Tính chính quy nghiệm của hệ navier - stokes

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Cung Thế Anh đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Như Thúy Vân 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác. Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Như Thuý Vân 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1.Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.Các bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4. Bất đẳng thức Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.Độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.Một số ký hiệu và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2.Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.Phát biểu các kết quả chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.Chứng minh các định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,. . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,. . . Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính chính quy riêng phần của các nghiệm của phương trình Navier-Stokes ba chiều u t ν∆u u ∇ u ∇p f, x Ω, t 0; ∇ u 0, x Ω, t 0; u x, t 0 x Ω, t 0; u x, 0 u 0 x x Ω. (1) Ở đó, u u 1 , u 2 , u 3 T là hàm vận tốc, p : Ω R là hàm áp suất, ν const 0 là hệ số nhớt, u 0 là điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet trên biên Ω với Ω là miền bị chặn trong R 3 . Sự tồn tại nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier - Stokes đã được Leray và Hopf chứng minh trong [7, 4] mà nghiệm này thỏa mãn một dạng của bất đẳng thức năng lượng. Còn Scheffer đã nghiên cứu tính chính quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes thỏa mãn một phiên bản địa phương của bất đẳng thức năng lượng trong một chuỗi các bài báo [9, 10, 11]. Xem thêm [3, 5, 12, 13, 14] về các bài toán liên quan. Trong luận văn này chúng tôi trình bày kết quả gần đây của Kukavica [6] về tính chính qui riêng phần của nghiệm yếu phù hợp của hệ Navier - Stokes. Kết quả chính của luận văn là chỉ ra rằng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ 4 dị bằng 0 nếu f L 2 . Kết quả này cải tiến kết quả nổi tiếng của Caffarelli - Kohn - Nirenberg trong [2]. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là chúng tôi trình bày kết quả trong [6] về tính chính quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes trên miền Ω, ở đó giả thiết của số hạng ngoại lực f được giảm nhẹ hơn so với kết quả trước đó của Caffarelli - Kohn - Nirenberg [2]. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều. • Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy riêng phần của nghiệm. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kỹ thuật nghiên cứu tính trơn của nghiệm của hệ Navier-Stokes: cách chọn hàm thử, đánh giá năng lượng. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các không gian hàm Để nghiên cứu bài toán (1) ta giới thiệu các không gian hàm sau: Ký hiệu : V u C 0 Ω 3 : ∇ u 0 ; V ¯ V H 1 0 Ω 3 bao đóng của V trong H 1 0 Ω 3 u H 1 0 Ω 3 : ∇ u 0 ; H ¯ V L 2 Ω 3 bao đóng của V trong L 2 Ω 3 . Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là: u, v H u, v Ω u.vdx Ω 3 i 1 u i .v i dx, u, v V u, v Ω ∇u.∇vdx Ω 3 i 1 ∇u i .∇v i dx Ω 3 i,j 1 u i x j . v i x j dx, trong đó u u 1 , u 2 , u 3 T và v v 1 , v 2 , v 3 T . V u H 1 2 Ω H 1 2 Ω ; ∇ u 0 6 . V là chuẩn trong V (V là đối ngẫu của V ) Ta có nhúng compact V H V Phần bù trực giao H của H trong L 2 Ω 3 là H = u L 2 Ω 3 ; u ∇ρ, ρ H 1 Ω ∇ρ u t υ∆u u.∇ u f 1.2. Các bất đẳng thức thường dùng 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a 0, b 0 ab a 2 2 b 2 2 . 1.2.2. Bất đẳng thức H¨older Giả sử 1 p, q ; 1 p 1 q 1; u L p Ω , v L q Ω . ta có Ω uv dx u L p Ω . v L q Ω 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré Ω ∇u 2 dx C Ω Ω u 2 dx, u H 1 0 Ω . 1.2.4. Bất đẳng thức Morrey Giả thiết n p . Khi đó tồn tại một hằng số phổ dụng C chỉ phụ thuộc vào p và n, sao cho u C 0,γ R n C u W 1 p R n với mọi u C 1 R n , γ : 1 n p . 7 1.3. Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes Định lí 1.3.1. [15] Cho trước u 0 H và f L 2 0, T ; V . Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ Navier-Stokes thỏa mãn : u L 2 0, T ; V L 0, T ; H . Hơn nữa, u là liên tục yếu từ 0, T vào H: u C w 0, T ; H , (tức là v H : t u t , v liên tục ) và du dt L 4 3 0, T ; V , 1.4. Độ đo Hausdorff Ta nhắc lại một khái niệm cơ bản liên quan tới số chiều Hausdorff . Cho X là không gian metric và D 0. Độ đo Hausdorff D chiều của một tập con Y của X là µ D Y lim  0 µ D, Y sup  0 µ D, Y , trong đó µ D, Y inf i diam B i D . Ở đây, cận dưới đúng được chọn trên tất cả các phủ của Y bởi các hình cầu B i sao cho diam B i . Hiển nhiên µ D, Y µ D, Y với   và µ D, Y 0, . Vì µ D, Y  D D 0 µ D 0 , Y với D D 0 , nếu µ D 0 , Y và D 0 0, thì µ D Y 0 D D 0 . Trong trường hợp này số inf D, µ D Y 0 inf D, µ D Y được gọi là số chiều Hausdorff của Y. Nếu số chiều Hausdorff của tập Y là hữu hạn, thì Y đồng phôi với một tập con của một không gian Euclidean hữu hạn chiều. 1.5. Một số ký hiệu và khái niệm Ký hiệu B r x 0 với chuẩn Euclide là hình cầu tâm tại x 0 bán kính r và Q r x 0 , t 0 B r x 0 t 0 r 2 , t 0 8 là hình trụ parabolic gắn với tâm x 0 , t 0 D. Để đơn giản ta viết Q r Q r 0, 0 và B r B r 0 . Ta nói x 0 , t 0 D là điểm chính quy nếu u L 5 D trong một lân cận mở D 0 D của x 0 , t 0 . Điểm x 0 , t 0 D là điểm kỳ dị nếu nó không chính quy. Theo [12, 13, 14] thì ta có u L t H 1 x D 1 L 2 t H 2 x D 1 , D 1 : D 1 D 0 , nó là không gian thông thường dùng để định nghĩa nghiệm mạnh [2]. Với x 0 , t 0 D, và r 0 : Q r x 0 , t 0 D đặt α x 0 ,t 0 r 1 r ess sup t 0 r 2 ,t 0 B r x 0 u 2 dt 1 2 β x 0 ,t 0 r 1 r Q r x 0 ,t 0  u 2 dxdt 1 2 γ x 0 ,t 0 r 1 r 2 Q r x 0 ,t 0 u 3 dxdt 1 3 δ x 0 ,t 0 r 1 r 2 Q r x 0 ,t 0 p 3 2 dxdt 1 3 λ x 0 ,t 0 r 1 r Q r x 0 ,t 0 f 2 dxdt 1 2 . Nếu Q r x 0 , t 0 D c ∅, thì ta có thể thay Q r x 0 , t 0 bởi Q r x 0 , t 0 D c . Nếu nhãn x 0 , t 0 không