Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

[...]... 2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, nghiên cứu các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, nêu lên mối quan hệ giữa tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất và hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, từ đó xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình vi phân. .. nghiệm thực tương ứng của các hệ L [Y ] = U (t); L [Y ] = V (t) Phương pháp biến thiên hằng số Từ Định lí phân 1.4 (xem [2]) ta suy ra vi c tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi (1.18) đưa về vi c tìm nghiệm tổng quát Y (t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Y (t) nào đấy của hệ (1.18) Trong một số... vi phân tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng Sau đó, luận văn trình bày hai phương pháp của Liapunốp về nghiên cứu tính ổn định của một số hệ phương trình vi phân phi tuyến và xét các bài tập áp dụng 30 31 2.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân dy1 = f (t, y , y , , y ) 1 1 2 n dt dy 2... Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất dễ dàng Do đó vi c tìm nghiệm riêng Y (t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hết sức quan trọng Phương pháp biến thiên hằng số trình bày dưới đây sẽ cho ta cách tìm nghiệm riêng khi biết nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng Giả sử y (t) ... bất kì của hệ phương trình hệ phương trình (1.12): (1.12) là một nghiệm của (1.12) Một tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ phương trình nghiệm của hệ phương trình Nếu hệ phương trình Y (t) = U (t) + iV (t) (1.12) là một (1.12) (1.12) với ma trận thực A(t) có nghiệm phức thì phần thực U (t) và phần ảo V (t) là các nghiệm thực của hệ phương trình đó Định nghĩa 1.8 Y1 (t) = (xem [2]) Giả sử hệ vectơ... , n) là các hằng số thực được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Ví dụ 1.10 Các hệ phương trình dx = 1 x 1 dt dx 2 cost = y 3sint dy 3 dt ; = y + 3t dy = x 7cost dt 4 dz 2 dt = z 2tant dt 3 là các hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số 28 Định nghĩa 1.12 (xem [3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng dy1 = a (t)y + a (t)y + + a... là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Ví dụ 1.9 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình dx = y dt dy = x + 1 dt cos t (1.24) Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng dx = y dt dy = x dt (1.25) ở ví dụ 1.1 ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (1.25) là x(t) = C1 cos t C2 sin t y(t) = C1 sin t + C2 cos t C1 ; C2 R Ta tìm nghiệm riêng của hệ vi phân. .. dt dy =2 dt dy =3 dt Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ phương trình vi phân cấp 1 Xét phương trình vi phân cấp n y (n) = f (t, y, y , , , y (n1) ) hay F (t, y, y , , , y (n) ) = 0 trong đó F xác định trong một miền G nào đó của không gian Rn+2 Nếu đặt y = y1 , y , = y2 , , y (n1) = yn (1.7) 12 thì phương trình Nếu (1.7) có thể vi t thành hệ phương trình vi phân cấp một sau dy1 = y 2 ... gọi là (1.17) Công thức Ostrogradski-Liuvil cho ta biết được định thức Wronski của hệ giải nó Nó n nghiệm của (1.12) mà không cần 22 Ví dụ 1.7 Các hệ phương trình dx = x y z dt dy = x + y 3z dt dz = x 5y 3z dt dx = y dt ; dy = x dt là các hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Định nghĩa 1.10 (xem [2]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính có dạng dy1 = a (t)y + a (t)y +... (i, j = 1, 2, , n) là các hằng số thực được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của hệ (1.27) với hệ số hằng số Ví dụ 1.11 Các hệ phương trình dx dt dy dt dx = 4x + 2y + 5z dt = 2x y dy ; = 6x y 6z dt = x + 2y dy = 8x + 3y + 9z dt là các hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số Định lý 1.7 (Công thức Sylvester)(xem [5]) Cho A là