Ổn định hóa hệ Navier - Stokes

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Cung Thế Anh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Tác giả Ngô Thị Hồng Trang Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Ổn định hóa hệ Navier-Stokes” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Tác giả Ngô Thị Hồng Trang Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Các không gian hàm và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . 6 1.1.2. Các toán tử. . . . . . . 7 1.2.Các bất đẳng thức để đánh giá số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . 8 1.2.2. Bất đẳng thức H¨older . . . . 9 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . 9 1.3.Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.Tính ổn định của nghiệm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.Toán tử Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.Tính chất phổ của toán tử Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Ổn định hóa hệ Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes-Oseen . . . . 15 2.1.2. Ổn định hóa hệ Stokes-Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ . . . 20 2.1.3. Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi dựa trên phương trình Riccati đạt được cao (high-gain Riccati-based feedback) . . . 22 2.1.4. Ổn định hóa bên trong miền: Phản hồi dựa trên phương trình Ricati đạt được thấp (low-gain Riccati-based feedback) . . . . . 30 2.2.Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ phương trình Navier-Stokes 35 2.2.1. Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ Stokes-Oseen . . 36 2.2.2. Điều khiển phản hồi biên ổn định hóa bằng phương trình Riccati đạt được thấp 45 2.2.3. Ổn định hóa phản hồi biên của hệ phương trình Navier-Stokes . 49 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, .dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . Hệ phương trình Navier- Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng và năng lượng được viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng: ∂y ∂t (t, x) − ν∆y (t, x) + (y · ∇) y (t, x) = ∇p (t, x) + f (t, x) , t ≥ 0, x ∈ O, (∇ ·y) (t, x) ≡ 0, y(t, x) = 0 trên (0, ∞) × ∂O, y (0, x) = y 0 (x) trong O, (1) trong đó, y = (y 1 , y 2 , , y d ) là hàm vận tốc, p = p (t, x) là áp suất, f = (f 1 , , f d ) là ngoại lực, ν là hệ số nhớt và y 0 là vận tốc ban đầu. Biên ∂O được giả sử là trơn (thuộc lớp C 2 ), f ≡ f e (x), trong đó f e ∈ (L 2 (O)) d . Những vấn đề lý thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes là: - Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính quy theo biến không gian (tính chính quy Hilbert, tính chính quy H¨older, mô tả tập điểm kì dị, .). - Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Nói riêng, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. Trong nhiều trường hợp nghiệm dừng y e của hệ Navier-Stokes có thể không ổn định, khi đó ta có thể dùng một hàm điều khiển u thích hợp được thiết kế dưới dạng phản 3 hồi u = γ(y − y e ) (có thể là hàm điều khiển ở bên trong miền hoặc hàm điều khiển ở trên biên của miền) sao cho mọi nghiệm y của hệ với điểm ban đầu y 0 ở gần nghiệm dừng này đều hội tụ theo tốc độ mũ về nghiệm dừng đang xét, tức là ta đã ổn định hóa nghiệm dừng này. Đây là nội dung của một hướng nghiên cứu được phát triển mạnh trong những năm gần đây: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes. Những kết quả rất gần đây về hướng nghiên cứu này được đúc kết trong cuốn chuyên khảo [3] của V. Barbu. Bài toán ổn định hóa hệ Navier-Stokes với các hàm điều khiển khác nhau đã và đang là vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Ổn định hóa hệ Navier-Stokes". Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau: không gian Sobolev, không gian hàm liên quan đến hệ Navier-Stokes, các kết quả về sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả của V. Barbu trong [3], [4], [5]: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes bằng điều khiển bên trong miền và bằng điều khiển trên biên. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes trong cả hai trường hợp: Hàm điều khiển có giá ở bên trong miền và hàm điều khiển có giá ở trên biên của miền. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dừng của bài toán. • Thiết kế hàm điều khiển ngược (feedback controller) để nghiệm dừng là ổn định. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes. • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng. 4 5. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp Galerkin. • Nghiên cứu bài toán ổn định hóa: Phương pháp phân tích phổ. 6. Ý nghĩa khoa học và đóng góp của đề tài Nội dung của luận văn là nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes. Kết quả chính của luận văn là: Ổn định hóa được nghiệm dừng bằng cách thiết kế hàm điều khiển ngược thích hợp. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các không gian hàm và các toán tử Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm và các toán tử thường dùng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 1.1.1. Các không gian hàm Ký hiệu V =  y ∈ (C ∞ 0 (O)) d : ∇ ·u = 0  . Để nghiên cứu bài toán (1) ta giới thiệu các không gian hàm sau: V = ¯ V (H 1 0 (O)) d = bao đóng của V trong(H 1 0 (O)) d =  y ∈ (H 1 0 (O)) d : ∇ ·y = 0  , H = ¯ V (L 2 (O)) d = bao đóng của V trong(L 2 (O)) d . Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là (y, z) = (y, z) H =  O y · zdx =  O d  i=1 y i z i dx, ((y, z)) = (y, z) V =  O d  i=1 ∇y i · ∇z i dx =  O d  i,j=1 ∂y i ∂x j ∂z i ∂x j dx, trong đó y = (y 1 , , y d ) T và z = (z 1 , , z d ) T . Gọi H ⊥ là phần bù trực giao của H trong (L 2 (O)) d . Từ kết quả trong Temam [7] ta có H ⊥ =  y ∈ (L 2 (O)) d : y = grad p, p ∈ H 1 (O)  . Gọi V  là không gian đối ngẫu của V . Ký hiệu |·|, || · || lần lượt là chuẩn trong H và V , || · || ∗ là chuẩn trong V  . 6 1.1.2. Các toán tử Toán tử A Giả sử A : V → V  là toán tử xác định bởi Ay, z = ((y, z)), với mọi y, z ∈ V. Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có: D(A) = {y ∈ H : Ay ∈ H} = (H 2 (O)) d ∩ V. Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch đảo A −1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H 1 0 → L 2 (O) là compact. Do đó phổ của A gồm toàn giá trị riêng {λ j } ∞ j=1 với 0 < λ 1  λ 2   λ n  , λ n → +∞ khi n → +∞, và các hàm riêng tương ứng {w j } ∞ j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H. Toán tử B Đặt b(y, z, w) = d  i,j=1  O y i ∂z j ∂x i dx, khi đó dễ thấy b(., ., .) là một dạng 3−tuyến tính liên tục trên (H 1 0 (O)) d , hay nói riêng trên V . Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được b(y, z, w) = −b(y, w, z), với mọi y, z, w ∈ V. Nói riêng b(y, z, w) = 0, với mọi y, z ∈ V . Để thiết lập các đánh giá đối với b(y, z, w), ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.1. (xem [2]) Với bất kì tập mở O ⊂ R 2 , ta có Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d = 2. z L 4 (O)  2 1 4 z 1 2 L 2 (O) ∇z 1 2 L 2 (O) , với mọi z ∈ H 1 0 (O). Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d = 3. z L 4 (O)  C z 1 4 L 2 (O) ∇z 3 4 L 2 (O) , với mọi z ∈ H 1 0 (O). 7 Bổ đề 1.2. (xem [2], [7]) Ta có: Nếu d = 2 : |b(y, z, w)|  2 1 2 |y| 1 2 y 1 2 z |w| 1 2 w 1 2 , ∀y, z, w ∈ V. Nếu d = 3: |b(y, z, w)|  c y z 1 2 |Az| 1 2 |w|, ∀y ∈ V, z ∈ D(A), w ∈ H. Xét toán tử B : V × V → V  xác định bởi B(y, z), w = b(y, z, w) với mọi y, z, w ∈ V. Đặt By = B(y, y). Khi đó bài toán đã cho có thể phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây Bài toán 1. Cho trước y 0 ∈ H và f ∈ L 2 (0, T ; V  ). Tìm hàm y ∈ L 2 (0, T ; V ) thỏa mãn    d dt (y, z) + ν((y, z)) + b(y, y, z) = f, z, với mọi z ∈ V và hầu khắp t ∈ (0, T) y(0) = y 0 . Bài toán 2. Cho trước y 0 ∈ H và f ∈ L 2 (0, T ; V  ). Tìm hàm y ∈ L 2 (0, T ; V ) thỏa mãn y  ∈ L 1 (0, T ; V  ) y  + νAy + By = f trong V  với hầu khắp t ∈ (0, T ) y(0) = y 0 . Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu y là nghiệm của bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại. 1.2. Các bất đẳng thức để đánh giá số hạng phi tuyến 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a > 0, b > 0 : ab ≤ a 2 2 + b 2 2 . 8 [...]... Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes- Oseen Ổn định mũ toàn cục hệ điều khiển tuyến tính hóa liên kết với (1), tức là dy + Ay = u, t ≥ 0, dt y(0) = y0 , (2.4) ở đây supp u(t) ⊂ O0 là bước đầu tiên ổn định hóa bên trong miền hệ phương trình Navier- Stokes Định lí 2.1 là kết quả đầu tiên trong hướng này Định lí 2.1 Tồn tại hàm điều khiển u có dạng M P (mφi )vi (t), ∀t ≥ 0, u(t) = (2.5) i=1 ổn định mũ hệ. .. }, với bội đại j=1 số hữu hạn mj và các hàm riêng tương ứng ϕj 13 Chương 2 Ổn định hóa hệ Navier- Stokes 2.1 Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ Hướng tiếp cận ổn định hóa đã được trình bày trong [3] cho hệ parabolic trừu tượng Ở đây, ta tiếp tục phát triển nó trong trường hợp đặc biệt của hàm điều khiển hệ Navier- Stokes yt − ν∆y + (y · ·y y ) ye + (ye · ) y + (y · )y = p + mu trong (0, ∞)... Hàm điều khiển bên trong miền và trên biên được biểu diễn bởi cùng một phương trình Vì vậy, ổn định hóa bên trong miền tương đương với ổn định hóa trên biên Mặt khác, ổn định hóa trên biên có thể được quy về ổn định hóa bên trong miền với giá trong một lân cận của biên trong một miền rộng hơn Trong hệ Navier- Stokes (1) ta có thể thay điều kiện biên Dirichlet bằng điều kiện biên tuần hoàn trong Rd có... 2.1 2.1.2 Ổn định hóa hệ Stokes- Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ Ổn định hệ (2.4) bằng hàm điều khiển ngược tuyến tính u có dạng N (y(t), ϕ∗ )P (mφj ), j u(t) = −η i=1 20 (2.23) ˜ trong đó {φj }N ⊂ H là hệ các hàm có dạng j=1 αkj ϕ∗ , j = 1, , N, k (2.24) (φi , ϕ∗ )0 = δij , i, j = 1, , N j (2.25) φj = k=1 thỏa mãn điều kiện (Ở đây ta giả sử rằng tất cả các λj , j = 1, , N là nửa đơn) Từ hệ ϕ∗ j... trơn, ví dụ ye ∈ (W 2,∞ (O)) Bài toán đặt ra ở đây là ổn định hóa ye bằng hàm điều khiển ngược với giá ở bên trong tập con mở O0 ⊂ O hoặc ở trên biên 10 1 đủ lớn thì nghiệm này là không ổn định, vì vậy, ν ổn định hóa nghiệm dừng này là vấn đề lớn của động lực học chất lỏng Để đơn giản ∂O Thật vậy, với số Reynolds Re = hơn ta quy về bài toán ổn định cho ye dần tới nghiệm 0 bằng cách cho y − ye ⇒ y và... ≤ j ≤ j 2.1.3 M∗ , 2 ψj = Im ϕ∗ với j M∗ < j < M ∗ 2 Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi dựa trên phương trình Riccati đạt được cao (high-gain Riccati-based feedback) Trong phần này, mục đích của chúng tôi là thu được hàm điều khiển ngược ổn định hóa qua phương trình đại số Riccati hữu hạn chiều liên kết với hệ tuyến tính hóa (2.4) Ký hiệu (., ) là tích vô hướng trong không... suy ra (2.31), (2.32) Điều này kết thúc chứng minh Định lí 2.3 Ta đã chứng minh đựợc nghiệm y của hệ vòng lặp kín (2.4) với hàm điều khiển ngược (2.30) là nghiệm dừng y ∗ của bài toán cực tiểu hóa (2.33) Sau đây ta trình bày kết quả chính ổn định hóa bên trong miền hệ (1) Định lí 2.4 Tồn tại hàm điều khiển ngược M∗ u=− (R(y − ye ), ψi )0 ψi , i=1 ổn định mũ nghiệm dừng ye của (1.1) trong lân cận Up... 1 1 H Ta đặt V = D(A 2 ), W = D(A 4 ) và ký hiệu · là chuẩn trong V Ký hiệu (., )0 d là tích vô hướng trong (L2 (O0 )) Đầu tiên ta chứng minh kết quả ổn định hóa cho hệ tuyến tính hóa Stokes- Oseen (2.4) 22 Định lí 2.3 Cho γ > 0 và M ∗ , N như trong Định lí 2.1 hoặc 2.2 Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính tự liên hợp R : D(R) ⊂ H → H sao cho với các hằng số 0 < a1 < a2 < ∞ và C1 > 0, 1 1 1 a1 |A... (1.3) trong đó Ay = νAy + A0 y, ∀y ∈ D(A), D (A) = D (A) , A0 y = P ((ye · ) y + (y · ) ye ) (1.4) Toán tử A được gọi là toán tử Stokes- Oseen với nghiệm dừng ye Để ổn định hóa hệ (1.2), ta thiết kế hàm điều khiển ngược u có dạng u(t) = F y(t), t ≥ 0, và đưa vào nó vào hệ điều khiển (1.2) ∂y − ν∆y + (ye · ∂t ·y y )y + (y · )ye + (y · )y = mu + p trong (0, ∞) × O, =0 trong (0, ∞) × O, =0 trên (0, ∞)... ∞); V ), √ dy √ tAy ∈ L2 (0, ∞; H), t ∈ L2 (0, ∞; H) dt Vì vậy y − ye thỏa mãn điều kiện và ước lượng (2.40), (2.41) của Định lí 2.4 Điều này hoàn thành chứng minh Định lí 2.4 29 2.1.4 Ổn định hóa bên trong miền: Phản hồi dựa trên phương trình Ricati đạt được thấp (low-gain Riccati-based feedback) Trong trường hợp này, ta thế (1.1)vào hàm điều khiển ngược M∗ u(t) = − (R0 (y − ye ), ψi )0 ψi , (2.46) . . . . . . . . 14 2.1.1. Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes- Oseen . . . . 15 2.1.2. Ổn định hóa hệ Stokes- Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ . . . 20 2.1.3. Ổn định hóa bên trong miền qua. của hệ phương trình Navier- Stokes 35 2.2.1. Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ Stokes- Oseen . . 36 2.2.2. Điều khiển phản hồi biên ổn định hóa bằng phương trình Riccati đạt được thấp 45 2.2.3. Ổn. năm gần đây: Ổn định hóa hệ Navier- Stokes. Những kết quả rất gần đây về hướng nghiên cứu này được đúc kết trong cuốn chuyên khảo [3] của V. Barbu. Bài toán ổn định hóa hệ Navier- Stokes với các