có thì ta vẫn hiểu là lân cận của 0, 0 , tức là α r α 0,0 r . Năm đại lượng không có thứ nguyên (hay không có chiều), khi đó theo quy ước thông thường về số chiều thì số mũ của x, t, u, p và f tương ứng là 1, 2, 1, 2 và 3. Tương tự như vậy chọn các số mũ sao cho biểu diễn của nó là bậc 1 phụ thuộc vào u. Do đó dễ dàng tìm ra dạng biểu diễn tuyến tính, và dạng phi tuyến của các số hạng. Chú ý rằng giả thiết cho f L 2 D từ đó suy ra λ x 0 ,t 0 r M r 1 2 (1.1) x 0 , t 0 D và r 0 : Q r x 0 , t 0 D, ở đó M f L 2 D . 9 Chương 2 Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes 2.1. Phát biểu các kết quả chính Định nghĩa (Nghiệm yếu phù hợp) Cố định một tập mở liên thông D R 3 0, . Giả sử u, p là một nghiệm yếu phù hợp trong D và nó được định nghĩa như sau: (i) u L t L 2 x D L 2 t H 1 x D và p L 3 2 D ; (ii) f L 2 D là hàm phân kỳ tự do; (iii) Hệ phương trình Navier - Stokes (1) được thỏa mãn trong D theo nghĩa yếu; (iv) Bất đẳng thức năng lượng địa phương đúng trong D, tức là: u 2 φ T 2 R 3 ,T  u 2 φ R 3 ,T u 2 φ t  u 2 2p u φ 2 u f φ (2.1) với mọi φ C 0 D sao cho φ 0 trong D và với mọi T R. Định lí sau đây là kết quả chính của chương này. Định lí 2.1.1. Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  0 thỏa mãn tính chất sau đây. Nếu x 0 , t 0 D và lim sup r 0 β x 0 ,t 0 r  (2.2) 10 [...]... Hausdroff measure and the Navier- Stokes equations, Comm Math Phys 55 (1977), 9 7-1 12 [12] J Serrin, On the interior regularity of weak solutions of the Navier- Stokes equations Arch Rational Mech Anal 9 (1962), 18 7-1 95 [13] H Sohr, Zur Regularitatstheorie der instationaren Gleichungen von Navier- Stokes, Math Z 184 (1983), 35 9-3 75 [14] M Struwe, On partial regularity results for the Navier- Stokes equations,... 21 3-2 31 [5] O A Ladyzhenskaya and G A Seregin, On partial regularity of suitable weak solutions to the three-dimensional Navier- Stokes equations, Math Fluid Mech 1 (1999), 35 6-3 87 [6] I Kukavica, On partial regularity for the Navier- Stokes equations, Discrete Contin Dyn Syst 21 (2008), No 3, 71 7-7 28 [7] J Leray, Sur le mouvement dun liquide visqueux emplissant lespace, Acta Math 63 (1934), 19 3-2 48... phự hp ca h Navier- Stokes ba chiu, núi riờng l cỏc ỏnh giỏ v s chiu Hausdorff parabolic ca tp cỏc im kỡ d ca nghim Ti liu tham kho [1] Cung Th Anh, C s lớ thuyt h ng lc vụ hn chiu, NXB HSP, 2012 [2] L Caffarelli, R Kohn and L Nirenberg, Partial regulation os suitable weak solutions of the Navier- Stokes equations, Comm Pure Appl Math 35 (1982), 77 1-8 31 [3] P Constantin and C Foias, Navier - Stokes equations,... local boundedness of solutions of the Navier- Stokes system in three dimensional, Comm Partial Differential Equations 28 (2003), 617636 [9] V Scheffer, Partial regularity of solutions to the Navier - Stokes equations, Pacific J Math 66 (1976), 53 5-5 52 [10] V Scheffer,Turbulence and Hausdroff dimension, in Proc Conf Univ Paris-Sud, Orsay, 1975, Springer, Berlin, 