Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có nhiều trễ

1 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Nguyễn quang vinh Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có nhiều trễ Chuyên ngành: giải tích Mã số : 60.46.01 LUậN VĂN THạC Sỹ TOáN HọC Ngời hớng dẫn khoa học: TS. PHAN LÊ NA Vinh - 2008 mục lục Trang Mục lục . 1 mở đầu .2 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân 5 1.1. Các định nghĩa .5 1.2. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 6 1.3. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 8 1.4. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 10 1.5. Số mũ đặc trng 13 1.6. Phổ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 15 1.7. Hàm có dấu xác định .15 1.8. Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm .17 1.9. Sự ổn định mũ 19 Chơng 2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ 22 2.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản .22 2.2. Tính ổn định và ổn định tiệm cận của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ . 27 2.3. Biểu thức của liên hệ ngợc tuyến tính 34 kết luận 38 2 tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Trong thực tế khi khảo sát các hệ động lực học, khảo sát sự biến đổi của hệ sinh thái học và môi trờng hay khảo sát sự ổn định dân số, mật độ dân c . các nhà khoa học thờng quan tâm đến sự tác động của các yếu tố bên ngoài tác động vào hệ có ảnh hởng nh thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ hay không? Trong quá trình nghiên cứu đó có những trờng hợp sự tác động ban đầu sẽ làm ảnh hởng đến toàn bộ quá trình vận động, nhng có trờng hợp sự tác động lại không làm thay đổi quá trình vận động của hệ. Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó ngời ta thờng mô hình hoá toán học các hệ đó. Thông qua các hệ toán học con ngời muốn can thiệp vào hoạt động của hệ thống, giữ cho hệ thống không thoát ly quá xa trạng thái cân bằng đợc thiết kế trớc. Do đó lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và nó đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nh kinh tế, khoa học kỹ thuật, tính toán Nh vậy lý thuyết ổn định đóng một vai trò quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Chúng ta đã biết đến hai phơng pháp nghiên cứu kinh điển về lý thuyết ổn định của nhà toán học ngời Nga Liapunov. Đây là hai phơng pháp giúp việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phơng trình vi phân đạt hiệu quả nhất. Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng tôi nghiên cứu đề tài " Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có nhiều trễ. Trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi không đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng thực tế của tính ổn định phơng trình vi phân có trễ và nhiều trễ, cũng nh hệ không tuyến tính mà chúng tôi chỉ xem xét đa ra các điều kiện đủ để nghiệm của các hệ trên ổn định và ổn định tiệm cận. Sử dụng nghiên cứu trên cho việc đa ra liên hệ ngợc tính ổn định của một vài lớp hệ điều khiển tuyến tính. Với mục đích đó luận văn đơc trình bày gồm hai chơng sau: 3 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân Trong chơng này trình bày các khái niệm cơ bản, các định lý về tính ổn định, ổn định tiệm cận của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân đã đợc trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3]. Các kiến thức ở chơng này hỗ trợ cho các kết quả chơng 2 của luận văn. Chơng 2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ Đây là phần chính của luận văn, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về bài toán tính ổn định của một vài lớp phơng trình vi phân có trễ và nhiều trễ. Nêu lên điều kiện đủ để lớp hệ theo biến thời gian có trễ và nhiều trễ ổn định tiệm cận. Xét mối liên hệ ngợc của một vài lớp hệ điều khiển. