Tìm hiểu bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ MJLS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ HÀ MY TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ HÀ MY TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – 2017 LỜI CẢM ƠN Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình dạy, trang bị cho kiến thức chuyên môn cần thiết trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè động viên khuyến khích hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi sai sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để viết hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Hà My i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp " Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Trung Dũng Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Hà My ii KÍ HIỆU TOÁN HỌC R Tập tất số thực Rn Không gian Euclide n chiều N Tập số tự nhiên N+ Tập số nguyên dương Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương P( | ) Xác suất có điều kiện UT Ma trận chuyển vị ma trận U E Kì vọng P˜ Số đo xác suất σ-đại số tập không gian mẫu x(t) Chuẩn vectơ x(t) diag{ } Ma trận đường chéo sym(U ) Biểu diễn U + U T iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 1.2 1.3 Xích Markov 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ma trận xác suất chuyển 1.1.3 Phân phối ban đầu Hệ DMJLS hệ CMJLS 10 1.2.1 Hệ DMJLS 10 1.2.2 Hệ CMJLS 13 Một số bất đẳng thức 15 Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS 18 2.1 Trường hợp thời gian rời rạc 18 2.2 Trường hợp thời gian liên tục 23 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong vài thập kỉ qua, hệ MJLS nhận quan tâm ý nhiều nhà khoa học Hệ MJLS tạo số hữu hạn hệ tuyến tính hay phi tuyến, trình chuyển đổi hệ mô tả xích Markov với hữu hạn trạng thái Lớp hệ có nhiều ứng dụng sản xuất, hệ thống điều khiển mạng, Chính thế, toán nghiên cứu ổn định hóa cho lớp hệ vô quan trọng Do đó, dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm ổn định hệ MJLS trường hợp thời gian rời rạc thời gian liên tục - Tìm tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên hệ MJLS biết phần thông tin xác suất chuyển, tìm điều khiển ngược để hệ đóng ổn định Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ MJLS - Trình bày tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên hệ MJLS thiết kế điều khiển ngược cho hệ đóng ổn định Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hệ MJLS - Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định hệ MJLS Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức kết bổ trợ Chương 2: Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS Chương Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 1.1.1 Xích Markov Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) (xem [3]) Cho T tập vô hạn R Nếu với t ∈ T , Xt biến ngẫu nhiên họ {Xt , t ∈ T } gọi trình ngẫu nhiên Nếu T tập đếm ta gọi {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc Nếu T khoảng đường thẳng thực, tức T thuộc tập sau (−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b) ta gọi {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số liên tục Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Định nghĩa 1.2 (Quá trình Markov) (xem [3]) Cho trình ngẫu nhiên {Xt , t ∈ T } với tập không gian trạng thái M Khi ta gọi {Xt , t ∈ T } trình Markov P(Xtn+1 = j|Xt0 = i0 , , Xtn−1 = in−1 , Xtn = i) = P(Xtn+1 = j|Xtn = i), với n ∈ N, t0 < t1 < < tn < tn+1 i0 , i1 , , in−1 , i, j ∈ M Nếu xem (t0 , t1 , , tn−1 ) thời khứ, tn thời điểm tn+1 thời điểm tương lai đẳng thức tính Markov hệ Nếu T = N M tập không đếm {Xn , n ∈ N} xích Markov Đặt p(s, i, t, j) = P(Xtn+1 = j|Xtn = i), s < t Khi đó, p(s, i, t, j) xác suất có điều kiện để hệ thời điểm s trạng thái i chuyển sang trạng thái j thời điểm t Vì vậy, p(s, i, t, j) gọi xác suất chuyển trạng thái hệ Nếu xác suất chuyển phụ thuộc vào t − s, tức p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j) gọi hệ theo thời gian Ví dụ 1.1.1 Cho X0 , X1 , , Xn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập với M = Xn (Ω), n = 0, 1, Khi {Xn , n ∈ N} xích Markov Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Bổ đề 1.4 (Bổ đề phần bù Schur không chặt) Cho ma trận tùy ý U = U T , V W = W T > khả nghịch,   U V VT W   ≥ ⇔ U − V W−1 V T ≥  Chứng minh Đặt Q =  I −1 −W V T I   Khi đó, Q không suy biến Từ Bổ đề 1.1 ta có     −1 T U V U −VW V Q =   QT  VT W W Do đó, ta có   U V VT W   ≥ ⇔ U − V W−1 V T ≥ Vậy bổ đề chứng minh 17 Chương Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS 2.1 Trường hợp thời gian rời rạc Trước hết, lớp hệ (1.1), xét điều khiển ngược có dạng sau u(k) = K(rk )x(k), (2.1) Ki , i ∈ M ma trận điều khiển ngược cần phải xác định Với điều khiển ngược (2.1), có hệ đóng (1.1) x(x + 1) = [A(rk ) + B(rk ).K(rk )] x(k), k ∈ Z+ (2.2) Định nghĩa 2.1 (xem [3]) Hệ (1.1) gọi ổn định hóa tồn điều khiển (2.1) cho hệ đóng (2.2) ổn định ngẫu nhiên 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Trong mục này, trình bày phương pháp tìm điều khiển ngược (2.1) cho hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin phần ổn định hóa Định lí sau đưa điều kiện đủ ổn định ngẫu nhiên hệ ngẫu nhiên (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin phần Định lý 2.1 (xem [3]) Xét hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin phần Khi hệ ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận Pi > , i ∈ M cho bất đẳng thức sau P˜Ki ATi P˜Ki Ai − πKi Pi < , (2.3) ATi Pj Ai − Pi < , ∀j ∈ MiUK , (2.4) πij Pj j∈MiK Chứng minh Theo Bổ đề 1.1, hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên (1.2) πij = 1, viết lại vế trái (1.2) sau Vì j∈M   Ψi ATi    πij Pj  Ai −  πij  Pi j∈M j∈M Từ (1.3) ta có   Ψi = ATi    πij Pj  Ai −  j∈MiK  j∈MiK  + ATi  πij  Pi   πij Pj  Ai −  j∈MiU K πij  Pi j∈MiU K 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY = ATi P˜Ki Ai − πKi Pi + πij (ATi Pj Ai − Pi ) j∈MiU K Khi đó,vì πij ≥ , ∀j ∈ M nên Ψi < (2.3) (2.4) Rõ ràng, πij không xuất (2.3) (2.4), ∀j ∈ MiUK Từ đó, kết luận hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên thỏa mãn (2.3) (2.4) Vậy định lí chứng minh Chú ý 2.1 Nếu MiUK = ∅, ∀i ∈ M điều kiện quy (1.2), tiêu chuẩn ban đầu để kiểm tra tính ổn định ngẫu nhiên hệ DMJLS Tiếp theo trình bày phương pháp thiết kế điều khiển (2.1) để đảm bảo hệ (1.1) ổn định hóa Định lý 2.2 (xem [3]) Xét hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin phần.Khi đó, tồn ma trận Xi > Yi , ∀i ∈ M cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau  −XKi    LiK (Ai Xi −πKi Xi ∗ −Xj Ai Xi + Bi Yi ∗ + Bi Yi ) −Xi   < 0, (2.5) ∀j ∈ MiUK , (2.6)   , i ∈ M cho P˜Ki (1 + λiK )(ATi Pi + Pi Ai ) + P˜Ki < 0, (2.14) ATi Pi + Pi Ai + Pj ≥ , ∀j ∈ MiUK , j = i, (2.15) ATi Pi + Pi Ai + Pj ≤ , ∀j ∈ MiUK , j = i, (2.16) λij Pj j∈MiK Chứng minh Theo Bổ đề 1.2, hệ (1.5) ổn định ngẫu nhiên (1.6) λij = 0, viết lại vế trái (1.6) Ta có j∈M sau Θi ATi Pi + Pi Ai + P˜ i + λij (ATi Pi + Pi Ai ) j∈M 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Từ (1.7), có   λij  (ATi Pi + Pi Ai ) + Θi = 1 + j∈MiK λij Pj j∈MiK λij (ATi Pi + Pi Ai ) + + j∈MiU K λij Pj j∈MiU K = (1 + λiK )(ATi Pi + Pi Ai ) + P˜Ki λij (ATi Pi + Pi Ai + Pj ) + j∈MiU K Khi đó, từ (2.14), (2.16) λij ≥ (∀i, j ∈ M , j = i) suy Θi < 0, ∀j ∈ MiUK , i ∈ MiK Mặt khác, ∀j ∈ MiUK i ∈ / MiK , có Θi = (1 + λiK )(ATi Pi + Pi Ai ) + P˜Ki + λii (ATi Pi + Pi Ai + Pi ) λij (ATi Pi + Pi Ai + Pj ) + j∈MiU K ,j=i N Vì ta có λii = − λij < , theo (2.14) (2.16) , chúng j=1,j=i ta thu Θi < Vì vậy, (2.14)-(2.16) đúng, hệ (1.5) ổn định ngẫu nhiên với ma trận xác suất chuyển trạng thái biết thông tin phần Vậy định lí chứng minh Chú ý 2.2 Nếu MiUK = ∅ , ∀i ∈ M, hệ xét hệ với ma trận chuyển trạng thái hoàn toàn biết, hệ trở thành MJLS thông thường 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Vì vậy, điều kiện (2.14)-(2.16) quy (2.14), tương đương với (1.6) Tiếp theo trình bày phương pháp thiết kế điều khiển (2.12) để đảm bảo hệ (1.5) ổn định