1976, 17 4-1 83 Lectures Notes in Math Vol 565... der instationaren Gleichungen von Navier- Stokes, Math Z 184 (1983), 35 9-3 75 [14] M Struwe, On partial regularity results for the Navier- Stokes equations, Comm Pure Appl Math 41 (1988), 43 7-4 58 [15] R Temam ,Navier- Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, ASM Chelsea Publishing, 2001 25 ... n  0, 1, 2, Bng quy np, ta cú n Vy tn ti n0  1 1 n 0 2 8 Â 1 1 2 2nĂ1 1  n  1, 2, , N sao cho n Ô 1{3, hay 0 1 p0,0q pn0 r4 q Ô 3 Theo tớnh liờn tc ca tớch phõn v B 2.2.2, tn ti r2 1 p0,0q pn0 r4 q Ô , 2 Ă 0 v r5 p0, r4 q sao cho px, tq Bpx ,t qpr2q 0 0 Chỳ ý px,tq n1 r5 ă 1 1 1 Ô 2 px,tq pnr5q 8 pnr5q2 8 , n  n0 , n1 , vi px, tq Bpx ,t qpr2q 0 0 Bng quy np, ta cú px,tq...thỡ px0 , t0 q l mt im chớnh quy Núi riờng o Hausdorff parabolic mt chiu ca tp cỏc im k d bng 0 iu kin (ii) cú th c m rng ti hm phõn k f Lq pDq, vi q Ă 5{3 C th ta cú nh lớ sau: Ă 5{3 Thay th iu kin (ii) trong nh ngha ca nghim yu Lq pDq v limrẹ0 sup px ,t qprq Ư Khi ú px0, t0q l im chớnh nh lớ 2.1.2 Cho q phự hp vi f 0 0 quy T nh lớ trờn ta cú nh lớ 2.1.3 Vi mi q cht sau õy... |x|Ă1dx R3 T (2.17), ta cú p  ĂRi Rj pUij q N Ư ppfij qUij q Ă fj N Ư pUij fi q Ă fiN Ư pUij fj q Ă N Ư ppq 2fj N Ư ppfiqpq  p1 p2 p3 p4 p5 p 6 trong ú Ri l bin i Riesz th i Theo nh lý Calderún - Zygmund, vi mi t pĂr2 , 0q á ||p1||L { pB q Ô ||p1||L { pR q Ô C ||Uij ||L { pR q 3 2 3 2 r 3 2 3 3 i,j Ô C ||u||L pB q||u Ă Au||L pB q Ô C ||u||L pB q|| u||L pB q 2 2 6 2 ta cú Đ Đ ||p1||L { pQ... Cho q phự hp vi f 0 0 quy T nh lớ trờn ta cú nh lớ 2.1.3 Vi mi q cht sau õy Nu Q1 Ă 5{3, tn ti mt hng s D v ằ Q1 p|u|3 h|p|3{2 |f |q q Ô Ư  Ưpqq Ă 0 tha món tớnh Ư thỡ tt c im trong Q1{2 l im chớnh quy chng minh cho cỏc nh lớ trờn ta da vo cỏc b sau 2.2 Cỏc b B 2.2.1 Gi s p0, 0q D Khi ú ta cú prq Ô C2{3 pq CĂ5 pqpq CĂ1{2 pq1{2 pq1{2 (2.3) prq Ô C2{3 pq CĂ5 pq2 CĂ1{2 pq1{2 pq1{2 (2.4) v... cú 2 u Lp4{3q p10{3q pBp0,0q p5r2 {8qq Sau mt s hu hn bc lp i lp li v vi mt cỏch chn phự hp ca dóy gim hu hn cỏc bỏn kớnh, ta cú u L10 pBp0,0q pr2 {2qq Do ú tt c cỏc im ca Bp0,0q pr2 {2q l im chớnh quy 21 Chng minh nh lớ 2.1.2 Chng minh Ta chng minh tng t nh nh lớ 2.1.1, nhng (2.15) c thay bi: I4 Ô C ||u||L {p Ă qpQ q||f ||L pQ q r q q 1 {Ă{ 10 3 5 q Ô C r q ||u||L pQ q||f ||L pQ q 3 q Ô C 3Ă5{q . cứu: Hệ phương trình Navier- Stokes ba chiều. • Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy riêng phần của nghiệm. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kỹ thuật nghiên cứu tính trơn của nghiệm của hệ Navier- Stokes: . của Kukavica [6] về tính chính qui riêng phần của nghiệm yếu phù hợp của hệ Navier - Stokes. Kết quả chính của luận văn là chỉ ra rằng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ 4 dị. minh trong [7, 4] mà nghiệm này thỏa mãn một dạng của bất đẳng thức năng lượng. Còn Scheffer đã nghiên cứu tính chính quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes thỏa mãn một