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của cô giáo, TS Phan Lê Na. Nhân dịp này tác giả xin đợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hớng dẫn, các thầy giáo trong khoa Toán- trờng Đại Học Vinh, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, PGS.TS. Phạm Ngọc Bội, PGS.TS. Tạ Quang Hải, PGS.TS. Trần Văn Ân, PGS.TS. Nguyễn Nhụy, PGS.TS. Tạ Khắc C. Xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sau Đại Học Trờng Đại Học Vinh và các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm giúp đỡ chỉ bảo cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới trờng THPT Thiệu Hóa đã tạo điều kiện về tinh thần cũng nh về vật chất cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại Học Vinh. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc những góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, bạn bè và các đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn tốt nhất. 4 Vinh, th¸ng 11 n¨m 2008 NguyÔn Quang Vinh Ch¬ng i 5 Các khái niêm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân Trong chơng này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của hệ phơng trình vi phân tuyến tính (xem trong tài liệu tham khảo [1], [2], [3]). 1.1. các định nghĩa Xét hệ phơng trình vi phân 1 2 ( ), 1 2 , j n dy f t,y ,y , .,y j , , .,n dt = = (1.1) với t là biến độc lập, y 1 , y 2 ., y n là các hàm cần tìm, f j là các hàm nhận giá trị thực, xác định trong bán trụ ( ) yy DDaT ,, ì= là một miền mở thuộc n ,Ă a n Ă {- }. Ta đa vào các ma trận cột nh sau ( ) ,, .,,colon 21 n yyyY = ,, .,colon 1 = dt dy dt dy dt dY n ( ) ( ) ( )( ) .,, .,,colon, 1 YtfYtfYtF n = Khi đó hệ phơng trình (1.1) đợc viết dới dạng phơng trình ma trận dt dY = F(t, Y). ( 1.2) Hàm véctơ Y(t) C 1 (a, b), thỏa mãn phơng trình (1.2) đợc gọi là nghiệm của phơng trình (1.1) trên (a, b). Để cho ngắn gọn ta gọi hệ (1.1) là hệ vi phân. 1.1.1 Định nghĩa. Nghiệm ),(t (a < t < ) của hệ (1.2) (nếu có) đợc gọi là ổn định (theo nghĩa Liapunov) khi t (nói ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi > 0, với mọi t 0 thuộc (a, ) tồn tại = ( , t 0 ) > 0 sao cho tất cả các 6 nghiệm Y(t) của hệ (1.2) nếu thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY < thì xác định trong khoảng [t 0 , ) và )()( ttY < khi t 0 t < . 1.1.2 Định nghĩa. Nếu số nói trong Định nghĩa 1.1.1 có thể chọn không phụ thuộc vào t 0 , tức là = ( ) thì nghiệm )(t đợc gọi là ổn định đều. 1.1.3 Định nghĩa. Nghiệm = (t), (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov) khi t (nói ngắn ngọn là ổn định tiệm cận) nếu i) Nghiệm ổn định, ii) Với mọi t 0 thuộc (a, ) tồn tại = (t 0 ) > 0 sao cho tất cả các nghiệm Y = Y(t), t t 0 < nếu thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY < thì t lim )()( ttY = 0. (1.3) 1.1.4 Nhận xét ([1]). Nghiệm tầm thờng )(t 0 của hệ (1.2) (nếu có) ổn định và )(lim tY t = 0 khi )( 0 tY < với mọi nghiệm ).(tY Hình cầu )(tY < = )( 0 t với t 0 cố định, đợc gọi là miền hút của vị trí cân bằng 0. 1.1.5 Định nghĩa. Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian ( ) n , .a = ì Ă Nếu nghiệm = (t) ( ) << ta ổn định tiệm cận và tất cả các nghiệm Y = Y(t) của (1.2) (a < t 0 t < ) thỏa mãn (1.3) thì nghiệm đợc gọi là ổn định trong toàn cục. 1.2. sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính = =+= n k jkjk j njtfyta dt dy 1 ,,,1),()( (1.4) trong đó các hàm a jk C(a, ) và f j (t) C(a, ) (a có thể là - ). 7 Hệ (1.4) có thể viết dạng ma trận nh sau dt dY = A(t)Y + F(t) (1.5) với ma trận hàm A(t) = [ a jk (t) ] và F(t) = colon{f 1 (t), ., f n (t)}. Hệ vi phân dt dY =A(t)Y (1.6) đợc gọi là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng với hệ (1.5). 