hóa Định lý 2.4 (xem [3]) Xét hệ (1.5) với ma trận xác suất chuyển trạng thái biết thông tin phần Khi đó, tồn ma trận Xi > Yi , ∀i ∈ M cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau  (1 + λiK )sym(Ai Xi  + Bi Yi ) + λii Xi −XKi ∗  (1 + SKi λiK )sym(Ai Xi SKi + Bi Yi )   < , ∀i ∈ MiK , (2.17)   < , ∀i ∈ / MiK , (2.18) sym(Ai Xi + Bi Yi ) + Xj ≥ , ∀j ∈ MiUK , j = i,   sym(Ai Xi + Bi Yi ) Xi   ≤ , ∀j ∈ MiUK , j = i, ∗ −Xj (2.19)  −XKi ∗ (2.20) SKi λiK1i Xi , , XKi λiKmi Xi , diag{XK1i , , XKmi } (2.21) (2.22) i K1i , , Km biểu diễn (1.8) hệ (1.5) ổn định hóa Hơn nữa, bất đẳng thức (2.17)-(2.20) có nghiệm, ma trận điều 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY khiển ngược cho Ki = Yi Xi−1 , i ∈ M (2.23) Chứng minh Xét hệ (1.5) với điều khiển đầu vào (2.12) , thay Ai Ai + Bi Ki đặt Xi Pi−1 , Yi Ki Xi , nhân trước nhân sau (2.14) với Pi−1 , thu (1 + λiK )sym((Ai + Bi Ki )Pi−1 ) + ∼ −1 i −1 P i PK Pi < Xét (2.21) (2.22), theo Bổ đề phần bù Schur, có bất đẳng thức tương đương với (2.17) với i ∈ MiK tương đương với (2.18) với i ∈ / MiK Tương tự, nhân trước nhân sau (2.15) với Xi thu (2.19) Ngoài ra, theo Bổ đề phần bù Schur, (2.15) tương đương với  T Pi (Ai + Bi Ki ) + (Ai + Bi Ki ) Pi I ∗ −Pj−1    ≤ Nhân trước nhân sau bất đẳng thức với diag{Xi , I}, thu (2.20) Vì vậy, (2.17)-(2.20) (2.14)-(2.16) thỏa mãn Định lí 1.5 cho hệ (2.13) ổn định ngẫu nhiên hay hệ (1.5) ổn định hóa Vậy định lí chứng minh 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Chú ý 2.3 (2.17) (2.19) Định lí 2.4 không kiểm tra MiK ∩ MiUK = ∅ Ví dụ 2.2.1 Xét hệ MJLS (1.5) với mode có liệu sau:  A1 =   A3 =   B1 =  −0.75 −0.75 1.50 −1.50 −0.30 −0.15 1.50 −1  , −1.80   , A2 =    ,  B2 =  A4 =  −1 −0.15 −0.49 −0.90 −0.34 −1.65 1.50   , −2.10 1.50 B3 =  −1  ,  ,  , Với ma trận xác suất chuyển trạng thái sau: Trường hơp I:   −1.3 0.2 ? ?      ? ? 0.3 0.3   Π=    0.6 ? −1.5 ?    0.4 ? ? ? Trường hợp II:   ? ? 0.8 0.3      0.3 ? 0.3 ?   Π=    ? 0.1 −1.5 ?    ? 0.2 ? ? 28  B4 =  −1   Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY Giải (2.17)-(2.23) thu điều khiển ngược sau: Trường hợp I: K1 = −0.11 −0.25 , K2 = 0.02 −1.31 , K3 = −0.81 −0.70 , K4 = −0.09 −0.38 Trường hợp II: K1 = 0.20 −0.33 , K3 = −0.62 −0.38 , K2 = 0.12 −1.10 , K4 = 29 −0.04 −0.03 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ HÀ MY KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS" Khóa luận trình bày nội dung sau đây: • Chương Ở chương này, trình bày số khái niệm trình ngẫu nhiên, hệ MJLS trường hợp thời gian rời rạc liên tục • Chương Chương này, trình bày tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên hệ MJLS, trình bày phương pháp tìm điều khiển ngược cho hệ với xác suất chuyển biết thông tin phần ổn định hóa Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS ", tìm hiểu phần mềm soạn thảo Latex Khóa luận soạn thảo Latex Tuy nhiên, thời gian thực hiên khóa luận không nhiều khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Ngoài ra, số kết (mệnh đề, định lí) thừa nhận mà bỏ qua chứng minh Tôi mong nhận góp ý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 30 Tài liệu tham khảo [1] Boukas, E.K, Stochastic switching systems: Analysis and design, Basel, Berlin: Birkhauser, 2005 [2] Costa, O L.V., Fragoso, M.D., Marques, R P., Discrete - time Markovian jump linear systems, London: Springer-Verlag, 2005 [3] Lixian Zhang, El-Kébir Boukas, Stability and stabilization of Markovian jump linear systems with partly unknown transition probabilities Automatica, 45(2009), 463-468 31 ... xuất, hệ thống điều khiển mạng, Chính thế, toán nghiên cứu ổn định hóa cho lớp hệ vô quan trọng Do đó, dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ HÀ MY TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa... 2017 Sinh viên Hoàng Thị Hà My i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp " Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ MJLS " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ, hướng dẫn