏa mãn |s − s  | < δ. Suy ra ∀s, s  ∈ (−∞, 0] thỏa mãn |s − s  | < δ ta có:     φ(s) g(s) − φ(s  ) g(s  )     ≤     φ(s) g(s) − φ n (s) g(s)     +     φ n (s) g(s) − φ n (s  ) g(s  )     +     φ n (s  ) g(s  ) − φ(s  ) g(s  )     < ε + ε + ε < 3ε. với n đủ lớn. suy ra φ(s) g(s) liên tục đều. Vậy ta có điều phải chứng minh. Theo chứng minh trong [22] ta có UC g là không gian hàm chấp nhận được. Định nghĩa 1.1.2. Cho B là một không gian chấp nhận được. B được gọi là một không gian "strong fading memory" nếu trong (N3) M(t) → 0 khi t → ∞. Kí hiệu I n := {(t, s) : t ≥ n, s ≤ −n} với mỗi n ∈ N Định lí 1.1.1. Giả sử g thỏa mãn (g1) và x : (−∞, ∞) → R n với x 0 ∈ C g và x bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞). Hơn nữa, giả sử rằng ánh xạ t → x t liên tục với chuẩn |.| g trên [0, ∞). Khi đó, nếu lim n→∞ sup (t,s)∈I n |x(t + s)| g(s) = 0 thì quỹ đạo dương {x t : t ≥ 0} là compact tương đối trong C g . Định lí 1.1.2. Giả sử g : (−∞, ∞) → [1, ∞) thỏa mãn (g1), (g2) với g(s) ≡ 1 trên [0, ∞), khi đó các điều kiện sau là tương đương: (Q1) lim n→∞ sup (t,s)∈I n |g(t + s)| g(s) = 0. [...]... tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng Kết luận Luận văn đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của một điểm cân bằng của một họ DDEs với trễ vô hạn cho bởi phương trình (0.4), bổ sung thêm các nghiên cứu trong tài liệu [3, 24] (ở đó xét trường hợp mô hình mạng nơron với trễ phân phối không bị chặn) Những tiêu chuẩn này tương đối đơn giản để kiểm tra, nó không. .. |ϕ(0)|, với s ∈ (−∞, 0) và với i ∈ {1, , n} sao cho |ϕ(0)| = |ϕi (0)| thì ϕi (0)fi (t, ϕ) < 0 Khi đó, mọi nghiệm của (2.2) với điều kiện ban đầu trong BC được xác định và bị chặn trong [0, −∞) Hơn nữa, nếu x(t) = x(t, 0, ϕ), ϕ ∈ BC là một nghiệm của (2.2) thì |x(t, 0, ϕ)| ≤ ||ϕ||∞ với mọi t ≥ 0 2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục Trong phần này, ta nghiêm cứu tính ổn định tiệm cận. .. G (n+m)×(n+m) với B = diag(β1 , , βn ), G = diag(γ1 , , γm ), U = [µij ], S = [|mji |σji ] Khi đó tồn tại một điểm cân bằng duy nhất của (2.22) ổn định tiệm cận toàn cục Trong [17], các tác giả đã giả giả sử một tập các giả thiết khác để thu được tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng, vì vậy các chuẩn khác trong R được xem xét Tính ổn định mũ toàn cục của mô hình mạng nơron liên kết... Lyapunov và được ứng dụng trực tiếp cho hầu hết các mô hình mạng nơron ô tô nôm với trễ không bị chặn được nghiên cứu gần đây Tất cả các mô hình này đều là trường hợp riêng của mô hình mạng nơron Cohen-Grossberg tổng quát Phần cuối luận văn đưa ra các ví dụ minh họa cho việc áp dụng các kết quả đạt được cho rất nhiều mô hình mạng nơron Cohen-Grossberg cụ thể và đưa ra các điều kiện đủ cho tính ổn định toàn. .. 3 và 4 Chương 2 Như đã đề cập ở phần trước, với các mô hình mạng nơron với trễ không bị chặn, các điều kiện ban đầu luôn luôn được giả sử là bị chặn Do đó, xuyên suốt bài này, ta lấy BC là tập với các điều kiện ban đầu chấp nhận được và chỉ xét các nghiệm của mô hình tổng quát (2.3) với các điều kiện ban đầu (2.2) Định nghĩa 2.2.1 Nếu x∗ ∈ Rn là một điểm cân bằng của (2.3), (i) x∗ được gọi là ổn định. .. thống mạng nơron, chúng ta chỉ quan tâm tới điều kiện ban đầu bị chặn xto = ϕ, với ϕ ∈ BC, t0 ≥ 0 (2.2) Từ [13], nếu f ánh xạ các tập con đóng và bị chặn trong miền xác định của nó thành các tập bị chặn trong Rn thì nghiệm của (2.1) với điều kiện ban đầu (2.2) tồn tại trong đoạn [0, a] khi mà nó còn bị chặn Trong [5], ta đã thu được kết quả về tính bị chặn của tập nghiệm của phương trình vi phân với trễ. .. x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó ổn định và hút toàn cục Chương 2 Nội dung 2.1 Tính ổn định đều Xét không gian BC = BC((−∞, 0]; Rn ) các hàm liên tục và bị chặn φ : (−∞, 0] → Rn Rõ ràng BC ⊆ U Cg với ||φ||g = ||φ||∞ Khi đó BC được xem như một không gian con của U Cg , thường được viết là BCg Cho một tập mở D ⊆ U Cg và f : [0, +∞) × D → Rn liên tục, xét phương... 2.4.3 thì x∗ ổn định mũ toàn cục Chú ý 2.4.3 Với hệ (2.21), Huang et al [16] đã chứng minh tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng giả sử trong điều kiện đó với mỗi i = 1, , n, bi là khả vi với bi (u) ≥ βi > 0 và tồn tại ai , ai > 0 sao cho 0 ≤ ai ≤ ai (u) ≤ ai , u ∈ R Như vậy rõ ràng Hệ quả 2.4.4 hoàn thiện kết quả chính trong [16] Chương 2 Nội dung 27 Ví dụ 2.4.4 Xét mô hình mạng nơron liên... tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân hàm với trễ vô hạn có dạng: xi (t) = −ρi (t, xt )[bi (xi (t)) + fi (xt )], i = 1, , n, t≥0 (2.3) trong đó, ρi : [0, ∞) × U Cg → (0, ∞), bi : R → R và fi : U Cg → R là các hàm liên tục, i = 1, , n Lớp các phương trình vi phâm hàm tổng quát này bao gồm hầu hết các mô hình mạng nơron (ô tô nôm) với trễ vô hạn... Hơn nữa, với hàm gij (u) = u ta suy ra các giả thiết (iii), (iv) cũng thỏa mãn Định lí 2.3.1 Như vậy các giả thiết (i)-(iv) đều thỏa mãn Định lí 2.3.1 Do đó, tồn tại điểm cân bằng duy nhất x∗ ổn định tiệm cận toàn cục Chú ý 2.4.1 Với hệ (2.18), L Wang [4] đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định tiệm cận toàn cục của một điểm cân bằng nếu có các giả thết sau: (a) Với mỗi i ∈ {1, , n}, bi tăng và thỏa . không gian pha một cách rõ ràng không được đề cập đến. Bản luận văn này được viết dựa theo nội dung chính của công trình nói trên. Bố cục luận văn được chia như sau: Chương 1: Trình bày các kiến. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ———————o0o——————– Khóa luận tốt nghiệp TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG. tiến bộ trong phương pháp của chúng ta khi áp dụng cho một vài mô hình khác nhau. Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của thầy cô, gia đình và bạn bè. Đầu tiên,