1.2.1. Định nghĩa. Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định (tơng ứng không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định (tơng ứng không ổn định). 1.2.2 Định lý ([1]). Điều kiện cần và và đủ để (1.5) hệ vi phân tuyến tính ổn định là nghiệm tầm thờng X(t) 0 (t o <t <) của hệ thuần nhất tơng ứng (1.6) ổn định. 1.2.3 Hệ quả ([1]). Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định. 1.2.4 Hệ quả ([1]). Ba mệnh đề sau tơng đơng a) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.5) ổn định, b) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn định, c) Nghiệm tầm thờng của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn định. 1.2.5 Định nghĩa ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.5) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm của hệ là ổn định đều. 1.2.6 Định nghĩa ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ là ổn định tiệm cận khi t . 8 1.2.7 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định đều (tơng ứng với ổn định tiệm cận) khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X(t) 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.6) ổn định đều (tơng ứng ổn định tiệm cận). 1.2.8 Chú ý. Ta cũng sẽ thu đợc các hệ quả tơng tự hệ quả (1.4) và hệ quả (1.5) khi thay đổi các từ " ổn định tơng ứng bởi các từ " ổn định đều hoặc " ổn định tiệm cận. 1.3. sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất = A(t)Y (1.7) trong đó A(t) đợc giả thiết là liên tục trên (a, ). Định lý sau chứng tỏ tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuấn nhất t- ơng đơng với tính bị chặn của mọi nghiệm của nó. 1.3.1 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) ổn định khi và chỉ khi mỗi một nghiệm X =X(t) (a < t 0 t < ) của hệ bị chặn trên bán trục [t 0 , ). 1.3.2 Hệ quả ([1]). Nếu hệ vi phân tuyến tính = A(t)Y + F(t) ổn định thì mọi nghiệm của nó hoặc cùng bị chặn hoặc cùng không bị chặn. 1.3.3 Ví dụ. Xét tính ổn định của phơng trình sau .1 )( ++= ty dt tdy Phơng trình thuần nhất tơng ứng x dt tdx = )( có nghiệm tổng quát là x(t) = e -t x(0). Các nghiệm này đều bị chặn trên [0, ). Vì hệ thuần nhất ổn định nên hệ đã cho cũng ổn định. Mặt khác, hệ đã cho có nghiệm y(t) = t không bị chặn. Vậy mọi nghiệm của phơng trình đã cho không bị chặn. 1.3.4 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm X = X(t) của hệ dần về 0 khi t dần tới . 9 Chú ý. Đối với hệ vi phân không tuyến tính sự dần về không của tất cả các nghiệm nói chung không suy ra đợc tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thờng của nó. 1.3.5. Ví dụ. Xét tính ổn định nghiệm của tầm thờng hệ = = t y dt dy xyt t x dt dx 22 với t 1. Giải. Hệ đã cho có nghiệm tầm thờng ( ) t =(x(t), y(t)) (0, 0). Nghiệm tổng quát của hệ trên là = = t C y teCx tC 2 1 2 2 , đặt t 0 = 1, ta có . )( )()( 0 )1)(( 0 0 2 = = t ty y tetxtx tty Ta có )(lim tx t = )(lim ty t = 0, nhng nghiệm tầm thờng không ổn định (vì vậy không ổn định tiệm cận). Thật vậy, ta chỉ ra tồn tại ,0 1 >= e với mọi 0 > tồn tại t 1 1 sao cho ( ) 1 < nhng ( ) 1 . > Chọn 0 > là số dơng sao cho 22,4, <+ khi đó với x(1) = 2, , y(1)= , ta có ( ) 4 2 , , 1 . = < . Với t 1 = 1 + 2 1 > 1 ta có x(t 1 ) = x(1 + 2 1 ) = 2 (1 + 2 1 )e 2 2 1 = (1+ 2 )e -1 > e -1 . 10 . liệu về phơng trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng tôi nghiên cứu đề tài " Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có nhiều trễ. . tạo trờng đại học vinh Nguyễn quang vinh Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có nhiều trễ Chuyên ngành: giải tích Mã số : 60.46.01 LUậN